暑假复习专题04 复数（4大题型）-2024年暑假数学高一升高二题型专练复习+新课预习（苏教版2019）

专题04 复数（4大题型） 高频考点题型复习归纳 【题型1 复数的概念与运算】 【题型2 共轭复数的相关应用】 【题型3 复数的几何意义】 【题型4 复数的模长及应用】 专项练 【题型1 复数的概念与运算】 【典例1】若复数为纯虚数，则（ ） A. B. －2 C. D. 【题型训练1】 1.已知为纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2．（多选）下列命题为真命题的是（ ） A. 若复数，则 B. 若i为虚数单位，n为正整数，则 C. 若，则 D. 若，其中a，b为实数，a=1，b=-1 3．若复数是方程的一个根，则的虚部为__________． 4.复数，其中． （1）若复数为实数，求的值： （2）若复数为纯虚数，求的值． 【题型2 共轭复数的相关应用】 【典例2】已知，则（ ） A. B. C. D. 【题型训练2】 1.已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2．若，则（ ） A． B． C．1 D．2 3．（多选）若、为复数，则（ ） A． B． C． D． 4.（多选）设是复数，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3复数的几何意义】 【典例3】在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【题型训练3】 1.复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2．棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．（多选）已知复数，，则（ ） A. 为纯虚数 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. （注意：表示复数的共轭复数） D. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线 4.已知z是复数，与均为实数. （1）求复数z； （2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【题型4 复数的模长及应用】 【典例4】已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【题型训练4】 1.（ ） A．1 B．2 C． D．5 2．若（，为虚数单位），则（ ） A．2 B． C．3 D． 3．（多选）已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 4.已知复数满足（为虚数单位），则______． 【专项练】 1.已知复数的共轭复数是，若，则（ ） A． B． C． D． 2.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.已知，则（ ） A． B． C． D． 4.（多选）已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A． B． C． D．若，则 5.（多选）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 复数的模 C. 若，则或 D. 若复数是纯虚数，则或 6.(多选）下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 7.复数满足，则 . 8.已知复数，且，复平面中所对应的点在第二象限． （1）求的值； （2）若为纯虚数，求的值． 9.已知复数（其中是虚数单位，）． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围． 10.在复数域中，对于正整数，满足的所有复数称为次单位根，若一个次单位根满足对任意小于的正整数，都有，则称该次单位根为次本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当时存在四个次单位根，因为，，因此只有两个次本原单位根，对于正整数，设次本原单位根为，则称多项式为次本原多项式，记为，规定，例如，请回答以下问题. （1）直接写出次单位根，并指出哪些是次本原单位根（无需证明）； （2）求出，并计算，由此猜想（无需证明）； （3）设所有次本原单位根在复平面内对应的点为，复平面内一点所对应的复数满足，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 复数（4大题型） 高频考点题型复习归纳 【题型1 复数的概念与运算】 【题型2 共轭复数的相关应用】 【题型3 复数的几何意义】 【题型4 复数的模长及应用】 专项练 【题型1 复数的概念与运算】 【典例1】若复数为纯虚数，则（ ） A. B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 因为为纯虚数， 所以且，则． 故选：B． 【题型训练1】 1.已知为纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】因为， 因为为纯虚数，所以，则. 故选：A. 2．（多选）下列命题为真命题的是（ ） A. 若复数，则 B. 若i为虚数单位，n为正整数，则 C. 若，则 D. 若，其中a，b为实数，a=1，b=-1 【答案】AD 【解析】对A， 若复数，则，所以该选项正确； 对B，若i虚数单位，n为正整数，则，所以该选项错误； 对C，若，则不一定成立，如，所以该选项错误； 对D，若，其中a，b为实数，则 .所以该选项正确. 故选：AD 3．若复数是方程的一个根，则的虚部为__________． 【答案】 【解析】方程，即，解得或， 若，则，所以的虚部为； 若，则，所以的虚部为； 综上可得的虚部为. 故答案为： 4.复数，其中． （1）若复数为实数，求的值： （2）若复数为纯虚数，求的值． 【答案】（1）5或 （2）3 【解析】（1）由复数为实数，得， 解得或. （2）由复数为纯虚数，得，解得. 【题型2 共轭复数的相关应用】 【典例2】已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知有，，故. 故选：A. 【题型训练2】 1.已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】因为，所以，即． 故选：A． 2．若，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题设有，故，故， 故选：D 3．（多选）若、为复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A选项，取，，则，， 所以，，，所以，， 所以，，，故，A错； 对于B选项，设，， 则，， ，，则，所以，，B对； 对于C选项，不妨取，，则，，， 所以，，故，C错； 对于D选项，设，则，所以，， 所以，，D对. 故选：BD. 4.（多选）设是复数，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【解析】A：若，则互为共轭复数，故，故A正确； B：若，则，而，故B错误； C：设， 若，则，即， 又，故，故C正确； D：若，则，而，故D错误． 故选：AC 【题型3复数的几何意义】 【典例3】在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数（是z的共轭复数）. （1）求m的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2）； 【解析】（1）由题意，复数， 所以， 则， 因为为纯虚数，所以，解得； （2）复数， 因为复数在复平面对应的点在第一象限， 所以，解得 【题型训练3】 1.复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B. 2．棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 3．（多选）已知复数，，则（ ） A. 为纯虚数 B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. （注意：表示复数的共轭复数） D. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【解析】对A：，故为纯虚数，故A正确； 对B：，其在复平面内对应的点在轴正半轴上，故B错误； 对C；， ，故，故C错误； 对D：令，，则由可得： ，即， 故复数在复平面内对应的点的轨迹为轴，故D正确. 故选：AD. 4.已知z是复数，与均为实数. （1）求复数z； （2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设，,所以， 由条件得，且， 所以，所以， （2）， 由条件得， 解得，所以所求实数a的取值范围是. 【题型4 复数的模长及应用】 【典例4】已知，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】设， 则， 又因为， 所以，化简得， 所以. 故选：A. 【题型训练4】 1.（ ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【解析】由题意可得， 则. 故选：C. 2．若（，为虚数单位），则（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由，得，， 则. 故选：B. 3．（多选）已知复数满足：(其中为虚数单位)，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【解析】设，则，即， 它表示以原点为圆心，半径为1的圆； 设，则由，得， 即，它表示一条直线； 对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C和D：表示圆上点与直线上点的连线段的长度， 该距离最小为圆心到直线距离减去圆的半径，即为； 该距离无最大值（直线上的点可离圆上的点无穷远）； 故选：BC． 4.已知复数满足（为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】设， 由，得， 所以，解得（舍去） 所以. 故答案为：. 【专项练】 1.已知复数的共轭复数是，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则， 所以，即， 所以， 解得， 因此， 故选：C 2.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 3.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故，故 故选：C 4.（多选）已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】由题意知，△，所以， 不妨设，， 所以，选项正确； 由，得， 当时，，选项错误； 计算，选项正确； 时，， 所以， ，，同理，选项正确． 故选：ACD． 5.（多选）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B. 复数的模 C. 若，则或 D. 若复数是纯虚数，则或 【答案】AB 【解析】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限，A正确； 若，则，B正确； 因为，，所以C不正确； 因为是纯虚数，所以， 解得，D不正确. 故选：AB 6.(多选）下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，，设，由于，则， 故， 由，得，则， 故当时，的最小值为1，C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确， 故选：ACD 7.复数满足，则 . 【答案】 【解析】设，则， 所以则， 所以，解得：，所以， 故. 故答案为： 8.已知复数，且，复平面中所对应的点在第二象限． （1）求的值； （2）若为纯虚数，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，所以， 因为，则有，解得， 又因为所对应的点在第二象限，所以，所以． （2）因为为纯虚数， 所以，即， 显然，否则，不满足， 所以， 所以． 9.已知复数（其中是虚数单位，）． （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 若复数是纯虚数，则，所以. （2）由（1）得，， 因为是开口向上的抛物线，有最小值, 所以. 10.在复数域中，对于正整数，满足的所有复数称为次单位根，若一个次单位根满足对任意小于的正整数，都有，则称该次单位根为次本原单位根，规定1次本原单位根为1，例如当时存在四个次单位根，因为，，因此只有两个次本原单位根，对于正整数，设次本原单位根为，则称多项式为次本原多项式，记为，规定，例如，请回答以下问题. （1）直接写出次单位根，并指出哪些是次本原单位根（无需证明）； （2）求出，并计算，由此猜想（无需证明）； （3）设所有次本原单位根在复平面内对应的点为，复平面内一点所对应的复数满足，求的取值范围. 【答案】（1）全部的次单位根是，，，，，，，；其中是本原单位根的是，，，. （2），，. （3） 【解析】（1）先证明：对，次单位根是本原单位根的充要条件是和的最大公约数为1. 我们记，则全部的次单位根是. 设，考虑： 若和的最大公约数，则，从而不是本原单位根. 若不是本原单位根，设，，则由可知是的倍数， 设为和的最大公约数，则是的倍数，而和没有大于1的公约数，故是的倍数， 所以由可知，得. 这就得到结论：对，次单位根是本原单位根的充要条件是和的最大公约数为1. 下面回到原题，考虑. 此时，全部的次单位根是，依次列出即是： ，，，，，，，. 根据上面的结论，其中是本原单位根的是，即，，，. （2）对，我们考虑全体次单位根. 每个均可表示为，其中是正奇数，. 则，所以是次单位根. 又因为，且和的最大公约数为1，故是次本原单位根. 而时，是1次本原单位根，故每个次单位根都对应一个次本原单位根，这里. 另一方面，根据刚才证明的，每个和每个次本原单位根都对应一个次单位根. 这就表明全体次单位根事实上遍历了所有次本原单位根，其中. 所以. 这就直接推出，且 ，. （3）根据第1小问得到的结论，全部的次本原单位根是. 故. 再根据的定义，知. 根据第2小问的结论有. 故. 在的条件下，有，从而在复平面上对应的点可在圆上自由转动. 而代表和在复平面上代表的点之间的距离，也就是圆上一点到点的距离， 从而根据几何意义可知最小距离是，最大距离是. 所以所求的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$