第04讲 复数的概念及四则运算（复习温故）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2025年高一升高二数学暑假进阶拓展方案（人教A版2019必修第二册）

第04讲 复数的概念及四则运算（复习温故） 目录 高频考点1：数系的扩充 1 ①复数的实部与虚部 1 ②根据复数相等求参数 2 ③根据复数类型求参数 3 ④复数的几何意义 4 ⑤复数求模 5 高频考点2：复数加减几何意义 5 高频考点3：四则运算 6 高频考点1：数系的扩充 ①复数的实部与虚部 1．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2023·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 3．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）复数（其中i是虚数单位）的实部是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为 ． 5．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）复数的虚部是 . ②根据复数相等求参数 1．（23-24高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 2．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 6．（23-24高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). ③根据复数类型求参数 1．（河南省南阳市新未来联考2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题）已知复数为纯虚数，则实数的值为 . 2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）若复数是纯虚数，则 ． 3．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 6．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 7．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． ④复数的几何意义 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期末）已知复数，则（   ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则 ． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为 . ⑤复数求模 1．（24-25高二下·云南·期末）若为虚数单位，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 3．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 6．（2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为 . 高频考点2：复数加减几何意义 1．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23高一下·四川眉山·期中）复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知复数，，则复数在复平面内对应点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若复数，，，则 . 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是 ． 高频考点3：四则运算 1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若，则（ ） A． B． C． D． 2．（2025·广西柳州·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·四川广安·二模）复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 4．（2025·广东东莞·模拟预测）若复数满足，则复数在复平面上对应的点位于第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）复数满足，则 . 6．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则 . 7．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数 . 8．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 复数的概念及四则运算（复习温故） 目录 高频考点1：数系的扩充 1 ①复数的实部与虚部 1 ②根据复数相等求参数 2 ③根据复数类型求参数 5 ④复数的几何意义 9 ⑤复数求模 11 高频考点2：复数加减几何意义 13 高频考点3：四则运算 15 高频考点1：数系的扩充 ①复数的实部与虚部 1．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 2．（2023·福建福州·模拟预测）欧拉公式由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数，虚数单位与三角函数，联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数，则z的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由欧拉公式化简复数z，再由复数的定义即可得出答案. 【详解】因为， 因为，所以z的虚部为. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）复数（其中i是虚数单位）的实部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法求出，进而求出其实部. 【详解】复数，所以的实部为. 故选：C 4．（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为 ． 【答案】 【分析】结合题意，由复数的实部与虚部求解可得. 【详解】由题意可得实部为2，则. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）复数的虚部是 . 【答案】 【分析】根据复数虚部的定义即可得解. 【详解】复数的虚部是. 故答案为：. ②根据复数相等求参数 1．（23-24高一下·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 【答案】（4） 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 2．（23-24高一下·新疆·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或或或 【分析】利用复数的相等列出方程组，求解即可． 【详解】解：， 且， 解得：或且或， 或或或． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】由复数相等的条件列方程组求解． 【详解】解：由， 得，解得． ，． 6．（23-24高一下·全国·课堂例题）求满足下列条件的实数x，y的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)，或 (4) 【分析】（1）根据实部与虚部对应关系解方程即可 （2）令实部为0且虚部为0解方程即可； （3）根据实部与虚部对应关系解方程即可； （4）令实部为0且虚部为0解方程即可. 【详解】（1）由，可得 （2）由，可得 （3）由，可得，或 （4）由，可得 ③根据复数类型求参数 1．（河南省南阳市新未来联考2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题）已知复数为纯虚数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据纯虚数的特征列方程组，求解即得. 【详解】由题可得解得. 故答案为：. 2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）若复数是纯虚数，则 ． 【答案】 【分析】根据复数是纯虚数求得，进而求得. 【详解】由于是纯虚数，所以， 解得． 故答案为：. 3．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数，. (1)若为实数，求； (2)若为虚数，求的取值范围； (3)若为纯虚数，求. 【答案】(1)或5 (2)且 (3) 【分析】（1）由复数是实数，得到，即可求解； （2）由复数是虚数，得到，即可求解； （3）由复数是纯虚数，列出方程组，再用模长公式即可求解 【详解】（1）由题意得 得或5 （2）由题意得 得且 （3）由题意得 得故，所以,所以． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可. （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可. （3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可. 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【答案】(1)或 (2)且 (3) (4) 【分析】根据复数的类型列式求参. 【详解】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 6．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【详解】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 7．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． 【答案】(1)且，且 (2) 【分析】这两问都是根据复数的特征，列出关于实部和虚部的方程或不等式，即可求解. 【详解】（1）若是虚数，则且， 所以且且； （2）若是纯虚数，则， 解得：. ④复数的几何意义 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数几何意义依次代入计算判断即可. 【详解】对于A，复数，代入得，故A不符合题意； 对于B，复数，代入得，故B符合题意； 对于C，复数，代入得，故C不符合题意； 对于D，复数，代入得，故D不符合题意. 故选：B 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据题意，化简得到，得出时，取得最小值，此时复数，再结合复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，可得， 所以，当时，取得最小值为，可得， 此时z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 3．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期末）已知复数，则（   ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【分析】A选项利用虚部定义可判断；B选项利用复数的模的计算公式求解；C选项利用共轭复数的定义进行判断；D选项利用复数的几何意义进行判断即可. 【详解】对于A选项，复数的虚部是，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：BC. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）在复平面内，复数所对应的点分别为A，B，C，四边形为平行四边形，则点对应的复数为 . 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可得，设，由运算求得点的坐标，得解. 【详解】根据题意，，设， 由，则，解得， 所以点的坐标为，其对应的复数为. 故答案为：. ⑤复数求模 1．（24-25高二下·云南·期末）若为虚数单位，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据模长公式计算求解，再结合必要不充分条件判断即可. 【详解】由，得，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 2．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（    ） A．17 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义求出坐标即可得出复数，进而求出模. 【详解】由题意可得，，则， 所以，得． 故选：D 3．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数模的定义以及三角不等式求解即可. 【详解】， 所以的最大值为. 故选：A. 4．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知，，是虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 5．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是 . 【答案】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 6．（2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为 . 【答案】3 【分析】本题可先根据复数的模的计算公式求出的表达式，再结合三角函数的性质求出其最大值. 【详解】已知，则. 可得： 因为的取值范围是，所以当时，取得最大值. 此时. 那么的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 高频考点2：复数加减几何意义 1．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）实数时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先将复数化为一般形式，结合的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案. 【详解】 又，故 故该复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选： 2．（22-23高一下·四川眉山·期中）复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】 根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数加法运算法则求解. 【详解】由，， 则， 故选：D 4．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知复数，，则复数在复平面内对应点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据复数的加法法则求出，，进而得到在复平面内所对应点的坐标，即可得解. 【详解】因为复数，， 所以， 所以复数在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B 5．（2025高二上·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数加减法运算求解. 【详解】复数，得. 故选：A 6．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若复数，，，则 . 【答案】 【分析】根据复数的运算，以及复数的求模公式直接求解即可. 【详解】解：由题意得， 则， 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是 ． 【答案】/ 【分析】根据相反向量及复数运算求解. 【详解】复平面上的向量所对应的复数是， 那么向量， 所以向量所对应的复数是. 故答案为： 高频考点3：四则运算 1．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过复数的运算得出，然后根据共轭复数的概念求解. 【详解】根据题意，所以， 所以，所以 所以. 故选：A. 2．（2025·广西柳州·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可. 【详解】因为复数满足， 因此，复数的虚部为. 故选:D. 3．（2023·四川广安·二模）复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用复数代数形式的除法运算求出复数，可明确其虚部. 【详解】因为. 所以复数的虚部为. 故选：B 4．（2025·广东东莞·模拟预测）若复数满足，则复数在复平面上对应的点位于第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】根据复数的除法及乘法运算可求复数，再利用共轭复数的概念及复数的几何意义可求. 【详解】， ， 则，在复平面上对应的点为，位于第一象限， 故选：A. 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）复数满足，则 . 【答案】 【分析】先利用复数运算法则求出，进而求出模长. 【详解】由已知条件可知， 可得到， 所以. 故答案为：. 6．（25-26高一·全国·假期作业）已知，则 . 【答案】 【分析】先根据复数的乘法及除法运算化简复数，再代入计算乘方得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】， ， . 故答案为： 7．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数 . 【答案】 【分析】先化简复数，再根据其实部为零虚部不为零，即可求得参数. 【详解】为纯虚数， ，， 故答案为：. 8．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可得解； （2）根据共轭复数的概念及复数的乘法运算化简求解即可. 【详解】（1）为纯虚数，则， 解得， 所以的值为0； （2）由可得， 所以， 解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$