河北保定市百师联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

高一6月数学 参考答案及评分意见 1.D【解析】设长方体为ABCD一A1B1C1D1,如图. B 0 B D 若包含AA1的底面矩形为AA1D1D,则顶点可以是B,B1,C1或C,故有四个不同的阳马； 若包含AA1的底面矩形为AA1B1B,则顶点可以是C1,C,D1或D,故有四个不同的阳马； 若包含AA1的底面矩形为AA1C1C,则从B,B1,D1或D中任意一个作为顶点，都不符合阳马，故舍去. 综上，以长方体ABCD一A1B1C1D1的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边的阳马的个数是8.故选D. 2.A【解析】记复数之在复平面内的点为Z,z|表示点Z到原点O的距离，|之一4i表示点Z到点A(0,4)的距离. 因为之=z一4i,所以之在复平面内对应的点Z的轨迹为线段OA的中垂线，即一条直线.故选A. 3.D【解析】对于A,若a∥b,b⊥c,则a⊥c,故A正确； 对于B,若a⊥a,b⊥a,由线面垂直的性质，得a∥b,故B正确； 对于C,若a∥B,c⊥a,由面面平行的性质，得c⊥B,故C正确； 对于D,若a⊥a,a⊥b,则b∥a或bCa,故D错误.故选D. λ=1， 4.C【解析】对于A,若存在实数入使得e1=入(e1十e2),则入无解，故{e1,e1十e2}可以作为平面向量的基底； 入=0， =3, 对于B,若行在实数及使得3，e=,小 入无解， 2 =1, 故3c,-e:e,2c:可以作为平面向量的基底， 对于C,-2(2e2一3e1)=6e1一4e2,则2e2一3e1,6e1一4e2为共线向量，故不能作为平面向量的基底； λ=1， 对于D,若存在实数入使得e1+e2=λ(e1十3e2),则入无解， 3λ=1， 故{e1十e2,e1十3e2}可以作为平面向量的基底.故选C. 5.A【解析】如图，因为O'A'=4,B'C'=2,A'B'=2,所以O'C=√22+2=2√2， 所以在直角梯形OABC中，OA=4,BC=2,OC=4√2，即圆台的高为4√2，上、下底面半径分别为2,4. 所以圆台的体积为写2+2×4+)X4反-11，元放造A 数学答案第1页（共8页） 0 6.D【解析】如图，取BC的中点M,连接B1M,FM. 因为F是AD的中点，在正方体中，有A1F∥BM, 又因为B1G=CM,B1G∥CM,所以四边形B1GCM为平行四边形，故CG∥B1M, 所以CG∥A1F,故C,G,A1,F四点共面，故A正确. D H ! A D A N 因为N,E,F均为中点，所以FN∥BD,EN∥BB. 因为FN中平面DBB1D1,BDC平面DBB1D1,所以FN∥平面DBB1D1. 同理，EN∥平面DBB1D1.因为EN∩FN=N,EN,FNC平面EFN, 所以平面EFN∥平面DBB1D1,故B正确. D H A D M 因为直线A1C∩平面ABCD=C,直线BDC平面ABCD,CBD,所以直线A,C与BD为异面直线，故C正确. 因为G,H分别为B1C1,C1D1的中点，所以GH∥B1D1. 又因为BD∥B1D1,FN∥BD,所以GH∥FN.所以∠EFN为直线EF和HG所成角或其补角. 设正方体的棱长为a,则EN=a,FN=2a 21 因为ENL底面ABCD,FNC平面ABCD,所以ENLFN,放tan∠EFN=F=② 所以直线EF和HG所成角的正切值为√2，故D错误.故选D. 数学答案第2页（共8页） 2 7B【解析】由a+6-c-号a6及余弦定理，得osC-a3十_b 2ab 20b-3,则simc=2v2 3 因为E为AB的中点，所以C2-号(C+C,则|C它：=是(C+C:+2Ci.C, 1） 整理得3 3 =a+6+g, 所以322ab 33 =a2+b2≥2ab,解得ab≤4，当且仅当a=b时取等号. 2absin C=1 1 又因为S△ABC= 号山，所以△ABC面积的最大值为放选B rrl=4π， 8.B【解析】如图，设圆锥底面圆的半径为r,高为h,母线长为1，由题意，得 解得r=√2，l=2√2. xl=2πr, 所以圆锥轴截面为等边三角形，圆锥的高h=√(2√2)2一（√2）2=√6. R -1--2 设圆锥的内切球半径为R,(√6-R)=R:+(2),解得R= 3 则肉切球的体积为言R:-音x×('-8 4 3 27元.故选B. 9.BC【解析】对于A,复数不能比大小，故A错误； 对于B,设z1=a十bi(a,b∈R),若之1=z1,即a十bi=a一bi,所以b=0,x1=a为实数，故B正确； 对于C,因为之1之2=之1之3，所以之1（之2一之3）=0.又因为x1≠0，所以之2一之3=0，即之2=之3，故C正确； 对于D,例如之1=1，之2=i,则x1十之2=1十i,之1一之2=1一i, 所以|之1十之2|=之1一之2=√2，满足题意，但x1之2=i≠0，故D错误.故选BC. 10.ACD【解析】对于A,因为a=（,b=(,x十3)，a/b, 所以xc十3)-2·()=0，即+名=0，解得x=0或x=名，放A错灵 对于B,因为a1b,所以a·b=0,即x2-名z+3)=0,解得x=-1或x=,放B正确， 对于C,因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0,且a,b不反向平行. 由a·6=2--<0,解得-1Kx<由e/6,得z-0或z=-号 2 数学答案第3页（共8页） 所以x的取值范围为(-1,0>U(0,),放C错误 对于D.因为6 b=b,所以a·b 2=1,故a·b=b. 又因为a6=r-名z+8》=-x-,1b1=x2++3r=2x+6z+9, 所以x一1 3 622=2z2+6x十9，故x2土3x十=0，解得x=-3或x=名故D错误.故选ACD 11.ABC【解析】如图，取半圆BC的中间位置D,连接BD,CD,AD,则BD=CD且∠BDC=90°. 又因为AB⊥AC且AB=AC,所以△ACD≌△ABD,所以∠ABD=∠ACD=90°， 所以四边形ABDC为正方形，BD∥AC,故A正确. 如图，设D1为半圆弧B1C1的中点，PE交B1C1于点O1.因为PE⊥平面A1B1A,A1B1C平面A1B1A, 所以PE⊥A1B1.所以PE∥A1C. 因为E为AB:的中点，所以O:为B,C:的中点，所以EP=E0,+O,P=A,C+号B,C=1+区. 1 故三棱锥P-ABB1的体积为3S△AB1XEP- 1 ×2×4X(1十2)=41十，2)，故B正确 1 3大 3 D B 如图，设AD,BC交于点O,则A0=AC =√2且AO⊥BC,连接A1O. √2 因为AA1⊥底面ABC,ABC平面ABC,所以A1A⊥AB,同理A1A⊥AO,A1A⊥AC,A1A⊥BC. 因为BC⊥AD,AD∩A1A=A,AD,A1AC平面A1ADD1,所以BC⊥平面A1ADD1. 过点A作A1O的垂线，交D1D于点P.因为PAC平面A1ADD1,所以BC⊥PA. 又BC∩A1O=O,BC,A1OC平面A1BC,所以PA⊥平面A1BC. 因为四棱柱A:B,D1C1一ABDC为长方体，所以PD⊥底面ABC,此时直线PA与底面ABC所成角为∠PAO. AO 在Rt△A1A0中，有∠AA:0=∠PAO,A,O=√A1A+AO=3V2,所以sin∠PA0=sin∠AAO=A,0 专放C正确。 B 数学答案第4页（共8页） 如图，将面ABB1A1与面ACC1A1沿着公共棱A1A展开到同一平面内，连接BC1, 可得BC1=√AB+AC)2+C1C=4√2.因为4√2=√32<√/16+2π，故D错误.故选ABC. A B 2③ 2 【解析cos看-号血管-分-9+的实部为受 21 13.3√3【解析】如图，取DD1,B1C1,BB1的中点分别为E,F,G,连接NE,EP,PF,FG,GM. 因为M,N,E,P,F,G均为所在棱的中点，所以MN∥PF,NE∥GF,EP∥GM, 所以过M,N,P三点的平面截正方体所得截面为正六边形，其边长PF-2X2-2, 2 故其面积为6×年 X(2)2=33. D C A G c M 14.√2-1【解析】因为b2-4e·b+3=(b-2e)2-1=0,所以(b-2e)2=1,即|b-2e1=1. 因为a-b=|(a-2e)-(b-2e)l≥lla-2e-lb-2el=lla-2e|-1l, |a-2el=√(a-2e)z=√/Ta2-4e·a+4=√a2-2W2|a+4=√(|a|-√2)2+2≥2， 所以|1a-2el-1|≥√2-1，即a-b|的最小值是2-1. 15解：(I因为Bi-}M,所以ai-A店-AC-A,即AMi-A店+AC 4 …3分 因为A店=2，AC=4,∠BAC=60,所以A店.AC-A·|ACs60°=2×4×号-4， 所以AM=A店+}aC-3AB+AC=子9AB2+6AB·AC+A衣 4X9X4+6X4+4= 1 2 …6分 (2)因为点P在线段NC上的一点，设NP=λNC(0≤≤1) 数学答案第5页（共8页） 则A庐-AN=X(A衣-A寸)，所以AP=1一)A寸+入A衣=1入AB+AAC. 2 …9分 [1-入=1 2 又因为A市-号AG+}A,且A,A心不共线，所以 4 …11分 解得入=？，即点P为线段NC的中点。 13分 16.解：(1)因为泸=i·i=i,i8=(4)2=12=1,i9=i8·i=1·i=i,i=(i)2·i3=-i, 所以--经+得易-3-51-1 …4分 5 所以之1=1十i.…5分 (2)z2=(a+i)(1-2i)=a-2ai+i-22=(a+2)+(1-2a)i, 则复数之2在复平面内对应点的坐标为(a十2,1一2a).……7分 1a+2>0, 因为x2在复平面内对应的点在第一象限，所以 1-2a>0, 得-2<a<2 即实数a的取值范围是 -2,2 9…………………10分 (3)由(1)得之1=1+i,则z1十之2=(1+i)+(a十2)+(1-2a)i=(a十3)+(2-2a)i.…12分 由复数模的公式，得|之1十之2=√(a十3)2十(2-2a)7=√5a2-2a十13.…13分 所以当a-言时，5a一2a+13取得最小值， 即十。一厚-8所以十的最小值为5 5 …15分 17.证明：(1)在△ABD和△CBD中， 因为E,H分别是AB和AD的中点，所以EH/BD,EH=号BD.…2分 汉因为CEC-=子所以FG/BD,FG=子BD.所以EH∥FG.…………………4髦 因为FGC平面AFG,EH中平面AFG,所以EH∥平面AFG.…5分 又因为EHC平面ABD,平面AFG∩平面ABD=l,所以l∥EH.…7分 得，EHFG,EH二FG,所以四边形FGHE为梯形.… 所以梯形的两腰EF和GH相交于一点，设交点为P.… …10分 因为点P∈EF,EFC平面ABC,所以点P∈平面ABC,同理点P∈平面ADC.…13分 又因为平面ABC∩平面ADC=AC,所以点P∈AC, 所以三条直线EF,GH,AC交于一点P.…15分 数学答案第6页（共8页） 18,解：q)由5sinA-cosA=y3a-b及正弦定理，得3 sin Asin C--cos Asin C=月sinA一sinB.…2分 因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以W3 sin Asin C-√3sinA-sin Acos C. 因为A∈(0，π)，所以sinA≠0， 所以C+cmC-,即nfc+}- ……4分 因为c∈o,引所以c+晋∈（传）所以c+吾-号 63,即C= 6. ……5分 1 (2)由(1)得C= 6,则△ABC的面积S=2 bsin C=4ab=23,即ab=83.…7分 又因为内切圆的半径，=9，且S=名a+6十c)r, 折以a十b十C=2Se12,即a十b=12=C.9 由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcos C=(a+b)2-2ab-2 abcos C, 即c-12-c)2-2×85-2×85×号，解得c=5 23 3· …11分 (3)在△ABC中，由正弦定理，得，a C 'sin A sin∠ACB1 -=2① 2 在△BCD中，BD=2=2,∠BDC=R-日-吾-A 2 3A, BD 2 由正弦定理，得 sin∠BCD-1 =4②.…13分 2 由①②得sinA=2sin -A,化简得cosA=0. 3 π 因为A∈(0，π)，所以A= 15分 因为c=1,∠ACB=否，所以6 C tan∠ACB=3. 1 厅以SAA2bc=专X1XB≤3 2 …17分 19.解：(I)三棱锥G一A1BD的体积不是定值.……1分 假设三棱锥G一A1BD的体积是定值，则线段EF上任意每一点到平面A1BD的距离都相等. 因为EF中平面A1BD,所以EF∥平面A1BD.…2分 数学答案第7页（共8页） 如图，过点E作EM∥D1C交CD1于点M,连接FM. 由正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面A1BCD1是矩形，得D1C∥A1B,所以EM∥A1B. 因为EM中平面A1BD,A1BC平面A1BD,所以EM∥平面A1BD 又因为EF∩EM=E,EF,EMC平面EFM,所以平面EFM∥平面A1BD.…4分 因为FMC平面EFM,所以FM∥平面A1BD. 取C1D1的中点N,连接A1N,则M为D1N的中点，所以FM∥AN. 因为A1N与平面A1BD交于点A1,所以FM与平面A1BD相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥G一A1BD的体积不是定值.…6分 由图知，线段EF在平面A1BD的同侧，且在线段EF的所有点中，F到平面A1BD的距离最小， 则当G与F重合时，三棱锥G一A1BD的体积最小， 且VG-Nn=Vg-Am=V,-Aas=号X名×2X4X4- 1 1 3 所以三棱锥G一A,BD体积的最小值为 3 …9分 D M N (2)如图，连接B1C,B1D1,CD1.由正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BBD1D是矩形，得B1D1∥BD. 因为B,D1中平面A1BD,BDC平面A1BD,所以B1D1∥平面ABD.同理，B1C∥平面A1BD 又因为B1D1∩B1C=B1,B1D1,B1CC平面B1CD1,所以平面B1CD1∥平面A1BD, 当线段EF∩平面B1CD1=G时，满足CG∥平面A1BD.…12分 设E,F到平面B,CD:的距离分别为d1,d,则C-., FG d2' …13分 因为△B,CD,是边长为42的等边三角形，则S6m-5X4W2:=85, 4 由V:o=Vor,得号×8vd:=了×}X1X4X4,解得d- 3’……15分 由V,m-V:mr,得5X8v万d,-号××2X4X4,解得d,- 2√3 3, …16分 所以EG_d:1 FGd22' 17分 数学答案第8页（共8页）高一6月数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA,是一长方 体的一条棱，若阳马以该长方体的顶点为顶点，以AA,为底面矩形的一边，则这样的阳马 的个数是 A.2 B.4 C.6 D.8 2.已知复数之满足|z=|之一4，则复数之在复平面内对应的点的轨迹为 A.一条直线 B.一条线段 C.一个圆 D.一段圆弧 3.已知不重合的直线a,b,c与两个不重合的平面a,B,则下列四个命题错误的是 A.若a∥b,b⊥c,则a⊥c B.若a⊥a,b⊥a,则a∥b C.若a∥3，c⊥a,则c⊥3 D.若a⊥a,a⊥b,则b∥a 4.若{1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是 A.{e1,e1十e2} B.3e,-ee1-2e: C.{2e2-3e1,6e1-4e2} D.{e1+e2,e1+3e2} 5.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O'A'B'C',且O'A'∥B'C', O'A'=2B'C'=4,A'B′=2，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则 该圆台的体积为 A文 A.112v2 3元 B12 3π C,563 56√2 3π D 3π 第1页（共4页） 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H,N分别 H C G 是A1B1,AD,B1C1,C1D1,AB的中点，则下列结论错误的是 B A.C,G,A1,F四点共面 B.平面EFN∥平面DBB1D, D F C.直线A,C与BD是异面直线 N D,直线EF和HG所成角的正切值为√3 7,在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a6,且a2+6-c2=号ab.若E为AB的中 点，CE= 2√6 ,则△ABC面积的最大值为 2√2 4√2 82 A B 3 3 C.√2 D.3 8.已知圆锥的侧面积是4π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球的体积为 43 A.27T o8√6 B.27 Cles 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9设之1，之2，之3为复数，则下列结论正确的有 A.若之1=1十2i,之2=2十2i,则之1<x2 B若z1=1,则之1为实数 C.若之1之2=之1之3且之1≠0，则之2=之3 D.若|x1十之2|=|x1-之2|，则x1之2=0 10.已知平面向量a=(,一》，。=（红，十3），则下列说达错误的是 ·7 A.当a∥b时，x=一2 B当a1b时=-1或x=号 C,若向量a和向量b的夹角为钝角，则x的取值范围为 -1 D.若向量a在向量b上的投影向量为b,则x=3 第2页（共4页）》 11.如图是一个由直三棱柱与半个圆柱拼接而成的简单组合体，AA1⊥底面ABC, AB⊥AC,且AB=AC=2,AA1=4,P为该组合体曲面部分上一动点，下列结论正确 的是 A.存在点P,使得BP∥AC B.当P在B1C1上，E为A1B1的中点，且PE⊥平面A1B1A时，三棱锥 P-ABB,体积的为4(1+2) 3 A C.当PA⊥平面A1BC时，直线PA与底面ABC所成角的正弦值为 D.一质点从点B沿着该组合体表面运动到C,的最短距离为√I6+2π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数x=60s否十isin名，则：的实部为 (用实数作答) 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别 D 是AB,AD,C1D1的中点，则过M,N,P三点的平面截正方体所得 B 截面面积为 14.已知a,b,e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 买，向量b满足6-4e·b+3=0,则a-b的最小值是 M 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.13分)在△ABC中，N为AB的中点，Bi=号MC,|A=2,AC=4. (1)若∠BAC=60°，求|AM; (2②)若线段C上一动点P满足A正=AC+号A正，试确定点P的位量。 。3-i 16.(15分)已知复数21=十0+2：=(a+i)1-2(i是虚数单位. (1)求z1的共轭复数x1; (2)若之2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围； (3)求|之1十x2的最小值， 第3页（共4页） 17.(15分)如图，在空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点，F,G分别是BC, CF CG 2 CD上的点，且 CB CD 3 (1)记平面AFG∩平面ABD=l,证明：l∥EH; (2)证明：三条直线EF,GH,AC交于一点. D G 18.17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c,W3sinA-cosA=3a-b ,且 C为锐角， (1)求角C的大小； (2)若△ABC的面积S=23,内切圆的半径，- 3,求边c的值； (3)若c=1,延长AB至D,使得BD=2AB,∠BCD=石，求△ABC的面积. 19.(17分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E,F分别是CC1,A1D1上的点， 且CE=1,A,F=2,G是线段EF上的动点（含端点） (1)判断三棱锥G一A1BD的体积是否为定值？若是，求出定值；若不是，求三棱锥 G一A1BD体积的最小值. (2当CG/平面A,BD时，求聪的值 D C A G E D C 第4页（共4页）