第4章因式分解 期末复习综合练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以“方法链+问题串”系统整合因式分解全章内容，覆盖定义辨析、方法应用到跨学科建模，突出抽象能力与推理意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（1-3题）|定义判断、公因式确定、因式分解与整式乘法互逆|从概念本质到基本要素，构建认知起点| |基本方法|6题（4-9题、15题）|提公因式法、公式法（平方差/完全平方）、简便计算技巧|从单一方法到综合运用，强化运算能力| |进阶方法|5题（10-13题、18-20题）|分组分解法、配方法、整体思想|从代数变形到数学思想，发展推理意识| |综合应用|3题（7题、14题、17题）|几何面积模型、三角形性质关联|从代数到几何，渗透模型意识与应用能力|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 3．若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 4．若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 5．若，则的值为（   ） A．8 B．10 C．16 D．20 6．已知，，则代数式的值为（   ） A．30 B． C． D． 7．如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．因式分解：______． 9．利用因式分解计算：________． 10．分解因式：________． 11．若，，则的值为________． 12．已知，，则与的大小关系是________． 13．甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解结果为，那么分解因式正确的结果为______． 14．已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 三、解答题 15．分解因式： (1)； (2)； (3)． 16．简便计算 (1) (2) 17．如图，一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．用这六块图形拼成一张大长方形，画出图形并由此写出一个多项式的因式分解． 18．要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 19．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 20．[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 参考答案 1．D 【分析】因式分解需满足两个条件：一是结果为几个整式的乘积形式，二是变形前后等式成立，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该变形是整式乘法，不是因式分解，错误； B．右边结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，错误； C．，等式不成立，错误； D．提取公因式x得，是多项式化为整式乘积的形式，等式成立，符合因式分解的定义，正确． 2．C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．公因式的确定方法：各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：C． 3．A 【分析】利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，又， ∴ 对比对应项系数得，， 解得， 将代入得， ∴． 4．B 【分析】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【详解】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 5．B 【分析】把所求式子变形为，进一步可变形为，最后变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 6．D 【分析】本题考查了因式分解的应用，求代数式的值；将代数式通过因式分解后，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵, ， ∴ 原式． 7．A 【分析】先列出大正方形的面积，再根据完全平方公式因式分解，即可得出大正方形的边长. 【详解】解：由题意得： 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：． 8． 【详解】解：． 9． 【分析】本题主要考查了因式分解．通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为 10． 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 11． 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键．先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键． 根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解： ，， ， 故答案为： ． 13． 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据甲、乙看错的情况下得出、的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键． 【详解】解：因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， ， 又乙看错了的值，分解的结果为， ， 原二次三项式为， 因此，， 故答案为：． 14． 6 14 【分析】（1）由，用含的代数式表示，代入，整理后配方，利用偶次方的非负性求出、、的值，即可得到所求结果． （2）根据三角形的周长公式解答即可． 【详解】解：（1）， ， 把代入得： 整理得：， 即 ∴ 且 解得：，； （2）由（1）得：，，， ∴的周长为． 15．(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解； （3）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ， ； （3）解：， ， ． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的计算； （1）根据完全平方公式进行计算即可求解． （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2） 17．图见解析， 【分析】计算拼接前后图形的面积，利用面积相等得到多项式的因式分解． 【详解】解：由题意得， 画出图形如图： 多项式的因式分解为：． 18．(1) (2) (3)是等腰三角形． 【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ． （2） ，， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 19．(1) (2)是等边三角形 【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）将已知等式变形，利用配方法构造出完全平方式的和，再根据非负数的性质确定三边关系． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 20．(1) (2) 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将还原即可； （2）设，则原式后，再将还原后，最后再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 原式 ； （2）解：令， 则原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $