2025-2026学年人教版数学八年级下册期末复习压轴题必练四边形+一次函数

**基本信息** 聚焦四边形与一次函数综合，以问题探究为主线，通过分层设问构建从特殊到一般的知识逻辑，培养几何直观与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |四边形|12题|含折叠/旋转/新定义（忧乐四边形）/十字架模型，分层设问（特殊→一般→拓展）|从菱形/正方形性质出发，通过折叠旋转探究不变量，结合新定义与模型实现知识迁移| |一次函数几何综合|10题|一次函数与平行四边形/等腰直角三角形结合，涉及动点/平移/存在性问题|以一次函数解析式为基础，融合图形变换与几何性质，构建代数与几何的逻辑联系|

2025—2026学年人教版八年级下册期末复习压轴题：学霸必练 四边形+一次函数 【四边形】 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 3．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，翻折后和的性质证明，根据等腰三角形三线合一得，由得，由得，由翻折得，等量代换后，根据证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折得，垂直平分， 是等腰三角形，是的角平分线， ， 在中，，， 在中，，， ， ， ，， 在和中， ， ． 4．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接，，的两边分别交直线、于点E、F． (1)如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； (2)如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再证明，，即可证明，即可证明结论； （2）用类似于（1）的方法证明即可； （3）设，证明，得到，则，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：是边的中点，G是边的中点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：；理由如下： 由（1）知，， ， 由（1）知，， ，， ， 又由（1）知，， ， ； （3）解：设，则， 由（2）知，，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 解得， ． 5．（25-26九年级上·全国·期末）在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26九年级上·广西贺州·期末）已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，则______，______．（用图中的字母表示） (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点．求证：． 【答案】(1)； (2)四边形的形状是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得，； （2）根据折叠的性质得，，，再根据矩形的性质得，则，进而推出，证明四边形是平行四边形，再由可得四边形是菱形； （3）如图，连接，，先根据折叠的性质得，，证明四边形是正方形，得，再根据折叠的性质和矩形的性质推出，然后证明得，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处， ∴，， 故答案为：；； （2）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 根据折叠的性质得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （3）证明：如图，连接，， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处， ∴，， ∵是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形性质，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 7．（25-26八年级上·山东淄博·期末）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】（1），；（2），；（3），直线与的夹角度数为，理由见解析；（4） 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （3）由菱形的性质可得，，，证明，得出，，延长交的延长线于点，交于点，结合三角形内角和定理求出，即可得出结果； （4）由，得出当点在上时，线段取得最小值，连接，交于，由菱形的性质可得，，，求出，由勾股定理可得，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为； （2）∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵，且， ∴， ∴， 即与直线的夹角度数为； （3）解：，直线与的夹角度数为，理由如下： ∵四边形与四边形都为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； （4）解：∵， ∴如图，当点在上时，线段取得最小值， ， 连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 8．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形                B．直角三角形                C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 【答案】(1)C， (2)见解析 (3)见解析，的长为或 【分析】（1）问题1：利用翻折的性质和矩形的性质即可得出等腰三角形；问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用角平分线的作法作图，即以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点； （3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出，可得，然后设，则，在中利用勾股定理列方程，求出，再由即可得出答案；当点落在矩形内部时，同上述思路即可得出答案． 【详解】（1）解：问题1：如图2所示， 由翻折的性质可得，， ， ， ， 是等腰三角形， 故选：C； 问题2：如图所示，过点作交于点， ， 由勾股定理得，， ， 点到的距离为， 故答案为：； （2）解：点的位置如下图所示； （3）解：①如图所示， 当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则， 由题意，得，，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ； ②如图所示， 当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，， 同①，可得， ， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形和翻折的结合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图——角平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并掌握分类讨论的数学思想． 9．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合运用 如图1，点E是矩形的边上一点，连接，把沿折叠得到，点在矩形的内部，延长交射线于点F，连接，已知． (1)当E是的中点时，求． (2)如图2，当时，与相交于点G，求的长； (3)如图3，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明可得、，然后再根据勾股定理列方程求解即可； （2）先证明可得，设则，运用勾股定理列方程求解可得，进而得到；设，则，再运用勾股定理列方程求y的值即可； （3）根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得，如图：过F作交延长线于H，则；由勾股定理可得、,设则，由勾股定理可得、，进而得到解得，即，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴，, ∵E是的中点， ∴, ∵把沿折叠得到， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴，解得：． （2）解：∵把沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴, 设则， ∵, ∴，解得：， ∴， 设，则， ∵, ∴，解得：， ∴． （3）解：∵把沿折叠得到， ∴， ∵， ∴, 如图：过F作交延长线于H，则, ∴, ∴, 设则 ∴，， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴的面积为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌熟练运用相关判定和性质定理成为解题的关键． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在矩形中，，E为边上一点，将沿折叠得， (1)如图（1），若，点F在边上，求长度； (2)如图（2），若点F在矩形外部，，分别与于点P、T，且，，求长度； (3)如图（3），若，取中点K，作，当取最小值时，直接写出长度． 【答案】(1)4 (2)3 (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得到结果； （2）先作辅助线，根据已知条件证得两个三角形全等，根据勾股定理可求得结果； （3）当翻折之后的点F落在正方形的对角线上，即点，此时求出的值，即可． 【详解】（1）解：∵沿折叠得， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，如图所示： 设，则， ∵， ∴， ∵沿折叠得， ∴，， ∵，， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴； （3）解：取正方形的对角线的中点O，如图所示： ∵的中点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当取最小值时，即翻折之后的点F落在正方形的对角线上，即点，此时的值即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当取最小值时，此时． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、用勾股定理解三角形、正方形的性质，数形结合，灵活掌握知识点是解题的关键． 11．（22-23八年级下·福建厦门·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．      (1)若直线与线段交于点． ①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______； ②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析； (2)或 【分析】（1）①：先根据已知条件判断是等边三角形，得到，即可计算的度数；②：连接，根据已知条件证是含角的直角三角形，即可得到，之间的数量关系； （2）分情况讨论，当点在线段上，时，根据已知条件证，得到，再根据勾股定理计算的长，最后根据计算即可；当当点在线段上，时，根据已知条件证，得到，再根据勾股定理计算的长，最后根据计算即可． 【详解】（1）①：点正好落在对角线和的交点处，四边形为矩形， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为： ②：如下图，连接   四边形为矩形，点是的中点，点落在矩形内部，延长交边于点，， ，，,， ， ， ，即， ∵， ，， ，即 （2）情况一：如下图，当点在线段上，时．   四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，， ，，，，， 点、、三点共线，， 在和中， ， ， ， ， 情况二：如下图，当点在延长线上，时，此时点、、三点共线．     四边形为矩形，矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点，，， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， 综上所述，的长为或 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠问题，综合运用知识点、画出图象分析、分类讨论是解题的关键． 12．（22-23八年级下·河南三门峡·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做，，的角”为主题开展数学活动．      (1)操作判断 ①如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点A落在上的点处，把纸片展平，连接．请写出图1中一个的角________； ②如图2，在前面操作的基础上，延长与交于点，则的形状是________． (2)迁移探究 小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长与交于点，连接． 如图3，若改变点在上的位置（点不与点重合），判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当点是边的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①（写出一个即可）；②是等边三角形 (2)，详见解析 (3)的长为或 【分析】（1）根据折叠的特点便可得出答案； （2）利用正方形和折叠的特点，证明便可得出答案； （3）当点是边的三等分点时，一共有两种情况，运用三角形全等和勾股定理便可计算出结果． 【详解】（1）解：①由题意知， ∵，，， ∴． 取的中点N，连接．则．    ∴． 故为等边三角形． ∴， ∴， 又∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴， ∵， ∴， 故答案为：．（写出一个即可） ②是等边三角形，理由如下： 由①知，∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解： 理由：由折叠性质得，． 四边形是正方形， ． ． 又， ∴． ． （3）解：的长为或． 情况一：，如下图所示，      由， ∴， 设，则， 在中，， ，解得； 情况二：，如下图所示，      由， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 故有：，解得； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，掌握正方形和矩形的性质是解题的关键． 【一次函数】 13．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)①；②存在， 【分析】(1) 由直线分别令、求出、坐标；在中，利用和，由勾股定理求，从而确定坐标． (2) 沿翻折得到，则，．过作轴于点，在中用勾股定理求、，从而确定坐标． (3) ①由在轴上且，可证四边形为矩形，则对角线，要使最小只需最小，当时垂线段最短，由为等腰直角三角形得为中点，从而求坐标． ②由得，即射线平分，故在的平分线上．设平分线交轴于点，用等面积法求，再求直线解析式，令求坐标． 【详解】（1）解：令，，， ， 令，， ， 点在轴正半轴上，设（）， 在中，，， 设则， ∴， ， 解得， 解得， ． （2）解：沿翻折得到，点对应点， ，， ， 过点点作轴于点， 在中，，， ， ， 点在点左侧， 点的横坐标为， ． （3）①解：连， ，， 直线为轴， 于， 轴，即为水平线段， 在轴上，在轴上，为竖直线段， ，，， 四边形为矩形， ， 点在直线上， 要使最小，只需最小， 当时，最小， ，， 为等腰直角三角形， 当时，为中点， ， 与横坐标相同， ． ②解：存在满足条件的点， 当时，，为线段（从到）， ，， ， 点在射线上，， 射线平分，即点在的平分线上， 设的平分线交轴于点，过点作于点， 在的平分线上， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 代入和： ， 解得，， 直线的解析式为， 点在直线上，令， ， ． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 15．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段上的动点，点C是x轴上的动点，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，连接，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的解析式； (3)如图2，作轴于点M，以为边向右作正方形，边交直线于点Q．若，，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由题意可得：当时，，当时，，可得，． （2）如图，过作于，设，证明，可得，求解，再进一步求解即可． （3）情况①：点C在点M左侧，如图，设，在线段上，证明，可得，求解，进一步可得答案；情况②：点C在点M右侧，如图，同理可得： ，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，，当时，， ∴，． （2）解：如图，过作于，设， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴，， 设直线为：， ∴，解得：， ∴直线为． （3）解：如图，设，在线段上， ∴， 当点C在点M的左侧时，如图所示： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点C在点M右侧时，如图所示： 同理可得：，，， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，一次函数的应用，等腰三角形的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 16．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】【操作思考】；【感悟应用】；【拓展探究】存在，点的坐标为或 【分析】【操作思考】过点A作轴于，过点B作轴于，由点坐标可知，证明，得出，，即可得出点B的坐标； 【感悟应用】通过证明得出点坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； 【拓展探究】分别以F、E、D为等腰直角三角形的直角顶点，设，，利用感悟应用的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点． 由点坐标可知， 为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标为：； 【感悟应用】如图，过点作轴于点H． ∵点，点， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴，， 轴， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为 将和代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为：． 【拓展探究】存在； 由F是函数与轴的交点，可知， 点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点， 设，， 以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，， ∴， 解得： 故此时：； 以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意； 以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，，， 解得： 故： 不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形， 综上，点E的坐标为：或． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键． 17．（25-26八年级上·广东茂名·期末）【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或 【分析】（1）根据，过点作交于点，过点作交于点，得出，证明，即可证出． （2）①当时，则直线为直线，先求出，，则，过点E作于，如图所示：证明，得出，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为． ②根据当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，得出，过点作于，证明，得出，再根据，即可求解； （3）根据点C的位置分两种情况：①如图，过作轴交于点，过作轴于点，先求出点的坐标是，点的坐标是，得出，根据，得出，则，证明，则，求出，待定系数法求出直线的解析式为，再令，即可求出； ②如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，根据，得出，证出，证明，则，设，则，得出，根据点在直线的图象上，代入求解即可． 【详解】解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示：     ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、一次函数解析式求解、坐标与图形、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 【问题发现】（1）如图1，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点O，是“对称线”，若，，则四边形的面积是______． 【问题探究】（2）如图2，四边形是“对称四边形”．是“对称线”， ，P，Q分别为线段，上的动点．求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接，，点M是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时所在直线的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）60；（2）；（3）存在；；； 【分析】（1）由“对称线”的定义可知，再根据求解即可． （2）连接，，交于点，作，根据中垂线的性质，得到，，，进而得到，推出当三点共线时，，值最小，根据垂线段最短，得到当，即点与点重合时，的值最小，此时最小，进行求解即可； （3）过点E作轴于点H， 由线段垂直平分线的性质可得出，，，由可知当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为，进而可求出的面积的最小值，再求出点E的坐标，最后利用待定系数法求出所在直线的表达式即可． 【详解】解：（1）∵是“对称线”， ∴垂直平分线段， ∴， ∴ ； （2）连接，，交于点，作， ∵是“对称线”， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， ∴当三点共线时，，值最小， 又∵点为上的动点， ∴当，即点与点重合时，的值最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴的最小值为； (3)存在，理由∶过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”， ∴，，， ∴， ∴当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为， ∴的面积的最小值为， 此时， 设所在直线的表达式为：， 把代入：， 解得：， 故所在直线的表达式为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形综合，勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 19．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． (1)求点D的坐标； (2)点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； (3)若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 【答案】(1) (2)或或； (3)， 【分析】（1）求出，再得到，设，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）分三种情况进行解答即可； （3）设，根据的面积为3得，作点D关于直线的对称点，则，连接交直线于点，则，则，此时的周长最小，即为，求出直线的解析式为，即可得到，根据的面积即可求出答案． 【详解】（1）解： 当时，， 当时，，解得， ∴, ∴ ∵， ∴ 设， 则，则， ∴ 解得， ∴ （2）是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时，过点M作轴于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ②当，时，过点M作轴于点， 同理可得， 则 ∴， ∴， ③当，时，设， ∴ 解得， ∴， 综上可知，点M的坐标为或或； （3）是（2）中以为斜边的等腰直角三角形， ∴, 设， ∵的面积为3， ∴， 解得 作点D关于直线的对称点，则， 连接交直线于点，则， 则， 此时的周长最小，即为， 设直线的解析式为，把，代入得到， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ∴， 的面积 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、坐标与轴对称等知识，分类讨论是解题的关键． 20．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，连接，点为直线上一点且在点的右侧，线段在轴上移动且，点在点的左侧，当四边形的面积为时，求四边形周长最小值； (3)如图，将沿着射线方向平移个单位长度，点的对应点是，点的对应点是，点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，由四边形的面积的面积的面积，可求，作点关于轴的对称点，则，连接，过点作，连接，则四边形是平行四边形，当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，可求四边形周长最小值为； （3）根据平移可知沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度，则，，设，当时，点横坐标为，再由点的平移可求点的横坐标为；当时，点横坐标为，再由点的平移可求点横坐标为． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， 点为线段的中点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点， 设，则， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 解得， ， 作点关于轴的对称点，则， 连接，过点作，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小， ， 四边形周长最小值为， 四边形周长最小为； （3）解：存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，理由如下： 将沿着射线方向平移个单位长度， 沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度， ，， 设， 当时，， 解得， 点横坐标为， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点的横坐标为； 当时，， 解得， 点的横坐标为， 点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点横坐标为； 综上所述：点横坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，平移的性质，轴对称求最短距离，勾股定理，菱形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，平移的性质，轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键． 21．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3)延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①；②存在最小值，且最小值为；不存在最大值 (3) 【分析】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质，三角形三边关系等知识，有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由点D的横坐标及点D在直线上，可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①求出点B的坐标，则可得的长度；由题意得，，由此即可求得m的值； ②连接，则，分别求出的长，则由可求得的最小值，此时在延长线上；对于，由于点P不与点C重合，不存在最大值； （3）由点P在直线上，则有，代入中得，则直线过定点；求出当直线分别过点B与点Q时的m的取值，即可确定m的范围． 【详解】（1）解：∵直线与经过点直线相交于点D，且点D的横坐标为4， ∴， 即； 把C、D两点坐标代入中，得，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①在中，令，则， 即， ∴； ∵，面积等于面积的一半， ∴， 即， ∴； ②如图，连接，则； ∵， ∴； 对于，令，则， ∴， 由勾股定理得：； ∵， 即， ∴的最小值为，此时在延长线上； ∵，点P与点C重合时，取得最大值，如图， 由题意知，点P与点C不重合， ∴不存在最大值； （3）解：∵点P在直线上， ∴， 把上式代入中，得， 当时，， ∴直线始终过定点； ∵， ∴， 即； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点Q时，则， 解得：或（舍去）； ∴； 但点P在线段上，则， ∴m的范围为． 22．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于B、A两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)如图2，将线段沿x轴负方向平移得，当经过点D时，求点D的坐标及线段平移的距离； (3)如图3，直线与直线交于点M，平移线段，使得点B的对应点F落在上，点M的对应点N落在x轴上，点P为上一动点，取中点Q，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）设点D的坐标为：，则，，证明，得出，，求出，得出，，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，得出直线与x轴的交点坐标为，最后求出结果即可； （3）先求出点，再求出直线经过点，证明四边形为平行四边形，得出，在x轴上取点G，使，连接，作点N关于直线的对称点，连接，，，根据两点之间线段最短，得出当、P、H三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，设点E的坐标为，根据两点间距离公式，结合勾股定理得出，求出点E的坐标为，根据中点坐标公式得出点H的坐标为：，最后根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵线段绕着点C逆时针旋转得到， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴； （2）解：把代入得：， ∴点A的坐标为， ∴， 设点D的坐标为：，则，， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 根据平移可知：， ∴设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 直线与x轴的交点坐标为， ∴线段平移的距离为：． （3）解：把代入得：， 解得：， ∴点， ∵， ∴把代入得：， ∴直线经过点， 如图，连接， ∵平移线段，使得点B的对应点F落在上，点M的对应点N落在x轴上， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在x轴上取点G，使，连接，作点N关于直线的对称点，连接，，，如图所示： 则， ∵点Q为的中点，， ∴， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、P、H三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长度， 设点E的坐标为，根据轴对称可知：， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 整理得： 解得：或， ∴点E的坐标为， 根据中点坐标公式得：， ∴点H的坐标为：， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，中点坐标公式，求一次函数解析式，平移的性质，勾股定理，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级下册期末复习压轴题： 学霸必练 四边形+一次函数 【四边形】 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 2．（24-25八年级下·广东广州·期中）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 3．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）问题发现 (1)基本模型——十字架模型 如图1所示，在正方形内，点在边上，点在边上，、交于点，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点在边上（不与、重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点，连接，若，求证：． 4．（25-26八年级上·吉林白山·期末）已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接，，的两边分别交直线、于点E、F． (1)如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； (2)如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 5．（25-26九年级上·全国·期末）在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 6．（25-26九年级上·广西贺州·期末）已知矩形纸片，按要求解决下列问题． (1)如图1，把矩形纸片折叠，使得点落在上的点处，则______，______．（用图中的字母表示） (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在处，折痕交边于点，交边于点，连接．猜想四边形的形状并说明理由． (3)如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再将矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点．求证：． 7．（25-26八年级上·山东淄博·期末）【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 8．（24-25八年级下·贵州黔西南·期末）综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形                B．直角三角形                C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． (2)折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． (3)折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 9．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合运用 如图1，点E是矩形的边上一点，连接，把沿折叠得到，点在矩形的内部，延长交射线于点F，连接，已知． (1)当E是的中点时，求． (2)如图2，当时，与相交于点G，求的长； (3)如图3，当时，求的面积． 10．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在矩形中，，E为边上一点，将沿折叠得， (1)如图（1），若，点F在边上，求长度； (2)如图（2），若点F在矩形外部，，分别与于点P、T，且，，求长度； (3)如图（3），若，取中点K，作，当取最小值时，直接写出长度． 11．（22-23八年级下·福建厦门·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，．将矩形沿着过点的直线翻折，点的对应点为点．      (1)若直线与线段交于点． ①如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，则的度数是______； ②如图2，若点是的中点，点落在矩形内部时，延长交边于点．若，请探究，之间的数量关系，并说明理由； (2) 已知，，若直线与射线交于点，且是直角三角形时，求的长． 12．（22-23八年级下·河南三门峡·期末）综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做，，的角”为主题开展数学活动．      (1)操作判断 ①如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点A落在上的点处，把纸片展平，连接．请写出图1中一个的角________； ②如图2，在前面操作的基础上，延长与交于点，则的形状是________． (2)迁移探究 小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长与交于点，连接． 如图3，若改变点在上的位置（点不与点重合），判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当点是边的三等分点时，请直接写出的长． 【一次函数几何综合】 13．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，过点A作直线l，交y轴于点C，若，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图2，将沿着翻折得到，点O的对应点为点D，求点D的坐标； (3)如图3，点P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，交于点F，过点F作于点G，连接，当的长度最小时， ①求点E的坐标； ②线段上是否存在一点Q，使得．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段上的动点，点C是x轴上的动点，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，连接，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的解析式； (3)如图2，作轴于点M，以为边向右作正方形，边交直线于点Q．若，，求点P的坐标． 16．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（25-26八年级上·广东茂名·期末）【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3） 如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 18．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 【问题发现】（1）如图1，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点O，是“对称线”，若，，则四边形的面积是______． 【问题探究】（2）如图2，四边形是“对称四边形”．是“对称线”， ，P，Q分别为线段，上的动点．求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接，，点M是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时所在直线的表达式；若不存在，请说明理由． 19．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． (1)求点D的坐标； (2)点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； (3)若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 20．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，连接，点为直线上一点且在点的右侧，线段在轴上移动且，点在点的左侧，当四边形的面积为时，求四边形周长最小值； (3)如图，将沿着射线方向平移个单位长度，点的对应点是，点的对应点是，点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 21．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3) 延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 22．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于B、A两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)如图2，将线段沿x轴负方向平移得，当经过点D时，求点D的坐标及线段平移的距离； (3)如图3，直线与直线交于点M，平移线段，使得点B的对应点F落在上，点M的对应点N落在x轴上，点P为上一动点，取中点Q，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $