2025-2026学年人教版数学八年级下册期末复习压轴题：尖兵必做 一次函数应用题+几何综合

**基本信息** 聚焦一次函数应用与几何综合，以真题为载体，融合建系法、一线三直角等模型，系统构建“图像解读-模型应用-综合迁移”的解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数应用题|7题|图像信息提取、分段函数建模、行程问题分类讨论|从实际情境抽象函数关系，通过图像关键点坐标推导表达式，解决距离、利润等应用问题| |一次函数几何综合|15题|建系法转化几何关系、一线三直角模型构造、对称四边形性质应用|以坐标系为桥梁，将几何问题代数化，结合一次函数性质解决等腰直角三角形存在性、面积最值等综合问题|

2025—2026学年八年级下册期末复习压轴题： 一次函数应用题+几何综合 【一次函数应用题】 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数图象如图所示． (1)______，______． (2)求c的值． (3)当货车返回时，求y与x之间的函数关系式． (4)当两车相距时，直接写出巡逻车行驶的时间 2．（23-24八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 3．（22-23八年级下·吉林长春·期末）小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小聪骑共享单车，小明步行．当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：    (1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_________分钟，小聪返回学校的速度为_________千米/分钟． (2)求小聪从图书馆返回学校时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)若设两人在路上相距不超过千米时称为“可控距离”，则小聪和小明“可控距离”的时间共有______分钟． 4．（21-22八年级下·辽宁盘锦·期末）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间，一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后停留一段时间原路原速返回，如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图像，结合图像回答下列问题： (1)轿车在A地停留的时间为 　 　h，轿车行驶了 　 　h与货车第一次相遇； (2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式； (3)直接写出轿车出发经过多长时间与货车相距30km？ 5．（2017·黑龙江佳木斯·一模）快、慢两车分别从相距的佳市、哈市两地出发，匀速行驶，先相向而行，慢车在快车出发后出发，到达佳市后停止行驶；快车到达哈市后，立即按原路原速返回佳市（快车掉头的时间忽略不计）．快、慢两车距哈市的路程（单位：），（单位：）与快车出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出慢车的行驶速度和的值； (2)快车与慢车第一次相遇时，距离佳市的路程是多少千米？ (3)快车出发多少小时两车相距？请直接写出答案． 6．（21-22八年级上·辽宁沈阳·期末）一条笔直的公路顺次经过A，B，C三地，且B地与A，C两地的距离相等．甲、乙两车分别从A，C两地同时出发，匀速行驶．甲车到达B地停留1小时后以原速度继续前往C地，到达C地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回A地后停止运动；乙车从C地出发，经B地到达A地后停止运动，且甲车比乙车晚3小时到达A地．两车距A地的距离s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（函数表达式都不需要写出自变量t的取值范围） (1)求图象中线段PQ所在直线的函数表达式； (2)AC两地的距离为　 　km，AB两地的距离为　 　km； (3)请直接写出线段OD所在直线的函数表达式　 　，线段FG所在直线的函数表达式　 　； (4)甲车从A地出发，到返回A地的过程中，请直接写出甲车出发后经过　 　h，甲、乙两车相距140km． 7．（22-23八年级下·福建厦门·期末）为了进一步推进“乡村振兴”计划，提高农民收入．某村根据当地的地理条件，计划要在一座最大海拔高度为1000米的山上，选一处山坡，开垦150亩的农田，用于种植甲、乙两种农作物．为了提高种植农作物的经济效益，相关工作人员对这两种作物的市场销售情况及种植条件进行了如下调研： ①甲作物的价格随时节波动较大，工作人员从一年中随机抽取30天进行调查，并绘制了这30天销售价格（单位：万元/t）的频数分布直方图，如图1所示；乙种作物的市场销售价格基本保持在0.6万元/t． ②甲种作物的年平均产量（单位：t/亩）随种植高度（单位：m）变化的大致图象（图象由线段和线段组成），如图2所示． 乙种作物的年平均产量为2（单位：t/亩），种植高度（单位：m）对产量的影响忽略不计． ③由于建设灌溉系统、物质运输等会产生种植成本，工作人员在山坡上选取了部分有代表性的地点测算平均种植成本（单位：万元/亩），数据如表3： 表3 种植高度 （单位：m） 0 50 200 400 600 700 平均种植成本 （单位：万元/亩） 0.3 0.315 0.36 0.42 0.48 0.51 根据以上信息，解决下列问题： (1)当种植高度为600m时，求甲种作物的年平均产量； (2)若要求甲种作物的种植面积不少于乙种作物的2倍，为了使农民获得更高的利润，请你为该村规划种植方案，并说明理由． 【一次函数几何综合】 8．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）【阅读材料】建系法：我们通常可以通过构建平面直角坐标系，借助点坐标、函数等方法，把几何关系转化成代数关系解决数学问题． 【初步运用】如图1，将边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系： ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为___________，点坐标为； ③由点和点的坐标求出直线的表达式为___________． ④因为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为___________． 【迁移探究】如图3，长方形中，，点是边上的一点，交于点． （1）请用“建系法”求四边形的面积；（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）如图4，若过点的直线与轴、轴分别交于点，当面积最小时，求出直线的表达式； （3）在（2）的条件下，为线段上的一个动点，点在轴的负半轴上，若，则的大小是否发生变化，若不变，请求出度数，若变化，请说明理由． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段上的动点，点C是x轴上的动点，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，连接，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的解析式； (3)如图2，作轴于点M，以为边向右作正方形，边交直线于点Q．若，，求点P的坐标． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义：若一个四边形有一个内角为直角，且一条对角线平分一个内角，我们称这个四边形为“美好四边形”． (1)如图1，四边形为美好四边形，，平分，若，，则的度数为______； (2)如图2，四边形为长方形，请你用尺规在边上作出一点E，使得四边形为“美好四边形”； (3)如图3，已知四边形为“美好四边形”，平分，，连接，交于点E，过点D作于点F，若． ①求证：； ②试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (4)如图4，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C为y轴负半轴上一点，D为x轴正半轴上一点，若四边形为“美好四边形”，请直接写出满足条件的点C和对应的点D的坐标． 12．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴交于A点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两条直线相交于点，直线过点且平行于轴，点是直线上的一个动点． (1)求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)连接，当时，求点的坐标． 13．（25-26八年级上·广东茂名·期末）【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3） 如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 14．（25-26八年级上·江西抚州·期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ①点A坐标为_______；点B坐标为_______； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 【问题发现】（1）如图1，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点O，是“对称线”，若，，则四边形的面积是______． 【问题探究】（2）如图2，四边形是“对称四边形”．是“对称线”， ，P，Q分别为线段，上的动点．求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接，，点M是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时所在直线的表达式；若不存在，请说明理由． 16．（2025八年级上·重庆南岸·专题练习）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，，点P是直线上的一点． (1)求直线的解析式； (2)若动点P从点B出发沿射线方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； (3)若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点M的坐标． 17．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． (1)求点D的坐标； (2)点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； (3)若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 18．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，连接，点为直线上一点且在点的右侧，线段在轴上移动且，点在点的左侧，当四边形的面积为时，求四边形周长最小值； (3)如图，将沿着射线方向平移个单位长度，点的对应点是，点的对应点是，点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 19．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 20．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3) 延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 21．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，点D为的中点． (1)请求出点D的坐标； (2)在线段上取一点E，使得，连接、．求证：； (3)在（2）的条件下，直线交x轴于点F，点P为直线上的动点．设的值为W，试求出W的最小值． 22．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于B、A两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)如图2，将线段沿x轴负方向平移得，当经过点D时，求点D的坐标及线段平移的距离； (3)如图3，直线与直线交于点M，平移线段，使得点B的对应点F落在上，点M的对应点N落在x轴上，点P为上一动点，取中点Q，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级下册期末复习压轴题： 一次函数应用题+几何综合 【一次函数应用题】 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数图象如图所示． (1)______，______． (2)求c的值． (3)当货车返回时，求y与x之间的函数关系式． (4)当两车相距时，直接写出巡逻车行驶的时间 【答案】(1)1，60 (2) (3)货车返回时与之间的函数关系式为 (4)巡逻车行驶的时间为或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据货车装货花了15分钟即可求出a的值；根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离； （2）根据路程=速度×时间，先求出巡逻车的速度，在求出c即可； （3）利用待定系数法求解即可； （4）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， 故答案为： 1，60； （2）解：由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， ∴； （3）解：设货车返回中y与x的函数解析式为 将，代入，得 解得， ∴函数解析式为； （4）解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则， 解得， ∴； ∵， ∴货车卸货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则， 解得， ∴； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则， 解得， ∴； 综上所述，当巡逻车出发小时或小时或小时，两车相距15千米． 2．（23-24八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、行程问题等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图即可得到答案； （2）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，利用待定系数法将、代入解二元一次方程组即可得到答案； （3）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，数形结合，分四类讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知地与地之间的距离为， 故答案为：； （2）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，线段过、， 设线段对应的函数表达式为， 则，解得， 线段对应的函数表达式为； （3）解：地距离地， 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车的速度为， 当时，甲乙两公司运输车相距； 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车从地到地的时间是，则乙车在地休息的时间是， 在线段过程中，当离地的距离为时，两车相遇，此时， 在相遇前，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， 当，解得，即当时，甲乙两公司运输车相距； 在相遇后，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， ，解得，根据可知，此情况不存在； 设乙车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系式为， 将、代入可得，解得， ， 在时，当，解得，根据可知，此情况不存在； 综上所述，当或时，甲乙两公司运输车相距． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期末）小聪和小明沿同一条笔直的马路同时从学校出发到某图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是5千米，小聪骑共享单车，小明步行．当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程（千米）与所经过的时间（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：    (1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_________分钟，小聪返回学校的速度为_________千米/分钟． (2)求小聪从图书馆返回学校时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (3)若设两人在路上相距不超过千米时称为“可控距离”，则小聪和小明“可控距离”的时间共有______分钟． 【答案】(1)15；0.5 (2) (3)10 【分析】（1）由函数图象的数据可以求出小聪在图书馆查阅资料的时间为15分钟，由速度=路程÷时间，就可以得出小聪返回学校的速度； （2）利用待定系数法求出s与t的函数解析式即可； （3）分类讨论，当小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前,当小聪、小明在相遇之前及当小聪、小明在相遇之后，分别求出来即可． 【详解】（1）解：由题意，得： 小聪在图书馆查阅资料的时间为（分钟）； 小聪返回学校的速度为（千米/分钟）． 故答案为：15；0.5． （2）解：设，把，代入得： ， 解得：； ∴小聪从图书馆返回学校时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式为：； （3）解：设小聪从学校到图书馆时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式为：，把代入得： ， 解得：， ∴小聪从学校到图书馆时离学校的路程（千米）与（分钟）之间的函数表达式为：， 设小明运动的路程与时间之间的函数关系式为，把代入得： ， 解得：， ∴小明运动的路程与时间之间的函数关系式为； ∵， 解得：， ∴小聪、小明同时出发后，在小聪到达图书馆之前，时，两人相距不超过千米， 当小聪从图书馆刚开始返回时，小明与图书馆之间的距离为：（千米）， ∴当小聪从图书馆刚开始返回时，小聪和小明为“可控距离”， 当小聪、小明在相遇之后，两人相距千米时， ， 解得：， ∴小聪和小明“可控距离”的时间：（分钟） 综上可知，小聪和小明“可控距离”的总时间为（分钟）． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的关系的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 4．（21-22八年级下·辽宁盘锦·期末）已知A、B两地相距240km，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间，一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后停留一段时间原路原速返回，如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图像，结合图像回答下列问题： (1)轿车在A地停留的时间为 　 　h，轿车行驶了 　 　h与货车第一次相遇； (2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式； (3)直接写出轿车出发经过多长时间与货车相距30km？ 【答案】(1)1，1.6 (2) (3)1.4h或1.8h或 6.25h 【分析】（1）由图像可知轿车3~4时在B地停留1小时；先分别求出两车的速度，然后根据时间=路程÷总速度即可解答； （2）分0≤x<2；2≤x<4.5；4.5≤x<7三个时间段，分别利用待定系数法求出y与x的关系式即可解答； （3）分两车相遇前和相遇后以及到达终点前相距30km三种情况，分别列方程求出x的值即解答． 【详解】（1）解：由轿车图像的对称性可知：轿车3~4时在B地停留1小时； 由题意可得：轿车的行驶速度为：240÷3=80（千米/小时），货车的行驶速度为：（240-100）÷2=70（千米/小时） 所以第一次相遇的时间为：240÷（70+80）=1.6小时． 故答案为1、1.6． （2）解：由图像可知货车在2h~4.5h时装载货物停留2.5h， ①设 ∵图像过点和点 ∴ 解得：， ∴ ②∵货车在2.5h~4.5h时装载货物停留2h， ∴， ③设， ∵图像过点和点 ∴ 解得：， ∴， ∴． （3）解：①第一次相遇前相距30千米 设轿车在OE段的解析式为设 ∵图像过点和点 ∴解得：， ∴ 则有，解得x=1.4 ②第一次相遇后相距30千米 则有，解得x=1.8 ③在到达B地前相距30千米 设轿车在FG段的解析式为设 ∵图像过点和点 ∴解得：， ∴ 则有，解得x=6.25 答：轿车出发1.4h或1.8h或 6.25h与货车相距30km． 【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式的运用等知识点，认真分析函数图像、读懂函数图像表示的意义是解答本题的关键． 5．（2017·黑龙江佳木斯·一模）快、慢两车分别从相距的佳市、哈市两地出发，匀速行驶，先相向而行，慢车在快车出发后出发，到达佳市后停止行驶；快车到达哈市后，立即按原路原速返回佳市（快车掉头的时间忽略不计）．快、慢两车距哈市的路程（单位：），（单位：）与快车出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)直接写出慢车的行驶速度和的值； (2)快车与慢车第一次相遇时，距离佳市的路程是多少千米？ (3)快车出发多少小时两车相距？请直接写出答案． 【答案】(1)慢车的行驶速度为， (2)快车与慢车第一次相遇时，距离佳市的路程是 (3)快车出发或或，两车相距 【分析】（1）根据速度＝路程÷时间可求出慢车的速度，再根据路程＝速度×时间可求出a值； （2）根据路程=速度时间（时间分段），可得出AB、BC、DF段的函数解析式，当AB、DF段的函数解析式y值相等时，可求出快车与慢车第一次相遇时距离佳市的路程； （3）由当x＝1时AB段的y值大于100和当z＝6时DF段的y值小于100，可确定分1≤ェ≤3和3≤x≤6两种情况考虑，根据两车相距100km可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：慢车的速度为360÷（7﹣1）=60（km/h）， a=60×（5﹣1）=240． ∴慢车的速度为60km/h，a的值为240． （2）解：，， ∴点， 设．将点，代入， 得 解得 ， ∴（）， 设．将点，代入，得 解得 ， ∴（）． 联立 解得 ，． 答：快车与慢车第一次相遇时，距离佳市的路程是． （3）解：当x=1时，y=360﹣120x=240＞100， 当x=6时，y=60x﹣60=300，360﹣300=60＜100， ∴分1≤x≤3和3≤x≤6两种情况考虑． 当1≤x≤3时，有|360﹣120x﹣（60x﹣60）|=100， 解得：x1=，x2=； 当3≤x≤6时，有|60x﹣60﹣（120x﹣360）|=100， 解得：x3=，x4=（舍去）． 综上所述：快车出发、或小时后两车相距为100km． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解含绝对值符号的一元一次方程，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 6．（21-22八年级上·辽宁沈阳·期末）一条笔直的公路顺次经过A，B，C三地，且B地与A，C两地的距离相等．甲、乙两车分别从A，C两地同时出发，匀速行驶．甲车到达B地停留1小时后以原速度继续前往C地，到达C地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回A地后停止运动；乙车从C地出发，经B地到达A地后停止运动，且甲车比乙车晚3小时到达A地．两车距A地的距离s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：（函数表达式都不需要写出自变量t的取值范围） (1)求图象中线段PQ所在直线的函数表达式； (2)AC两地的距离为　 　km，AB两地的距离为　 　km； (3)请直接写出线段OD所在直线的函数表达式　 　，线段FG所在直线的函数表达式　 　； (4)甲车从A地出发，到返回A地的过程中，请直接写出甲车出发后经过　 　h，甲、乙两车相距140km． 【答案】(1)y＝−50x＋400 (2)400；200 (3)y＝80x；y＝−80x＋880 (4)2或或 【分析】（1）设直线PQ的表达式为：y＝kx＋b，把点P和点Q的坐标代入，求解即可； （2）由图象可直接得到； （3）先算出甲用的所有的时间，可算出甲的速度，即可得出OD和FG的表达式； （4）分四段讨论，①当甲到达B地前，②当甲从B地到C地，③当甲从C地返回，乙到达A地前，④当乙到达A地后，再进行计算． 【详解】（1）解：设直线PQ的表达式为：y＝kx＋b，则P（0，400），Q（8，0）， ∴ ，解得 ， ∴直线PQ的表达式为：y＝−50x＋400； （2）解：由图象可直接得出AC两地的距离为400km，AB两点间的距离为200km． 故答案为：400；200； （3）解：∵Q（8，0），乙比甲晚到3个小时， ∴G（11，0）， ∴甲从A到C，再从C到A共用11个小时，若不停留，则从A到C需要5个小时，则F（6，400），从A到B需要2．5个小时，则D（2．5，200）， 设直线OD的解析式为：y＝k′x，直线FG的解析式为y＝mx＋n， ∴2．5k′＝200， ， 解得k′＝80，m＝−80，n＝110， ∴直线OD的解析式为：y＝80x，直线FG的解析式为y＝−80x＋880， 故答案为：y＝80x；y＝−80x＋880； （4）解：由（3）知D（2．5，200），F（6，400） ∴E点坐标为（3．5，200） 设直线EF的解析式为y=mx+n，则 解得 ∴直线EF的解析式为y=80x-80 甲车从A地出发，到返回A地的过程中，有四种可能情况下甲、乙两车相距140km． ①当甲到达B地前，则 80x+140=-50x+400 解得x=2， ②当甲从B重新出发后，到达C地前，则 80x-80=-50x+140+140 解得x= ， ③当甲从C地返回，乙到达A地前，则 −80x＋880−（−50x＋400）＝140， 解得x＝＞8，舍去， ④当乙到达A地后，则 −80x＋880＝140，解得x＝． 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查函数图象的应用，解题的关键是理解每段图象的意义，特别是特殊点的意义． 7．（22-23八年级下·福建厦门·期末）为了进一步推进“乡村振兴”计划，提高农民收入．某村根据当地的地理条件，计划要在一座最大海拔高度为1000米的山上，选一处山坡，开垦150亩的农田，用于种植甲、乙两种农作物．为了提高种植农作物的经济效益，相关工作人员对这两种作物的市场销售情况及种植条件进行了如下调研： ①甲作物的价格随时节波动较大，工作人员从一年中随机抽取30天进行调查，并绘制了这30天销售价格（单位：万元/t）的频数分布直方图，如图1所示；乙种作物的市场销售价格基本保持在0.6万元/t． ②甲种作物的年平均产量（单位：t/亩）随种植高度（单位：m）变化的大致图象（图象由线段和线段组成），如图2所示． 乙种作物的年平均产量为2（单位：t/亩），种植高度（单位：m）对产量的影响忽略不计． ③由于建设灌溉系统、物质运输等会产生种植成本，工作人员在山坡上选取了部分有代表性的地点测算平均种植成本（单位：万元/亩），数据如表3： 表3 种植高度 （单位：m） 0 50 200 400 600 700 平均种植成本 （单位：万元/亩） 0.3 0.315 0.36 0.42 0.48 0.51 根据以上信息，解决下列问题： (1)当种植高度为600m时，求甲种作物的年平均产量； (2)若要求甲种作物的种植面积不少于乙种作物的2倍，为了使农民获得更高的利润，请你为该村规划种植方案，并说明理由． 【答案】(1)当种植高度为600m时，甲种作物的年平均产量为t/亩 (2)综上所述建议该村在海拔高度为600m处种植甲种作物100亩，乙种作物50亩时，农民可获得最高利润 【分析】（1）待定系数法求得的解析式，即可求解； （2）先求得甲种作物平均销售价格为（万元/t），待定系数法求得，关键一次函数的性质可得随的增大而增大，从而求得，设甲、乙两种作物的总利润为，乙种作物种植面积为亩，则甲种作物种植面积为亩，根据题意列式求得；即可求得，根据一次函数的性质可得随的增大而增大，当时，此时利润最大为，根据一次函数的性质可得随的增大而增大，结合的取值范围，即可求得利润最大值． 【详解】（1）解：设的解析式为， 将，代入得， 解得：， 所以的解析式为， 当时，； 答：当种植高度为600m时，甲种作物的年平均产量为t/亩． （2）解：甲种作物平均销售价格为：（万元/t）， 由表3数值可以估计，是的一次函数，设， 将，代入得， 解得：， 所以， 因为，所以随的增大而增大， 当时，甲种作物年平均产量下降，但甲、乙两种作物平均成本上升， 所以， 设甲、乙两种作物的总利润为，乙种作物种植面积为亩，则甲种作物种植面积为亩， 依题意可知且， 所以； 所以 整理得：， 因为， 所以， 所以随的增大而增大， 所以在一定高度上，当时，此时利润最大，即种植甲种作物100亩，乙种作物50亩， 因为， 又因为， 所以随的增大而增大， 因为， 所以当时，， 所以在甲种作物100亩，乙种作物50亩的基础上，种植高度时，利润有最大值． 答：综上所述建议该村在海拔高度为600m处种植甲种作物100亩，乙种作物50亩时，农民可获得最高利润． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【一次函数几何综合】 8.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）【阅读材料】建系法：我们通常可以通过构建平面直角坐标系，借助点坐标、函数等方法，把几何关系转化成代数关系解决数学问题． 【初步运用】如图1，将边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系： ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为___________，点坐标为； ③由点和点的坐标求出直线的表达式为___________． ④因为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为___________． 【迁移探究】如图3，长方形中，，点是边上的一点，交于点． （1）请用“建系法”求四边形的面积；（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）如图4，若过点的直线与轴、轴分别交于点，当面积最小时，求出直线的表达式； （3）在（2）的条件下，为线段上的一个动点，点在轴的负半轴上，若，则的大小是否发生变化，若不变，请求出度数，若变化，请说明理由． 【答案】初步运用：② ，③ ，④ 点的纵坐标为，⑤ ； 迁移探究：（1）； （2）； （3）的大小不变，． 【分析】初步运用：按照阅读材料解答即可； 迁移探究： （1）过点作于，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，运用待定系数法求得直线，的解析式，再联立方程组求解即可求得点的坐标，再利用，即可求得答案； （2）设直线解析式为，将点的坐标代入可得直线解析式为，进而得出点，的坐标，则，利用完全平方公式和非负数的性质求得的值，再利用待定系数法即可求得答案； （3）在上截取，连接，，，，可证得（），（），再结合等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】初步运用：①如图2，以直线为轴，直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系； ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为； ③设直线的表达式为，把，代入，得 ， 解得， 由点和点的坐标求出直线的表达式为． ④点的横坐标为，且点在直线上， ， 点的纵坐标为． ⑤点的横坐标为， ， 点坐标为， ，， ，，， ， 故答案为：②，③，⑤； 迁移探究： （1）如图，过点作于，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，，， 设直线的解析式为，则 ， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立得 ， 解得， ， ， ； （2）由（1）知， 设直线解析式为，则， 解得， ， 当时，， 当时，. ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ，当且仅当时为最小值， ，即， 直线的表达式为； （3），大小不变，理由如下： 如图，在上截取，连接，，，， 由（2）知，， 是等腰直角三角形， . ，， 在和中， ， （）， ，， ， ，即， ， ，即， 在和中， ， （）， ， 的大小不变，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题是解题关键． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P是线段上的动点，点C是x轴上的动点，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图1，连接，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的解析式； (3)如图2，作轴于点M，以为边向右作正方形，边交直线于点Q．若，，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由题意可得：当时，，当时，，可得，． （2）如图，过作于，设，证明，可得，求解，再进一步求解即可． （3）情况①：点C在点M左侧，如图，设，在线段上，证明，可得，求解，进一步可得答案；情况②：点C在点M右侧，如图，同理可得： ，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，，当时，， ∴，． （2）解：如图，过作于，设， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴，， 设直线为：， ∴，解得：， ∴直线为． （3）解：如图，设，在线段上， ∴， 当点C在点M的左侧时，如图所示： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点C在点M右侧时，如图所示： 同理可得：，，， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，一次函数的应用，等腰三角形的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 10．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】【操作思考】；【感悟应用】；【拓展探究】存在，点的坐标为或 【分析】【操作思考】过点A作轴于，过点B作轴于，由点坐标可知，证明，得出，，即可得出点B的坐标； 【感悟应用】通过证明得出点坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； 【拓展探究】分别以F、E、D为等腰直角三角形的直角顶点，设，，利用感悟应用的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点． 由点坐标可知， 为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标为：； 【感悟应用】如图，过点作轴于点H． ∵点，点， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴，， 轴， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为 将和代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为：． 【拓展探究】存在； 由F是函数与轴的交点，可知， 点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点， 设，， 以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，， ∴， 解得： 故此时：； 以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意； 以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，，， 解得： 故： 不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形， 综上，点E的坐标为：或． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期末）定义：若一个四边形有一个内角为直角，且一条对角线平分一个内角，我们称这个四边形为“美好四边形”． (1)如图1，四边形为美好四边形，，平分，若，，则的度数为______； (2)如图2，四边形为长方形，请你用尺规在边上作出一点E，使得四边形为“美好四边形”； (3)如图3，已知四边形为“美好四边形”，平分，，连接，交于点E，过点D作于点F，若． ①求证：； ②试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (4)如图4，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C为y轴负半轴上一点，D为x轴正半轴上一点，若四边形为“美好四边形”，请直接写出满足条件的点C和对应的点D的坐标． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①见解析；②，理由见解析； (4)，或，或，或，． 【分析】（1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质即可得出结果； （2）作的角平分线，交于点，则四边形为“美好四边形”； （3）由角平分线的定义可得，由等角的余角相等可得，再结合，即可得证；②过点作于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，从而可得，即可得证； （4）先求出，，再结合“美好四边形”的定义，分四种情况，并结合勾股定理计算即可得出结果 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图：作的角平分线，交于点， ， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵平分， ∴四边形为“美好四边形”； （3）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图，过点作于点， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 由①可得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵四边形为“美好四边形”， ∴①如图，当，平分时， ， 则， ∵， ∴点与点关于轴对称，即， 设，则， ∵，，且， ∴， 解得：， 此时，； ②如图，当，平分时 ， 由①可得：， 设，则，， ∵，且， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 此时，； ③如图，当，平分时， ， 则， ∵， ∴点与点关于轴对称，即， 设，则，， ∵，且， ∴， 解得：， 此时，； ④如图，当平分，时， ， 由③可得：， 设，则，， ∵，且， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，； 综上所述，满足条件的点C和对应的点D的坐标为，或，或，或，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定性质，勾股定理，一次函数与几何综合等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合和分类讨论的思想是解此题的关键． 12．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴交于A点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两条直线相交于点，直线过点且平行于轴，点是直线上的一个动点． (1)求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）先利用待定系数法求得直线，再联立求解即可； （2）先求得点，设点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）作的平分线交于点，根据题意求得，设交直线于点，证明，求得，再利用勾股定理求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，可求得点的坐标，再利用对称性即可求解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴，解得， ∴直线， 联立得， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：令，则， ∴点， 设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）解：作的平分线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设交直线于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在直线中， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 设，又， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 由对称性知点也符合题意， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程，一次函数的交点坐标，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算． 13．（25-26八年级上·广东茂名·期末）【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或 【分析】（1）根据，过点作交于点，过点作交于点，得出，证明，即可证出． （2）①当时，则直线为直线，先求出，，则，过点E作于，如图所示：证明，得出，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为． ②根据当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，得出，过点作于，证明，得出，再根据，即可求解； （3）根据点C的位置分两种情况：①如图，过作轴交于点，过作轴于点，先求出点的坐标是，点的坐标是，得出，根据，得出，则，证明，则，求出，待定系数法求出直线的解析式为，再令，即可求出； ②如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，根据，得出，证出，证明，则，设，则，得出，根据点在直线的图象上，代入求解即可． 【详解】解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示：     ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、一次函数解析式求解、坐标与图形、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 14．（25-26八年级上·江西抚州·期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， ①点A坐标为_______；点B坐标为_______； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，，则的最小值是_______； （2）如图2，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．将直线绕点B顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【模型拓展】（3）如图3，直线的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴交于点D．点，Q分别是直线l和直线上的动点，点C的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）①；；②4；（2）；（3）或 【分析】（1）①分别令和求解即可； ②过A作于，证明，得到，利用勾股定理求得，根据垂线段最短得的最小值是的长，进而可求解； （2）过点A作交直线l于C，过点C作轴于D，证明是等腰直角三角形，则，证明得到，，进而求得，然后利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：（1）①当时，，当时，由，解得， ∴点A坐标为，点B坐标为； ②过A作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，； ∵D是正比例函数图象上的动点， ∴根据垂线段最短，得的最小值是的长， 故的最小值是； （2）如图，过点A作交直线l于C，过点C作轴于D， 则， ， ， 直线绕点B逆时针旋转得到直线l， ， 是等腰直角三角形，则， 同（1）可证明：， ，， 一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点， 当时，， 当时，由得， ，， ，， ， ， 设直线l对应的函数表达式为， 将、代入， 得，解得， 直线l对应的函数表达式为； （3）点Q的坐标为或． 解：把代入直线得：， 把代入直线得：， 解得：， ∴，， ①当时，如图2，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ，， 点Q的坐标为； ②当时，如图3，过点P作轴于E，过点Q作，交延长线于F， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入得，， 解得， ，， 点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”． 【问题发现】（1）如图1，四边形是“对称四边形”，对角线，交于点O，是“对称线”，若，，则四边形的面积是______． 【问题探究】（2）如图2，四边形是“对称四边形”．是“对称线”， ，P，Q分别为线段，上的动点．求的最小值． 【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，过A作射线轴，交y轴于点P，E为射线上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段和x轴正半轴上的动点，连接，，点M是线段与的交点，并且四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”．请问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时所在直线的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）60；（2）；（3）存在；；； 【分析】（1）由“对称线”的定义可知，再根据求解即可． （2）连接，，交于点，作，根据中垂线的性质，得到，，，进而得到，推出当三点共线时，，值最小，根据垂线段最短，得到当，即点与点重合时，的值最小，此时最小，进行求解即可； （3）过点E作轴于点H， 由线段垂直平分线的性质可得出，，，由可知当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为，进而可求出的面积的最小值，再求出点E的坐标，最后利用待定系数法求出所在直线的表达式即可． 【详解】解：（1）∵是“对称线”， ∴垂直平分线段， ∴， ∴ ； （2）连接，，交于点，作， ∵是“对称线”， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， ∴当三点共线时，，值最小， 又∵点为上的动点， ∴当，即点与点重合时，的值最小，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴的最小值为； (3)存在，理由∶过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵四边形为“对称四边形”，其中是“对称线”， ∴，，， ∴， ∴当时，点H和点F重合，的值最小，最小值为， ∴的面积的最小值为， 此时， 设所在直线的表达式为：， 把代入：， 解得：， 故所在直线的表达式为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形综合，勾股定理等知识，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 16．（2025八年级上·重庆南岸·专题练习）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，，点P是直线上的一点． (1)求直线的解析式； (2)若动点P从点B出发沿射线方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； (3)若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）先求得点A坐标，进而求得点C、B坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）分点P在线段上和点P在射线上两种情况，可画出图形，利用或求解即可； （3）分、、三种情况，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，结合坐标与图形性质求解即可． 【详解】（1）解：令，由得，则，， ∵， ∴，则， ∵，， ∴，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①当点P在线段上时，过P作轴于H，如图，    ∵，，， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴； ②当点P在射线上时，如图，    同理可得，； 综上，S与t之间的函数关系式为； （3）解：将代入中得， ∴直线的表达式为， 设，，， ①当时，当点M在x轴上方，如图，    分别过Q、B作y轴的平行线，分别交过点M与x轴平行的直线于点G、H， 则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 则，， 解得，， ∴； 同理，当点M在x轴下方时，，， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，如图，    过Q作y轴的平行线，交过点M与x轴平行的直线于点H，交x轴于点G， 则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， 则，， 解得，， ∴； ③当时，如图，    同理证明， ∴，， 则，， 解得，， ∴； 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识，理解题意，添加辅助线构造全等，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 17．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C是直线与x轴、y轴的交点，D是x轴上一点，将矩形沿折叠，点O恰好落在上． (1)求点D的坐标； (2)点M在第一象限，若是等腰直角三角形，直接写出点M的坐标； (3)若是（2）中以为斜边的等腰直角三角形，点N在第一象限，的面积为3，求的周长最小时，点N的坐标和的面积． 【答案】(1) (2)或或； (3)， 【分析】（1）求出，再得到，设，根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）分三种情况进行解答即可； （3）设，根据的面积为3得，作点D关于直线的对称点，则，连接交直线于点，则，则，此时的周长最小，即为，求出直线的解析式为，即可得到，根据的面积即可求出答案． 【详解】（1）解： 当时，， 当时，，解得， ∴, ∴ ∵， ∴ 设， 则，则， ∴ 解得， ∴ （2）是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时，过点M作轴于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ②当，时，过点M作轴于点， 同理可得， 则 ∴， ∴， ③当，时，设， ∴ 解得， ∴， 综上可知，点M的坐标为或或； （3）是（2）中以为斜边的等腰直角三角形， ∴, 设， ∵的面积为3， ∴， 解得 作点D关于直线的对称点，则， 连接交直线于点，则， 则， 此时的周长最小，即为， 设直线的解析式为，把，代入得到， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， ∴， 的面积 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、坐标与轴对称等知识，分类讨论是解题的关键． 18．（24-25八年级下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，连接，点为直线上一点且在点的右侧，线段在轴上移动且，点在点的左侧，当四边形的面积为时，求四边形周长最小值； (3)如图，将沿着射线方向平移个单位长度，点的对应点是，点的对应点是，点为直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，由四边形的面积的面积的面积，可求，作点关于轴的对称点，则，连接，过点作，连接，则四边形是平行四边形，当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小，可求四边形周长最小值为； （3）根据平移可知沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度，则，，设，当时，点横坐标为，再由点的平移可求点的横坐标为；当时，点横坐标为，再由点的平移可求点横坐标为． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， 点为线段的中点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点， 设，则， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 解得， ， 作点关于轴的对称点，则， 连接，过点作，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，即四边形周长最小， ， 四边形周长最小值为， 四边形周长最小为； （3）解：存在点，使以、、、四点构成的四边形是以为边的菱形，理由如下： 将沿着射线方向平移个单位长度， 沿轴负半轴平移个单位长度，沿轴负半轴平移个单位长度， ，， 设， 当时，， 解得， 点横坐标为， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， 点的横坐标为； 当时，， 解得， 点的横坐标为， 点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点， 点横坐标为； 综上所述：点横坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，平移的性质，轴对称求最短距离，勾股定理，菱形的性质等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，平移的性质，轴对称求最短距离的方法，菱形的性质是解题的关键． 19．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 20．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的直线相交于点D．点D的横坐标为4，直线与x轴相交于点E．点是线段上一点（不含端点），连接． (1)求直线的函数表达式； (2)①若面积等于面积的一半，求m的值； ②点是点D关于直线对称点，连接．当点P在线段上运动时，是否存在最大值或最小值？若存在，请直接写出的最值；若不存在，请说明理由； (3)延长至Q，使，连接．若直线与的边有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①；②存在最小值，且最小值为；不存在最大值 (3) 【分析】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，对称的性质，三角形三边关系等知识，有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由点D的横坐标及点D在直线上，可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①求出点B的坐标，则可得的长度；由题意得，，由此即可求得m的值； ②连接，则，分别求出的长，则由可求得的最小值，此时在延长线上；对于，由于点P不与点C重合，不存在最大值； （3）由点P在直线上，则有，代入中得，则直线过定点；求出当直线分别过点B与点Q时的m的取值，即可确定m的范围． 【详解】（1）解：∵直线与经过点直线相交于点D，且点D的横坐标为4， ∴， 即； 把C、D两点坐标代入中，得，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①在中，令，则， 即， ∴； ∵，面积等于面积的一半， ∴， 即， ∴； ②如图，连接，则； ∵， ∴； 对于，令，则， ∴， 由勾股定理得：； ∵， 即， ∴的最小值为，此时在延长线上； ∵，点P与点C重合时，取得最大值，如图， 由题意知，点P与点C不重合， ∴不存在最大值； （3）解：∵点P在直线上， ∴， 把上式代入中，得， 当时，， ∴直线始终过定点； ∵， ∴， 即； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点B时，则， 解得：； 当直线过点Q时，则， 解得：或（舍去）； ∴； 但点P在线段上，则， ∴m的范围为． 21．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，点D为的中点． (1)请求出点D的坐标； (2)在线段上取一点E，使得，连接、．求证：； (3)在（2）的条件下，直线交x轴于点F，点P为直线上的动点．设的值为W，试求出W的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)32 【分析】（1）根据正方形的性质可得点B的坐标为，再利用中点的含义可得答案； （2）连接，在正方形中，，求解，，，再利用勾股定理的逆定理可得结论； （3）作点A关于的对称点N，连接、分别交于点H、P，由对称性可知，，，当N、P、F三点共线时，W取最小值，求解点H的坐标为，点N的坐标为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：在正方形中，轴，轴， 又， 点B的坐标为， 点D为的中点， 点D的坐标为； （2）证明：连接，在正方形中，， ，， ， ， 点D为的中点， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， 为直角三角形，且， 即． （3）解：作点A关于的对称点N，连接、分别交于点H、P， 由对称性可知，，， ，为的最小值， 即当N、P、F三点共线时，W取最小值， 由题意知，，，，， 设直线的解析式为， ， 解得，， 直线的解析式为， 当时， 点F的坐标为， 同理可得，直线的解析式为， ，， ∴ 设直线的解析式为 把代入得， 直线的解析式为 由 解得， 点H的坐标为， 又 ，， ，， 点N的坐标为， ， 的最小值为32． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理及其逆定理的应用，一次函数的几何应用，轴对称的性质，本题的难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 22．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于B、A两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上，过点D作轴于点E． (1)求证：； (2)如图2，将线段沿x轴负方向平移得，当经过点D时，求点D的坐标及线段平移的距离； (3)如图3，直线与直线交于点M，平移线段，使得点B的对应点F落在上，点M的对应点N落在x轴上，点P为上一动点，取中点Q，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）设点D的坐标为：，则，，证明，得出，，求出，得出，，求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，得出直线与x轴的交点坐标为，最后求出结果即可； （3）先求出点，再求出直线经过点，证明四边形为平行四边形，得出，在x轴上取点G，使，连接，作点N关于直线的对称点，连接，，，根据两点之间线段最短，得出当、P、H三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，设点E的坐标为，根据两点间距离公式，结合勾股定理得出，求出点E的坐标为，根据中点坐标公式得出点H的坐标为：，最后根据两点间距离公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵线段绕着点C逆时针旋转得到， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴； （2）解：把代入得：， ∴点A的坐标为， ∴， 设点D的坐标为：，则，， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 根据平移可知：， ∴设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 直线与x轴的交点坐标为， ∴线段平移的距离为：． （3）解：把代入得：， 解得：， ∴点， ∵， ∴把代入得：， ∴直线经过点， 如图，连接， ∵平移线段，使得点B的对应点F落在上，点M的对应点N落在x轴上， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在x轴上取点G，使，连接，作点N关于直线的对称点，连接，，，如图所示： 则， ∵点Q为的中点，， ∴， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、P、H三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长度， 设点E的坐标为，根据轴对称可知：， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 整理得： 解得：或， ∴点E的坐标为， 根据中点坐标公式得：， ∴点H的坐标为：， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，中点坐标公式，求一次函数解析式，平移的性质，勾股定理，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $