3.3圆的对称性（讲义，2知识6题型）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦“圆的对称性”核心知识点，系统梳理圆的轴对称性、中心对称性及旋转不变性，明确等弧定义，构建圆心角、弧、弦关系的“知一推二”定理与垂径定理的“知二推三”推论，形成从性质到应用的知识支架。 资料通过“即学即练”即时巩固，分题型设计典例与变式，涵盖实际应用如球形蒸馏瓶、筒车问题，培养几何直观与空间观念，提升推理能力与运算能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第三章 圆 3.3 圆的对称性 知识点一 圆的对称性与圆心角、弧、弦的关系 1. 轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 2. 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度，都能与原图形完全重合。 4. 等弧的定义：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧叫作等弧。 5. 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 6. 等价推论（知一推二）：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们多对应的其余各组两都分别相等。 7. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 即学即练 1．（2026·山东青岛·一模）如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 3．（2026·安徽阜阳·二模）内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； (2)在图2中的圆上找一点，使得平分． 知识点二 垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦以及弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。 2. 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. 万能结论（知二推三）：一条直线满足以下五个条件中任意两个，即可推出另外三个： ①经过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦（非直径） ④平分弦所对劣弧 ⑤平分弦所对优弧 4. 弦心距定义：圆心到弦的垂直距离。 即学即练 1．（2026·浙江杭州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 题型01 圆心角、弧、弦关系 / 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等（知一推二）。 典｜例｜精｜析 1．（2026·湖南娄底·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北·三模）下列事件中，随机事件是（     ） A．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块 D．在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾 2．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·江苏南京·一模）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型02 利用垂径定理求值 / 通用解题步骤： ①过圆心作已知弦的垂线（辅助线核心作法）； ②标注半径R、弦心距d、弦长，得关系式：； ③已知两个量，代入公式求第三个量。 典｜例｜精｜析 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南安阳·一模）如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 3．（2026·广东广州·二模）如图，为的直径，弦于，，，则的半径为________． 4．（2026·广东·一模）如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 题型03 利用垂径定理求角度 / （1）作圆心到弦的垂线，利用垂径定理得到线段、弧相等； （2）结合等腰三角形性质（圆的半径相等）、圆心角、圆周角定理转化角度； （3）利用直角三角形两锐角互余、对顶角、外角等角度关系计算。 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西榆林·三模）如图，内接于，点在上，且点为劣弧的中点，连接、．若，则的度数为______． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 题型04 垂径定理实际应用题 / （1）建模：将实际图形抽象为圆、弦、弦心距的几何模型； （2）标注已知数据，设定未知数； （3）过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理列方程； （4）解方程并结合实际意义作答（长度为正，舍去负根）。 典｜例｜精｜析 1．（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半．若截面圆中弦 ，求该烧瓶中液体的最大深度． 题型05 垂径定理与平行弦问题 / （1）圆中两条平行弦：两条平行弦所夹的弧相等； （2）同圆内两条平行弦，分在圆心同侧、在圆心异侧两种情况。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 题型06 同心圆的相关计算与证明题 / （1）计算类 ①常用辅助线：过圆心作大圆弦的垂线（同时也是小圆弦的垂线）； ②结合垂径定理，分别对大圆、小圆使用勾股定理； ③利用平方差公式化简，求解弦长、圆环宽度、线段长度等。 （2）证明类 ①证明线段相等：利用垂径定理，证明大圆弦被平分、小圆弦被平分，推导线段差相等； ②证明平行：结合圆心角、弧、弦关系，证明同位角/内错角相等； ③证明弧相等：由弦相等推导对应弧相等。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 2．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 3．（2026·广东清远·二模）综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆 3.3 圆的对称性 知识点一 圆的对称性与圆心角、弧、弦的关系 1. 轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 2. 中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 3. 旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度，都能与原图形完全重合。 4. 等弧的定义：在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧叫作等弧。 5. 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 6. 等价推论（知一推二）：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们多对应的其余各组两都分别相等。 7. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 即学即练 1．（2026·山东青岛·一模）如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，则，由得，则，由，得，即可由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴点O在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 3．（2026·安徽阜阳·二模）内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； (2)在图2中的圆上找一点，使得平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知； （2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点F即为所求： 知识点二 垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦以及弦所对的两条弧（优弧、劣弧）。 2. 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 3. 万能结论（知二推三）：一条直线满足以下五个条件中任意两个，即可推出另外三个： ①经过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦（非直径） ④平分弦所对劣弧 ⑤平分弦所对优弧 4. 弦心距定义：圆心到弦的垂直距离。 即学即练 1．（2026·浙江杭州·二模）化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∴， 由勾股定理得， ∴． 2．（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 3．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 题型01 圆心角、弧、弦关系 / 核心定理：在同圆或等圆中，相等的圆心 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等（知一推二）。 典｜例｜精｜析 1．（2026·湖南娄底·一模）如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过邻补角的性质得到的度数，再由圆心角定理即可求得结果． 【详解】在中，C，D是上的点，， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北·三模）下列事件中，随机事件是（     ） A．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块 D．在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾 【答案】B 【详解】解：选项A中，同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等是圆的既定性质，一定发生，是必然事件，不符合要求； 选项B中，任意画一个三角形，只有等腰三角形底边上的高线与中线重合，任意三角形不一定满足该条件，故事件可能发生也可能不发生，是随机事件，符合要求； 选项C中，两张扑克牌只有1张黑桃1张红桃，不存在方块，则一定抽不到方块，是不可能事件，不符合要求； 选项D中，标准大气压下，将水加热到并持续加热，水一定沸腾，事件一定发生，是必然事件，不符合要求． 2．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 3．（2026·江苏南京·一模）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， 是中线， 即， 又中，， ， 故过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合一定理证明过点． 题型02 利用垂径定理求值 / 通用解题步骤： ①过圆心作已知弦的垂线（辅助线核心作法）； ②标注半径R、弦心距d、弦长，得关系式：； ③已知两个量，代入公式求第三个量。 典｜例｜精｜析 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的直径，弦于点，， ∴． 2．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南安阳·一模）如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴则半径的长为． 2．（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 【答案】12 【分析】根据，，可求得的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：∵弦于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2026·广东广州·二模）如图，为的直径，弦于，，，则的半径为________． 【答案】 【分析】连接，设的半径为,根据勾股定理，垂径定理，圆的性质，解方程，求解即可； 【详解】解：连接，设的半径为, 为的直径，弦于，，， ，， ， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故的半径为 4．（2026·广东·一模）如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴． 题型03 利用垂径定理求角度 / （1）作圆心到弦的垂线，利用垂径定理得到线段、弧相等； （2）结合等腰三角形性质（圆的半径相等）、圆心角、圆周角定理转化角度； （3）利用直角三角形两锐角互余、对顶角、外角等角度关系计算。 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖南衡阳·二模）如图，点在上，点是中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，由点是中点，可得，进而可得，根据，即可得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西榆林·三模）如图，内接于，点在上，且点为劣弧的中点，连接、．若，则的度数为______． 【答案】40 【分析】根据圆周角的性质得到，由为劣弧的中点，得到，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为劣弧的中点， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知内接于，，E是弧的中点，连结，交于点D，射线交的延长线于点F． (1)如图1， ①求证：； ②若，，求的长； (2)若直线与直线交于点G，且，求的度数． 【答案】(1)①见解析② (2)或 【分析】（1）①由垂径定理知，，，则，，因为，所以，则题目可证； ②设与交于点，连接，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况同理解答：①点在线段上时，连接，设，则，利用线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可；②点在线段的延长线上时，连接，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， 是弧的中点， ， ， ， ， ， ； ②解：设与交于点，连接，如图， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ． （2）解：①点在线段上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②点在线段的延长线上时，连接，如图， ， ， 设， ， 是弧的中点， ，， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理及其推论，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，添加适当的辅助线构造等腰三角形与直角三角形是解题的关键． 题型04 垂径定理实际应用题 / （1）建模：将实际图形抽象为圆、弦、弦心距的几何模型； （2）标注已知数据，设定未知数； （3）过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理列方程； （4）解方程并结合实际意义作答（长度为正，舍去负根）。 典｜例｜精｜析 1．（2025·四川南充·一模）如图甲，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图乙，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为4米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦的距离为1米，则的半径长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为1米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北廊坊·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”．图2是月洞门的示意图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．已知，，则月洞门所在圆的半径为______． 【答案】 【分析】设月洞门所在圆的半径为，则，，由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设月洞门所在圆的半径为，则， ∴， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴月洞门所在圆的半径为． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半．若截面圆中弦 ，求该烧瓶中液体的最大深度． 【答案】该烧瓶中液体的最大深度为． 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理的应用．利用垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接． 根据题意，可得. 在Rt中，， ． 答：该烧瓶中液体的最大深度为. 题型05 垂径定理与平行弦问题 / （1）圆中两条平行弦：两条平行弦所夹的弧相等； （2）同圆内两条平行弦，分在圆心同侧、在圆心异侧两种情况。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东广州·期中）若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 题型06 同心圆的相关计算与证明题 / （1）计算类 ①常用辅助线：过圆心作大圆弦的垂线（同时也是小圆弦的垂线）； ②结合垂径定理，分别对大圆、小圆使用勾股定理； ③利用平方差公式化简，求解弦长、圆环宽度、线段长度等。 （2）证明类 ①证明线段相等：利用垂径定理，证明大圆弦被平分、小圆弦被平分，推导线段差相等； ②证明平行：结合圆心角、弧、弦关系，证明同位角/内错角相等； ③证明弧相等：由弦相等推导对应弧相等。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北石家庄·一模）如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 2．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 2．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（2026·广东清远·二模）综合与实践 某地的景观湖湖面成鱼型，如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索该景观湖的大小，如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D，C，E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】圆弧形水道外侧的半径为483米 【分析】根据垂径定理可知，，的长度，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设两同心圆的圆心为O，连接，，， ∵C为的中点，D为圆弧形道路内侧中点， ∴，， ∴O，E，C，D四点共线，（米）， 设米，则（米）． 在中，由， 得， 解得． ∴（米）． ∴圆弧形水道外侧的半径为483米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $