专题3.2 确定圆的条件【导图+知识卡片+知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦确定圆的条件这一核心知识点，系统梳理经过一点、两点、不在同一直线三点作圆的条件及个数，衔接作图法画圆（垂直平分线交点），进而讲解外接圆与外心概念性质、三角形外接圆作法及不同三角形外心位置，形成递进式学习支架。 资料以思维导图构建知识体系，9个题型讲练覆盖判断条件、尺规作图等，结合中考真题与分层训练。通过几何直观呈现外心位置，推理能力训练外心性质证明，模型意识应用坐标求外心，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生分层巩固查漏补缺。

专题3.2 确定圆的条件『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 确定圆的条件 2 知识点二 作图法画圆 3 知识点三 外接圆与外心的概念与性质 3 知识点四 三角形外接圆的作法 3 知识点五 不同三角形的外心位置 3 题型讲练 3 题型一 判断确定圆的条件 3 题型二 确定圆心(尺规作图） 5 题型三 求能确定的圆的个数 7 题型四 画圆(尺规作图) 8 题型五 三角形外接圆的概念辨析 10 题型六 求三角形外心坐标 11 题型七 求特殊三角形外接圆的半径 13 题型八 已知外心的位置判断三角形的形状 16 题型九 判断三角形外接圆的圆心位置 18 中考真题演练 20 难度分层训练 26 【基础夯实】 26 【培优拔高】 33 知识点一 确定圆的条件 条件 作圆的个数 图例 经过一个点作圆 无数个 经过两个点作圆 无数个 经过不在同一条直线上的三个点作圆 一个 知识点二 作图法画圆 如图，作AB和AC的垂直平分线OD和OF，证：点O在BC的垂直平分线上。 ∵OD垂直平分AB，OF垂直平分 ∴OA=OB，OA=OC ∴OB=OC ∴点O在BC的垂直平分线上 因此，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 知识点三 外接圆与外心的概念与性质 如上图，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心的性质： （1）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等； （2）三角形的外接圆有且只有一个，对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，且这些三角形的外心重合。 知识点四 三角形外接圆的作法 已知三角形ABC 作法：（1）分别作边AB、BC的垂直平分线l1，l2，两条线交于点O； （2）以O为圆心，OA为半径作圆，圆O就是所作的圆。 知识点五 不同三角形的外心位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 位置 外心在三角形的内部 外心在直角三角形斜边的中点 外心在三角形的外部 题型一 判断确定圆的条件 【典例精讲】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，三点能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线的解析式，然后点C不满足求得的直线即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴若点在直线上， 则有， ∴当点，，三点可以确定一个圆时，则n需要满足的条件为， 所以n取值范围是． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是确定圆的条件、待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据不在同一直线上的三个点确定一个圆解答． 【详解】解：设直线的解析式为： 则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上， ，， 三点可以确定一个圆时，， 故选：D． 题型二 确定圆心(尺规作图） 【典例精讲】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）考古·中国古代文明灿烂的星河，千百年来的历史尘封地下，身藏中华民族神秘辉煌的过去．如图是某考古现场发现的一个破损的盘子，若将盘子复原，已知弧上三点A，B，C． (1)尺规作图，作出该盘子的圆心O； (2)经测量是等腰三角形，底边，腰，在修复平台上点F处有一个钉子，已知，且经过圆心O，请判断这颗钉子是否影响圆盘的修复．（提示：点F在圆内或圆上则影响修复） 【答案】(1)见解析 (2)这颗钉子会影响圆盘的修复． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点D．连接．利用勾股定理求出，再利用勾股定理构建方程求解，再比较大小即可判断． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； ； （2）解：连接交于点D．连接．设圆O的半径为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得． ∴圆O的直径为， ∵， ∴这颗钉子会影响圆盘的修复． 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，是一条公路的转弯处的一段圆弧， (1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的中点到线段的距离为，，求所在圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)所在圆的半径是． 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用． （1）连结、，分别作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图圆心即为所作； （2）连接，，交于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到，，则，设的半径为r，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】（1）解：如图1， 点O为所求； （2）解：连接，，交于D，如图2， 为的中点， ， ， 设的半径为r，则， 在中，， ， 解得， 即所在圆的半径是． 题型三 求能确定的圆的个数 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 【答案】B 【分析】本题考查确定圆的条件，两圆的位置关系；圆心需同时满足到A和B的距离均为，即是以A和B为圆心、半径的两圆的交点，根据两圆位置关系，当圆心距，半径时，两圆相交，有两个交点，故可作两个圆． 【详解】解：∵圆经过A、B两点且半径为， ∴圆心O满足，， ∴O点是以A为圆心、为半径的圆和以B为圆心、为半径的圆的交点， 又∵，且两圆半径均为， ∴两圆圆心距，半径和，半径差， ∴两圆相交，有两个交点， ∴这样的圆可作两个． 故选：B． 题型四 画圆(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)用直尺和圆规作出的外接圆，保留作图痕迹． (2)以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画圆，画旋转图形． （1）作的垂直平分线，交的垂直平分线于，以为圆心，为半径作圆即可； （2）连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知，在直线的下方求作点N，使（要求尺规作图） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线，以及画已知角相等的角是解题的关键．作的垂直平分线，作，与关于对称，作的外接圆即可． 【详解】解：尺规作图如下： 依据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）， 可得：， 又因为， 所以， 所以， 即为所求． 题型五 三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】C 【分析】本题考查了等弧、等圆的定义以及三角形外心的性质，掌握圆的相关性质是解题关键．根据“等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合”；“等圆半径相等”；“三角形外心到顶点距离相等”逐项判断即可． 【详解】解：A、半径相等的两个半圆，所在圆是等圆，半圆弧长相等且能重合，原说法正确，不符合题意； B、圆面积相等则半径相等，故是等圆，原说法正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中能够完全重合，长度相等的两条弧不一定满足此条件，原说法错误，符合题意； D、三角形的外心是垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为20， ∴即， ∴， 故选：D． 题型六 求三角形外心坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【答案】(1) 如图所示，作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点． 故答案为： (2) 【分析】本题主要考查确定圆的条件、勾股定理的逆定理、平面直角坐标系： （1）作线段和线段的垂直平分线，两条直线的交点即为点； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）如图所示，连接． ∵，，， ∴． ∴． 【变式训练】（2025·吉林·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 【答案】如图，可画出如下图形： 【分析】本题考查了只用无刻度的直尺作符合条件的三角形，解题关键是弄清题意． 根据所给的三个条件画图即可． 【详解】解：所画出三角形显然都满足条形①，也满足条件③， 第1个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆心； 第2个图为直角三角形，G为斜边中点，点G就是其外接圆圆心； 第3个图的右边两边的垂直平分线过点G，点G就是其外接圆圆心； 第4个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆 心； 第5个图最短边的垂直平分线就是以这条边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线，G点所在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第6个图显然在最短边的垂直平分线上，也在较短边的垂直平分线上（以较短边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线就是较短边的垂直平分线），所马点G就是其外接圆圆 心； 第7个图点G在较短边的垂直平分线上，也在最短边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第8个图点G在最短边的垂直平分线上，也在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 所以以上8个图都符合要求，即为所求作的图形． 题型七 求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 题型八 已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】如图，在中，，，点D为直线上一点，点E为延长线上一点，且，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)点P是的外心，当点D在直线上运动，且点P恰好在内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长． 【答案】(1)见解析； (2)∠E的度数为70°或20°； (3)P的运动路径为 【分析】（1）根据边角边即可证明； （2）分两种情况点D在线段上时，点D在延长线上时，根据，即可求的度数； （3）先根据直角三角形外接圆的圆心是斜边中点，确定点的运动轨迹是线段的中垂线，再用勾股定理求出斜边的长度，最后计算出点运动路径的长度． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：若点在线段上时， ，， ， ， ， ， ， 若点D在延长线上时，如图2， ， ， 综上所述：的度数为70°或20°； （3）解：因为点是的外心， 所以点是外接圆的圆心， 在中，，根据勾股定理． 当点在直线上运动，且点恰好在内部或边上时，点运动的路径是斜边的中线（当与重合时，在中点；当与重合时，也在中点 ），根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）， 过点作垂直于点，即为点运动的路径， 点运动的路径长为． 【变式训练】如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________． 【答案】85°/85度 【分析】根据题意利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=35°，进而结合三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC， ∴∠OAC=35°，AO=CO， ∴∠OAC=∠OCA=35°， ∴∠AOC=110°， ∵△OCP为正三角形， ∴∠COP =60°， ∴∠AOP=∠AOC -∠COP =50°， ∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°． 故选：85°． 题型九 判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的外接圆圆心O． (2)在图2中作的外接圆圆心P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作中垂线与边交于点即为所求．可证明是直角三角形，由垂直平分线的性质可知，则，可证，则，所以，则即为所求； （2）根据方格作的垂直平分线，其交点即为点，根据垂直平分线的性质可证，所以即为所求． 【详解】（1）解：作中垂线与斜边交于点即为所求； 由勾股定理可知：， ， ∴是直角三角形， 作中垂线与斜边交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故点即为所求； （2）解：作垂直平分线的交点即为所求； ∵在的垂直平分线上， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故点即为所求． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知在平面自角坐标系中位置如图所示． (1)请仅用无刻度的直尺画出的外接圆的圆心P，并写出圆心P的坐标为 ； (2)画出绕点C按顺时针方向旋转后的，并写出的坐标为 ． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析， 【分析】本题考查图形与坐标、三角形外接圆、平面图形的旋转变换．属于基本题型，掌握基本概念是解题关键． （1）根据三角形外接圆圆心是三角形三条边中垂线的交点即可作图及得到的坐标； （2）根据旋转的性质可进行作图，再根据点的位置可得的坐标； 【详解】（1）解：所作的外接圆如图所示： 由图可知：点； （2）解：所作如图所示； ∴． 【真题演练1】（2025·浙江杭州·中考真题）如图，圆O的半径为R，正内接于圆O，将按逆时针方向旋转后得到，它的两边与AB相交于点D、E，则以下说法正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆内接正三角形和旋转的性质得到，，则，于是可得到；在△中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，，再利用“”可证明△△，则，所以；根据对顶角相等可得到；在△中利用勾股定理可得到，而，则，把代入得到． 【详解】解：连接，，，，如图， 是正角三角形，按逆时针方向旋转后得到△， △为等边三角形， ， 而点为△的内心， ， 又，， △是等腰直角三角形， ， ， ，所以①正确； ， 而， ， ，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ，所以②错误； ，所以③正确； 在△中，， ， ， 而， ， ，所以④错误． 故选：B． 【真题演练2】（2025·浙江宁波·中考真题）如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（    ） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质可求ON = 1，FO=OB= GO= OH = 2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH， 即可求解． 【详解】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60° ∴∠EOF= 120， ∵OE= OF， ON⊥EF， ∠OEF=∠OFE= 30° EN= FN=， OF= 2ON， FN =ON， ON= 1，FO= 2， OB=GO=OH=2， ∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动， ∴ OG = OH， OP⊥GH， ∴GH = 2PH， ∵PH= ∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大， ∴ GH的长度是先变大再变小， 故选： D． 【真题演练3】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆的圆心，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键．先求得的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点M坐标． 【详解】解： ，， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得，则． 故答案为：． 【真题演练4】（2025·江苏南京·中考真题）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【真题演练5】（2025·河北张家口·中考真题）如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点， (1)尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)的长为 【分析】本题考查作图—垂直平分线，垂径定理，勾股定理，作出正确的图象是解决本题的关键． （1）连接，以点A和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点E和点F，连接直线交的垂直平分线于点O，此时点O即为所求； （2）连接，根据垂直平分线的性质可得，进而可根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：如图，圆心即为所求， （2）解：连接，如图， 垂直平分，， ， ，， ， ， ， ， 解得， 的长为． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦长相等 D．三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】此题重点考查圆的有关概念及性质、垂径定理、三角形的外接圆与外心等知识，因为不在同一条直线上的三点确定一个圆，所以“三点确定一个圆”这一说法是错误的，可判断A不符合题意；如果一条直径平分的弦也是直径，那么这条直径不一定垂直于弦，可判断B不符合题意；相等的圆心角所对的弦长相等的前提是在同圆或等圆中，可判断C不符合题意；三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，可判断D符合题意，于是得到问题的答案，正确地理解和应用这些知识是解题的关键． 【详解】解：不在同一条直线上的三点确定一个圆， “三点确定一个圆”这一说法是错误的，故A不符合题意； 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， “平分弦的直径垂直于弦”这一说法是错误的，故B不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等， “相等的圆心角所对的弦相等”这一说法是错误的，故C不符合题意； 三角形的外心到三个顶点的距离相等， 三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故D符合题意， 故选：D． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知等腰内接于半径为5的，圆心到的距离为2，则这个等腰中底边上的高为_____． 【答案】3或7或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，解题的关键是利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理． 分三种情况讨论：①当是底，是锐角三角形时，②当是底，是钝角三角形时，③当是腰时，由勾股定理分别求出答案即可． 【详解】解：①当是底，是锐角三角形时，如图1， 连接交于点， ， ， ，， ， ②当是底，是钝角三角形时，如图2， 同理可得，． ③当是腰时，连接并延长到于，作于点， 在中，，， ， ， 设，在中，， 在中，， ， 解得， ． 故答案为：3或7或． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的外接圆的定义和勾股定理．圆形纸片完全盖住直角三角形时，最小直径应等于直角三角形的斜边长，据此进行求解即可． 【详解】解：直角三角形模具的两条直角边为和， 由勾股定理得，斜边长为． ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴圆形纸片的最小直径为． 故答案为：10． 6．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理和三角形的外接圆，利用韦达定理和代数式变形求出斜边长是解题关键． 直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半．两直角边是方程的两个根，利用根与系数的关系求出两直角边的和与积，再通过勾股定理求出斜边长度，进而得到半径． 【详解】解：设两直角边分别为 和 ，则根据根与系数的关系，有 ，． 由勾股定理可得，斜边 ． ∵， ∴ ， ∵直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半， ∴外接圆半径， 故答案为：5． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则能完全覆盖的最小圆的半径为______． 【答案】 【详解】解：以为直径的圆是能完全覆盖的最小圆 能完全覆盖的最小圆的半径为：， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，是由绕点A逆时针方向旋转得到的，其中点D与点B对应， 点E与点C对应． (1)请在图中画出； (2)经过A，C，D三点 确定一个圆．（填“能”或“不能”） 【答案】(1)作图见详解 (2)不能 【分析】本题考查了平面直角坐标系画旋转图形及三点确定一个圆的判定． （1）根据旋转的性质结合平面直角坐标系分别得出点D和点E的坐标，在图中标记出后依次连接即可； （2）结合三点确定一个圆的条件，当三点共线时无法确定一个圆，即可判断． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：判定三点确定一个圆的其中一个重要依据是三点不能共线， 由（1）可知，D，A，C三点共线， ∴经过A，C，D三点不能确定一个圆， 故答案为：不能． 9．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，．在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质． 作的垂直平分线交的延长线于点，以点为圆心，为半径作圆． 【详解】解：如图所示． 10．（25-26九年级上·河北张家口·期末）一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮． (1)用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹） (2)求车轮的半径是多少？ 【答案】(1)图见解析 (2)车轮的半径是 【分析】本题考查尺规作图找三角形的外心，垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． （1）连接和，分别作线段和的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O； （2）连接，，设车轮的半径为，则，由垂径定理可得，，在直角中，使用勾股定理构造方程，解出x的值． 【详解】（1）解：如图，点即为所求的圆心； （2）解：如图，连接，，设车轮的半径为， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴、、三点共线， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， 答：车轮的半径是． 【培优拔高】 1．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个等边三角形纸片将其完全覆盖，当此等边三角形面积最小时，则它的外接圆半径是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质可知，等边三角形纸片的一边与B点所在的正方形水平方向的边重合，且等边三角形纸片的左侧的边过A点，据此画出图形，再根据勾股定理，正三角形的性质以及其外接圆的性质，作答即可． 【详解】如图，面积最小的等边三角形为，则等边的外接圆的半径为为等边中线的，设小正方形的边长为x，    根据图形的对称性有：，，，，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵在等边中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴等边中线长为：， ∵等边的外接圆的半径为为等边中线长的， ∴外接圆半径是， 故选：B． 2．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据三角形全等的判定定理和性质可得：≅，，利用各角之间的数量关系可得：，作的外接圆，则点F在圆上运动，连接OB、OC，交劣弧于点F’，当点F与点F’重合时，CF的长度最小，由切线定理可得，，在中，利用三角函数的正切可得，再根据所对直角边是斜边的一半即可确定，即可求出CF的最小值． 【详解】解：在与中， ， ∴≅， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，则点F的运动轨迹为以O为圆心，OB为半径的圆，如图所示，连接OB、OC，交劣弧于点F’，当点F与点F’重合时，CF的长度最小， 由切线定理可得：BC与相切于点B, ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∴CF的最小值为， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　） A．34 B．12 C．6+3 D．6 【答案】A 【分析】如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形，再证明是等边三角形，再分别求解即可得到答案. 【详解】解：如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形， 是等边三角形， 故选： 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为____________________． 【答案】 【分析】延长交的延长线于，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，设，则，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而可得，在和中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，最后根据直角三角形的外接圆的性质求解即可得． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵，，是的中点， ∴，， ∴， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 又∵， ∴的外接圆半径为， 故答案为：． 5．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键． 连接，取的中点O，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案． 【详解】解：连接，取的中点O，连接， ∵N为的中点， 为的中位线， ∴， ∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动， 在矩形中，， 的取值范围为， 即， 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为6，点E，F分别在线段，上，且，，若点M，N分别在线段，上运动，P为线段上的点，在运动过程中，始终保持，则线段的最小值为_____________． 【答案】/ 【分析】先证C、E、P、F四点共圆，取的中点为O，以为直径作，连接，，根据三角形三边关系可知：，因为为定值，根据垂线段最短，得出当O、P、N三点共线，且时，最小，则最小，根据垂径定理和勾股定理求出长，最后根据线段间的和差关系求长，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵和为直角三角形， 取的中点为O， ∴， ∴C、E、P、F四点共圆， ∵， ∵为定值， ∴当最小，且O、P、N三点共线时，最小， 过O作于H，延长交于P’，交于，而， ∴， ∵，而， ∴ ， ∴， ∵，   ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 7．如图，在△ABC中，，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为___． 【答案】1 【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的 上运动，连接O'A交于E′，此时AE′的值最小． 【详解】解：如图，连接CE． ∵APBC， ∴∠PAC＝∠ACB＝60°， ∴∠CEP＝∠CAP＝60°， ∴∠BEC＝120°， ∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的上运动， 连接O'A交于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'． ∵∠BE'C＝120° ∴所对圆周角为60°， ∴∠BOC＝2×60°＝120°， ∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4， ∴O′B＝O′C＝4， ∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°， ∴∠ACO'＝90° ∴O'A＝， ∴AE′＝O'A−O'E′＝5−4＝1． 故答案为：1． 8．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）现有一居民小区的圆柱形自来水管破裂，要及时更换，为此施工人员需知道水管的半径．如图，是水平放置的受损的自来水管管道截面图．（阴影部分为水）． (1)请用直尺、圆规补全水管的圆形截面图；（不写作法，但应保留作图痕迹） (2)若水面宽，水面最深处为，试求水管的半径． 【答案】(1)作图见详解 (2)半径为 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用；解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，将实际问题转化为几何模型；易错点是准确作出辅助线，并正确表示出直角三角形中各边的长度关系． （1）通过作两条弦的垂直平分线找到圆心，从而补全圆形截面图； （2）设水管的半径为，根据垂径定理得到弦心距与半径、水深的关系，再利用勾股定理列方程求解半径． 【详解】（1）解：连接水面两端点，作线段的垂直平分线：以点为圆心，大于为半径画弧；再以点为圆心，大于为半径画弧，使两段弧在线段的上下两侧分别相交于、两点，连接，所在的直线是线段的垂直平分线，与水底（阴影部分）的交点为点，连接； 作线段的垂直平分线，以点为圆心，大于为半径画弧；再以点为圆心，大于为半径画弧，使两段弧在线段的上下两侧分别相交于、两点，连接， 两条垂直平分线的交点即为圆心O． （2）解：由题意得， ∵垂直平分线段 ∴ 在中，设半径， 则 故水管的半径为． 9．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，已知线段 (1)作使得线段为的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等 (3)在（2）中，若，的半径为5，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了复杂作图，线段垂直平分线的性质及垂径定理的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （1）根据弦的垂直平分线经过圆心，先作出两条弦的中垂线，其交点即为圆心； （2）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，即可得出点； （3）根据垂径定理，分两种情况计算点到线段的距离，即可求的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点，即为所求； （3）如图所示，连接、、、、，设交于点， 则， ，， ， 在中，， ， ，， 故的面积为或． 10．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，的三个顶点在同一个圆上，，，分别为，的中点．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图1中作圆心． (2)在图2中作弦左上方的弧的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了特殊三角形的外心，垂径定理，中位线的性质，弧与圆周角的关系； （1）连接，交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （2）作直线交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图， 根据作图可得为的重心，则为的中点， 又， ∴点即为圆心； （2）解：如图所示， ∵分别为，的中点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴点即为所求． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题3.2 确定圆的条件『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+9个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共43题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 确定圆的条件 2 知识点二 作图法画圆 3 知识点三 外接圆与外心的概念与性质 3 知识点四 三角形外接圆的作法 3 知识点五 不同三角形的外心位置 3 知识梳理 3 题型一 判断确定圆的条件 3 题型二 确定圆心(尺规作图） 4 题型三 求能确定的圆的个数 5 题型四 画圆(尺规作图) 5 题型五 三角形外接圆的概念辨析 6 题型六 求三角形外心坐标 6 题型七 求特殊三角形外接圆的半径 7 题型八 已知外心的位置判断三角形的形状 8 题型九 判断三角形外接圆的圆心位置 9 中考真题演练 10 难度分层训练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 14 知识点一 确定圆的条件 条件 作圆的个数 图例 经过一个点作圆 无数个 经过两个点作圆 无数个 经过不在同一条直线上的三个点作圆 一个 知识点二 作图法画圆 如图，作AB和AC的垂直平分线OD和OF，证：点O在BC的垂直平分线上。 ∵OD垂直平分AB，OF垂直平分 ∴OA=OB，OA=OC ∴OB=OC ∴点O在BC的垂直平分线上 因此，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 知识点三 外接圆与外心的概念与性质 如上图，三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心的性质： （1）外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等； （2）三角形的外接圆有且只有一个，对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，且这些三角形的外心重合。 知识点四 三角形外接圆的作法 已知三角形ABC 作法：（1）分别作边AB、BC的垂直平分线l1，l2，两条线交于点O； （2）以O为圆心，OA为半径作圆，圆O就是所作的圆。 知识点五 不同三角形的外心位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 位置 外心在三角形的内部 外心在直角三角形斜边的中点 外心在三角形的外部 题型一 判断确定圆的条件 【典例精讲】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，若，，三点可以确定一个圆，则n的取值范围是(   ) A． B． C． D． 题型二 确定圆心(尺规作图） 【典例精讲】（25-26九年级上·河北廊坊·期中）考古·中国古代文明灿烂的星河，千百年来的历史尘封地下，身藏中华民族神秘辉煌的过去．如图是某考古现场发现的一个破损的盘子，若将盘子复原，已知弧上三点A，B，C． (1)尺规作图，作出该盘子的圆心O； (2)经测量是等腰三角形，底边，腰，在修复平台上点F处有一个钉子，已知，且经过圆心O，请判断这颗钉子是否影响圆盘的修复．（提示：点F在圆内或圆上则影响修复） 【变式训练】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，是一条公路的转弯处的一段圆弧， (1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的中点到线段的距离为，，求所在圆的半径． 题型三 求能确定的圆的个数 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·北京·课后作业）已知线段，经过A，B两点作半径为的圆，这样的圆（　　） A．可作一个 B．可作两个 C．可作无数个 D．不能作出 题型四 画圆(尺规作图) 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)用直尺和圆规作出的外接圆，保留作图痕迹． (2)以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知，在直线的下方求作点N，使（要求尺规作图） 题型五 三角形外接圆的概念辨析 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）下列说法错误的是（   ） A．半径相等的两个半圆是等弧 B．面积相等的两个圆是等圆 C．长度相等的两条弧一定是等弧 D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【变式训练】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 题型六 求三角形外心坐标 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，， ，解答下列问题： (1)请在图中确定该圆弧所在圆心点的位置，则点坐标为_______． (2)连结，，求出的度数． 【变式训练】（2025·吉林·二模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 题型七 求特殊三角形外接圆的半径 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 题型八 已知外心的位置判断三角形的形状 【典例精讲】如图，在中，，，点D为直线上一点，点E为延长线上一点，且，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)点P是的外心，当点D在直线上运动，且点P恰好在内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长． 【变式训练】如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________． 题型九 判断三角形外接圆的圆心位置 【典例精讲】（25-26九年级上·江西新余·阶段检测）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的外接圆圆心O． (2)在图2中作的外接圆圆心P． 【变式训练】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知在平面自角坐标系中位置如图所示． (1)请仅用无刻度的直尺画出的外接圆的圆心P，并写出圆心P的坐标为 ； (2)画出绕点C按顺时针方向旋转后的，并写出的坐标为 ． 【真题演练1】（2025·浙江杭州·中考真题）如图，圆O的半径为R，正内接于圆O，将按逆时针方向旋转后得到，它的两边与AB相交于点D、E，则以下说法正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【真题演练2】（2025·浙江宁波·中考真题）如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（    ） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【真题演练3】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，直角坐标系中，经过三点的圆，圆心为，则点的坐标为___________． 【真题演练4】（2025·江苏南京·中考真题）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【真题演练5】（2025·河北张家口·中考真题）如图，一个残缺圆形工件，小明在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点， (1)尺规作图：作出该残缺圆形工件的圆心； (2)若，，求的长． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弦长相等 D．三角形的外心是三条边垂直平分线的交点 3．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）已知等腰内接于半径为5的，圆心到的距离为2，则这个等腰中底边上的高为_____． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知直角三角形模具的两条直角边为和，若用一个圆形纸片完全盖住这个直角三角形，则这个圆形纸片的最小直径为___________． 6．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是________． 7．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则能完全覆盖的最小圆的半径为______． 8．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，是由绕点A逆时针方向旋转得到的，其中点D与点B对应， 点E与点C对应． (1)请在图中画出； (2)经过A，C，D三点 确定一个圆．（填“能”或“不能”） 9．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，．在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 10．（25-26九年级上·河北张家口·期末）一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮． (1)用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹） (2)求车轮的半径是多少？ 【培优拔高】 1．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个等边三角形纸片将其完全覆盖，当此等边三角形面积最小时，则它的外接圆半径是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是（　　） A．3 B．2 C．4 D．3 3．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　） A．34 B．12 C．6+3 D．6 4．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，菱形中，，于点E，F为的中点，连接．若，则的外接圆半径为____________________． 5．在矩形中，，，且满足，点M是平面内一点，且满足N为的中点，点M运动过程中线段长度的取值范围是________． 6．如图，正方形的边长为6，点E，F分别在线段，上，且，，若点M，N分别在线段，上运动，P为线段上的点，在运动过程中，始终保持，则线段的最小值为_____________． 7．如图，在△ABC中，，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为___． 8．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）现有一居民小区的圆柱形自来水管破裂，要及时更换，为此施工人员需知道水管的半径．如图，是水平放置的受损的自来水管管道截面图．（阴影部分为水）． (1)请用直尺、圆规补全水管的圆形截面图；（不写作法，但应保留作图痕迹） (2)若水面宽，水面最深处为，试求水管的半径． 9．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，已知线段 (1)作使得线段为的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等 (3)在（2）中，若，的半径为5，求的面积． 10．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，的三个顶点在同一个圆上，，，分别为，的中点．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图1中作圆心． (2)在图2中作弦左上方的弧的中点． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $