专题 期末常考压轴题八类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题01 期末常考压轴题八类题型 典例详解 类型一、相交线与平行线 类型二、几何分类讨论问题 类型三、规律探究问题 类型四、实际应用问题 类型五、新场景问题 类型六、几何综合题 类型七、新定义问题 类型八、探究性问题 压轴专练 类型一、相交线与平行线 【典例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的有（    ） ①无理数包括正无理数、零和负无理数    ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直    ④和为的两个角互为邻补角 ⑤平行于同一直线的两条直线平行    ⑥对顶角相等 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-1】（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）如图，下列条件，不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·湖北武汉·二模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图是单位长度为1的正方形网格，点，，，四个点都在格点上，请在网格内按要求完成作图． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线，与直线交于点． 【变式1-4】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一条街道的两个拐角与均为，街道与平行吗？为什么？ 【变式1-5】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，，，，为的平分线． (1)请问与平行吗？试说明理由； (2)请问与平行吗？试说明理由； 【变式1-6】（25-26七年级下·天津·期中）填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：∵平分，平分（已知）， ∴ ， （ ）． 又∵（已知）， ∴ ． 又∵（已知）， ∴ ， ∴（ ）． 类型二、几何分类讨论问题 【典例2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·内蒙古乌海·期中）如图，一副三角板中两个直角顶点叠放在一起，其中，保持三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线，与在直线异侧．若，，射线分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间t的值为多少时，与平行．（   ） A．4秒或10秒 B．4秒或50秒 C．40秒或50秒 D．4秒或40秒 【变式2-3】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，，平分，，点G是直线上一点，，则的值为____． 【变式2-4】（25-26七年级下·北京朝阳·阶段检测）如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得．    (1)当时， ； (2)当时，求； (3)过点M作，垂足为M，交直线于点K，直接写出的角度 【变式2-5】（25-26七年级下·陕西安康·期中）直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 类型三、规律探究问题 【典例3】（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）探究发现： 小明计算下面几个题目：①，②，③，④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明写出发现的规律：__________； （2）面积说明： 上面的规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积证明乘法公式，于是画出如下图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号内的代数式； （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【变式3-4】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【变式3-5】（2026·安徽黄山·一模）项目式学习探究任务：“整式的规律密码”． 在一次数学项目式学习活动中，某探究小组接到任务：“发现并推导()与长多项式相乘的通用规律”．小组决定遵循“从特殊到一般”的探究思路，展开如下研究，请你协助完成． 任务一：特例入手，归纳特征 (1)请计算以下三组特殊式子，观察结果特征，寻找规律： ① ； ② ； ③ ． 任务二：猜想规律，建立模型 (2)结合上述计算结果，大胆猜想： ． 任务三：模型应用，解决实际问题 (3)请利用任务二得出的规律，计算求值：． 【变式3-6】（18-19七年级下·广东佛山·阶段检测）观察下列各式 ； ； ； ．．． (1)根据以上规律，则：___________； (2)请归纳出一般规律：___________； (3)请根据你归纳出来的规律求的结果． 【变式3-7】（2026·安徽阜阳·三模）某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式： 第1组：； 第2组： 第3组：； …… (1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________； (2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明． 【变式3-8】（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 类型四、实际应用问题 【典例4】（2026·广东深圳·三模）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·山西运城·二模）在临汾市某现代农业示范区，为高效完成春季“一喷三防”作业，农业服务队调用了A，B两种型号的北斗导航植保无人机．已知这两款无人机的药箱容量不同，作业效率也存在差异．2架A型无人机和3架B型无人机同时作业1小时，可完成165公顷小麦的喷洒任务；3架A型无人机同时作业1小时的喷洒面积，比2架B型无人机同时作业1小时的喷洒面积多20公顷．问1架A型无人机和1架B型无人机每小时各能完成多少公顷小麦的喷洒任务？ 【变式4-2】（2026·湖南长沙·二模）“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【变式4-3】（2026·河南驻马店·三模）2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示，某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了1640能量和蛋白质． 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 1份A款高钙牛奶 715 1份B款豆谷营养包 210 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了63g脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【变式4-4】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 【变式4-5】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在呼和浩特某超市购买盒豆沙月饼和购买盒水果月饼花费的金额相同，购买盒豆沙月饼和盒水果月饼共花费元． (1)求豆沙月饼和水果月饼的单价分别是多少元？ (2)小明购买豆沙月饼和水果月饼两种都购买共花费元，请找出能够使小明购买的月饼盒数最多的方案． 【变式4-6】（2026·重庆·二模）列方程解下列问题： 重庆坐拥“世界摩托之都”美誉，一年一度的重庆国际摩博会享誉海内外，本土摩托品牌赛场夺冠、远销海内外，尽显重庆制造实力．某本土摩托制造企业生产通勤代步摩托与赛道竞速摩托两类车型，已知该厂每日生产竞速摩托数量比通勤摩托多台，天生产通勤摩托的总产量与天生产竞速摩托的总产量相等． (1)求该厂每天生产通勤摩托、竞速摩托各多少台； (2)该厂紧跟产业升级浪潮，工厂完成智能生产线改造，升级后每日只生产一种车型，日产能大幅提升．升级后每日竞速摩托增产数量是通勤摩托增产数量的倍．现生产台通勤摩托、台竞速摩托总共用时天，求每日通勤摩托的增产数量． 【变式4-7】（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【变式4-8】（2026·辽宁本溪·二模）某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 类型五、新场景问题 【典例5】（2026·江西上饶·模拟预测）【调查问题】某校针对“学习工具对中学生学习的影响”开展调查，收集了以下数据： 数据1：使用频率分布 频率 比例 每天使用 每周使用 偶尔使用 数据2：主要用途分布 功能 比例 A 作业辅助 B 知识点查询 C 考试复习 D 兴趣拓展 数据3：家长与教师态度对比 态度 家长比例 教师比例 E 支持 F 中立 G 反对 【数据整理】 (1)根据数据1，若全校有800名学生，估算每天使用学习工具的学生人数； (2)根据数据2，求出扇形统计图中各部分的圆心角度数； 【数据分析】 (3)根据数据3，比较家长和教师对学习工具的态度差异，并用双条形图表示； 【综合应用】 (4)结合数据2和数据3，你认为学习工具的主要优势和潜在问题是什么？各写一条． 【变式5-1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了了解九年级学生寒假每周的锻炼情况，某校随机抽取九年级名女生和部分男生，对他们一周锻炼的时间进行了调查，四舍五入处理后制作了不完整（部分数据被覆盖）的统计表和统计图．已知一周锻炼2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，一周锻炼4小时的男生和女生人数相等．请根据信息，解答下列问题： 女生一周锻炼时间频数分布表 分组（四舍五入后） 频数（学生人数） 频率 1小时 2 2小时 a 3小时 4 4小时 b (1)求出统计表中a，b的值以及随机抽取学生的总人数； (2)求随机抽取的男生一周平均锻炼时间为多少小时？ (3)为了激励学生加强锻炼，学校决定对全年级一周锻炼时间（四舍五入后）达到3小时及3小时以上的学生进行表彰，每人一份奖品，全年级共有名学生，请问学校应准备大约多少份奖品？ 【变式5-2】（24-25七年级上·广东深圳·期末）手工课上，同学们需要将相同大小的正方形硬纸板制成无盖的长方体形收纳盒．小明和小红分别提出了不同的设计方案． 【小明方案】将一张正方形硬纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），就可以折成一个型无盖的长方体形收纳盒（简称型收纳盒，如图）；    【小红方案】将若干张正方形的硬纸板进行裁剪，张纸板可以裁成个大小相同的小正方形或个大小相同的小长方形（如图），再用这些材料拼接成型无．盖．的长方体形收纳盒纸盒（简称型收纳盒，如图）（要求：所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能剪成一种形状；剪下的所有材料刚好用完，没有剩余；拼接时不考虑材料之间的缝隙）    (1)在小明方案中，若正方形硬纸板边长为厘米，剪去的小正方形的边长为厘米，则型收纳盒的体积 （结果用含有的代数式表示） 小明发现型收纳盒体积会随的改变而改变，请你补全下面的表格，并在图表上画出折线统计图． （厘米） （立方厘米）   观察图表，根据的变化规律，猜想纸盒取最大体积时，的值可能在 ． ．厘米至厘米之间；．厘米至厘米之间；．厘米至厘米之间 (2)在小红方案中，用这些正方形硬纸板制作了型收纳盒个，填空： 需要小正方形数量 个，需要小长方形数量 个；（结果用含有的代数式表示） 制作小正方形纸张的正方形硬纸板数量需 张，制作小长方形纸张的正方形纸张硬纸板数量需 张．（结果用含有的代数式表示） (3)若用张正方形硬纸板制作两种收纳盒，要求型收纳盒的数量是型收纳盒数量的倍，且制作型收纳盒剩余材料不能作为型收纳盒的材料，求型收纳盒的数量． 【变式5-3】（21-22六年级下·山东淄博·期末）新冠无情，人间有爱，线上教学，云端战“疫”﹒疫情期间，某中学积极组织开展线上教学，复学后，该校为了解学生线上和线下不同阶段的学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后对线下教学质量测评．根据第一次测评的数学成绩制成频数分布直方图（图1）． 复学一个月后，根据第二次测评的数学成绩得到如下统计表： 成绩 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题： (1)______； (2)请在图2中作出两次测评的数学成绩折线统计图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； (3)请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 【变式5-4】（21-22七年级下·河南开封·期末）某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出） 组别 身高范围（单位：厘米） 划记 频数 频率 A 3 6.03 B 正 8 7.08 C a 8.15 D 正正正正正 28 9.28 E 正正正正正一 26 10.26 F 正正 14 11.14 G 正一 6 12.06 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是___________． (2)___________，___________． (3)请补全频数分布直方图 (4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数． 类型六、几何综合题 【典例6】（25-26七年级下·福建三明·期中）问题情境： 某农业科技园设计了一款智能温室，其屋顶结构由一块可调节的遮光板构成．已知，，．为了均匀采光，设计师在屋顶上安装了一条平行于的可移动轨道，并在轨道上设置一个可移动的光传感器．初始时，传感器满足，其中是上的一个固定支架点（如图1）． 知识初探： (1)设计师测量了初始状态下传感器与遮光板的夹角的度数，请你直接写出__________； 深入探究： (2)在实际运行中，轨道会沿的方向平移（即线段沿射线方向平移），平移后的传感器的位置记为，点的位置记为，为固定传感器，连接．设计师研究了两种位置情况，请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． 拓展延伸： (3)设计师发现：在上述平移过程中，当系统调节到某一理想光照状态时，满足，请直接写出的度数为__________． 【变式6-1】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知，直线分别交、于点M，N，，平分交于点E．将线段沿方向平移得到线段（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线与射线交于点K，连接． (1)当点K在线段上时． ①请在图1中补全图形，求的值； ②已知，求证：平分． (2)在线段平移的过程中，当时，直接写出的度数为____． 【变式6-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用．它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用．某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小．如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，  ． (1)如图1，直接写出______ (2)如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形 的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点 G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止(如图3所示)，问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小(用α的代数式表示)； (3)王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和， 交直线于点 R，交直线于点 Q，与交于点H，求的大小．(要求：在备用图中画出图形，写出过程) 【变式6-3】（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【变式6-4】（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图1，平分，． (1)求证：． (2)若是线段上一点，，平分交于点． ①求的度数． ②如图2，平分交于点．当时，求的度数． 【变式6-5】（25-26七年级下·江西赣州·阶段检测）已知直线被直线所截，交点分别为点、，平分交于点，且． (1)如图1，试说明； (2)点是射线上一交点，（不与重合），平分、交于点，过点作，交于点． ①如图2，当点在线段上时，若．求的大小； ②在点运动过程中，设，试探索之间的数量关系，并说明理由． 【变式6-6】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图1，直线与直线，分别交于C，D两点，点M在直线上，射线平分交直线于点Q，． (1)试说明． (2)如图2，射线交直线于点F，交线段于点P，且． ①若，直接写出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与满足的等量关系，并说明理由． 类型七、新定义问题 【典例7】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【变式7-1】（25-26八年级下·全国·期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 【变式7-2】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【变式7-3】（2026·山东青岛·二模）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 【变式7-4】（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【变式7-5】（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【变式7-6】（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 类型八、探究性问题 【典例8】（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【变式8-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【变式8-3】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 【观察】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②的长方形. 【总结】 （1）请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①：_______________； 图②：_______________； （2）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_________； 【应用】请应用这个公式计算：； 【拓展】计算的结果的个位数字为________. 【变式8-4】（20-21八年级下·四川成都·期中）综合与实践 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了______． A．提取公因式        B．平方差公式 C．两数差的完全平方公式    D．两数和的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 【变式8-5】（23-24七年级下·广西百色·期末）【综合与实践】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识与直观的几何图形相结合，从而可以帮助我们快速解题．初中数学的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【问题情境】如图1，在学习整式乘法时，我们可以根据图形的面积关系直观地推导出两数和的完全平方公式：． 【类比探究】 （1）由图2的面积可得等式：______； 【综合应用】 （2）利用（1）得到的结论，若实数x、y、z满足，求的值； 【深入探究】 （3）如图3，现有边长分别为a、b的两种正方形纸片和边长为a、b的长方形纸片若干张，请完成： ①若用m张边长为a的正方形，n张边长为b的正方形，f张边长为a、b的长方形纸片，拼出一个面积为的长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； ②若有3张边长为a的正方形，5张边长为b的正方形，4张边长为a、b的长方形纸片，从中取出若干张，每种至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以是______． 【变式8-6】（2025八年级上·全国·专题练习）综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和 进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 【变式8-7】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 1.（2025·江苏南通·二模）某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 正确题数x 人数 A 20 10 B 15 C 25 D m E n 根据以上信息完成下列问题： (1)统计表中的______，______，并补全图1； (2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______； (3)已知该校共有名学生，如果答对题数不小于个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 2.（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； (1)①利用图2可得等式：______； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______． 3.（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 4.（25-26八年级上·山东临沂·期末）【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 5.（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 6.（25-26七年级下·湖北襄阳·期中）如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 7.（2022·浙江温州·模拟预测）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 8.（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 9.（25-26九年级下·重庆铜梁·自主招生）列方程（组）解决下列问题： 自2025年“渝超”在重庆举办以来，广大民众对足球的关注度越来越高，同时足球用品销售日渐火爆．某商场购进并销售A，B两款足球，已知该商场在10月份购进10个A款足球和30个B款足球，一共花费3800元；11月份购进30个A款足球和60个B款足球，一共花费8400元．已知两次购进的足球价格一致． (1)求A，B两款足球的进价分别为多少元？ (2)12月份，该商场决定再购进一批A，B款足球，由于前两个月销量良好，两款足球进价均上涨了相同的金额，用2700元购进A款足球的数量是用4950元购进B款足球数量的，求两款足球进价的上涨金额． 10.（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末常考压轴题八类题型 典例详解 类型一、相交线与平行线 类型二、几何分类讨论问题 类型三、规律探究问题 类型四、实际应用问题 类型五、新场景问题 类型六、几何综合题 类型七、新定义问题 类型八、探究性问题 压轴专练 类型一、相交线与平行线 【典例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的有（    ） ①无理数包括正无理数、零和负无理数    ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直    ④和为的两个角互为邻补角 ⑤平行于同一直线的两条直线平行    ⑥对顶角相等 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】根据无理数分类，平行线、垂线的基本定理，邻补角、对顶角的性质和平行公理推论等基础概念逐个判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案． 【详解】解：逐个判断各说法： ①0是有理数，不属于无理数，无理数只包含正无理数和负无理数，故①错误； ②只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在这样的平行线，故②错误； ③必须加上“在同一平面内”这个前提，才有“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故③错误； ④和为的两个角仅互为补角，邻补角不仅需要和为，还需要满足相邻的位置关系，故④错误； ⑤平行于同一直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故⑤正确； ⑥对顶角相等，是对顶角的基本性质，故⑥正确； 综上，正确的说法有⑤⑥，共2个． 【变式1-1】（25-26七年级下·云南大理·阶段检测）如图，下列条件，不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：可利用“内错角相等，两直线平行”来判断，故A不符合题意； 对于选项B：∵， ∴， ∴可利用“同旁内角互补，两直线平行”来判断，故B不符合题意； 对于选项C：可利用“同旁内角互补，两直线平行”来判断，故C不符合题意； 对于选项D：只能判断，不能判断，故D符合题意． 【变式1-2】（2026·湖北武汉·二模）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平角的性质求出，再根据，推出，结合题意推出的值，然后根据，推出，最后根据平角的性质即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26七年级下·江西吉安·期中）如图是单位长度为1的正方形网格，点，，，四个点都在格点上，请在网格内按要求完成作图． (1)过点作的平行线； (2)过点作的垂线，与直线交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的画法和网格的特点作图即可； （2）根据垂线的画法和网格的特点作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线l即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 【变式1-4】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一条街道的两个拐角与均为，街道与平行吗？为什么？ 【答案】解：街道与平行， 理由：∵与均为， ∴， ∴． 【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可解答． 【详解】略 【变式1-5】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，，，，为的平分线． (1)请问与平行吗？试说明理由； (2)请问与平行吗？试说明理由； 【答案】(1) ，理由见解析 (2) ，理由见解析 【分析】（1）证明，根据同位角相等，两直线平行，即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，进而得出，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】（1）解： ； 因为，所以 ， 因为，所以，所以 ； （2） ；理由： 因为，所以， 因为为的平分线，所以， 因为，所以，所以 ． 【变式1-6】（25-26七年级下·天津·期中）填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：∵平分，平分（已知）， ∴ ， （ ）． 又∵（已知）， ∴ ． 又∵（已知）， ∴ ， ∴（ ）． 【答案】；；角平分线的定义；；；；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定定理及已知条件逐步推导论证即可． 【详解】证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 又（已知）， ． （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）． 类型二、几何分类讨论问题 【典例2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：当点P在之间时，当点P在的下方时，当点P在的上方时，即可求解． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点P在之间时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故A选项不符合题意； 当点P在的下方时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故B选项不符合题意； 当点P在的上方时，如图，过点P作，此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，故C选项不符合题意；D选项符合题意； 【变式2-1】（25-26七年级下·内蒙古乌海·期中）如图，一副三角板中两个直角顶点叠放在一起，其中，保持三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①；②随着的变化而变化；③当时，则或；④当时，一定垂直于．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①依据，，可得； ②依据，即可得到； ③画出图形，根据平行线的判定，即可得到当等于或时，； ④画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①，， ，故①正确； ②， ， ，是定值，故②错误； ③如图1所示， 当时，， ， 如图2所示， 当时，， ， 当时，则或，故③正确； ④设，则． 如图 由②可知，， ， 解得：， 即， ， ； 如图 由①得：， ， ， ， ， ． 此时或； 故④错误． 综上所述：正确的个数有个． 【变式2-2】（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线，与在直线异侧．若，，射线分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度，同时开始顺时针在同一平面内转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，请问当时间t的值为多少时，与平行．（   ） A．4秒或10秒 B．4秒或50秒 C．40秒或50秒 D．4秒或40秒 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，本题要分情况进行讨论，①当与在直线异侧，②当旋转到与都在的上方时，③当旋转到与都在的下方时，分别根据题意表示出平行条件下的同位角，结合方程计算即可． 【详解】①当与在直线异侧，CD与AB平行时，如图 ∵，， ∴， ， 当时，则， ∴， 解得， 此时， ∴， ∴符合题意； ②当旋转到与都在的上方时，如图 ∵，， ∴当时，则， ∴， 解得， 此时，， ∴， ∴时符合题意； ③当旋转到与都在的下方时，如图 ∴，， 当时，则, ∴， ∴， 此时，， ∵， ∴此时不符合题意． 综上所述，当时间t的值为秒或秒，与平行． 【变式2-3】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，，平分，，点G是直线上一点，，则的值为____． 【答案】或 【分析】根据平行线的性质求出，再分两种情况讨论，当G在的延长线上时，当G在的延长线上时，再分别求解即可． 【详解】解：设，则， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 当G在的延长线上时，如图， ，， ； 当G在的延长线上时，如图， ， ， ； 综上所述，的值为或． 【变式2-4】（25-26七年级下·北京朝阳·阶段检测）如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得．    (1)当时， ； (2)当时，求； (3)过点M作，垂足为M，交直线于点K，直接写出的角度 【答案】(1) (2) (3)的角度为或． 【分析】（1）根据平行线的性质求解，即可得到答案； （2）过点作直线，根据平行线的性质，得到的度数，进而得到的度数，再利用平行线的性质，即可求出； （3）分三种情况，当点N在线段上，点F在线段上时；当点N在线段上，点F在直线右侧时；当点N在射线上，点F在直线左侧时，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， （2）解：如图1，过点作直线， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：当点N在线段上，点F在线段上时，如下图： 过点M作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 当点N在线段上，点F在直线右侧时，如下图： ∵， ∴， 过点M作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 当点N在射线上，点F在直线左侧时，如下图： 过点M作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的角度为或． 【变式2-5】（25-26七年级下·陕西安康·期中）直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)与之间存在的数量关系是或或 【分析】（1）过点I作，根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据题意得出，．过点F作，利用平行线的判定和性质得出，过点I作，结合图形即可求解； （3）设，，得出，．确定，，，然后分三种情况分析：①当点I，Q在直线的两侧时，②当点I，Q在直线的左侧时，③当点I，Q在直线的右侧时，作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：过点I作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ，． 如图②，过点F作． ， ，， ，      ， , ， 过点I作， ， ，，      ， ． （3），， ，， 与的平分线交于点Q， 设，， ，． ，，，      ①当点I，Q在直线的两侧时，如图③-1，过点I作． ， ，， ， 过点Q作， ， ，， ， ．      ②当点I，Q在直线的左侧时，如图③-2． 同①，得， ． ．      ③当点I，Q在直线的右侧时，如图③-3． 同①，得，． ． 综上所述，与之间存在的数量关系是或或． 类型三、规律探究问题 【典例3】（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建厦门·期中）将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于，则将这样的图称为“和幻方”也称幻方，为幻方值．下面的图1是满足条件的“和15幻方”： 【探究】 (1)若图2为“和幻方”，则__________． (2)发现规律：小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；，；如图3，现有一个“和幻方”，请分别证明：①；②． (3)运用规律：图4为幻方，，且，求出图4的幻方值． 【答案】(1)8，0 (2)见详解 (3)39 【分析】此题主要考查了幻方的特征，解二元一次方程组，掌握幻方的特点建立方程和方程组是解本题的关键． （1）根据幻方的特点即可求出和的值； （2）由幻方的特点得出，，即可证明． （3）设该幻方的幻方值为，根据，，得出，，则，由幻方的特征得，，即，，由幻方的特征，用分别表示出幻方空的数，根据最中间的数列等式得出，再根据幻方的特征列方程，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， 解得：， 故答案为： 8，0 ； （2）证明：如图， ①根据题意可得，则； ②根据题意可得，则； （3）解：设该幻方的幻方值为， ∵，， ∴，， 则， 由幻方的特征得，， 即， 整理可得，， 则， 由幻方的特征得，左上角的数为， 第三排中间的数为， 第二排第三个空的数为， 最中间的数为， 或， 即， 整理得， 由幻方的特征得，对角线三个数之和为m，即， 解得：， 则， 即幻方值为39． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）探究发现： 小明计算下面几个题目：①，②，③，④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明写出发现的规律：__________； （2）面积说明： 上面的规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积证明乘法公式，于是画出如下图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号内的代数式； （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘法． （1）利用多项式乘以多项式的法则相乘即可得到结论； （2）通过总结（1）的计算结果：，再结合图形的面积，即可得到答案； （3）观察运算结果发现，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ，， 总结规律为：， 故答案为：； （2）根据（1）中总结的规律：， 结合图形的面积可知：为长方形的面积， 则为长方形的宽，为长方形的长， 如图所示； （3）根据小明发现的规律，可得． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南周口·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，我们利用的方框在日历上框出一些数，选取方框中位于顶点处的4个数，设这个数分别为，计算“”的值，探索其运算结果的规律． 如年月份的日历图，当时（如图），小明在其中画出两个的方框，通过计算，：发现． (1)请你利用整式的运算对小明发现的规律加以证明： (2)请同学们利用小明的方法，借助年月份的日历，继续进行如下探究． 当时，如图，在日历中用的方框框住位置上的4个数，探究“”的值的规律（直接写出结论，不用证明）； 当时，如图，若在日历中用的方框框住位置上的个数，直接写出“”的值的规律； (3)通过以上的探究过程，请你写出“”运算结果的一般规律（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析； (2) ； ； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，，列式进行即可； （）根据，，中的规律，推出相应的规律即可． 【详解】（1）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （2）解：设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； 设框出的第一个数为，则剩下三个数为，，， ∴； （3）解：当时，； 当时，； 当时，； ， ∴． 【变式3-4】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查分式的加减法，数字的规律变化，分式的化简求值，读懂题目信息，观察出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律即可求出答案； （3）根据题中给出的规律进行化简，然后将代入即可得出答案． 【详解】（1）由 可得． （2） ， ． （3） ， ∵， ∴， 原式 【变式3-5】（2026·安徽黄山·一模）项目式学习探究任务：“整式的规律密码”． 在一次数学项目式学习活动中，某探究小组接到任务：“发现并推导()与长多项式相乘的通用规律”．小组决定遵循“从特殊到一般”的探究思路，展开如下研究，请你协助完成． 任务一：特例入手，归纳特征 (1)请计算以下三组特殊式子，观察结果特征，寻找规律： ① ； ② ； ③ ． 任务二：猜想规律，建立模型 (2)结合上述计算结果，大胆猜想： ． 任务三：模型应用，解决实际问题 (3)请利用任务二得出的规律，计算求值：． 【答案】(1)①，②，③； (2) (3)． 【分析】（1）根据平方差公式以及多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据（1）的结论，猜想结果； （3）设，根据（2）的规律得出，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①， ② ， ③ （2）由（1）可得： （3）解：设， 根据任务二的规律，当时，有， 所以， 所以，即． 【变式3-6】（18-19七年级下·广东佛山·阶段检测）观察下列各式 ； ； ； ．．． (1)根据以上规律，则：___________； (2)请归纳出一般规律：___________； (3)请根据你归纳出来的规律求的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键． （1）分析题意，认真观察各式，等式右边的指数比左边的最高指数大1，利用此规律填空； （2）根据发现的规律，将其写成关于含有的式子即可； （3）将原式变形为，即可根据规律解答． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ； ； ． 故答案为：． （2）通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为时，得数的次数应该为， ． 故答案为：． （3）原式 ． 故答案为： 【变式3-7】（2026·安徽阜阳·三模）某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式： 第1组：； 第2组： 第3组：； …… (1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________； (2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明． 【答案】(1)，3264 (2)，证明见解析 【分析】（1）观察规律可知，这两个两位数相乘等于这两个两位数十位数字的乘积加上个位数字，然后再乘以100，最后再加上个位数字的平方，据此即可解得； （2）先用a，b表示出这两个两位数，根据观察的规律即可用含a，b的等式表示上述规律，再化简等式左边，证明等式左边等于右边即可得证． 【详解】（1）解：根据前3组的规律可知 ； （2）解：由题意，这两个两位数为，， 用含a，b的等式表示上述规律为． 证明：左边 右边， 故规律成立． 【变式3-8】（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）课本再现：我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图）．此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下： (1)根据规律写出的展开式：___________． (2)根据规律写出的展开式：___________． (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)64 【分析】（1）根据给定的式子推导出的展开式即可； （2）将代入（1）中的结论，即可得出结果； （3）根据算式的特点，得到 ，进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴当时：； （3）解： ， 符合展开式（系数为）， ∴ ． 类型四、实际应用问题 【典例4】（2026·广东深圳·三模）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形观察，大长方形的高度由两部分组成：上面是两块横放砖的宽，下面是一块竖放砖的长；同时，观察图形内部结构，一块竖放砖的长等于三块横放砖的宽之和，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米 依题意得， 解得， ∴ 每个小长方形的面积为． 【变式4-1】（2026·山西运城·二模）在临汾市某现代农业示范区，为高效完成春季“一喷三防”作业，农业服务队调用了A，B两种型号的北斗导航植保无人机．已知这两款无人机的药箱容量不同，作业效率也存在差异．2架A型无人机和3架B型无人机同时作业1小时，可完成165公顷小麦的喷洒任务；3架A型无人机同时作业1小时的喷洒面积，比2架B型无人机同时作业1小时的喷洒面积多20公顷．问1架A型无人机和1架B型无人机每小时各能完成多少公顷小麦的喷洒任务？ 【答案】1架A型无人机每小时能完成30公顷小麦的喷洒任务，1架B型无人机每小时能完成35公顷小麦的喷洒任务 【详解】解：设1架A型无人机每小时能完成x公顷小麦的喷洒任务，1架B型无人机每小时能完成y公顷小麦的喷洒任务， 根据题意，可列二元一次方程组 解得 答：1架A型无人机每小时能完成30公顷小麦的喷洒任务，1架B型无人机每小时能完成35公顷小麦的喷洒任务． 【变式4-2】（2026·湖南长沙·二模）“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】(1)型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元 (2)共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆 【分析】（1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意可得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）设购买型汽车辆，型汽车辆，根据总费用为万元，结合（1）中所求进价，得出关于、的二元一次方程，根据、都是正整数，求出方程的正整数解即可得答案． 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， ∵辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元， ∴， 解得：， ∴型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型汽车辆，型汽车辆， ∵公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买）， ∴， 整理得，， ∵、都是正整数， ∴或或， ∴共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆． 【变式4-3】（2026·河南驻马店·三模）2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示，某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了1640能量和蛋白质． 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 1份A款高钙牛奶 715 1份B款豆谷营养包 210 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了63g脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】(1)小宇这天食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份 (2)小宇这天的脂肪摄入量没有超标； 理由：由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份， ∴（g），即从这两款食品中摄入的脂肪量为， ∴（g），即小宇这天摄入的总脂肪量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 【分析】（1）设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据题意列方程组求解即可； （2）由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【详解】（1）解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶份，B款豆谷营养包份， 由题意可得， 解得， 答：小宇这天食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份； （2）略 【变式4-4】（25-26七年级下·湖北恩施·期中）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”题意为“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”根据以上题目，回答以下问题： (1)求买1头牛和1只羊分别需要多少两银子？ (2)若购买了若干头牛和若干只羊，共花费26两银子，且羊的数量比牛的2倍少1，则购买了几只羊？ (3)若一名商人准备用21两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方案？最多买几头牛？ 【答案】(1)1头牛需要3两银子，1只羊需要2两银子 (2)购买了7只羊 (3)商人有3种购买方案，最多买5头牛 【分析】（1）设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买了m头牛，n只羊，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）设购买a头牛，b只羊，可得二元一次方程，则，再列举a的值，确定b的值即可解答． 【详解】（1）解：设买1头牛需要x两银子，1只羊需要y两银子， 由题意可得，解得：， 答：买1头牛需要3两银子，买1只羊需要2两银子． （2）解：设购买了m头牛，n只羊， 由题意可得，解得； 答：购买了7只羊． （3）解：设购买a头牛，b只羊， 依题意有，则， ∵a、b都是正整数， ∴共有三种购买方案： ①当时，，即购买1头牛，9只羊； ②当时，，购买3头牛，6只羊； ③当时，，购买5头牛，3只羊． 当均不符合题意． 答：共有三种购买方案，最多买5头牛． 【变式4-5】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在呼和浩特某超市购买盒豆沙月饼和购买盒水果月饼花费的金额相同，购买盒豆沙月饼和盒水果月饼共花费元． (1)求豆沙月饼和水果月饼的单价分别是多少元？ (2)小明购买豆沙月饼和水果月饼两种都购买共花费元，请找出能够使小明购买的月饼盒数最多的方案． 【答案】(1)豆沙月饼的单价是80元/盒，水果月饼的单价是120元/盒 (2)小明选择购买4盒豆沙月饼，2盒水果月饼 【分析】（1）设豆沙月饼的单价为x元/盒，水果月饼的单价为y元/盒，根据题意列方程组，进而解方程组即可； （2）设购买豆沙月饼a盒，水果月饼b盒，根据题意，得，则．根据a、b均为正整数，可得或，进而分析可得答案． 【详解】（1）解：设豆沙月饼的单价为x元/盒，水果月饼的单价为y元/盒， 根据题意，得 ​​​​​​​解得 答：豆沙月饼的单价是80元/盒，水果月饼的单价是120元/盒； （2）解：设购买豆沙月饼a盒，水果月饼b盒， 根据题意，得， 所以． 因为a、b均为正整数， 所以或， 所以共有两种购买方案： ①购买4盒豆沙月饼，2盒水果月饼，（盒）； ②购买1盒豆沙月饼，4盒水果月饼， （盒）． 因为要使小明购买的月饼盒数最多，所以小明选择购买4盒豆沙月饼，2盒水果月饼． 【变式4-6】（2026·重庆·二模）列方程解下列问题： 重庆坐拥“世界摩托之都”美誉，一年一度的重庆国际摩博会享誉海内外，本土摩托品牌赛场夺冠、远销海内外，尽显重庆制造实力．某本土摩托制造企业生产通勤代步摩托与赛道竞速摩托两类车型，已知该厂每日生产竞速摩托数量比通勤摩托多台，天生产通勤摩托的总产量与天生产竞速摩托的总产量相等． (1)求该厂每天生产通勤摩托、竞速摩托各多少台； (2)该厂紧跟产业升级浪潮，工厂完成智能生产线改造，升级后每日只生产一种车型，日产能大幅提升．升级后每日竞速摩托增产数量是通勤摩托增产数量的倍．现生产台通勤摩托、台竞速摩托总共用时天，求每日通勤摩托的增产数量． 【答案】(1)该厂每天生产通勤摩托台，竞速摩托台 (2)每日通勤摩托的增产数量为台 【分析】（1）根据“每日生产竞速摩托比通勤摩托多台，天生产通勤摩托总产量等于天生产竞速摩托总产量”的等量关系，列一元一次方程求解； （2）根据“生产台通勤摩托和台竞速摩托总用时天”的等量关系，列分式方程求解，检验后得到结果． 【详解】（1）解：设该厂每天生产通勤摩托台，则每天生产竞速摩托台． 根据题意得： 解得 则 答：该厂每天生产通勤摩托台，竞速摩托台． （2）设每日通勤摩托的增产数量为台，则每日竞速摩托的增产数量为台，升级后每日生产通勤摩托台，每日生产竞速摩托台 根据题意得： 方程两边同时乘得： 整理得 解得 检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意． 答：每日通勤摩托的增产数量为25台． 【变式4-7】（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【答案】(1)甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元 (2)购买乙种商品的数量为50件 【分析】此题考查了二元一次方程组以及分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键． （1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设售价上涨的价格为元，再列式得，再解方程即可． 【详解】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元， ， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多， 所以， 解得，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 【变式4-8】（2026·辽宁本溪·二模）某中学在组织开展校园文化节活动时，准备购买、两种款式的纪念品．已知花费元购买款纪念品与花费元购买款纪念品的数量相同，且每件款纪念品比每件款纪念品少元． (1)款纪念品和款纪念品的销售单价各是多少元？ (2)若该学校正好用元购买、两种款式纪念品，且两种纪念品都要购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)款纪念品每件元，款纪念品每件元 (2)共有种购买方案 【分析】（1）设款纪念品每件元，则款纪念品每件元，根据题意，列分式方程求解即可； （2）设购买种纪念品件，购买种纪念品件，根据题意，列二元一次方程讨论求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品每件元，则款纪念品每件元， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：款纪念品每件元，款纪念品每件元； （2）解：设购买种纪念品件，购买种纪念品件， ， ， ，是正整数， 或或， 答：共有种购买方案． 类型五、新场景问题 【典例5】（2026·江西上饶·模拟预测）【调查问题】某校针对“学习工具对中学生学习的影响”开展调查，收集了以下数据： 数据1：使用频率分布 频率 比例 每天使用 每周使用 偶尔使用 数据2：主要用途分布 功能 比例 A 作业辅助 B 知识点查询 C 考试复习 D 兴趣拓展 数据3：家长与教师态度对比 态度 家长比例 教师比例 E 支持 F 中立 G 反对 【数据整理】 (1)根据数据1，若全校有800名学生，估算每天使用学习工具的学生人数； (2)根据数据2，求出扇形统计图中各部分的圆心角度数； 【数据分析】 (3)根据数据3，比较家长和教师对学习工具的态度差异，并用双条形图表示； 【综合应用】 (4)结合数据2和数据3，你认为学习工具的主要优势和潜在问题是什么？各写一条． 【答案】(1)240人 (2)A：；B：；C：；D： (3)如图所示． (4)主要优势：作业辅助效率高；潜在问题：家长和教师支持率较低，可能存在监管争议．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）用800乘以每天使用AI学习工具的比例即可得出结论； （2）用乘以扇形统计图中各部分的占比，即可得出结论； （3）根据提供的数据画出条形统计图即可； （4）根据提供的数据进行判断即可． 【详解】（1）解：（人）， 答：估算每天使用学习工具的学生有240人； （2）解：A：； B：； C：； D：． （3）略 （4）解：主要优势：作业辅助效率高； 潜在问题：家长和教师支持率较低，可能存在监管争议． 【变式5-1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）为了了解九年级学生寒假每周的锻炼情况，某校随机抽取九年级名女生和部分男生，对他们一周锻炼的时间进行了调查，四舍五入处理后制作了不完整（部分数据被覆盖）的统计表和统计图．已知一周锻炼2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，一周锻炼4小时的男生和女生人数相等．请根据信息，解答下列问题： 女生一周锻炼时间频数分布表 分组（四舍五入后） 频数（学生人数） 频率 1小时 2 2小时 a 3小时 4 4小时 b (1)求出统计表中a，b的值以及随机抽取学生的总人数； (2)求随机抽取的男生一周平均锻炼时间为多少小时？ (3)为了激励学生加强锻炼，学校决定对全年级一周锻炼时间（四舍五入后）达到3小时及3小时以上的学生进行表彰，每人一份奖品，全年级共有名学生，请问学校应准备大约多少份奖品？ 【答案】(1)，，随机抽取的学生总人数为人 (2)随机抽取的男生一周平均锻炼时间为小时 (3)应准备约份奖品 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据频数分布表和女生总人数为人，即可求解； （2）本题先求男生人数，再求男生锻炼总时长，然后即可求解； （3）本题先求在人的样本中获奖比例，再通过全校总人数即可求解； 【详解】（1）解：由题可得：表中给出“一周锻炼2小时”的女生频率为，故2小时的女生人数， ∵女生人数合计， ∴， ∵2小时的女生人数占随机抽取学生总数的， ∴随机抽取的学生总人数为人， 综上所述：，，随机抽取的学生总人数为人； （2）解：抽取男生人数为人， 又给出“4 小时的男生人数与女生相等”，即男生4小时组有6人， ∴男生4小时所占比例为：， ∴男生3小时所占比例为：， ∴男生1小时人数为：人， 男生2小时人数为：人， 男生3小时人数为：人， ∴男生扇形图信息：1小时占，2小时占，其余两组（3小时、4小时）各占（因为总和须），故男生“四组”对应人数分别为 3， 15， 6， 6， ∴男生锻炼总时长为，平均锻炼时间为小时， ∴随机抽取的男生一周平均锻炼时间为小时； （3）解：全年级需要准备的奖品份数 样本中“3小时及以上”的人数：女生(3小时4人，4小时6人)共人，男生(3小时6人，4小时6人)共人，合计人， 在人的样本中占比，若全年级有人，则预计有人达标，故应准备约份奖品； 【变式5-2】（24-25七年级上·广东深圳·期末）手工课上，同学们需要将相同大小的正方形硬纸板制成无盖的长方体形收纳盒．小明和小红分别提出了不同的设计方案． 【小明方案】将一张正方形硬纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），就可以折成一个型无盖的长方体形收纳盒（简称型收纳盒，如图）；    【小红方案】将若干张正方形的硬纸板进行裁剪，张纸板可以裁成个大小相同的小正方形或个大小相同的小长方形（如图），再用这些材料拼接成型无．盖．的长方体形收纳盒纸盒（简称型收纳盒，如图）（要求：所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能剪成一种形状；剪下的所有材料刚好用完，没有剩余；拼接时不考虑材料之间的缝隙）    (1)在小明方案中，若正方形硬纸板边长为厘米，剪去的小正方形的边长为厘米，则型收纳盒的体积 （结果用含有的代数式表示） 小明发现型收纳盒体积会随的改变而改变，请你补全下面的表格，并在图表上画出折线统计图． （厘米） （立方厘米）   观察图表，根据的变化规律，猜想纸盒取最大体积时，的值可能在 ． ．厘米至厘米之间；．厘米至厘米之间；．厘米至厘米之间 (2)在小红方案中，用这些正方形硬纸板制作了型收纳盒个，填空： 需要小正方形数量 个，需要小长方形数量 个；（结果用含有的代数式表示） 制作小正方形纸张的正方形硬纸板数量需 张，制作小长方形纸张的正方形纸张硬纸板数量需 张．（结果用含有的代数式表示） (3)若用张正方形硬纸板制作两种收纳盒，要求型收纳盒的数量是型收纳盒数量的倍，且制作型收纳盒剩余材料不能作为型收纳盒的材料，求型收纳盒的数量． 【答案】(1) ；，见解析；； (2) ，； ； (3)型收纳盒的数量是个． 【分析】根据正方形纸板的边长为厘米、剪去的小正方形的边长为厘米，则纸盒的底面边长为厘米、高为厘米，根据正方体的体积公式列代数式即可； 把代入中计算即可得到结果； 从图象上可以看出纸盒取最大体积时，的值可能在厘米至厘米之间； 根据型收纳盒是由个小长方形和个小正方形组成的，可知需要小正方形的数量 为个，需要小长方形的数量为个； 根据一个正方形纸板可以制作个小正方形，可知制作小正方形的正方形硬纸板数量需要个，根据一个正方形纸板可以制作个小长方形，可知制作小长方形的正方形硬纸板的数量需要个； 设型收纳盒的数量为个，则型收纳盒的数量为个，可列一元一次方程，解方程即可求出型收纳盒的数量． 【详解】（1）解： (平方厘米)； 当时， (平方厘米)； 画出拆线统计图如下所示： 从图象上可以看出纸盒取最大体积时，的值可能在厘米至厘米之间， 故应选：C． 故答案为：平方厘米； 平方厘米；C； （2）解： 型收纳盒是由个小长方形和个小正方形组成的， 需要小正方形的数量 为个，需要小长方形的数量为个， 故答案为：，； 一个正方形纸板可以制作个小正方形， 制作小正方形的正方形硬纸板数量需要个， 一个正方形纸板可以制作个小长方形， 制作小长方形的正方形硬纸板的数量需要个， 故答案为：； （3）解：设型收纳盒的数量为个，则型收纳盒的数量为个， 根据题意得：， 解方程得：， ， 答：型收纳盒的数量是个． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、正方体的体积、拆线统计图、列代数式、求代数式的值，解决本题的关键是根据纸盒的形状找到数量关系，列方程求解． 【变式5-3】（21-22六年级下·山东淄博·期末）新冠无情，人间有爱，线上教学，云端战“疫”﹒疫情期间，某中学积极组织开展线上教学，复学后，该校为了解学生线上和线下不同阶段的学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后对线下教学质量测评．根据第一次测评的数学成绩制成频数分布直方图（图1）． 复学一个月后，根据第二次测评的数学成绩得到如下统计表： 成绩 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题： (1)______； (2)请在图2中作出两次测评的数学成绩折线统计图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； (3)请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数． 【答案】(1)14 (2)见详解 (3)320人 【分析】（1）根据条形统计图求出第一次的测评人数，再结合频数统计表即可求出m： （2）根据各组的频数绘图即可； （3）求出第二次线下教学质量优秀所占的百分比，再用全校总人数乘以该百分比即可求解． 【详解】（1）第一次测评总人数为：2+8+10+15+10+4+1=50（人）， ∵两次测评人数相等， ∴m=50-(1+3+3++8+15+6)=14（人）， 故答案为：14； （2）结合（1）的结果，绘图如下： 由图可知：第一次线上教学测评质量较差高分值的学生较少，第二次线上教学的测评质量明显上升，高分值学生人数较多； （3）（人）， 即：复学一个月后该校800名八年级学生的数学成绩优秀的人数为320人． 【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、折线统计图，掌握各组频数之和等于样本容量以及数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式5-4】（21-22七年级下·河南开封·期末）某校喜迎国庆，七年级准备排练舞蹈《我和我的祖国》，为使舞蹈演员的身高比较整齐，需了解学生的身高分布情况，现从12个班级中任取两个班级的学生，收集他们的身高数据，并整理出如下的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图（部分信息未给出） 组别 身高范围（单位：厘米） 划记 频数 频率 A 3 6.03 B 正 8 7.08 C a 8.15 D 正正正正正 28 9.28 E 正正正正正一 26 10.26 F 正正 14 11.14 G 正一 6 12.06 请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是___________． (2)___________，___________． (3)请补全频数分布直方图 (4)若七年级共有600名学生，请估计身高在D组的学生的人数． 【答案】(1)100； (2)15，100.8； (3)见解析 (4)168 【分析】（1）由A的学生人数和所占百分比求出调查总人数； （2）用总人数乘以B的百分比即可求出a，用360°乘以百分比得到m； （3）根据a值补全直方图； （4）用总人数600乘以D的百分比即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量是3÷3%=100（人）， 故答案为：100； （2）a=100×0.15=15，m=360°×28%=100.8°， 故答案为：15，100.8； （3）补全直方图： （4）600×28%=168（人）， ∴身高在D组的学生有168人． 【点睛】本题考查的是直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 类型六、几何综合题 【典例6】（25-26七年级下·福建三明·期中）问题情境： 某农业科技园设计了一款智能温室，其屋顶结构由一块可调节的遮光板构成．已知，，．为了均匀采光，设计师在屋顶上安装了一条平行于的可移动轨道，并在轨道上设置一个可移动的光传感器．初始时，传感器满足，其中是上的一个固定支架点（如图1）． 知识初探： (1)设计师测量了初始状态下传感器与遮光板的夹角的度数，请你直接写出__________； 深入探究： (2)在实际运行中，轨道会沿的方向平移（即线段沿射线方向平移），平移后的传感器的位置记为，点的位置记为，为固定传感器，连接．设计师研究了两种位置情况，请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． 拓展延伸： (3)设计师发现：在上述平移过程中，当系统调节到某一理想光照状态时，满足，请直接写出的度数为__________． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质得， ， 根据同角的补角相等可得答案； （2）过点作，根据平移的性质得到，进而得到，根据平行线的性质可得答案； 过点作，根据平移的性质得到，进而得到，根据平行线的性质可得答案； （3）分两种情形：按照图2，图3分别求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ； （2）解：过点作，则， 线段是由线段平移得到， ， ， ， ； 过点作，则， 线段是由线段平移得到， ， ， ； ； （3）解：如图2，当时， 由知，， 即，解得， ； 如图3，当时， 由知，， 即，解得， ． 综上，或． 【变式6-1】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知，直线分别交、于点M，N，，平分交于点E．将线段沿方向平移得到线段（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线与射线交于点K，连接． (1)当点K在线段上时． ①请在图1中补全图形，求的值； ②已知，求证：平分． (2)在线段平移的过程中，当时，直接写出的度数为____． 【答案】(1)①见解析；；②见解析 (2)或 【分析】（1）①根据题干要求补全图形即可；根据平行线的性质并结合角平分线的定义即可得出的度数；②由平行线的性质并结合三角形内角和定理得出，即可得证； （2）分两种情况：当点K在线段上时；当点K在线段的延长线上时；分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：①如图，补全图形， ，， ， 平分， ， 线段是由线段平移得到的， ， ， ②证明：， ， ， ， ， 在中，， ， ， 平分； （2）解：由（1）知， 分两种情况讨论： 当点K在线段上时： 在中，， 设，则， ∴， 解得， ， ∴， ， ， ， 当点K在线段的延长线上时： ， ∴， 设，则， ∴， 解得， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 【变式6-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用．它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用．某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小．如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，  ． (1)如图1，直接写出______ (2)如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形 的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点 G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止(如图3所示)，问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小(用α的代数式表示)； (3)王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和， 交直线于点 R，交直线于点 Q，与交于点H，求的大小．(要求：在备用图中画出图形，写出过程) 【答案】(1)90 (2)或或 (3)或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求出，，根据，求出结果即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况讨论：向右移动时，向左移动时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：分以下三种情况： 当时，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：， ∴； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴，， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或或； （3）解：分以下两种情况： 向右移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； 向左移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； 综上所述，或． 【变式6-3】（24-25七年级下·河北唐山·期中）直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案 ②如图，分别过点作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：①如图，过E作， ， 又， ， ，， ， ； ②如图，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-4】（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图1，平分，． (1)求证：． (2)若是线段上一点，，平分交于点． ①求的度数． ②如图2，平分交于点．当时，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． (2)①；②的度数为 【分析】（1）由角平分线定义得，结合已知，通过等量代换得，由内错角相等判定； （2）①设，由得，进而；由平分得；过作，利用平行线性质得，与无关； (2)②由得，平分得；由得内错角，又，解得． 【详解】（1）略 （2）①如图，过点作． 设， 则． 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． ∵平分交于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ②由①可知， ∴． ∵平分交于点， ∴． 设， 由①可知，， ∴当时， ， 即， 解得， 即的度数为． 【变式6-5】（25-26七年级下·江西赣州·阶段检测）已知直线被直线所截，交点分别为点、，平分交于点，且． (1)如图1，试说明； (2)点是射线上一交点，（不与重合），平分、交于点，过点作，交于点． ①如图2，当点在线段上时，若．求的大小； ②在点运动过程中，设，试探索之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：平分， ， ， ， ； (2)①； ②与之间的数量关系为或，理由如下： 当点在线段的延长线上时，设， 平分，平分， ，， ， ，即， ， ，即， ； 当点在线段上时，设， 平分，平分， ， ， ，即， ， ，即， ； 综上，与之间的数量关系为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义结合已知条件推出，即可得证； （2）①根据平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可；②分点在线段的延长线上和点在线段上两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①，， ， 平分， ， ，平分， ， ， ； ②略 【变式6-6】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）如图1，直线与直线，分别交于C，D两点，点M在直线上，射线平分交直线于点Q，． (1)试说明． (2)如图2，射线交直线于点F，交线段于点P，且． ①若，直接写出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分， ， 又，． ， ； (2)①； ②或， 理由：如图3， ， ， ， ， ， ； 如图4， 由①可得， ，， ， ， 即：， ， ， ， 综上所述，与满足的等量关系为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可； （2）①根据平行线的性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：①， ，，， 平分， ， 又， ； ②略 类型七、新定义问题 【典例7】（25-26七年级上·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 【变式7-1】（25-26八年级下·全国·期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)①；②x的值是1，3，． 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （2）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （3）①由题意易得，然后进行求解即可； ②由①可知，然后根据“分式A的值是正整数”进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴分式是分式的“可存异分式”； （2）解：设分式的“可存异分式”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分式的“可存异分式”是； （3）解：①由条件可知， ， ； ②，且A为正整数， ∴x为整数，且是3的约数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴x的值是1，3，． 【变式7-2】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 【变式7-3】（2026·山东青岛·二模）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)11 (2)①；② 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 【变式7-4】（25-26八年级上·北京·期中）定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且 不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 【变式7-5】（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，所以是的“友好分式”． (1)填空：分式_____分式的“友好分式”；（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式的“友好分式”．求分式的表达式． 【答案】(1)是 (2)分式A为 【分析】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． （1）计算和​，判断是否相等即可． ​​（2）​​​设分式B，由定义，解方程求A即可． 【详解】（1）解：设． ， ， ， 故​是的“友好分式”， 故答案为：​是； （2）分式是分式A的“友好分式”，设分式． 则 移项，得， ， ， ， ， 分式A为​​． 【变式7-6】（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． 类型八、探究性问题 【典例8】（25-26八年级上·广东广州·期末）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)策略二：如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略_______更优． 【答案】(1)需要清水 (2)能达到洗衣目标 (3)二 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． （1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； （2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； （3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标． （3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 【变式8-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式： ． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 【变式8-3】（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）综合与实践 【观察】如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图②的长方形. 【总结】 （1）请你分别表示出这两个图形中的阴影部分的面积： 图①：_______________； 图②：_______________； （2）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：_________； 【应用】请应用这个公式计算：； 【拓展】计算的结果的个位数字为________. 【答案】总结：（1），；（2）；应用：；拓展： 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，平方差公式与几何图形，数字类规律探索，解题关键是掌握题意根据面积相等得出平方差公式，利用平方差公式求解． （1）根据图写出阴影部分的面积即可； （2）利用两个面积相等列式即可；利用探究中的公式计算即可；算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即；图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，其面积为． 故答案为：，； （2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，， 故答案为：； [应用] [拓展] ∵，，，，，… 以2，4，8，6，四个为一个循环， ， ∴与的末位数相同，即为6． 故答案为：6． 【变式8-4】（20-21八年级下·四川成都·期中）综合与实践 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了______． A．提取公因式        B．平方差公式 C．两数差的完全平方公式    D．两数和的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C；（2）不彻底，；（3） 【分析】（1）由完全平方公式可得答案； （2）根据换元法分解因式的方法进行解答即可； （3）利用（1）（2）问中提供的方法，设，再逐步进行分解即可． 【详解】（1）由到是利用完全平方公式所得， 故答案为：C （2）设， 原式， ， ， ， ， ； 故答案为：不彻底，； （3）设， 原式， ， ， ， ， ； 即． 【点睛】本题考查换元法分解因式，解题的关键是掌握换元的意义，完全平方公式． 【变式8-5】（23-24七年级下·广西百色·期末）【综合与实践】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识与直观的几何图形相结合，从而可以帮助我们快速解题．初中数学的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【问题情境】如图1，在学习整式乘法时，我们可以根据图形的面积关系直观地推导出两数和的完全平方公式：． 【类比探究】 （1）由图2的面积可得等式：______； 【综合应用】 （2）利用（1）得到的结论，若实数x、y、z满足，求的值； 【深入探究】 （3）如图3，现有边长分别为a、b的两种正方形纸片和边长为a、b的长方形纸片若干张，请完成： ①若用m张边长为a的正方形，n张边长为b的正方形，f张边长为a、b的长方形纸片，拼出一个面积为的长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； ②若有3张边长为a的正方形，5张边长为b的正方形，4张边长为a、b的长方形纸片，从中取出若干张，每种至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以是______． 【答案】（1）；（2）；（3）①16；② 【分析】（1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论； （2）先利用幂的乘方、同底数幂相除法则求出，利用（1）中的结论进行求解即可； （3）①根据，得到大长方形是由3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张边长分别为a、b的长方形纸片拼成，可知m，n，f的值，代入求解即可； ②根据拼接成的是正方形，得到选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）由图2知，∵大正方形的面积， 大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 又 ∴ ∴； （3）① ， ∴大长方形是由3张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，10张边长分别为a、b的长方形纸片拼成， ∴，，， ∴， 故答案为：16； ②3张边长为a的正方形纸片的面积为，4张边长分别为的长方形纸片的面积为，5张边长为b的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴(Ⅰ)可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长， (Ⅱ)也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长， ∴拼成的正方形的边长最长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 【变式8-6】（2025八年级上·全国·专题练习）综合与实践 【实践主题】探究比例的性质． 数学活动课上，老师提出了如下问题：找一组都不为0的数a，b，c，d，使得分式成立（即a，b，c，d成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，试猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明． ①和；②和；③和（）． 【探究问题】小明同学就和 进行了探究． （1）写出一组能使分式成立的数：_______，_____，_______，_______； （2）在（1）的条件下，计算：___________，___________； （3）猜想：和之间的关系； （4）证明（3）中的猜想． 【答案】（1）2，5，4，10（答案不唯一）；（2），；（3）若，则；（4）见解析 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质以及分式的化简计算是解题的关键． （1）根据比例的性质，找出满足的一组数即可． （2）将（1）中所取的数代入和进行计算． （3）通过（2）的计算结果，猜想两个分式的关系． （4）利用比例的基本性质，对进行化简，证明其结果为，从而得出两个分式相等． 【详解】解：（1）当，，，时，， 故取，，，（答案不唯一）． （2）当，，，时： ， （3）若，则； （4）证明：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式8-7】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题干计算得出，再结合题干所给式子计算即可得出结果； （3）设，则，表示出四边形面积，从而即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴； （3）解：设，则， ∴四边形面积， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 1.（2025·江苏南通·二模）某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 正确题数x 人数 A 20 10 B 15 C 25 D m E n 根据以上信息完成下列问题： (1)统计表中的______，______，并补全图1； (2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______； (3)已知该校共有名学生，如果答对题数不小于个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 【答案】(1)；；故补全图1如下： (2) (3)人 【分析】（1）由组的人数为人，所占的比是，可求出参与的总人数，即样本容量，用样本容量乘以组所占的百分比即可求出的值，再让样本容量减去其他组的人数即可求出的值． （2）组所占圆心角的度数，看组所占整体的百分比，用去乘这个百分比即可． （3）用样本估计总体，样本中优秀人数所占的百分比去估计总体，总人数乘以这个百分比即可． 【详解】（1）解：根据题意，抽取学生总人数为：， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）解：根据题意可得“C组”所对应的圆心角的度数是， 故答案为：． （3）解：根据题意可得名学生中优秀的人数有：（人）， ∴名学生中，优秀的学生人数为：（人）． 2.（25-26八年级上·广东湛江·阶段检测）综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； (1)①利用图2可得等式：______； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______． 【答案】(1)①；② (2)图见解析， 【分析】本题考查了利用完全平方公式求图形面积，多项式的乘法，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）①结合图形，即可解答：②根据各部分的面积和等于大长方形的面积，两种方法即可解答； （2）根据长方形面积为，由长为宽为列等式，即可求解． 【详解】（1）①解：结合图形可得大正方形的边长为，是由两个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，一个边长为b的小正方形组成， 故答案为：； ②解：结合图形可得大长方形的长为，宽为，是由三个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，两个边长为b的小正方形组成， ∴； 故答案为：； （2）解：面积为的长方形的长为，宽为； 如图所示： 拼成的长方形由7个长为a，宽为b的小长方形和2个边长为a，3个边长为b的小正方形组成， ， 故答案为：； 3.（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 (2)我不赞同甲队同学的看法，见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 4.（25-26八年级上·山东临沂·期末）【阅读材料】：某同学研究十位数字是（是至的整数），个位数字是的两位数的平方，发现了如下运算规律： ， ， ， …… 任务： (1)请用含的式子写出你发现的规律； (2)请证明你发现的规律； (3)请证明个位数字是的两位数的平方是的倍数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式的应用，因式分解的应用，根据已知等式得出变化规律是解题的关键． （1）根据已知式子得出变化规律即可； （2）根据完全平方公式和提公因式法对式子变形即可得证； （3）根据提公因式法对式子变形即可得证． 【详解】（1）解：观察可知：； （2）证明： ， 十位数字是，个位数字是的两位数的平方是； （3）证明： ， 是至的整数， 是整数， 是的倍数． 5.（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 6.（25-26七年级下·湖北襄阳·期中）如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）过点作，可得，即得，即得到，即可求证； （）作，设，则，，根据平行线的性质可得，，进而得到，即可求证； （）作，设，则，，同理（）解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7.（2022·浙江温州·模拟预测）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)；5 (3)金额；理由见解析 【分析】（1）设猕猴桃的单价为x，根据泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤，列出方程，解方程即可； （2）根据两个人的购买方案，分别求出购买的猕猴桃平均价格即可； （3）设两次油价分别为a，b，分别求出两种方式下加油单价，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． （2）解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； （3）解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， ∴按相同金额加油更合算． 8.（24-25七年级下·安徽滁州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ．．． (1)根据以上规律写出第④个等式：___________； (2)用含字母（为正整数）的等式表示你发现的规律，并说明规律的正确性； (3)利用你发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是得出所给的数字的规律． （1）根据等式的规律写出第④个等式即可； （2）根据等式的规律写出第n个等式，把等式右边进行运算即可证明； （3）所求的式子变形为，利用发现的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：第④个等式为：， 故答案为：． （2）解：①； ②； ③； ④； …… ∴第n个式子为：． 证明：∵右边左边， ∴成立． （3）解： ． 9.（25-26九年级下·重庆铜梁·自主招生）列方程（组）解决下列问题： 自2025年“渝超”在重庆举办以来，广大民众对足球的关注度越来越高，同时足球用品销售日渐火爆．某商场购进并销售A，B两款足球，已知该商场在10月份购进10个A款足球和30个B款足球，一共花费3800元；11月份购进30个A款足球和60个B款足球，一共花费8400元．已知两次购进的足球价格一致． (1)求A，B两款足球的进价分别为多少元？ (2)12月份，该商场决定再购进一批A，B款足球，由于前两个月销量良好，两款足球进价均上涨了相同的金额，用2700元购进A款足球的数量是用4950元购进B款足球数量的，求两款足球进价的上涨金额． 【答案】(1)A款足球的进价为80元，B款足球的进价为100元． (2)两款足球进价的上涨金额为10元． 【分析】（1）设A，B两款足球的进价为未知数，根据两次进货的总花费列出二元一次方程组，求解得到两款足球的进价； （2）设上涨金额为未知数，根据购进两种足球的数量关系列出分式方程，检验后得到上涨金额 【详解】（1）解：设A款足球的进价为x元，B款足球的进价为y元. 根据题意得 解得 答：A款足球的进价为80元，B款足球的进价为100元； （2）解：设两款足球进价的上涨金额为m元. 涨价后A款足球进价为元，B款足球进价为元. 根据题意得 ： ， 整理得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际题意， 答：两款足球进价的上涨金额为10元． 10.（25-26七年级下·陕西延安·期中）已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，可得，可证明，从而可证明； （2）求出，由可得，由平分 平分，求出，再根据三角形外角的性质可得结论； （3）分类讨论，过拐点作平行线：过R作，过Q作，然后设参，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分 平分， ∴， ∴； （3）解：设， 过R作，过Q作， 则，， 第一种情况：如图，当点Q在线段上时， 则，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：如图，当点Q在点E上方时， 此时， 则， ∴， ∵， ∴； 第三种情况：如图，当点Q在点F下方时， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $