精品解析：广东省深圳市红岭教育华富实验学校2025-2026学年下学期中考数学模拟试卷

红岭教育集团华富实验学校中考数学模拟试卷 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下表中记录了大洋洲、欧洲、亚洲和南美洲的陆地海拔的最低海拔： 大洲 大洋洲 欧洲 亚洲 南美洲 最低海拔 其中这四大洲中陆地海拔的最低海拔最小的大洲是（ ） A. 大洋洲 B. 欧洲 C. 亚洲 D. 南美洲 3. 广东的早茶闻名遐迩，小明一家去喝早茶，点了1笼凤爪、1笼叉烧包、2笼虾饺，每笼均有不透明的盖子盖着，小明随手拿1笼，拿到叉烧包的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜会发生反射，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 7. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 设是方程的一个实数根，则的值为______． 10. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是_______． 11. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是_________． 12. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为___________． 13. 如图，在中，，，延长至点，连接，点在上，连接，交于点，若，，则的长为_________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题7分，第17题9分，第18题9分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 16. 为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO评分模型进行评分：“完全不理解”记为分，“了解了一个方面”记为分，“了解了几个独立的方面”记为分，“理解了几个方面的相关性”记为分，“能够综合运用”记为分，现从调查结果中随机抽取了个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第小组得分条形统计图；第小组得分扇形统计图中，“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为______． （2）【分析与估计】 平均数 众数 中位数 第1组 第2组 第3组 由上表填空：______，______，______； （3）若该校九年级有名学生，请你估计该校九年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有______人； （4）【评价与建议】结合你的分析，请给第组的同学提供一条有关该知识点的学习建议． 17. 某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两辆车的续航里程均为a千米，燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元． （1）请分别求出这两款车的每千米行驶费用； （2）若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行法里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 18. 已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线． （1）作线段的垂直平分线交于点，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，请你添加一个适当的条件：________，使得四边形是菱形，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，交边于点F，连接，交于点G，若，，求的半径． 19. 如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； （1）___________；求拱桥抛物线的解析式； （2）如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； （3）如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 20. 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，则___________，___________． （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭教育集团华富实验学校中考数学模拟试卷 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 数学中有许多优美的曲线，下列四条曲线中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下表中记录了大洋洲、欧洲、亚洲和南美洲的陆地海拔的最低海拔： 大洲 大洋洲 欧洲 亚洲 南美洲 最低海拔 其中这四大洲中陆地海拔的最低海拔最小的大洲是（ ） A. 大洋洲 B. 欧洲 C. 亚洲 D. 南美洲 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键是要明确比较方法． 几个负数，绝对值越大，其值反而越小，据此判断即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， ∴最低海拔最小的大洲是亚洲．   故选：C ． 3. 广东的早茶闻名遐迩，小明一家去喝早茶，点了1笼凤爪、1笼叉烧包、2笼虾饺，每笼均有不透明的盖子盖着，小明随手拿1笼，拿到叉烧包的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查概率的计算公式，根据所求情况数和总情况数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵1笼凤爪、1笼叉烧包、2笼虾饺，共4笼， 小明随手拿1笼，拿到叉烧包的概率是， 故选：C． 4. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，幂的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜会发生反射，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据光反射的性质可得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：根据光反射的性质可得，， 再根据平行线的性质可得：， ∴． 6. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先求出，再解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴杯中水的最大深度为． 故选：B． 7. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺， 由题意得，， 故选：A． 8. 如图，把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，与交于点P，的延长线交于点Q，交的延长线于点M．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质及正方形的性质，可证明，得到，设，则，再根据勾股定理列方程，并求解方程，即得答案． 【详解】， ， 把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得或0（舍去）， ， 故选C． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定及根据勾股定理列方程求解是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 设是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】4050 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，根据方程的解满足方程得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，则， ∴， 故答案为：4050． 10. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出大正方形的边长，小正方形的边长，根据正方形的边长介于大正方形的边长和小正方形的边长之间，进行求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为8，小正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长， 由图可知：， ∴正方形的边长可能是； 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，内接于，是的直径，若，则的度数是_________． 【答案】##28度 【解析】 【分析】本题考查直径所对的圆周角等于和同弧所对的圆周角相等，连接，结合，求得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为___________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先求得，，设，利用等积法求得，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：如图，作轴于点，记直线交轴于点， 在直线中， 当时，，当时，， ∴，， ∴，，， 由旋转的性质得， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：48． 13. 如图，在中，，，延长至点，连接，点在上，连接，交于点，若，，则的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得，在上取点，使得，，交的延长线于点M，过点D作，根据相似三角形的判定和性质得出，，，确定，再由正切函数得出，，设，利用正切函数得出，建立方程求解即可，关键是构建相似三角形． 【详解】解：∵中，， ∴， 在上取点，使得，，交的延长线于点M，过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题7分，第17题9分，第18题9分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值化简每个式子，然后求解即可． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】 ，当时，原式（或当时，原式） 【解析】 【详解】解：原式 ， ∵分式要有意义，， ∴x不能取，，2． 当时，原式(或当时，原式)． 16. 为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO评分模型进行评分：“完全不理解”记为分，“了解了一个方面”记为分，“了解了几个独立的方面”记为分，“理解了几个方面的相关性”记为分，“能够综合运用”记为分，现从调查结果中随机抽取了个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下： 【整理与描述】 （1）请补全第小组得分条形统计图；第小组得分扇形统计图中，“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为______． （2）【分析与估计】 平均数 众数 中位数 第1组 第2组 第3组 由上表填空：______，______，______； （3）若该校九年级有名学生，请你估计该校九年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有______人； （4）【评价与建议】结合你的分析，请给第组的同学提供一条有关该知识点的学习建议． 【答案】（1）①见解析；②； （2）； （3）； （4）调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点． 【解析】 【分析】（1）①根据总人数为人，条形图各得分的人数即可解答；②根据调查总人数人，再利用扇形统计图得分为“”的百分数即可解答． （2）①根据条形统计图的数据即可解答；②根据扇形统计图的数据即可解答；③根据折线图即可解答． （3）先计算出三组人数中得分的百分数，再计算出人的表现为“能够综合运用”的人数即可解答． （4）调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点． 【小问1详解】 解：∵随机调查的总人数为人，“”分的人数为人，“1”分的人数为人，“2”分的人数为人，“”分的人数为人， ∴“”分的人数为：（人）， 如图所示： ∵第小组得分扇形统计图中“得分为分”所占的百分数为， ∴“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为； 故答案为． 【小问2详解】 解：∵根据条形统计图可知“得分为分”的人数最多， ∴第组的众数为分， ∴， ∵根据第小组得分扇形统计图可知， “”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人， 第组的平均数是为， ∴， ∵第组的折线图可知中位数第和第个分数：， ∴第组的中位数是， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵第组得分为分的人数为人，第组得分为分的人数为人，第组得分为分的人数为人， ∴三组得分的总人数为人， ∵三组总人数为人， ∴九年级有名表现为“能够综合运用”的人数有（人）； 故答案为人． 【小问4详解】 解：调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，由样本估算整体，掌握中位数、众数、平均数的定义是解题的关键． 17. 某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：0.6元/千瓦时 设两辆车的续航里程均为a千米，燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元． （1）请分别求出这两款车的每千米行驶费用； （2）若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行法里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 【答案】（1）燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元 （2）当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题； （2）设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴ （元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； 【小问2详解】 解：设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， 答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低． 18. 已知：如图，在四边形中，，点E为边上一点，与分别为和的平分线． （1）作线段的垂直平分线交于点，并以为直径作（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，请你添加一个适当的条件：________，使得四边形是菱形，并证明你的结论； （3）在（1）的条件下，交边于点F，连接，交于点G，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）添加条件：或或等（答案不唯一），证明见解析 （3）2.5 【解析】 【分析】（1）先作的垂直平分线，找到的中点O，再以O为圆心，为半径作圆即可； （2）添加：，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； （3）解直角三角形求出即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求， 【小问2详解】 解：添加条件：（答案不唯一）． 证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，， ， 又平分， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：， ， 与分别为与的平分线， ， ， 为圆的直径，点在圆上， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 则圆的半径为2.5． 【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，菱形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， 19. 如图，是一个抛物线形拱桥的截面示意图．桥下水面的宽度，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，拱顶距离水面，在点处装有一个宽光束射灯进行照明，光束的有效光照区域恰好能覆盖整个水面； （1）___________；求拱桥抛物线的解析式； （2）如图，当水面上升后，光束的有效光照区域为，无法照到整个水面，求此时照明灯照不到的水面区域的宽度； （3）如图，因河水上涨，点处一棵大树倒下并挡住了桥洞，大树顶端恰好落于点处，为避免产生阻塞，市政部门准备调用一装有机械臂的设备将大树移开．为机械臂的一部分，为保证抓取稳固，需始终保持机械臂，假设机械臂的起点始终在抛物线上，请问机械臂起点与树木之间距离是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，最大值为 【解析】 【分析】题目主要考查坐标与图形，等腰三角形的性质，二次函数的综合应用，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据题意得出，，顶点，即，设拱桥抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设的解析式为，利用待定系数法确定的解析式为，得出此时点坐标为，然后代入函数解析式求解即可； （3）过点作轴于点，交于点，根据题意得出，设，则，得出关于的二次函数求解即可． 【小问1详解】 解：； 由题知，，，顶点，即， 设拱桥抛物线的解析式为， ， 解得， 拱桥抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设的解析式为， ， ， 的解析式为， 当时， ，此时点坐标为 ， 解得：，， 此时点坐标为， 照明灯照不到的水面区域的宽度； 【小问3详解】 存在， 如图，过点作轴于点，交于点， 顶点为， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值为1， 的最大值为． 20. 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若，则___________，___________． （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）；理由见解析 （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出；②若，同①思路即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：的长为或．理由如下： 分两种情况讨论： 如图3，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， ， 在中，由勾股定理得：． ②如图，， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， ， 在中，由勾股定理得：． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形与矩形的性质，平行四边形的性质，垂线定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $