精品解析：2026年河南省平顶山市郏县第三教研区中考前模拟数学试题

2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中绝对值最大的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 2025年，全省加力扩围实施“两新”政策，深挖消费潜能，创新促销方式，打造多元消费场景，推动形成新春消费热潮，持续激发市场活力．数据统计，1月至2月，全省社会消费品零售总额超过亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四种几何体中，它们的俯视图是同一种几何图形的是（ ） A. ①和② B. ②和④ C. ③和④ D. ①和③ 4. 古希腊人埃拉托色尼（）测得地球的周长约为．测量方法是这样的，在当时的城市塞恩（图中的点），直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在亚历山大（图中的B点），直立的杆子却偏离太阳光线（图中）．根据以上数据，则弧的长约为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的结果是（ ） A. 1 B. 100 C. 200 D. 2 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年春晚以北京为主会场，重庆、武汉、拉萨、无锡四地为分会场．因刘敏和张鹏同学在2024年某项活动中取得优异成绩，某宣传部门赠送两人两张春晚入场券（不限制区域），邀请两人入场观看春晚．两人设计了五张形状大小完全相同的纸质会场券，刘敏从中随机抽取一张会场券后，放回洗匀，张鹏再从中随机抽取一张，两人抽取的会场券在同一会场的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（ ） A. 54 B. 64 C. 72 D. 80 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（ ） A. 动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B. 当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C. 若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D. 利用此杠杆时，动力臂越长越省力 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：_____． 12. 在人工智能技术飞速发展的今天，作为当下最热门的语言模型，是教师们提升教学质量和创新课堂教学的得力助手．某教研组织对本县区内名数学教师的使用熟练情况进行了调查了解，分等级如下：非常熟练，比较熟练，简单了解，很少使用，没有操作，并结合相关数据制作了如图所示不完整的频数分布图．若将该调查情况制作成扇形统计图，则等级所占的圆心角为______度． 13. 若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 14. 如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点D，交于点E，连接，，．若，的半径为2，则线段的长为______． 15. 如图，在外有一点D，使得，且满足．若，，则的长为______；此时点D到的距离为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解答题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 为了使更多的学生进一步了解我国航空航天的发展，某实验学校积极组织首届航空航天知识竞赛活动，旨在用寓教于乐的方式，激发青少年科学探索的精神．该校全体九年级学生参加了本次知识竞赛活动，针对本次竞赛成绩进行了如下统计． 收集数据：随机抽取了九年级（1）班人的竞赛试卷，并随机分成，两组各名学生，将，两组学生的航空航天知识竞赛的成绩绘制成了如下的折线统计图： 对其数据整理分析如下： 组别 平均数 众数 中位数 方差 组 组 请根据上述图表，回答下列问 （1）图表中的信息：______，______． （2）请根据折线统计图判断与的大小：______（填或）． （3）如果从这两组中选择一组学生参加全校的“团队知识竞赛”比拼，你会推荐哪个小组，请说明理由． 18. 如图1，四边形是矩形，D，E分别是边和上的中点，反比例函数的图象经过点D和点E，点B的坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图2，将直线上方的反比例函数的图象沿着直线向下翻折，请直接写出翻折后图象与x轴的交点F的坐标． （3）连接，和，求的面积． 19. 如图，在等腰三角形中，，为边上的高，E为边上一点，连接交于点F，且． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点P，交于点G．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，证明：． 20. 如图1是某游乐园内矗立的一座摩天轮，游客可以在乘坐过程中观赏整个游乐园周边的美景．图2是它的简化示意图（A，B，C，D，E，F，P均在同一平面内），点O是摩天轮的圆心，是过圆心的线段，为一段平台，且与摩天轮相切于点H．李冰同学假期随父亲到该游乐园坐摩天轮，经测量可知，平台米，坡度i为2.4的斜坡米． （1）李冰的父亲从点B处向右步行了115米至点P处，此时观察摩天轮的最高点E处的仰角为，求该摩天轮的直径．（结果保留整数） （2）在摩天轮的旋转过程中，李冰的父亲在点P处保持不动，观看李冰在摩天轮的位置，求在转动的过程中李冰与父亲之间最近的距离．（结果保留根号）（参考数据：，，） 21. 某新建公园为了迎接“五一”劳动节，该公园负责人准备一部分波斯菊和鸡冠花搭配种植，形成公园特色景点．初步计划购进5400盆波斯菊和10200盆鸡冠花进行A，B两种园艺造型搭配种植，具体搭配要求如下： 造型 品种 A造型 B造型 波斯菊/盆 120 100 鸡冠花/盆 150 240 （1）若购进的盆景数量恰好用完，求计划设计的A，B两种园艺造型各多少个． （2）该公园计划设计A，B两种园艺造型共50个，A，B两种园艺造型的费用分别为3000元和4000元，且园艺造型预算设计总费用不超过18万元，那么设计的A园艺造型最少要有多少个？ 22. 石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润． （1）求该品牌酥梨的进价． （2）若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． （3）根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量． 23. 综合与实践 （1）【操作实践】如图1，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，连接，纸片沿直线l左右移动，求的最小值． （2）【问题探究】如图2，正方形的边长为4，点E，F分别从点D和点C出发，沿线段，运动，且，线段，交于点H，连接．在整个运动过程中： ①线段长度的最小值为______； ②线段长度的最大值为______． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，，点P在边上运动，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，连接，，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中绝对值最大的数是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的计算与实数大小比较，先根据绝对值的定义求出各数的绝对值，再比较各数绝对值的大小即可得到答案． 【详解】解：根据绝对值的性质，分别计算四个数的绝对值： ∵ ，，， 又∵ ， ∴最大， 因此绝对值最大的数是． 2. 2025年，全省加力扩围实施“两新”政策，深挖消费潜能，创新促销方式，打造多元消费场景，推动形成新春消费热潮，持续激发市场活力．数据统计，1月至2月，全省社会消费品零售总额超过亿元，数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题时先将“亿”转化为数字形式，再按规则确定和即可． 【详解】解：∵ 1亿 ∴亿 将改写为，代入得： 满足，符合科学记数法要求． 3. 下列四种几何体中，它们的俯视图是同一种几何图形的是（ ） A. ①和② B. ②和④ C. ③和④ D. ①和③ 【答案】B 【解析】 【详解】解：①正方体的俯视图为正方形； ②球的俯视图为圆； ③直三棱柱的俯视图为并列的两个长方形； ④圆柱的俯视图为圆； 俯视图是同一种几何图形的是②和④． 4. 古希腊人埃拉托色尼（）测得地球的周长约为．测量方法是这样的，在当时的城市塞恩（图中的点），直立的杆子在某个时刻没有影子，而此时在亚历山大（图中的B点），直立的杆子却偏离太阳光线（图中）．根据以上数据，则弧的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将的度数进行换算，由平行线的性质，再结合弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图：由题意可得， ∵， ∴ ∴弧的长约为． 5. 若，，则的结果是（ ） A. 1 B. 100 C. 200 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用指数幂的运算法则，建立和的关系式，再对所求式子通分后代入关系式即可求值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，，根据，推出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，． ， ． ， ． 在中，，， ， ． 7. 2025年春晚以北京为主会场，重庆、武汉、拉萨、无锡四地为分会场．因刘敏和张鹏同学在2024年某项活动中取得优异成绩，某宣传部门赠送两人两张春晚入场券（不限制区域），邀请两人入场观看春晚．两人设计了五张形状大小完全相同的纸质会场券，刘敏从中随机抽取一张会场券后，放回洗匀，张鹏再从中随机抽取一张，两人抽取的会场券在同一会场的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列表法确定所有可能的结果数，再确定两人抽取为同一会场的结果数，然后就用概率公式计算即可． 【详解】把北京、重庆、武汉、拉萨、无锡五地分别记为A，B，C，D，E，两人抽取会场券的所有情况列表如下： 第一次 第二次 A B C D E A B C D E 共有25种等可能的结果，其中两人抽取的会场券在同一会场的情况有5种， ∴P（两人抽取的会场券在同一会场）． 8. 喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（ ） A. 54 B. 64 C. 72 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】先确定当图中含有20个灰色小方块时是第几幅图，再结合图中规律求解即可． 【详解】解：由图形规律可知，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个，第三幅图中有6个，依次类推，第n幅图中有个灰色小方块， ∴当含有20个灰色小方块时是第十幅图， 第一幅图中的白色小方块的个数是个； 第二幅图中的白色小方块的个数是个； 第三幅图中的白色小方块的个数是个； …… 第n幅图中的白色小方块的个数是， ∴第十幅图中的白色小方块的个数是， 故选：B． 9. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数图象的对称轴为直线，求出，由图象可知，则，由图象与x轴没有交点，得出．当时，，即，从而可得点P在y轴的负半轴上，点Q在第二象限，由此即可得出结果． 【详解】解：由题图可知，二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 由图象可知，． ∴． ∵图象与x轴没有交点， ∴． 当时，，即． 综上可知，点P在y轴的负半轴上，点Q在第二象限， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 10. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（ ） A. 动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B. 当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C. 若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D. 利用此杠杆时，动力臂越长越省力 【答案】C 【解析】 【分析】根据杠杆原理公式，代入已知的阻力和阻力臂的数值，推导得到关于​的函数表达式，明确函数类型与自变量取值范围． A选项，将推导得到的函数特征和图3的图象特征对比，验证是否一致．B选项，把给定的动力臂数值代入函数表达式，计算对应的动力​．C选项，先确定阻力一半的数值，将其作为​的上限代入函数，求解对应的动力臂最小值，再计算动力臂与阻力臂的差值．D选项，根据反比例函数的增减性，判断动力随动力臂变化的趋势． 【详解】对于A，∵，阻力和阻力臂不变， ∴， 即动力与动力臂成反比例函数关系， 此说法正确，不符合题意； 对于B，由图象知，反比例函数的解析式为， 当动力臂时， 撬动石头需要的力量． 此说法正确，不符合题意； 对于C，当时，，， ∴若动力不超过阻力1000N的一半，则动力臂要比阻力臂长至少0.5． 此说法错误，符合题意； 对于D，设动力与动力臂的函数关系式为． 根据反比例函数的性质可知，动力随动力臂的增大而减小， ∴动力臂越长越省力， 此说法正确，不符合题意． 综上，故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：_____． 【答案】1． 【解析】 【分析】由于两分式的分母相同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可． 【详解】． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了同分母的分式加减法，关键是掌握分母不变，分子相加减的运算法则． 12. 在人工智能技术飞速发展的今天，作为当下最热门的语言模型，是教师们提升教学质量和创新课堂教学的得力助手．某教研组织对本县区内名数学教师的使用熟练情况进行了调查了解，分等级如下：非常熟练，比较熟练，简单了解，很少使用，没有操作，并结合相关数据制作了如图所示不完整的频数分布图．若将该调查情况制作成扇形统计图，则等级所占的圆心角为______度． 【答案】80 【解析】 【分析】先根据总人数和已知等级的人数，求出等级的人数；再计算等级人数占总人数的比例；最后用该比例乘以，得到等级所占的圆心角度数． 【详解】解：∵调查的总人数为名， 等级人数为，等级人数为，等级人数为，等级人数为， ∴等级的人数为：． ∴等级所占的圆心角为：． 13. 若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论，的取值情况，根据方程根情况确定的取值，然后计算三角形周长． 【详解】解：当腰长为时，此时或， 把代入，得，解得， 方程为，解得，， 此时等腰三角形的周长为． 当底边长为4时，此时，∴方程有相等的实数根， ∴，解得， 当时，方程为，解得， 此时，等腰三角形的周长为． 当时，方程为，解得（不合题意，舍去）， 综上所述，等腰三角形的周长为或． 14. 如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点D，交于点E，连接，，．若，的半径为2，则线段的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，由切线长定理得到，推出，然后由得到，然后利用平行线分线段成比例求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，以点O为圆心，长为半径作圆， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵BE为的直径， ∴，即， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴的长为3． 15. 如图，在外有一点D，使得，且满足．若，，则的长为______；此时点D到的距离为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】如图，过点B作，过点C作，交的延长线于点F， 设． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，，， 由勾股定理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴； ∴，． 设点D到的距离为h， ∴， ， 解得． 综上所述，的长为，点D到的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，含角的特殊直角三角形，相似的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，解题关键在于构造两条垂线辅助线，根据相似关系表示出各边，最后勾股定理列方程求解. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解答题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 为了使更多的学生进一步了解我国航空航天的发展，某实验学校积极组织首届航空航天知识竞赛活动，旨在用寓教于乐的方式，激发青少年科学探索的精神．该校全体九年级学生参加了本次知识竞赛活动，针对本次竞赛成绩进行了如下统计． 收集数据：随机抽取了九年级（1）班人的竞赛试卷，并随机分成，两组各名学生，将，两组学生的航空航天知识竞赛的成绩绘制成了如下的折线统计图： 对其数据整理分析如下： 组别 平均数 众数 中位数 方差 组 组 请根据上述图表，回答下列问 （1）图表中的信息：______，______． （2）请根据折线统计图判断与的大小：______（填或）． （3）如果从这两组中选择一组学生参加全校的“团队知识竞赛”比拼，你会推荐哪个小组，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）推荐组学生参加比拼．理由如下： 组学生竞赛成绩和组学生竞赛成绩的平均数相同，但是组学生竞赛成绩的方差小于组学生竞赛成绩的方差，故组学生竞赛成绩较为稳定，推荐组学生参加比赛比较合适． 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义，找出组数据中出现次数最多的数，确定的值；将组数据从小到大排列，取中间位置的数，确定中位数的值． （2）根据折线统计图中数据的波动情况，判断两组数据方差的大小关系． （3）根据平均数和方差的意义，选择更适合参加竞赛的小组并说明理由． 【小问1详解】 解：∵组数据中，出现了次，出现的次数最多， ∴． 将组数据从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，，， ∵共有个数据，第个数据为， ∴． 【小问2详解】 解：∵组数据波动较大，组数据波动较小， ∴． 【小问3详解】 解：略 18. 如图1，四边形是矩形，D，E分别是边和上的中点，反比例函数的图象经过点D和点E，点B的坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图2，将直线上方的反比例函数的图象沿着直线向下翻折，请直接写出翻折后图象与x轴的交点F的坐标． （3）连接，和，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点D的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）根据翻折的性质可求出上方与点F对称的点的纵坐标为4，然后代入（1）中函数解析式求解即可； （3）根据求解即可. 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，，且D是的中点． ∴点D的坐标为． 又∵该反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：由翻折的性质可知，对称轴为直线，则点F到的距离为翻折前反比例函数图象上上方某点到的距离． ∵， ∴上方与点F对称的点的纵坐标为4， ∴时反比例函数图象上的点翻折后恰好与点F重合， ∴， 故翻折后图象与x轴的交点F的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，E为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 19. 如图，在等腰三角形中，，为边上的高，E为边上一点，连接交于点F，且． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点P，交于点G．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，证明：． 【答案】（1）如图， （2）证明：如图，连接， ∵是等腰三角形，， ∴的垂直平分线过点B，且， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂直平分线的方法作图； （2）连接，由三线合一得到，证明，得到，然后证明，然后利用三线合一证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1是某游乐园内矗立的一座摩天轮，游客可以在乘坐过程中观赏整个游乐园周边的美景．图2是它的简化示意图（A，B，C，D，E，F，P均在同一平面内），点O是摩天轮的圆心，是过圆心的线段，为一段平台，且与摩天轮相切于点H．李冰同学假期随父亲到该游乐园坐摩天轮，经测量可知，平台米，坡度i为2.4的斜坡米． （1）李冰的父亲从点B处向右步行了115米至点P处，此时观察摩天轮的最高点E处的仰角为，求该摩天轮的直径．（结果保留整数） （2）在摩天轮的旋转过程中，李冰的父亲在点P处保持不动，观看李冰在摩天轮的位置，求在转动的过程中李冰与父亲之间最近的距离．（结果保留根号）（参考数据：，，） 【答案】（1）摩天轮的直径约为66米． （2）在转动的过程中，李冰与父亲之间最近的距离为米． 【解析】 【分析】（1）过点C作，垂足为K，首先，证得四边形是矩形，得到，米，再由，米，得米，米，再由米，得的长，最后，由可得结果； （2）连接交于点Q，在中，由勾股定理，得的长，再由可得结果． 【小问1详解】 解：如图，过点C作，垂足为K． ∴， 由题意可知， ∴， 由题意可知米，米， ∵过的圆心，与摩天轮相切于点H， ∴，即，(米)， ∴四边形是矩形． ∴，米， ∵． ∴设米，米， 在中，由勾股定理，得，即，解得． ∴米，米． 又∵米， ∴(米)． 在中，，， 解得． ∴(米)． 答：摩天轮的直径约为66米． 【小问2详解】 解：如图，连接交于点Q，由题意可知，当摩天轮旋转至李冰在Q点时，李冰距离父亲最近． 由(1)知米， ∴(米)． 在中，由勾股定理，得(米)． ∴米． 答：在转动的过程中，李冰与父亲之间最近的距离为米． 21. 某新建公园为了迎接“五一”劳动节，该公园负责人准备一部分波斯菊和鸡冠花搭配种植，形成公园特色景点．初步计划购进5400盆波斯菊和10200盆鸡冠花进行A，B两种园艺造型搭配种植，具体搭配要求如下： 造型 品种 A造型 B造型 波斯菊/盆 120 100 鸡冠花/盆 150 240 （1）若购进的盆景数量恰好用完，求计划设计的A，B两种园艺造型各多少个． （2）该公园计划设计A，B两种园艺造型共50个，A，B两种园艺造型的费用分别为3000元和4000元，且园艺造型预算设计总费用不超过18万元，那么设计的A园艺造型最少要有多少个？ 【答案】（1）计划设计的A园艺造型20个，B园艺造型30个． （2）设计的A园艺造型最少要有20个． 【解析】 【分析】（1）设计划设计的A园艺造型个，B园艺造型个，根据购进的盆景数量恰好用完，列方程组，解出即可． （2）设A园艺造型有个，则B园艺造型有个，园艺造型预算设计总费用不超过18万元，列一元一次不等式，求出不等式的解集即可求出答案． 【小问1详解】 解：设计划设计的A园艺造型个，B园艺造型个． 根据题意列方程，将方程组化简得， 解得， 答：计划设计的A园艺造型20个，B园艺造型30个． 【小问2详解】 解：设A园艺造型有个，则B园艺造型有个． 18万元=180000元 由题意得， 整理得， 合并同类项得， 系数化为1得． 答：设计的A园艺造型最少要有20个． 22. 石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润． （1）求该品牌酥梨的进价． （2）若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． （3）根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量． 【答案】（1）该品牌酥梨的进价为元/千克． （2） （3）要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克． 【解析】 【分析】（1）设酥梨进价为未知数，因为九折售价减去进价等于进价的，所以根据利润相关等量关系列一元一次方程，即可求解进价． （2）分两种情况讨论：如果购进数量，那么支出为进价乘以，如果，那么支出为200千克的进价加上超过200千克部分的优惠后进价乘以超出量，据此分别写出函数关系式． （3）根据“利润总售价总支出”，分两种情况分别表示出利润，分别求出两种情况下各自的最大值．最后比较即可得销售利润的最大值． 【小问1详解】 解：设该品牌酥梨的进价为x元/千克． 由题意，得， 解得． 答：该品牌酥梨的进价为4.5元/千克． 【小问2详解】 解：当时，； 当时，． ∴． 【小问3详解】 解：当时， ． ∵， ∴当时，有最大值为100； 若时，． ∵． ∴当时，有最大值为125． ∵， ∴当一天购进酥梨的数量为300千克时，超市销售酥梨的利润最大． 答：要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克． 23. 综合与实践 （1）【操作实践】如图1，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，连接，纸片沿直线l左右移动，求的最小值． （2）【问题探究】如图2，正方形的边长为4，点E，F分别从点D和点C出发，沿线段，运动，且，线段，交于点H，连接．在整个运动过程中： ①线段长度的最小值为______； ②线段长度的最大值为______． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，，点P在边上运动，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，连接，，求线段长度的最小值． 【答案】（1）13； （2）①； ②4； （3） 【解析】 【分析】（1）过点O作直线m平行于直线l，作点B关于直线m的对称点，连接，，则当A，O，三点共线时，有最小值，最小值为的长，然后根据勾股定理求解即可； （2）①设的中点为P，连接，点H的运动轨迹为以点P为圆心，长为半径的圆．当点H在PD上时，最小，然后根据勾股定理求解即可； ②当点F与点D重合时，点E与点A重合，此时点H与点A重合，长度的最大，即可求解； （3）以为底边向上作等腰三角形，使得，连接，过P作于M，证明，求出．当时，取得最小值，此时最小．设，延长交于点K，此时为的最小值，此时仍可得．解直角三角形求出，，，，．证明，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点O作直线m平行于直线l，作点B关于直线m的对称点，连接，， 则当A，O，三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时． 在中，， ∴的最小值是13． 【小问2详解】 解：①∵正方形的边长为4， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 设的中点为P，连接， 则点H的运动轨迹为以点P为圆心，长为半径的个圆． 当点H在上时，最小，如图2．由题意，得，， 由勾股定理，得， ∴， ∴长度的最小值为； ②当点F与点D重合时，点E与点A重合，此时点H与点A重合，如图3． ∴长度的最大值为4． 【小问3详解】 解：如图4，以为底边向上作等腰三角形，使得，连接，过P作于M， ∴和均为顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴，即， 在中，， ∴， ∴， 同理， ∴ ∴， ∴， ∴． ∵当时，取得最小值， ∴此时最小． 如图5，设，延长交于点K，此时为的最小值，此时仍可得． ∵与均为以为底边的等腰三角形， ∴，． ∵在中，，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $