精品解析：河南省周口市西华县2026年普通高中招生第三次模拟考试数学试卷

2026年普通高中招生第三次模拟考试试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 一批零食，标准质量为每袋100g．现随机从这批零食中抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，则其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，解题关键是通过绝对值判断与标准质量的偏差程度． 通过计算每个数值与标准质量偏差的绝对值，绝对值最小的最接近标准质量． 【详解】∵，且， ∴， ∴最接近标准质量的是． 故选C． 2. 如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 长方体 D. 圆柱 【答案】B 【解析】 【详解】解：侧面为3个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱． 3. 甲看乙的方向是北偏东，则乙看甲的方向是（ ） A. 南偏西 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 南偏东 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的定义，在叙述方向角时一定要注意以哪个图形为参照物．甲看乙的方向是北偏东，是以甲为标准，反之乙看甲的方向是甲相对于乙的方向与位置．方向完全相反，角度不变，据此可得答案． 【详解】解：甲看乙的方向是北偏东，则乙看甲的方向是南偏西， 故选B． 4. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的概念及解一元二次方程，理解此概念并正确解一元二次方程是关键；将已知根代入方程求出参数m，再解方程求另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解得， ∴另一个根为． 故选：B． 5. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为人，银两为两，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设客人为人，银两为两， 根据题意得， 故选：． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，得到不等式组的解集，把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 把不等式组的解集表示在数轴上，如下图所示： 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 来郑州，一定要打卡“非遗里的河南”．朵朵和果果在假期来到“只有河南”体验有声、有色、有趣、有滋味的河南非遗．他们分别从以下三项非遗里选一项进行体验，则两人选择的非遗体验相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用表格求概率．设三项非遗分别用A，B，C表示，根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两人选择的非遗体验相同的有3种，再由概率公式计算，即可解答． 【详解】解：设三项非遗分别用A，B，C表示， 根据题意，列出表格如下： A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 一共有9种等可能结果，其中两人选择的非遗体验相同的有3种， 所以两人选择的非遗体验相同的概率为． 故选：B 9. 我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，如图，矩形的顶点和分别在 y 轴和x轴上．向下按压矩形，得到如图所示的平行四边形，其中，则平行四边形的对角线的交点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是由以上知识点求出，的长．作轴于，轴于，由的坐标是，的坐标是，得到，，由直角三角形的性质求出，，再证明，由相似三角形的性质即可得到的坐标． 【详解】解：作轴于，轴于， 的坐标是，的坐标是， ，， 由题意知， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 轴，轴， ， ， ，， ， 的坐标为． 故选：D 10. 如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象：由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，据此判断即可．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，故选项A的说法错误； 由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故选项C的说法错误； 由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，即小球停止运动，此时弹簧被压缩至最短，小球下落至最低点，弹簧的长度为，故选项D的说法正确，选项B的说法错误． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使在实数范围内有意义的x的值：___________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，以及解不等式，熟练掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义得到求解，取恰当的值即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 把多项式分解因式，应提取的公因式为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：多项式中，各项系数和的最大公因数为，各项都含有的相同字母为，，相同字母的最低次幂分别为，， 因此公因式为． 13. 分式方程的解是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根 方程两边同时乘以分母，可把方程化为整式方程，进而即可求解 【详解】解：两边同时乘以，得，解得． 经检验：是原方程的解． 故答案为： 14. 如图，中，，，，以A为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点E，以B为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】求解，，利用阴影部分的面积等于两个扇形面积之和减去三角形面积的倍即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 设，， ∴，，， ∴图中阴影部分的面积为 ． 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作BC于点．若是“勾股三角形”，则长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理；过点作于点，则四边形是矩形．进而分两种情况讨论，①当，时，②当，时，结合图形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，．将沿折叠，得到， ∴，，． 过点作于点，则四边形是矩形． ∴．若是“勾股三角形”， 分两种情况：①当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴． ②当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得． ∴． 故答案为： 或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 民族要复兴，乡村必振兴．驻村干部小李为了解果农收入增长情况，从全村120户果农中随机调查10户果农去年和今年平均每亩的收入（单位：万元）情况，调查结果整理、分析如下： a．10户果农去年和今年平均每亩的收入情况： 果农编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 收入（万元） 去年 2.0 1.0 1.0 1.5 2.5 2.0 1.5 2.0 2.5 2.0 今年 2.5 1.5 1.5 2.0 3.0 2.5 2.0 3.0 3.5 2.0 b．根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 不低于2.5万元的百分比 收入（万元） 去年 1.8 m 2.0 今年 2.35 2.25 n 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______，______． （2）请估计全村120户果农中今年平均每亩的收入不低于2.5万元的有多少户． （3）由平均每亩收入的平均数可以看出今年比去年平均每亩增收0.55万元，则说明这10户果农中每户果农平均每亩都增收0.55万元，你同意这种说法吗？请说明理由． 【答案】（1）2.0，2.0 （2）估计全村120户果农中今年平均每亩的收入不低于2.5万元的有60户； （3）不同意，理由：平均数增加0.55代表这10户果农今年比去年平均每亩增收0.55万元，不代表每户果农每亩都增收0.55万元，如：10号果农没有增收，8号和9号果农各增收1万元． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义作答； （2）根据表，可得今年平均每亩的收入不低于2.5万元的百分比为，用样本估计总体，即可解答； （3）根据平均数的意义结合表格数据解答即可． 【小问1详解】 解：将被调查的10户果农去年收入从低到高排列为：， 则中位数， 被调查的10户果农今年收入为1.5的有2户，2.0的有3户，2.5的有2户，3.0的有2户，3.5的有1户， 则众数； 【小问2详解】 解：（户）． 答：估计全村120户果农中今年平均每亩的收入不低于2.5万元的有60户； 【小问3详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，轴于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线l（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）． （3）（2）中所作直线l与反比例函数（）的图象交于点B，与x轴交于点D，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形是正方形． 【答案】（1） （2）解：作图如下： （3）证明：如图，设与的交点为F． ∵点A的坐标为，轴，垂直平分， ∴点F的坐标为，，， ， 在中，当时，， ∴点B的坐标为， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）作出线段的垂直平分线l即可． （3）如图，设与的交点为F，点F的坐标为，，可得点B的坐标为，证明，结合，，，，进而可得结论． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）的图象经过点， ， ， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 学校教学楼墙面上有一大型电子屏，数学兴趣小组想利用所学解直角三角形知识求出该电子屏的高度．如图，他们先在教学楼前方的地面A处测得教学楼的顶端即电子屏的上端点E的仰角为，然后正对电子屏方向走32米到达点B处，在B处测得点E的仰角为、电子屏的下端点F的仰角为．已知点A，B，C，E，F在同一平面内，且A，B，C三点在一条直线上，求电子屏的高度（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】设，求出，列出等式解得，即可得到答案． 【详解】解：设， ． 在中，， ． 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， ， 答：电子屏的高度约为米． 20. 为推动制造业节能减排，需要在制造生产环节进行深度减排．为此许多制造企业都对生产设备进行了升级，甲、乙两公司对此纷纷作出响应，已知旧设备每生产一件产品的能耗成本是5元，甲公司边生产边进行设备升级，乙公司停产待设备升级完成后，再进行生产，乙公司在设备升级过程中，共产生a元的能耗成本．表格是两公司在同一产品生产线上设计的生产方案： 产品数量 甲公司 乙公司 前500件 全程用旧设备生产 全程用新设备生产 500件以后 全程用新设备生产 全程用新设备生产 生产该产品的能耗成本y（元）与产品数量x（件）之间的函数图象如图所示． （1）填空：______，______，______； （2）求新设备每生产一件产品的能耗成本； （3）经过计算发现，生产该产品到达一定量后，两家公司能耗成本的总差值不变，求此时的能耗成本总差值． 【答案】（1）900，2500，1500 （2）2元 （3）总差值为600元 【解析】 【分析】（1）根据函数图象即可解答； （2）求出乙公司生产该产品的能耗成本y（元）与产品数量x（件）之间的函数关系即可解答； （3）求出甲公司使用新设备生产该产品的能耗成本y（元）与产品数量x（件）之间的函数关系即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，乙公司在设备升级过程中，共产生a元的能耗成本， 则， ∵旧设备每生产一件产品的能耗成本是5元，甲公司前500件全程用旧设备生产， ∴，； 【小问2详解】 解：由图象可知，乙公司生产该产品的能耗成本y（元）与产品数量x（件）之间的函数图象是过点和点的射线， 故设其函数关系式为． ， 解得， ∴新设备每生产一件产品的能耗成本为2元； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，甲公司生产该产品的能耗成本y（元）与产品数量x（件）之间的函数图象是过点且和平行的射线，故设其函数关系式为． ， ． （元）， ∴此时的能耗成本总差值为600元． 21. 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴． （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过和两点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时，y的最大值与最小值的差为，求t的值． （3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． （1）将，代入得，，计算求解，进而可得抛物线的函数表达式； （2）由，可得抛物线的顶点坐标为．当时，．由的最大值与最小值的差为，且，可知当时，y在顶点处取得最大值9，在处取得最小值 （3）由题意知，当点N在直线上，如图1，该抛物线与线段只有一个公共点；由（2），可知当时，，当时，线段MN与抛物线只有一个交点，如图2，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将，代入得，， 解得， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵， 抛物线的顶点坐标为． 当时，． 的最大值与最小值的差为，且， 当时，y在顶点处取得最大值9，在处取得最小值． 令， 解得或（舍去）， ． 【小问3详解】 解：由题意知，当点N在直线上，如图1， 此时线段与抛物线交于顶点，该抛物线与线段只有一个公共点， ∴； 由（2），可知当时，，当时，线段MN与抛物线只有一个交点，如图2， 综上所述，n的取值范围是或． 23. 在数学探究课上，小红同学利用转化思想，计算运动条件下线段和的最小值，其过程如下： 方法感悟 阅读下面的解题过程及方法并填空，感悟转化思想在求线段和最小值中的应用． 如图1，在等腰直角三角形中，，M，N分别是，边上的动点，且，连接，．求的最小值． 解题过程： 如图1，将线段绕点B逆时针旋转， 得到线段，连接． 由题意，得． 由旋转的性质，得①________． 又，（依据：②________）． ．． ∴当C，M，D三点共线时，取得最小值，即取得最小值． 则的最小值为③________． （1）阅读上述过程，并填空：①______；②______；③______． （2）探究证明 如图2，在矩形中，，，以为边向外作等边三角形，P是矩形内一动点，连接，，过点P作于点E，求的最小值． （3）拓展延伸 如图3，已知正方形的边长为8，O为对角线的交点，M，N分别是，边上的动点，且总有，连接，，请直接写出的最小值和此时的值． 【答案】（1）①；②；③ （2） （3）最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据过程填空即可； （2）将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，过点作于点，设交于点，易证是等边三角形，再证明．得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，求出，，即可解答； （3）连接，作点关于对称的对称点，连接，过点作于点，设交点为，证明．推出，当三点共线时，有最小值，则有最小值，最小值为的长，此时两点重合，求出，，即可求出，再根据，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：将线段绕点B逆时针旋转，得到线段，连接． 由题意，得． 由旋转的性质，得． 又， ． ． ． ∴当C，M，D三点共线时，取得最小值，即取得最小值，最小值为长． ∵， ∴， ∵在等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为． 【小问2详解】 解：将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，过点作于点，设交于点， 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ． ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：连接，作点关于对称的对称点，连接，过点作于点，设交点为， 正方形中，， ∵， ． ∴， 由对称的性质得， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，则有最小值，最小值为的长，此时两点重合， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称的性质得， ∴， ∴，即的最小值为； ∵， ∴，即， ∴， ∴此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中招生第三次模拟考试试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 一批零食，标准质量为每袋100g．现随机从这批零食中抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，则其中最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ） A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 长方体 D. 圆柱 3. 甲看乙的方向是北偏东，则乙看甲的方向是（ ） A. 南偏西 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 南偏东 4. 已知关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 来郑州，一定要打卡“非遗里的河南”．朵朵和果果在假期来到“只有河南”体验有声、有色、有趣、有滋味的河南非遗．他们分别从以下三项非遗里选一项进行体验，则两人选择的非遗体验相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，如图，矩形的顶点和分别在 y 轴和x轴上．向下按压矩形，得到如图所示的平行四边形，其中，则平行四边形的对角线的交点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使在实数范围内有意义的x的值：___________． 12. 把多项式分解因式，应提取的公因式为______． 13. 分式方程的解是___． 14. 如图，中，，，，以A为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点E，以B为圆心，的长为半径的弧交的延长线于点D，则图中阴影部分的面积为______． 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”，如图，在矩形中，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作BC于点．若是“勾股三角形”，则长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 民族要复兴，乡村必振兴．驻村干部小李为了解果农收入增长情况，从全村120户果农中随机调查10户果农去年和今年平均每亩的收入（单位：万元）情况，调查结果整理、分析如下： a．10户果农去年和今年平均每亩的收入情况： 果农编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 收入（万元） 去年 2.0 1.0 1.0 1.5 2.5 2.0 1.5 2.0 2.5 2.0 今年 2.5 1.5 1.5 2.0 3.0 2.5 2.0 3.0 3.5 2.0 b．根据以上数据，得到以下统计量： 平均数 中位数 众数 不低于2.5万元的百分比 收入（万元） 去年 1.8 m 2.0 今年 2.35 2.25 n 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______，______． （2）请估计全村120户果农中今年平均每亩的收入不低于2.5万元的有多少户． （3）由平均每亩收入的平均数可以看出今年比去年平均每亩增收0.55万元，则说明这10户果农中每户果农平均每亩都增收0.55万元，你同意这种说法吗？请说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，轴于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线l（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）． （3）（2）中所作直线l与反比例函数（）的图象交于点B，与x轴交于点D，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形是正方形． 19. 学校教学楼墙面上有一大型电子屏，数学兴趣小组想利用所学解直角三角形知识求出该电子屏的高度．如图，他们先在教学楼前方的地面A处测得教学楼的顶端即电子屏的上端点E的仰角为，然后正对电子屏方向走32米到达点B处，在B处测得点E的仰角为、电子屏的下端点F的仰角为．已知点A，B，C，E，F在同一平面内，且A，B，C三点在一条直线上，求电子屏的高度（参考数据：，，，，，） 20. 为推动制造业节能减排，需要在制造生产环节进行深度减排．为此许多制造企业都对生产设备进行了升级，甲、乙两公司对此纷纷作出响应，已知旧设备每生产一件产品的能耗成本是5元，甲公司边生产边进行设备升级，乙公司停产待设备升级完成后，再进行生产，乙公司在设备升级过程中，共产生a元的能耗成本．表格是两公司在同一产品生产线上设计的生产方案： 产品数量 甲公司 乙公司 前500件 全程用旧设备生产 全程用新设备生产 500件以后 全程用新设备生产 全程用新设备生产 生产该产品的能耗成本y（元）与产品数量x（件）之间的函数图象如图所示． （1）填空：______，______，______； （2）求新设备每生产一件产品的能耗成本； （3）经过计算发现，生产该产品到达一定量后，两家公司能耗成本的总差值不变，求此时的能耗成本总差值． 21. 如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）经过和两点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当时，y的最大值与最小值的差为，求t的值． （3）已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出n的取值范围． 23. 在数学探究课上，小红同学利用转化思想，计算运动条件下线段和的最小值，其过程如下： 方法感悟 阅读下面的解题过程及方法并填空，感悟转化思想在求线段和最小值中的应用． 如图1，在等腰直角三角形中，，M，N分别是，边上的动点，且，连接，．求的最小值． 解题过程： 如图1，将线段绕点B逆时针旋转， 得到线段，连接． 由题意，得． 由旋转的性质，得①________． 又，（依据：②________）． ．． ∴当C，M，D三点共线时，取得最小值，即取得最小值． 则的最小值为③________． （1）阅读上述过程，并填空：①______；②______；③______． （2）探究证明 如图2，在矩形中，，，以为边向外作等边三角形，P是矩形内一动点，连接，，过点P作于点E，求的最小值． （3）拓展延伸 如图3，已知正方形的边长为8，O为对角线的交点，M，N分别是，边上的动点，且总有，连接，，请直接写出的最小值和此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $