复习专题06 向量的概念与数量积（10重点+16题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

复习专题06 向量的概念与数量积 知识点1 向量的基本概念与表示方法 1.向量的定义 把既有大小又有方向的量叫做向量 现实生活中有些量既有大小又有方向,如位移、速度、力、加速度、电场强度等,有些量只有大小没有方向,如距离、身高、质量、时间、面积等,我们称为数量,又称为“标量”. 数学中的“向量”概念源于物理知识,向量不仅有丰富的几何内涵,向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构,可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理.·所以说,向量是几何和代数的一座天然桥梁. 数学中的向量与物理中的矢量是有区别的，在数学中，我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量，也称为自由向量. 2.向量的表示方法 (1)几何法 有向线段:在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点,为终点,我们就说线段具有方向.指定了方向的线段叫做有向线段.用有向线段的起点和终点上方加箭头的两个大写字母表示,如读作向量 . (2)代数法 用上方加箭头的小写字母表示,如、、 3.向量的模 向量 的大小叫做 的模，记作 ；向量 的大小，即长度 （也称模）． 任意向量的模都是非负数,所以向量的模可以比较大小 4.单位向量 模为1的向量叫做单位向量;与向量同方向的单位向量记作 5.零向量 规定模为0的向量叫做零向量,记作它的方向是任意的 向量的数形特征 向量既能像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法。 知识点2 向量的基本关系 1.平行向量 如果两个非零向量所在的直线平行或重合,那么称这两个向量平行,记作规定:零向量与任意向量平行, 2.相等的向量 如果两个向量同方向且具有相同的模,那么称这两个向量为相等的向量.向量 3.负向量 如果一对平行向量具有相等的模但方向相反,那么称它们互为负向量,或者称 (1)零向量的负向量仍是零向量. (2)任意向量与其负向量的和是零向量. 知识点3 向量的加法及运算法则 定义 求向量和的运算,叫做向量的加法 法则 平行四边形法则 前提 已知不平行的两个向量 作法 在平面内任取一点 以点为起点的两个已知向量为邻边作 结论 图形 三角形法则 前提 已知非零向量 作法 在平面内任取一点 A,作再作向量 结论 (两个向量的和仍是一个向量) 图形 规定 零向量与任意向量 向量加法的交换律和结合律 （1）向量加法的交换律： （2）向量加法的结合律: 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 (1)区别 三角形法则:①首尾相接;②适用于任何向量求和. 平行四边形法则:①共起点;②仅适用于不平行的两个向量求和. (2)联系 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点4 向量的减法及几何意义 1.定义 如果已知向量记作求向量差的运算,叫做向量的减法 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用负向量的定义，可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算， 2.几何意义 在平面内任取一点 ,作则向量如图所示. 文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量 (1)任意向量都可以表示为两个向量的差,如在向量运算中应灵活运用。 以为邻边作平行四边形,则两条对角线的向量分别为 知识点5 实数与向量的乘法的定义及几何意义 实数λ与向量的乘积是一个向量,记作它的模和方向规定如下： （2） 实数与向量乘法的几何意义,如图所示 在实数与向量乘法中，可视为将向量的模伸长或缩短的倍数，的符号决定了向量的方向.当时，向量此时的方向是任意的. 知识点6 实数与向量乘法的运算律 设 、 是向量，、 ，有 （1） ； （2） ； （3） ． 与非零向量同方向的单位向量叫做向量的单位向量,记作 根据实数与向量的乘法的定义,可知 向量的加法、减法以及实数与向量的乘法,统称为向量的线性运算. 知识点7 向量的夹角 以一点 为起点，作 ，我们把射线O A、O B的夹角称为向量 与 的夹角，记作 ，它的取值范围为 ． （1）两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且 ． （2）向量的夹角应注意＂共起点＂，例：在 中， 与 的夹角不是 ，而是其补角． （3）两个向量的夹角为锐角 且 、 不共线． （4）两个向量的夹角为钝角 且 、 不共线． 向量夹角的情况如下表. 的范围或取值 0 图形 关系 同向 与的夹角为锐角 垂直，记作 的夹角为钝角 反向 知识点8 向量在向量方向上的投影向量与数量投影 1．如果向量 的起点 和终点 在直线 上的投影分别为点 和 ，那么向量 叫做向量 在直线 上的投影向量（如右图），简称为投影. 2．向量 在 方向上的投影与数量投影投影：;数量投影： ． 知识点9 向量的数量积 1.定义 设 与 是两个非零向量，定义 与 的数量积 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 ． 由向量数量积的定义，可从数量积反推两个向量的夹角公式： 2.几何意义 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的数量投影 的乘积． 3.向量数量积的性质 （1） 当且仅当 ； （2） ，当且仅当 时等号成立． 当 与 平行且同向时， ；当 与 平行且反向时， ．特别地， ． 1.两个向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角是锐角、直角或钝角决定．对于两个非零向量 与 ，夹角为 ： （1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， ． 2. 不能写成 或 ． 知识点10 平面向量数量积的运算律 设 、 和 是向量， 是实数，则 （1）向量数量积的交换律： ； （2）向量数量积对数乘的结合律： ； （3）向量数量积对加法的分配律： ． （1）当 时， 不一定推出 ，因为 得 ，所以 与 垂直，即向量的数量积运算不满足消去律． 特别地，当 时， 不一定推出 ． （2） 与 不一定相等，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，所以向量的数量积运算不满足结合律． 题型一、零向量与单位向量 例1（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 1-1（23-24高一下·上海·期中）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 1-2（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 题型二、平行向量（共线向量） 例2（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 2-1（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2-2（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，求与向量方向相同的单位向量为 . 题型三、向量加法的法则 例3（24-25高一下·上海·期中）已知为单位向量，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3-1（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 3-2（23-24高一下·上海嘉定·期中）化简向量运算： ． 题型四、向量加法法则的几何应用 例4（23-24高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为： ．    4-1（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）化简 . 4-2（21-22高一下·上海徐汇·期中）为平行四边形，已知，M是的中点，则 （用表示） 题型五、向量减法的法则 例5（22-23高一下·上海青浦·期中）下列式子中，不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 5-1（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，化简 5-2（24-25高一下·广东江门·阶段练习）化简：= 题型六、向量数乘的有关计算 例6（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量，且设，则实数 ． 6-1（23-24高一下·上海·阶段练习）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 6-2（21-22高一下·上海宝山·期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则 ． 题型七、平面向量的混合运算 例7（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 7-1（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知向量、，则等于 . 7-2（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 题型八、向量的线性运算的几何应用 例8（22-23高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 8-1（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 8-2（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为 . 题型九、平面向量数量积的几何意义 例9（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 9-1（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则向量在向量上的数量投影为 . 9-2（24-25高一下·上海·期中）已知，向量在向量方向上的数量投影为，则 题型十、求投影向量 例10（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示) 10-1（24-25高一下·上海·期中）已知，若，则在方向上的数量投影为 . 10-2（24-25高一下·上海长宁·期中）设，是两个向量，其中，在方向上的投影是，我们知道结论“无论取何实数，在方向上的投影都是”成立；请用代数方法证明上述结论中的一种情况：当时，在方向上的投影都是； 题型十一、用定义求向量的数量积 例11（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 11-1（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是 ． 11-2（24-25高一下·上海·阶段练习）如图所示，在扇形 AOB 中，∠AOB 为锐角，四边形 OMPN 是平行四边形，点 P 在弧上，点 M，N 分别在线段 OA，OB 上，，，记∠POB = ． (1)当时，求； (2)请写出阴影部分的面积 S 关于的函数关系式，并求当为何值时，S 取得最小值． 题型十二、数量积的运算律 例12（24-25高一下·上海宝山·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 12-1（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 . 12-2（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 ． 题型十三、已知数量积求模 例13（24-25高一下·上海·期中）已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是 . 13-1（24-25高一下·上海·期中）已知向量，，，的夹角为，则 . 13-2（24-25高一下·上海普陀·期中）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ． 题型十四、向量夹角的计算 例14（24-25高一下·上海·期中）若向量、满足，且，，则向量与的夹角为 ． 14-1（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知平面向量，． (1)求 (2)求实数为何值时，． 14-2（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 14-3（24-25高一下·上海闵行·期中）已知向量，满足，，设与的夹角为， (1)当时，求与的夹角； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 题型十五、垂直关系的向是表示 例15（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为，，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②线段的长度为； ③向量平行于向量的充要条件为； ④向量垂直于向量的充要条件为；所有真命题的序号为 . 15-1（23-24高一下·上海·期中）有以下命题：①；②；③；④；⑤若，则.  则真命题有 . 15-2（24-25高一下·上海·期中）已知 ， (1)求 和 ； (2)已知 ，且 ，求实数的值. 15-3（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 题型十六、已知模求数量积 例16（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知向量、满足，，则 . 16-1（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 16-2（22-23高一下·上海·期中）在中，为边上一点，设． (1)若，试用，的线性组合表示； (2)若，且，，求的值． 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知两个平面向量满足：对任意的恒有，则（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ） A． B．或 C． D． 3．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 4．（24-25高一下·上海·期中）设 、 为夹角为 的单位向量，求 . 5．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知向量，则 ． 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知非零向量互不相等，且若则的最大值为 ． 7．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，与的夹角，求： (1)； (2)向量和的夹角余弦值. 8．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，且与的夹角为； (1)若与垂直，求实数的值； (2)若，求与的夹角大小. 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）中，，当时，的最小值为，则 . 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知向量均为单位向量，且满足（为正整数），若任取正整数，，请你写出的夹角所有可能的取值组成的集合为 ． 4．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为 ． 5．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题06 向量的概念与数量积 知识点1 向量的基本概念与表示方法 1.向量的定义 把既有大小又有方向的量叫做向量 现实生活中有些量既有大小又有方向,如位移、速度、力、加速度、电场强度等,有些量只有大小没有方向,如距离、身高、质量、时间、面积等,我们称为数量,又称为“标量”. 数学中的“向量”概念源于物理知识,向量不仅有丰富的几何内涵,向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构,可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理.·所以说,向量是几何和代数的一座天然桥梁. 数学中的向量与物理中的矢量是有区别的，在数学中，我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量，也称为自由向量. 2.向量的表示方法 (1)几何法 有向线段:在线段的两个端点中,规定一个顺序,假设为起点,为终点,我们就说线段具有方向.指定了方向的线段叫做有向线段.用有向线段的起点和终点上方加箭头的两个大写字母表示,如读作向量 . (2)代数法 用上方加箭头的小写字母表示,如、、 3.向量的模 向量 的大小叫做 的模，记作 ；向量 的大小，即长度 （也称模）． 任意向量的模都是非负数,所以向量的模可以比较大小 4.单位向量 模为1的向量叫做单位向量;与向量同方向的单位向量记作 5.零向量 规定模为0的向量叫做零向量,记作它的方向是任意的 向量的数形特征 向量既能像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法。 知识点2 向量的基本关系 1.平行向量 如果两个非零向量所在的直线平行或重合,那么称这两个向量平行,记作规定:零向量与任意向量平行, 2.相等的向量 如果两个向量同方向且具有相同的模,那么称这两个向量为相等的向量.向量 3.负向量 如果一对平行向量具有相等的模但方向相反,那么称它们互为负向量,或者称 (1)零向量的负向量仍是零向量. (2)任意向量与其负向量的和是零向量. 知识点3 向量的加法及运算法则 定义 求向量和的运算,叫做向量的加法 法则 平行四边形法则 前提 已知不平行的两个向量 作法 在平面内任取一点 以点为起点的两个已知向量为邻边作 结论 图形 三角形法则 前提 已知非零向量 作法 在平面内任取一点 A,作再作向量 结论 (两个向量的和仍是一个向量) 图形 规定 零向量与任意向量 向量加法的交换律和结合律 （1）向量加法的交换律： （2）向量加法的结合律: 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 (1)区别 三角形法则:①首尾相接;②适用于任何向量求和. 平行四边形法则:①共起点;②仅适用于不平行的两个向量求和. (2)联系 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点4 向量的减法及几何意义 1.定义 如果已知向量记作求向量差的运算,叫做向量的减法 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用负向量的定义，可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算， 2.几何意义 在平面内任取一点 ,作则向量如图所示. 文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量 (1)任意向量都可以表示为两个向量的差,如在向量运算中应灵活运用。 以为邻边作平行四边形,则两条对角线的向量分别为 知识点5 实数与向量的乘法的定义及几何意义 实数λ与向量的乘积是一个向量,记作它的模和方向规定如下： （2） 实数与向量乘法的几何意义,如图所示 在实数与向量乘法中，可视为将向量的模伸长或缩短的倍数，的符号决定了向量的方向.当时，向量此时的方向是任意的. 知识点6 实数与向量乘法的运算律 设 、 是向量，、 ，有 （1） ； （2） ； （3） ． 与非零向量同方向的单位向量叫做向量的单位向量,记作 根据实数与向量的乘法的定义,可知 向量的加法、减法以及实数与向量的乘法,统称为向量的线性运算. 知识点7 向量的夹角 以一点 为起点，作 ，我们把射线O A、O B的夹角称为向量 与 的夹角，记作 ，它的取值范围为 ． （1）两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且 ． （2）向量的夹角应注意＂共起点＂，例：在 中， 与 的夹角不是 ，而是其补角． （3）两个向量的夹角为锐角 且 、 不共线． （4）两个向量的夹角为钝角 且 、 不共线． 向量夹角的情况如下表. 的范围或取值 0 图形 关系 同向 与的夹角为锐角 垂直，记作 的夹角为钝角 反向 知识点8 向量在向量方向上的投影向量与数量投影 1．如果向量 的起点 和终点 在直线 上的投影分别为点 和 ，那么向量 叫做向量 在直线 上的投影向量（如右图），简称为投影. 2．向量 在 方向上的投影与数量投影投影：;数量投影： ． 知识点9 向量的数量积 1.定义 设 与 是两个非零向量，定义 与 的数量积 规定：零向量与任一向量的数量积为 0 ． 由向量数量积的定义，可从数量积反推两个向量的夹角公式： 2.几何意义 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的数量投影 的乘积． 3.向量数量积的性质 （1） 当且仅当 ； （2） ，当且仅当 时等号成立． 当 与 平行且同向时， ；当 与 平行且反向时， ．特别地， ． 1.两个向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角是锐角、直角或钝角决定．对于两个非零向量 与 ，夹角为 ： （1）当 时， ； （2）当 时， ； （3）当 时， ． 2. 不能写成 或 ． 知识点10 平面向量数量积的运算律 设 、 和 是向量， 是实数，则 （1）向量数量积的交换律： ； （2）向量数量积对数乘的结合律： ； （3）向量数量积对加法的分配律： ． （1）当 时， 不一定推出 ，因为 得 ，所以 与 垂直，即向量的数量积运算不满足消去律． 特别地，当 时， 不一定推出 ． （2） 与 不一定相等，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，所以向量的数量积运算不满足结合律． 题型一、零向量与单位向量 例1（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 1-1（23-24高一下·上海·期中）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（ ） A． B．如果，那么 C． D．如果，那么或 【答案】D 【分析】利用单位向量，向量相等及向量共线的定义进行判断即可. 【详解】因为，都是单位向量，所以，且，方向不确定， 所以选项A和选项C错误； 如果，与方向相同或相反，且， 所以选项B错误，选项D正确. 故选：D. 1-2（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 题型二、平行向量（共线向量） 例2（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【答案】C 【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断. 【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误. 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误. 平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确. 向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误. 故选：C. 2-1（23-24高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 2-2（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知，求与向量方向相同的单位向量为 . 【答案】 【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量. 【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是. 故答案为： 题型三、向量加法的法则 例3（24-25高一下·上海·期中）已知为单位向量，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量模的定义即可判断A；根据零向量的概念即可判断B；根据平面向量的加减法运算即可判断CD． 【详解】对于A，由平面向量模的定义知，故A错误； 对于B，根据零向量和任一向量平行，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B． 3-1（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则求解即可． 【详解】 故答案为：． 3-2（23-24高一下·上海嘉定·期中）化简向量运算： ． 【答案】 【分析】根据向量加法的运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 题型四、向量加法法则的几何应用 例4（23-24高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为： ．    【答案】 【分析】根据题意利用中点的性质结合向量的加法运算法则分析求解. 【详解】因为G为的中点，则， 又因为分别为BD，AC的中点，则， 所以. 故答案为：. 4-1（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）化简 . 【答案】 【分析】根据向量加法运算律计算即可. 【详解】. 故答案为： 4-2（21-22高一下·上海徐汇·期中）为平行四边形，已知，M是的中点，则 （用表示） 【答案】 【分析】根据向量的平行四边形法则，得到，，进而利用为中点，得到，然后代入即可求解 【详解】 如图， 因为为平行四边形，所以，，，所以，，； 又因为为中点，所以，，得， ； 所以， 故答案为： 题型五、向量减法的法则 例5（22-23高一下·上海青浦·期中）下列式子中，不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：； B：； C：； D：； 故选：B 5-1（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，化简 【答案】 【分析】利用向量的加、减法运算即可. 【详解】. 故答案为： 5-2（24-25高一下·广东江门·阶段练习）化简：= 【答案】 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 题型六、向量数乘的有关计算 例6（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量，且设，则实数 ． 【答案】 【分析】利用向量的加减法法则对化简变形，然后结合可求得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 故答案为： 6-1（23-24高一下·上海·阶段练习）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 【答案】3 【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解. 【详解】因为向量不共线，由， 得，即，所以. 故答案为：3 6-2（21-22高一下·上海宝山·期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合向量的线性运算分析运算. 【详解】如图，连接，则， 不妨设，则，即， ∴，则， 故. 故答案为：. 题型七、平面向量的混合运算 例7（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加减法即可得到答案. 【详解】. 故选：C. 7-1（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知向量、，则等于 . 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 7-2（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为 ． 【答案】．/ 【分析】取的中点为，转化为的最值，由圆的几何性质可得解. 【详解】设的中点为，如图， 则， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以， 所以. 故答案为：． 题型八、向量的线性运算的几何应用 例8（22-23高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】分析可得且，利用梯形的定义判断可得出结论. 【详解】因为平面四边形满足，则且， 故四边形一定是梯形， 故选：D. 8-1（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 【答案】13 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故答案为：13. 8-2（24-25高一下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为 . 【答案】 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得，令，结合向量数乘的几何意义及减法法则化简向量并求其模长. 【详解】由，得， 所以， 因为，则，所以， 设，则点在直线上，所以，    当时，最小，其最小值为. 故答案为： 题型九、平面向量数量积的几何意义 例9（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得． 【详解】在方向上的数量投影为： 故答案为： ． 9-1（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则向量在向量上的数量投影为 . 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律求出，再利用数量投影的定义求解. 【详解】由，得，即， 解得，所以向量在向量上的数量投影为. 故答案为： 9-2（24-25高一下·上海·期中）已知，向量在向量方向上的数量投影为，则 【答案】 【分析】利用平面向量数量投影的定义可求得的值，结合向量夹角的定义可求得的值. 【详解】由题意可知，向量在向量方向上的数量投影为， 可得， 因为，故. 故答案为：. 题型十、求投影向量 例10（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示) 【答案】 【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为， 所以有. 故答案为：. 10-1（24-25高一下·上海·期中）已知，若，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】由数量投影定义计算即可. 【详解】已知，， 则， 则在方向上的数量投影为. 故答案为：. 10-2（24-25高一下·上海长宁·期中）设，是两个向量，其中，在方向上的投影是，我们知道结论“无论取何实数，在方向上的投影都是”成立；请用代数方法证明上述结论中的一种情况：当时，在方向上的投影都是； 【答案】证明见解析 【分析】根据向量数乘的运算性质和投影向量公式证明即可. 【详解】当时，与方向相反，，所以， 所以在方向上的投影向量为. 题型十一、用定义求向量的数量积 例11（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量定义计算即可判断A；由数量积定义和相等向量定义即可依次判断BC；由数量积运算律计算即可判断D. 【详解】对于A，由题在上的投影向量为，故A错误； 对于B，由题，故B错误； 对于C，两单位向量的方向不知，当两向量方向不同时不相等，故C错误； 对于D，，所以，故D正确. 故选：D 11-1（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量数量积的几何意义，向量在另一向量上的投影的模长与另一个向量的模长的乘积，就是向量的数量积，找出投影向量模长的最大值和最小值即可求出数量积的范围. 【详解】 由题意可知，且，所以, 则, 为在上的投影,当点在线段上时，投影模长最大，因为正八边形外角为，边长为2，此时投影模长为，数量积为， 当点在线段上时，此时投影为负值，模长为，数量积为， 则的取值范围是. 故答案为：. 11-2（24-25高一下·上海·阶段练习）如图所示，在扇形 AOB 中，∠AOB 为锐角，四边形 OMPN 是平行四边形，点 P 在弧上，点 M，N 分别在线段 OA，OB 上，，，记∠POB = ． (1)当时，求； (2)请写出阴影部分的面积 S 关于的函数关系式，并求当为何值时，S 取得最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求出，再利用数量积的定义可求； （2）利用正弦定理和面积公式求得平行四边形面积，结合三角变换和正弦函数的性质求得它的最大值，故可得阴影部分面积的最小值. 【详解】（1）因为，故， 而，故即， 而为三角形内角，故，故，， 由正弦定理得，故， 故. （2）在中，，由正弦定理得， 即，则，， ，由，得， 则当，即时，平行四边形的面积取最大值， 且最大值为， 故阴影部分的面积的最小值为. 题型十二、数量积的运算律 例12（24-25高一下·上海宝山·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 12-1（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，.若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】问题化为，应用向量数量级的运算律及二次函数的性质求最小值，即可得. 【详解】对任意的实数，不等式恒成立，即， 由， 对称轴，所以，所以. 故答案为： 12-2（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用极化恒等式，结合几何意义可求. 【详解】正方形的边长为2，则内切圆半径为1, 因为弦的长度最大，所以为直径，圆心为中点， 则， 所以， 根据题意当在切点时，，当在正方形顶点处时，， 即，即， 故答案为：. 题型十三、已知数量积求模 例13（24-25高一下·上海·期中）已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过数量积的运算律先求出及，再利用绝对值不等式来确定的取值范围，即可得解. 【详解】由，， 得， ， 所以， 又，所以， 解得，即. 故答案为：. 13-1（24-25高一下·上海·期中）已知向量，，，的夹角为，则 . 【答案】 【分析】根据向量的模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 13-2（24-25高一下·上海普陀·期中）已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】记，分，，三种情况计算可求最大值. 【详解】因为，所以，记， 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 当，则， 此时，，当且仅当共线同向时取等号； 所以的最大值为. 故答案为：. 题型十四、向量夹角的计算 例14（24-25高一下·上海·期中）若向量、满足，且，，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【分析】利用条件得到，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，则，又，则， 又，则，又，则， 故答案为：. 14-1（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知平面向量，． (1)求 (2)求实数为何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可先对其平方，再利用向量数量积公式展开，最后开方得到结果； （2）根据向量垂直的性质，两垂直向量的数量积为，列出关于的方程求解. 【详解】（1）对进行平方可得. 已知，，，则. 又因为，，所以，则. （2）因为，所以. 展开： 将，，代入上式可得： ，整理得. 解得. 则实数时，. 14-2（24-25高一下·上海·期中）设与均为单位向量. (1)若，求向量与的夹角； (2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解； （2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解． 【详解】（1）因为与均为单位向量，， 所以， 又， 所以， 又，所以． （2）因为，与的夹角为与均为单位向量， 所以， 即，所以， 解得，所以， 当且仅当时等号成立，即的最大值为 14-3（24-25高一下·上海闵行·期中）已知向量，满足，，设与的夹角为， (1)当时，求与的夹角； (2)若对任意实数，不等式恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，再利用夹角公式即可得解； （2）把不等式两边平方，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，即可得解. 【详解】（1）向量，满足，，设与的夹角为， 所以， ，则， 则， 故与夹角为. （2）将不等式两边同时平方， 得， 即 因为，与的夹角为， 则恒成立， 所以， 化简得，解得． 题型十五、垂直关系的向是表示 例15（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知，不共线，当时，称有序实数对为点的广义坐标，若点、的广义坐标分别为，，对于下列命题： ①线段的中点的广义坐标为； ②线段的长度为； ③向量平行于向量的充要条件为； ④向量垂直于向量的充要条件为；所有真命题的序号为 . 【答案】①③ 【分析】根据点的广义坐标的几何意义及向量的线性运算与数量积运算分别判断即可. 【详解】由题意：，， 对于①：设为中点， 所以， 所以线段的中点的广义坐标为，故①正确； 对于②，因为， 所以， 当向量，是相互垂直的单位向量时， ，两点间的距离为，否则距离不为，②错误； 对于③：向量平行于向量，即，， 即， 则，故③正确； 对于④：向量垂直于向量， 即， 则， 化简可得， 故④不一定成立； 故答案为：①③. 15-1（23-24高一下·上海·期中）有以下命题：①；②；③；④；⑤若，则.  则真命题有 . 【答案】①③⑤ 【分析】应用向量数量积的运算律及向量的性质判断①②③；由向量数量积的定义、运算律判断④⑤. 【详解】由数量积的结合律，，①对； 由都为标量，而为向量，所以不一定成立，②错； 由数量积的分配律，，③对； 由与不一定相等，④错； 由，两侧平方可得，即，故，⑤对. 所以真命题有①③⑤. 故答案为：①③⑤ 15-2（24-25高一下·上海·期中）已知 ， (1)求 和 ； (2)已知 ，且 ，求实数的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）向量的模，可根据向量模的计算公式求解；向量的夹角可通过向量的数量积公式计算； （2）向量垂直则根据向量垂直的性质来确定实数的值. 【详解】（1）根据向量模的计算公式，. 已知，，所以. 再根据向量模的计算公式求出. 然后根据向量的夹角公式可得. 因为两向量夹角的范围是，所以. （2）已知，，，则. 因为，根据向量垂直的性质，所以. 即，解得. 15-3（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算. 【详解】（1）由，，，得， 所以. （2）由，得， 则，即，所以. 题型十六、已知模求数量积 例16（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知向量、满足，，则 . 【答案】 【分析】 由得，经平方后转化为数量积求解. 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16-1（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 16-2（22-23高一下·上海·期中）在中，为边上一点，设． (1)若，试用，的线性组合表示； (2)若，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）依题意可得，又，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以，又， 所以 . 1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知两个平面向量满足：对任意的恒有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量模的平方等于向量的数量积的运算，从而把原不等式转化为一元二次不等式恒成立，从而通过判别式小于或等于0来研究向量积所满足的条件，即可得出判断. 【详解】由不等式平方得：， 整理得：， 当时，上式变为，满足不等式恒成立， 当时，由于任意的恒有上面一元二次不等式成立， 则满足， ， , ，故， 综上可得， 故选：B. 2．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可. 【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确； 题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确； 因为分别是的单位向量，所以， 故选：D 3．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 【答案】 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可. 【详解】由向量加法的运算法则，可得 . 故答案为： 4．（24-25高一下·上海·期中）设 、 为夹角为 的单位向量，求 . 【答案】 【分析】根据，结合数量积的运算求解，即得答案. 【详解】由于 、 为夹角为 的单位向量， 故， 故答案为： 5．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知向量，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的运算法则，即可求解. 【详解】根据向量的运算法则，可得. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知非零向量互不相等，且若则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算，引入四个变量，找到三个相等关系，然后借助消元思想，化为单变量函数，再利用平方均值不等式即可求出最大值. 【详解】以起点为原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，由可得， 假设，则由可得： ， 代入可得：， 又由， 则， （这里用到平方均值不等式：来求最大值） 当且仅当，上式等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 7．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知，与的夹角，求： (1)； (2)向量和的夹角余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义可得，再根据模长与数量积的关系求解即可； （2）根据平面向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，与的夹角，所以， 则 所以； （2）. 8．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，且与的夹角为； (1)若与垂直，求实数的值； (2)若，求与的夹角大小. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）结合数量积的定义和运算律利用向量垂直数量积为零解方程可得； （2）由数量积的运算律和模长的计算结合向量夹角的计算公式可得. 【详解】（1）若与垂直，则， 因为，且与的夹角为， 所以，解得. （2）， ，， 所以， 因为两向量夹角范围是，所以与的夹角为. 1．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）中，，当时，的最小值为，则 . 【答案】 【分析】若，，且与关于对称，即，将条件化为最小值为，应用余弦定理、二倍角余弦公式求得，即可求边长. 【详解】若，，则， 所以， 若与关于对称，即，则， 当共线时，最小为， 如上图，由，，，则， 由，且为锐角，故， 所以. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【详解】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 3．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知向量均为单位向量，且满足（为正整数），若任取正整数，，请你写出的夹角所有可能的取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】利用相邻两个单位向量的夹角为，再结合周期性，以及考虑向量夹角的范围是，问题即可得解. 【详解】由，向量均为单位向量，则， 因为，所以， 把所有单位向量的起点相同，终点就在单位圆上， 由于任意相邻两个单位向量的夹角为，所以的夹角所有可能的取值为， 故答案为： 4．（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据向量垂直及数量积运算律得，令，，，则，，结合不等式恒成立及对应几何意义得，进而有，最后应用向量数量积的运算律得到关于的表达式求最值. 【详解】由题设，又，则， 令，，，则，， 由，即恒成立，数形结合易知， 所以，得， ，其对称轴为， 所以，则. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】6 【分析】设为的重心，由重心性质可得，可得在以点为圆心，为半径的圆上面，设点与坐标原点重合，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设为的重心， 则， 因为，所以， 即在以点为圆心，为半径的圆上面， 设点与坐标原点重合， 则， 当且仅当都在线段上，等号成立， 又， 当且仅当在线段上面，且在线段上，在线段上等号成立， 综上所述，的最大值与最小值之和为6. 故答案为：6. 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$