（复习篇）专题01 因数和倍数的认识与特征【思维导图+知识卡片+知识梳理+十大考点讲练+真题强化 共50题】-2026-2027学年人教版数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题01因数和倍数的认识与特征 思维导图+知识回顾+十大考点讲练+真题强化（共50题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 五年级/下册 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 人教版五年级数学下册专题01= 1.因数与倍数的定义 3.因数的特征 ①在整数除法中，如果商是整数而没有余数， 我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大 9099 ②例如：12+2=6 的因数是它本身。 12 12是2的倍数，2和6是12的因数 因数 注意： 1,2,3 ÷2=6 注意：a×b=c(a、b、c都是不为0的整数) ①质数只有两个因数：1和它本身 6,12 那么，a和b是c的因数，c是a和b的倍数 ②最小的质数是2，设没有最大的质数 2.找一个数的因数的方法 知识点二2、5、3的倍数特征 ①列乘法算式：有序地写出两个自然数相桑得这个数的所有乘法算式， 1,2的倍数特征：个位上是0、2、4.6、8的数是2的倍数 两个因数都是这个数的因数。 2.5的倍数特征 个位上是0或5的数是5的倍数 ∽) ②列除法算式：有序地写出这个数被整除的所有除法算式， 3.3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数 除数和商都是这个数的因数。 4.特征之间的联系 ⊙)的倍数 因数和倍数的 ①2.3的倍数：个位上是0、2.4、6、8，且各个数位之和是3的倍数 各位和是3的 认识与特征 ②3、5的信数：个位上是0或5，且各个数位之和是3的倍数。 倍数 @2、3.5的倍数：个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数 4.找一个数的倍数的方法 ①列乘法算式：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是 知识点三质数与合数】 这个数的倍数。 ②列除法算式：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数 这些数就是这个数的倍数。 1,质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数 那么这样的数叫做质数（或素数）。 特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 例：20以内的质数有2.3,5,7,11,13,17,19。 2,合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的，且都等于它本身。 质数速记： 耶么这样的数叫做合数 23,5,7, 例：20以内的合数有4,6.8,9,10,12,14.15,16.18 知识点五分解质因数 11,13,17, 5.因数与倍数的运算性质 3,注意 ①0、1既不是质数，也不是合数 19, ☆ 1,分解质因数：把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来 ②100以内的质数有25个： 例：15=3×524=2×2×2×3 (1)奇数×偶数=偶数(2)奇数×奇数=奇数(3)偶数×偶数=偶数 2.3.5.7.11.13.17.19.23.29,31,37.41.43, 2.注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径， 相阅雨个白然象的和是奇数 奇数：不能拨2整啡的数偶胶：能核2轻除的数 47,53,59.61,67,71,73,79,83,9,97 称单数)，可用2+1表示.（俗防双数），可用2n表示 分解： 36=2×2×3×3 42=2×3×7 减法：奇数一奇数=偶数减法：奇数一偶数=奇数 击限食 知识梳理 温故知新 知识点一因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除 数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6,12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c 第2页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.找一个数的因数的方法 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因 数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3.因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4.找一个数的倍数的方法 （1)列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 (2)列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5.倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二2、5、3的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4.2、5、3倍数特征之间的联系 2、3的倍数：个位上是0,2,4,6,8，且各个数位2、3的上的数字之和是3的倍数。 3、5的倍数：倍数个位上是0.5.且各个数位上的数3、5的字之和是3的倍数。 2、3、5的倍数：倍数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点三奇数与偶数 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2一1表示。 3.奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数(2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数一奇数=偶数奇数一偶数=奇数偶数一奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四质数与合数 1.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数)。 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 第3页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3.注意 (1)0、1既不是质数，也不是合数。 (2)100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、83、89、97,共25个。 知识点五分解质因数 1.分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5,24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 优选题型考点讲练 考点一根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(25-26五年级下·广东佛山·阶段检测)在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战 争胜利80周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可 以排几行？有几种排法？（不能排成一行或一列） 【变式训练1】(23-24五年级下·贵州铜仁·阶段检测)劳动教育课上，老师教同学们做水果拼盘。 一共有24种水果，要求不能每种水果拼成一盘，也不能24种水果拼成一盘，每盘种类数相同，且最 后正好把24种水果拼装完，那么一共可以有( )种不同的拼法。 第4页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练2】(25-26五年级下·河北保定·期中)非遗文化进校园，同学们制作剪纸作品，一共 制作了48幅作品，要把这些作品贴在展板上，每行贴的数量相同，且不少于6幅，不多于16幅，有 几种贴法？分别每行贴多少幅作品？ 考点二根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(25-26五年级下·广东江门·阶段检测)笑笑去超市买卡士酸奶，每盒8元，笑笑给 了收银员100元，找回2元。你认为收银员找给笑笑的钱对吗？为什么？ 【变式训练1】(2025五年级下·全国·专题练习)小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支 自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员 要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【变式训练2】（23-24五年级下·河南南阳·期中)4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古 传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？ 至少减少多少人也正好6人一组？ 考点三倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(25-26五年级上·河南商丘·期中)五（1)班的学生参加植树活动，一共要种54棵 树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 第5页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】（25-26五年级下·内蒙古乌海·期中)下面的说法中，不正确的有（)句。 ①因为21÷7=3，所以21是倍数，3是因数。 ②1是所有非零自然数的因数。 ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。 A.1 B.2 0.3 【变式训练2】(23-24五年级下·江西上饶·期中)在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、 六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一 个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1,2,3,6，且1+2十3 =6,下面各数中，()也是完全数。 A.10 B.12 C.24 D.28 考点四2、5的倍数特征 【典例精讲】(25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测)从下面的四张卡片中按要求取出三张，组成 三位数。 最小的奇数：( 最大的偶数：( )。 2的倍数的最小的数：( ）。 5的倍数的最大的数：( 3的倍数的最小的数：( )。 既是2的倍数，又是3的倍数的最大的数：( 【变式训练1】(25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测)一个三位数52 当 中填( 时，既是2的倍数，又是5的倍数；一个四位数 4 90既是2和5的倍数，又是3的倍数， 最大填( )。 【变式训川练2】(25-26五年级下·广东广州·阶段检测)38至少加上( )就是3的倍数，至 少减去( )就是5的倍数。 第6页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点五奇数与偶数的认识 【典例精讲】(25-26五年级下·河南周口·阶段检测)如图，一个杯子杯口朝上放在桌子上，翻动 1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。按这样的规律翻动下去，翻动97次杯口朝( ）。 )→D→ 【变式训练1】（24-25五年级下·江西赣州·期末)某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座15次，社区游泳池安全员22名，危险水域警示牌安装7块，中小学生游泳技能培训 课时10小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( );质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)15的所有因数有( )。 (4)在括号里填质数：10=( )+( ）。 【变式训川练2】（24-25五年级下·重庆武隆·期末)读一读、填一填。 数学中有很多看似简单，但证明起来却非常困难的问题，“考拉兹猜想”就是其中之一。这个猜想说 的是：任何一个大于0的自然数，如果它是奇数，就乘3再加上1；如果它是偶数，就除以2，按照这 个规则不断地运算下去，最后总会得到1，并无法跳出4+2+1这个循环。 例如，5的交换过程是：5→+16→8→4→2→1； 42的交换过程是：42+21→64→32→16→+8→4→2→1。 (1)根据“考拉兹猜想”的内容，“5→16”的变换过程用算式表示是( );“42→21”的变换 过程用算式表示是( ）。 (2)在42的变换过程中，变成最大的数是64，那么在11的变换过程中，变成最大的数是( )。 考点六3的倍数特征 【典例精讲】(25-26五年级下·河北邢台·阶段检测)下列说法错误的是（)。 A.一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数 B.一个数的倍数一定比这个数的因数大 C.一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身 D.用2、7、9组成的三位数，一定是3的倍数 【变式训练1】（25-26五年级下·山东济南·期中)一个四位数“2☐2☐”，如果既是3的倍数， 又是5的倍数，那么这个四位数最小是 ,最大是 第7页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练2】（25-26五年级下·江苏·单元复习)甲、乙两人做抽卡片游戏，每人从卡片2、4、 6、7中任意抽取一张。如果它们的和能被2整除，则甲获胜；如果它们的和能被3整除，则乙获胜。 如果和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。( )获胜的 可能性大，理由： 考点七2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(25-26五年级下·湖南永州·期末)一个三位数既含有2和3的因数，又含有5的因 数，这个数最大是( ),最小是( )。 【变式训练1】（24-25五年级下·山西大同·期末)小明用数字卡片组成了两个三位数，☆34和54 ☆，要使☆34是3的倍数，54☆是2的倍数，☆是( )或( )。 【变式训练2】（2026五年级下·全国·专题练习)下面说法正确的有（)个。 ①2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数。 ②7、9、15、87、630这五个数中，不是3的倍数的数有1个。 ③三个连续的自然数的和一定是3的倍数。 ④既是3的倍数又是5的倍数的数一定是奇数。 A.1 B.2 C.3 D.4 考点八质数与合数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·江苏徐州·期末)猜车牌号码。从左到右，第一个数字是最小的合 数；第二个数字既是偶数又是质数；第三个数字的最大因数和最小倍数都是8；第四个数字是所有自然 数(0除外)的公因数：第五个数字是10以内最大的奇数。这个车牌号码是：苏 【变式训练1】（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测)下面说法正确的是()。 A.凡是7的倍数都是奇数 B.1.2÷0.3=4,所以1.2是0.3的倍数 C.最小的质数是1 D.两个奇数的乘积一定是奇数 【变式训练2】（24-25五年级下·江西赣州·期末)某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座举行了24次，社区游泳池安全员15名，游泳池危险水域警示牌安装了11块，中小学 生游泳技能培训课时20小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( )；质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( );既是2的倍数，又是5的倍数的有( (3)24的因数有( ）。 (4)在括号里填质数：15=( )+( )。 第8页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点九质数与合数的综合应用 【典例精讲】(25-26五年级下·福建龙岩·期中)同学们排方阵做操，每行的人数都相等。下面是 靠靠、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。 41 43 47 49 貸累累 依依 龙一 (1)你认为( )数对了。 (2)写出你的理由： 【变式训练1】（24-25五年级下·湖北十堰·期中)美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长 方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 【变式训练2】（24-25五年级下·江西宜春·期中)张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是 整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 考点十运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】(2026五年级下·全国·专题练习)高尔基说过“世界上的一切光荣和骄傲，都来自母 亲”。母亲生日这天，华华买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员100元，营业员找回27元，华华 立刻指出营业员找回的钱数不对。你知道华华是怎么判断的吗？请写出你的思考过程。 种类 康乃馨 百合花 价格 2元/枝 8元/枝 第9页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】（24-25五年级下·辽宁葫芦岛·期末)如果用自然数m表示一个偶数，那么2m十1 一定是（)。 A.质数 B.合数 C.奇数 【变式训练2】(24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中)依依买了一个笔袋、几支钢笔和几 本笔记本，付给售货员50元，售货员叔叔找给她25元。依依看了看单价，说：“叔叔，您把账算错 啦！”想一想，依依为什么这么快就知道账算错了？ 12元 6元 2元 真题汇编能力强化 1.(24-25五年级下·甘肃兰州·期末)如果三位数76a同时是2和3的倍数，那么符合条件的数有 ()个。 A.2 B.3 C.4 D.5 2.(24-25五年级下·广东广州·期末)已知34□这个三位数既是3的倍数，又是5的倍数， 里 的数是（)。 A.0 B.2 C.5 D.8 3.(25-26五年级下·贵州黔东南·阶段检测)将一副扑克牌中同花色的A一K这13张牌打乱顺序， 反扣在桌面上，任意抽一张。抽中（)的可能性大。（将A看作1，J看作11，Q看作12，K看作 13) A.质数 B.合数 C.偶数 D.奇数 4.(24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中)五（1)班有45名同学，五(2)班有46名同学， 两个班的班长都准备把全班分成4个组去社区帮扶老人，每个组都是奇数名同学，()这样分配。 A.五（1)班可以B.五（2)班可以C.都可以 D.都不可以 5.(24-25五年级下·山东泰安·期末)两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是( 和( ),它们相差( )。 6.（24-25五年级下·山西晋中·期末)一个三位数46☐，如果使它成为2和5的倍数，☐里应该填 )；如果使它成为3的倍数，口里最小填( ）。 第10页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 7.（24-25五年级下·四川遂宁·期末)智能快递柜走进了城市的各个社区，解决了社区居民排队取 快递的烦恼。居民王阿姨某次网购的取件码是一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上是最小的 奇数，十位上是最小的合数，个位上是2和3的倍数，王阿姨的取件码是( )。 8.(25-26五年级下·河北保定·期末)一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、 e、f,已知a与f的和是19，那么这个自然数是( ),d+e=( ）。 9.(25-26五年级下陕西榆林阶段检测)根据2×7=14。可知2和7是因数，14是倍数。（ (判断对错) 10.（25-26五年级下·湖南永州·期末)一个自然数不是质数就是合数。（)（判断对错） 11.(24-25六年级下·重庆九龙坡·开学考试)日历上连续6天的号数和一定是6的倍数。（ (判断对错) 12.(25-26五年级下·河南周口·阶段检测)求下面每组数的最小公倍数。 7和1372和16 13.(24-25五年级下·广东广州·期末)已知a和b均为质数，且5a+7b=45。云云说5a和7b中 一定有一个数是偶数。 (1)云云说的对吗？请说明理由。 (2)a和b分别是多少？写出思考过程。 14.（25-26五年级下·福建莆田·阶段检测)取件码的出现，提高了快递服务的安全性和便利性。刘 阿姨的取件码是一个六位数，从左向右数第一位数是最小的质数，第二位数是两个不同质数的乘积， 第三位数是最小的偶数，第四位数是最小合数的2倍，第五位数最大的因数是7，第六位数是10以内 最大的奇数，刘阿姨的取件码是多少？ 第11页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 15.（25-26五年级下·福建龙岩·阶段检测)永定土楼是世界文化遗产之一，位于福建省西南部的龙 岩市永定区。五（1)班的同学准备去参观永定土楼，学校为同学们准备了95个面包，有如图三种包 装（每个圈处放一个面包)，选哪种包装盒正好可以装完？为什么？ ①3个装( ②4个装③5个装 16.（25-26五年级下·山东济南·期中)“逢七过”是一个有趣的数字游戏。游戏规测如下：从1 开始按顺序报数，当遇到7的倍数或者个位数是7时，就要喊“过”。现在请你思考：在1到40的数 字中，有多少个数字需要喊“过”？请把这些数字都列出来。 17.（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测)请阅读以下材料，再解决问题。 123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123=1×100+2×10+3 =1×(99+1)+2×(9+1)+3 =1×99+1+2×9+2+3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1+2十3”，也就是“各位上的数的和”是否为3 的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面画“√”），并写出9的倍数的特征。 90() 693（） 239()990() 9的倍数特征：( ）。 (2)请仿照阅读材料，说明判断693是不是9的倍数的方法的道理。 第12页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 18.(25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测)农场要围一块长方形的草莓种植区，围栏的总长度是 60米。要求种植区的长和宽都是大于10的质数。这块长方形种植区的最大面积是多少平方米？ 19.(24-25五年级下·福建福州·期中)探究11的倍数特征 我们学习了3的倍数特征一各位数字之和是3的倍数。那么，11的倍数是否有类似的规律呢？通过 数学家的研究，发现11的倍数有两种判断方法：奇偶位差法和末三位分段法。让我们通过实验探究这 些方法的原理与应用。 任务一：【观察与猜想】 列出以下11的倍数：99、110、121、1936、3025。尝试通过数字排列或数位运算发现规律。提出一种 判断11的倍数的猜想（例如：奇偶位差或末三位分段）。 任务二：【阅读与验证】 实验方法一：奇偶位差法 方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。 示例：判断32571是否为11的倍数：奇数位（第1、3、5位）和：3+5+1=9，偶数位（第2、4位） 和：2+7=9，差为0（11的倍数)，因此是11的倍数。 应用此方法判断下面各数是否是11的倍数。 (1)385 (2)35024 实验方法二：末三位分段法 方法：将数从个位开始两两分隔，若所有分隔的数和为11的倍数。 示例：判断123456是否为11的倍数：分隔成12、34、56，计算12+34+56=102(102不是11的倍 数)。 应用此方法判断下面各数是否是11的倍数。 (1)1320 (2)25531 任务三：【思考与启发】（可课余时间完成) (1)本质思考：奇偶位差法与末三位分段法是否本质相同？举例说明。 （2)迁移探究：尝试用类似方法探究7或13的倍数特征（参考末三位分段法)。 第13页共14页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 20.(25-26五年级上·广东韶关·期中)(1)韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长 和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ (2)花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合 数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 第14页共14页null2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题01 因数和倍数的认识与特征 人教版 思维导图+知识回顾+十大考点讲练+真题强化 （共50题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 2、3的倍数：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位2、3的上的数字之和是3的倍数。 3、5的倍数：倍数个位上是0.5.且各个数位上的数3、5的字之和是3的倍数。 2、3、5的倍数：倍数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 考点一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可以排几行？有几种排法？（不能排成一行或一列） 【变式训练1】（23-24五年级下·贵州铜仁·阶段检测）劳动教育课上，老师教同学们做水果拼盘。一共有24种水果，要求不能每种水果拼成一盘，也不能24种水果拼成一盘，每盘种类数相同，且最后正好把24种水果拼装完，那么一共可以有( )种不同的拼法。 【变式训练2】（25-26五年级下·河北保定·期中）非遗文化进校园，同学们制作剪纸作品，一共制作了48幅作品，要把这些作品贴在展板上，每行贴的数量相同，且不少于6幅，不多于16幅，有几种贴法？分别每行贴多少幅作品？ 考点二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·广东江门·阶段检测）笑笑去超市买卡士酸奶，每盒8元，笑笑给了收银员100元，找回2元。你认为收银员找给笑笑的钱对吗？为什么？ 【变式训练1】（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【变式训练2】（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 考点三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级上·河南商丘·期中）五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 【变式训练1】（25-26五年级下·内蒙古乌海·期中）下面的说法中，不正确的有（    ）句。 ①因为21÷7＝3，所以21是倍数，3是因数。 ②1是所有非零自然数的因数。 ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。 A．1 B．2 C．3 【变式训练2】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 考点四 2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）从下面的四张卡片中按要求取出三张，组成三位数。 最小的奇数：( )。 最大的偶数：( )。 2的倍数的最小的数：( )。    5的倍数的最大的数：( )。 3的倍数的最小的数：( )。 既是2的倍数，又是3的倍数的最大的数：( )。 【变式训练1】（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）一个三位数52，当中填( )时，既是2的倍数，又是5的倍数；一个四位数490既是2和5的倍数，又是3的倍数，中最大填( )。 【变式训练2】（25-26五年级下·广东广州·阶段检测）38至少加上( )就是3的倍数，至少减去( )就是5的倍数。 考点五 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（25-26五年级下·河南周口·阶段检测）如图，一个杯子杯口朝上放在桌子上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。按这样的规律翻动下去，翻动97次杯口朝( )。 【变式训练1】（24-25五年级下·江西赣州·期末）某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座15次，社区游泳池安全员22名，危险水域警示牌安装7块，中小学生游泳技能培训课时10小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( )；质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)15的所有因数有( )。 (4)在括号里填质数：10＝( )＋( )。 【变式训练2】（24-25五年级下·重庆武隆·期末）读一读、填一填。 数学中有很多看似简单，但证明起来却非常困难的问题，“考拉兹猜想”就是其中之一。这个猜想说的是：任何一个大于0的自然数，如果它是奇数，就乘3再加上1；如果它是偶数，就除以2，按照这个规则不断地运算下去，最后总会得到1，并无法跳出4→2→1这个循环。 例如，5的交换过程是：5→16→8→4→2→1； 42的交换过程是：42→21→64→32→16→8→4→2→1。 (1)根据“考拉兹猜想”的内容，“5→16”的变换过程用算式表示是( )；“42→21”的变换过程用算式表示是( )。 (2)在42的变换过程中，变成最大的数是64，那么在11的变换过程中，变成最大的数是( )。 考点六 3的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·河北邢台·阶段检测）下列说法错误的是（    ）。 A．一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数 B．一个数的倍数一定比这个数的因数大 C．一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身 D．用2、7、9组成的三位数，一定是3的倍数 【变式训练1】（25-26五年级下·山东济南·期中）一个四位数“2□2□”，如果既是3的倍数，又是5的倍数，那么这个四位数最小是_________，最大是_________。 【变式训练2】（25-26五年级下·江苏·单元复习）甲、乙两人做抽卡片游戏，每人从卡片2、4、6、7中任意抽取一张。如果它们的和能被2整除，则甲获胜；如果它们的和能被3整除，则乙获胜。如果和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。( )获胜的可能性大，理由：________________。 考点七 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（25-26五年级下·湖南永州·期末）一个三位数既含有2和3的因数，又含有5的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【变式训练1】（24-25五年级下·山西大同·期末）小明用数字卡片组成了两个三位数，☆34和54☆，要使☆34是3的倍数，54☆是2的倍数，☆是( )或( )。 【变式训练2】（2026五年级下·全国·专题练习）下面说法正确的有（    ）个。 ①2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数。 ②7、9、15、87、630这五个数中，不是3的倍数的数有1个。 ③三个连续的自然数的和一定是3的倍数。 ④既是3的倍数又是5的倍数的数一定是奇数。 A．1 B．2 C．3 D．4 考点八 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏徐州·期末）猜车牌号码。从左到右，第一个数字是最小的合数；第二个数字既是偶数又是质数；第三个数字的最大因数和最小倍数都是8；第四个数字是所有自然数（0除外）的公因数；第五个数字是10以内最大的奇数。这个车牌号码是：苏C。 【变式训练1】（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测）下面说法正确的是（    ）。 A．凡是7的倍数都是奇数 B．1.2÷0.3＝4，所以1.2是0.3的倍数 C．最小的质数是1 D．两个奇数的乘积一定是奇数 【变式训练2】（24-25五年级下·江西赣州·期末）某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座举行了24次，社区游泳池安全员15名，游泳池危险水域警示牌安装了11块，中小学生游泳技能培训课时20小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( )；质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)24的因数有( )。 (4)在括号里填质数：15＝( )＋( )。 考点九 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·福建龙岩·期中）同学们排方阵做操，每行的人数都相等。下面是靠靠、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。 (1)你认为( )数对了。 (2)写出你的理由：________________________。 【变式训练1】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 【变式训练2】（24-25五年级下·江西宜春·期中）张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 考点十 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（2026五年级下·全国·专题练习）高尔基说过“世界上的一切光荣和骄傲，都来自母亲”。母亲生日这天，华华买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员100元，营业员找回27元，华华立刻指出营业员找回的钱数不对。你知道华华是怎么判断的吗？请写出你的思考过程。 种类 康乃馨 百合花 价格 2元/枝 8元/枝 【变式训练1】（24-25五年级下·辽宁葫芦岛·期末）如果用自然数m表示一个偶数，那么2m＋1一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 【变式训练2】（24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）依依买了一个笔袋、几支钢笔和几本笔记本，付给售货员50元，售货员叔叔找给她25元。依依看了看单价，说：“叔叔，您把账算错啦！”想一想，依依为什么这么快就知道账算错了？ 1．（24-25五年级下·甘肃兰州·期末）如果三位数76a同时是2和3的倍数，那么符合条件的数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25五年级下·广东广州·期末）已知34这个三位数既是3的倍数，又是5的倍数，里的数是（    ）。 A．0 B．2 C．5 D．8 3．（25-26五年级下·贵州黔东南·阶段检测）将一副扑克牌中同花色的A－K这13张牌打乱顺序，反扣在桌面上，任意抽一张。抽中（    ）的可能性大。（将A看作1，J看作11，Q看作12，K看作13） A．质数 B．合数 C．偶数 D．奇数 4．（24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）五（1）班有45名同学，五（2）班有46名同学，两个班的班长都准备把全班分成4个组去社区帮扶老人，每个组都是奇数名同学，（    ）这样分配。 A．五（1）班可以 B．五（2）班可以 C．都可以 D．都不可以 5．（24-25五年级下·山东泰安·期末）两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是( )和( )，它们相差( )。 6．（24-25五年级下·山西晋中·期末）一个三位数46□，如果使它成为2和5的倍数，□里应该填( )；如果使它成为3的倍数，□里最小填( )。 7．（24-25五年级下·四川遂宁·期末）智能快递柜走进了城市的各个社区，解决了社区居民排队取快递的烦恼。居民王阿姨某次网购的取件码是一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的合数，个位上是2和3的倍数，王阿姨的取件码是( )。 8．（25-26五年级下·河北保定·期末）一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a与f的和是19，那么这个自然数是( )，d＋e＝( )。 9．（25-26五年级下·陕西榆林·阶段检测）根据。可知和是因数，是倍数。( )（判断对错） 10．（25-26五年级下·湖南永州·期末）一个自然数不是质数就是合数。( )（判断对错） 11．（24-25六年级下·重庆九龙坡·开学考试）日历上连续6天的号数和一定是6的倍数。( )（判断对错） 12．（25-26五年级下·河南周口·阶段检测）求下面每组数的最小公倍数。 7和13    72和16 13．（24-25五年级下·广东广州·期末）已知a和b均为质数，且5a＋7b＝45。云云说5a和7b中一定有一个数是偶数。 (1)云云说的对吗？请说明理由。 (2)a和b分别是多少？写出思考过程。 14．（25-26五年级下·福建莆田·阶段检测）取件码的出现，提高了快递服务的安全性和便利性。刘阿姨的取件码是一个六位数，从左向右数第一位数是最小的质数，第二位数是两个不同质数的乘积，第三位数是最小的偶数，第四位数是最小合数的2倍，第五位数最大的因数是7，第六位数是10以内最大的奇数，刘阿姨的取件码是多少？ 15．（25-26五年级下·福建龙岩·阶段检测）永定土楼是世界文化遗产之一，位于福建省西南部的龙岩市永定区。五（1）班的同学准备去参观永定土楼，学校为同学们准备了95个面包，有如图三种包装（每个圈处放一个面包），选哪种包装盒正好可以装完？为什么？ 16．（25-26五年级下·山东济南·期中）“逢七过”是一个有趣的数字游戏。游戏规则如下：从1开始按顺序报数，当遇到7的倍数或者个位数是7时，就要喊“过”。现在请你思考：在1到40的数字中，有多少个数字需要喊“过”？请把这些数字都列出来。 17．（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测）请阅读以下材料，再解决问题。 123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面画“√”），并写出9的倍数的特征。 90（    ）        693（    ）        239（    ）        990（    ） 9的倍数特征：（                                  ）。 (2)请仿照阅读材料，说明判断693是不是9的倍数的方法的道理。 18．（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）农场要围一块长方形的草莓种植区，围栏的总长度是60米。要求种植区的长和宽都是大于10的质数。这块长方形种植区的最大面积是多少平方米？ 19．（24-25五年级下·福建福州·期中）探究11的倍数特征 我们学习了3的倍数特征——各位数字之和是3的倍数。那么，11的倍数是否有类似的规律呢？通过数学家的研究，发现11的倍数有两种判断方法：奇偶位差法和末三位分段法。让我们通过实验探究这些方法的原理与应用。 任务一：【观察与猜想】 列出以下11的倍数：99、110、121、1936、3025。尝试通过数字排列或数位运算发现规律。提出一种判断11的倍数的猜想（例如：奇偶位差或末三位分段）。 任务二：【阅读与验证】 实验方法一：奇偶位差法 方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。 示例：判断32571是否为11的倍数：奇数位（第1、3、5位）和：3＋5＋1＝9，偶数位（第2、4位）和：2＋7＝9，差为0（11的倍数），因此是11的倍数。 应用此方法判断下面各数是否是11的倍数。 （1）385             （2）35024 实验方法二：末三位分段法 方法：将数从个位开始两两分隔，若所有分隔的数和为11的倍数。 示例：判断123456是否为11的倍数：分隔成12、34、56，计算12＋34＋56＝102（102不是11的倍数）。 应用此方法判断下面各数是否是11的倍数。 （1）1320            （2）25531 任务三：【思考与启发】（可课余时间完成） （1）本质思考：奇偶位差法与末三位分段法是否本质相同？举例说明。 （2）迁移探究：尝试用类似方法探究7或13的倍数特征（参考末三位分段法）。 20．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题01 因数和倍数的认识与特征 人教版 思维导图+知识回顾+十大考点讲练+真题强化 （共50题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 2、3的倍数：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位2、3的上的数字之和是3的倍数。 3、5的倍数：倍数个位上是0.5.且各个数位上的数3、5的字之和是3的倍数。 2、3、5的倍数：倍数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 考点一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的9.3阅兵训练中，有42名队员组成一个长方形阵列，要求每行的人数相同，那么可以排几行？有几种排法？（不能排成一行或一列） 【答案】可以排2行、3行、6行、7行、14行、21行；6种 【思路引导】长方形阵列中，行数×每行人数＝42，每行的人数相同，就是求42的因数，通过乘法配对求出42的所有因数，（不能排成一行或一列，1和42不符合题意），再进一步解答即可。 【规范解答】1×42＝42 2×21＝42 3×14＝42 6×7＝42 42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，排除1和42后，符合要求的行数为2行、3行、6行、7行、14行、21行。 答：可以排2行、3行、6行、7行、14行、21行，有6种排法。 【变式训练1】（23-24五年级下·贵州铜仁·阶段检测）劳动教育课上，老师教同学们做水果拼盘。一共有24种水果，要求不能每种水果拼成一盘，也不能24种水果拼成一盘，每盘种类数相同，且最后正好把24种水果拼装完，那么一共可以有( )种不同的拼法。 【答案】6 【思路引导】正好把24种水果拼装完，说明每盘的水果种类数与盘数的乘积是24，因此每盘的水果种类是24的因数，因为要求不能每种水果拼成一盘，也不能24种水果拼成一盘，所以1和24要排除。 【规范解答】24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24。 符合题意的因数有：2、3、4、6、8、12，共6种。 所以一共可以有6种不同的拼法。 【变式训练2】（25-26五年级下·河北保定·期中）非遗文化进校园，同学们制作剪纸作品，一共制作了48幅作品，要把这些作品贴在展板上，每行贴的数量相同，且不少于6幅，不多于16幅，有几种贴法？分别每行贴多少幅作品？ 【答案】4种； 6、8、12、16幅 【思路引导】作品总数固定为 48 幅，且每行贴的数量相同，说明每行贴的数量必须是48的因数。题目还限制了每行贴的数量范围是不少于6幅且不多于16幅。先有序地找出48的所有因数，然后根据给定的范围（每行贴的数量范围是不少于6幅且不多于16幅）进行筛选，符合条件的因数个数即为贴法的种数，具体的因数即为每行贴的作品数量。 【规范解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 根据条件“不少于6幅，不多于16幅” 在48的因数中，大于或等于6且小于或等于16的数有：6、8、12、16。 符合条件的因数共有4个，所以对应有4种贴法。 答：有4种贴法，分别每行贴6、8、12、16幅作品。 考点二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·广东江门·阶段检测）笑笑去超市买卡士酸奶，每盒8元，笑笑给了收银员100元，找回2元。你认为收银员找给笑笑的钱对吗？为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【思路引导】酸奶单价为8元，购买酸奶的总钱数一定是8的倍数，先求出花费的钱数，再计算该数是否能被8整除即可。 【规范解答】100－2＝98（元） 98÷8＝12⋯⋯2 答：98不能被8整除，购买酸奶的盒数不为整数，因此收银员找的钱不对。 【变式训练1】（2025五年级下·全国·专题练习）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【答案】见详解 【思路引导】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【规范解答】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 【变式训练2】（23-24五年级下·河南南阳·期中）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【思路引导】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【规范解答】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 考点三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级上·河南商丘·期中）五（1）班的学生参加植树活动，一共要种54棵树。要求每行种树的棵数相等，你有几种不同的种法？（每行多于1棵少于54棵） 【答案】6种 【思路引导】找到所有54的因数，即可求出要求每行种树的棵数相等，有几种不同的种法。 【规范解答】54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54，因为每行多于1棵少于54棵，所以排除1和54； 54＝2×27，可种2行，每行27棵；可种27行，每行2棵； 54＝3×18，可种3行，每行18棵；可种18行，每行3棵； 54＝6×9，可种6行，每行9棵；可种9行，每行6棵； 答：有6种不同的种法。 【变式训练1】（25-26五年级下·内蒙古乌海·期中）下面的说法中，不正确的有（    ）句。 ①因为21÷7＝3，所以21是倍数，3是因数。 ②1是所有非零自然数的因数。 ③甲数除以乙数，商是15，那么甲数一定是乙数的倍数。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】解题关键在于掌握因数与倍数的相互依存关系，明确研究范围是非零自然数，以及1的特殊性。需要逐句判断说法的正误，统计不正确的句数。 【规范解答】逐项分析如下： ① 因数与倍数是相互依存的概念，不能单独存在。应该说21是7和3的倍数，3和7是21的因数，不能单独说21是倍数，3是因数。此说法错误； ② 任何非零自然数除以1都等于它本身，商是整数且没有余数，符合因数的定义，所以1是所有非零自然数的因数。此说法正确； ③ 因数与倍数的研究范围是非零自然数。题干未说明甲数和乙数是非零自然数，若甲数是1.5，乙数是0.1，虽然，但不能说甲数是乙数的倍数。此说法错误。 综上所述，说法不正确的有①和③，共2句。 【变式训练2】（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路引导】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【规范解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 考点四 2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）从下面的四张卡片中按要求取出三张，组成三位数。 最小的奇数：( )。 最大的偶数：( )。 2的倍数的最小的数：( )。    5的倍数的最大的数：( )。 3的倍数的最小的数：( )。 既是2的倍数，又是3的倍数的最大的数：( )。 【答案】 205 752 250 750 207 750 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数； 个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数； 个位上的数字是0或5的数是5的倍数； 一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】组成的所有三位数有：570、507、572、527、502、520、750、705、702、720、752、725、257、275、250、205、270、207。 奇数有：507、527、705、725、257、275、205、207，最小的奇数：205。 偶数有：570、572、502、520、750、702、720、752、250、270，最大的偶数：752。 2的倍数有：570、572、502、520、750、702、720、752、250、270，2的倍数的最小的数：250。    5的倍数有：570、520、750、705、720、725、275、250、205、270，5的倍数的最大的数：750。 3的倍数有：570、507、750、705、702、720、270、207，3的倍数的最小的数：207。 既是2的倍数，又是3的倍数有：570、750、702、720、270，既是2的倍数，又是3的倍数的最大的数：750。 【变式训练1】（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）一个三位数52，当中填( )时，既是2的倍数，又是5的倍数；一个四位数490既是2和5的倍数，又是3的倍数，中最大填( )。 【答案】 0 8 【思路引导】既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】 一个三位数52，因为2和5的倍数的个位上的数字一定是0，所以当中填0时，既是2的倍数，又是5的倍数；一个四位数490既是2和5的倍数，又是3的倍数，4＋9＋0＝13，百位最小填15－13＝2，还可以填2＋3＝5、5＋3＝8，中最大填8。 【变式训练2】（25-26五年级下·广东广州·阶段检测）38至少加上( )就是3的倍数，至少减去( )就是5的倍数。 【答案】 1 3 【思路引导】（1）3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （2）5的倍数特征：一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。 【规范解答】根据分析可知： （1）先计算38各个数位的数字之和：3＋8＝11，根据乘法口诀“三三得九”、“三四十二”可知，比11大的最小的3倍数是12，12－11＝1，所以38至少加上1就是3的倍数。 （2）根据乘法口诀“五七三十五”、“五八四十”可知，比38小的最大的5倍数是35，38－35＝3，所以至少减去3就是5的倍数。 考点五 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（25-26五年级下·河南周口·阶段检测）如图，一个杯子杯口朝上放在桌子上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。按这样的规律翻动下去，翻动97次杯口朝( )。 【答案】下 【思路引导】翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上，翻动3次杯口朝下，翻动4次杯口朝上，翻动5次杯口朝下，翻动6次杯口朝上，……，也就是说翻动次数是奇数时杯口朝下，翻动次数是偶数时杯口朝上。 【规范解答】97是奇数，此时杯口朝下。 【变式训练1】（24-25五年级下·江西赣州·期末）某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座15次，社区游泳池安全员22名，危险水域警示牌安装7块，中小学生游泳技能培训课时10小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( )；质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)15的所有因数有( )。 (4)在括号里填质数：10＝( )＋( )。 【答案】(1) 15、7 7 (2) 15 10 (3)1、3、5、15 (4) 3 7 【思路引导】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身之外还有别的因数的数是合数；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位是0的数同时是2和5的倍数；能整除15的数都是15的因数，据此解答。 【规范解答】（1）15÷2＝7……1，7÷2＝3……1，15和7不能被2整除，15和7是奇数；7的因数只有1和7，因此7是质数。 （2）1＋5＝6，6是3的倍数，所以15也是3的倍数；既是2的倍数，又是5的倍数的有10。 （3）15÷1＝15，15÷3＝5，因此15的因数有1、3、5、15。 （4）5＋5＝10，5是质数；3＋7＝10，3和7是质数。（答案不唯一） 【变式训练2】（24-25五年级下·重庆武隆·期末）读一读、填一填。 数学中有很多看似简单，但证明起来却非常困难的问题，“考拉兹猜想”就是其中之一。这个猜想说的是：任何一个大于0的自然数，如果它是奇数，就乘3再加上1；如果它是偶数，就除以2，按照这个规则不断地运算下去，最后总会得到1，并无法跳出4→2→1这个循环。 例如，5的交换过程是：5→16→8→4→2→1； 42的交换过程是：42→21→64→32→16→8→4→2→1。 (1)根据“考拉兹猜想”的内容，“5→16”的变换过程用算式表示是( )；“42→21”的变换过程用算式表示是( )。 (2)在42的变换过程中，变成最大的数是64，那么在11的变换过程中，变成最大的数是( )。 【答案】(1) 5×3＋1＝16 42÷2＝21 (2)52 【思路引导】（1）根据题意，如果是奇数，就乘3再加上1；如果是偶数，就除以2。5是奇数，“5→16”的变换过程就是乘3再加上1；42是偶数，“42→21”的变换过程就是除以2。 （2）11是奇数，变换一次为：11×3＋1＝34，34是偶数，变换二次为：34÷2＝17……，按照这个规则不断地运算下去，找到变成最大的数即可。 【规范解答】（1）5×3＋1 ＝15＋1 ＝16 42÷2＝21 所以，“5→16”的变换过程用算式表示是5×3＋1＝16；“42→21”的变换过程用算式表示是42÷2＝21。 （2）11×3＋1 ＝33＋1 ＝34 34÷2＝17 17×3＋1 ＝51＋1 ＝52 52÷2＝26 26÷2＝13 13×3＋1 ＝39＋1 ＝40 40÷2＝20 20÷2＝10 10÷2＝5 5×3＋1 ＝15＋1 ＝16 16÷2＝8 8÷2＝4 4÷2＝2 2÷2＝1 所以，那么11的变换过程是：11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。 在11的变换过程中，变成最大的数是52。 考点六 3的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·河北邢台·阶段检测）下列说法错误的是（    ）。 A．一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数 B．一个数的倍数一定比这个数的因数大 C．一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身 D．用2、7、9组成的三位数，一定是3的倍数 【答案】B 【思路引导】A．一个数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数。 B．一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 C．一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身 D．一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【规范解答】A．一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，此选项正确。 B．一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，例如的最小倍数是，最大因数也是，两者相等，所以一个数的倍数不一定比这个数的因数大，此选项错误。 C．一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是，最大的因数是它本身，此选项正确。 D． ，是的倍数，根据3的倍数特征，用、、组成的三位数一定是3的倍数，此选项正确。 【变式训练1】（25-26五年级下·山东济南·期中）一个四位数“2□2□”，如果既是3的倍数，又是5的倍数，那么这个四位数最小是_________，最大是_________。 【答案】 2025 2925 【思路引导】5的倍数特征：个位只能是0或5； 3的倍数特征：所有数位的数字和是3的倍数。 设这个四位数为2a2b，已知b只能是0或5，数字和为2＋a＋2＋b＝4＋a＋b，需要满足4＋a＋b是3的倍数，再分别找最小和最大。 【规范解答】找最小四位数： 要让数最小，百位a尽量小，从a＝0开始试： a＝0时，若b＝0，数字和＝4＋0＋0＝4，不是3的倍数；若b＝5，数字和＝4＋0＋5＝9，是3的倍数，符合条件，得到最小数2025。 找最大四位数： 要让数最大，百位a尽量大，从a＝9开始试： a＝9时，若b＝5，数字和＝4＋9＋5＝18，是3的倍数，符合条件，得到最大数2925。 【变式训练2】（25-26五年级下·江苏·单元复习）甲、乙两人做抽卡片游戏，每人从卡片2、4、6、7中任意抽取一张。如果它们的和能被2整除，则甲获胜；如果它们的和能被3整除，则乙获胜。如果和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除则重来。( )获胜的可能性大，理由：________________。 【答案】 甲 因为甲、乙抽取卡片的和可能是6、8、9、10、11、13，其中能被2整除的有6、8、10，能被3整除的只有6、9，所以甲获胜的可能性大 【思路引导】先把任意两个数的和列出来，看一共有几种情况，再看能被2整除和能被3整除的数的个数，再进行比较，个数越多，获胜的可能性越大，据此解答。 【规范解答】2＋4＝6 2＋6＝8 2＋7＝9 4＋6＝10 4＋7＝11 6＋7＝13 甲获胜的数字有6，8，10，一共3个； 乙获胜的数字有6，9，一共2个； 3＞2 答：甲获胜的可能性大，因为甲、乙抽取卡片的和可能是6、8、9、10、11、13，其中能被2整除的有6、8、10，能被3整除的只有6、9，所以甲获胜的可能性大。 考点七 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（25-26五年级下·湖南永州·期末）一个三位数既含有2和3的因数，又含有5的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 990 120 【思路引导】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5的数；3的倍数特征：各位上的数字之和是3的倍数的数。 一个数同时是2和5的倍数，它的个位必须是0（同时满足2和5的倍数特征）。在此基础上，它还得是3的倍数，所以各位数字之和必须是3的倍数。 【规范解答】最小的三位数： 个位已经确定是0，要找最小的三位数，百位最小取1，此时需要十位数字和1的和是3的倍数： 1＋2＝3（3是3的倍数），所以十位取2，这个数是120。 最大的三位数： 个位已经确定是0，要找最大的三位数，百位和十位都取最大的数字9： 9＋9＋0＝18（18是3的倍数），所以这个数是990。 【变式训练1】（24-25五年级下·山西大同·期末）小明用数字卡片组成了两个三位数，☆34和54☆，要使☆34是3的倍数，54☆是2的倍数，☆是( )或( )。 【答案】 2 8 【思路引导】根据同时是2和3的倍数的数，个位必须是偶数且各位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【规范解答】根据分析，54☆是2的倍数，所以“54☆”中的☆的得取值范围只能是：0、2、4、6、8，又因为“☆34”中的☆在首位不能为0，所以“54☆”中的☆的得取值范围是：2、4、6、8。 因为3的倍数特征为：一个数各位上的数字之和是3的倍数，☆34各位上的数字之和为：，将2、4、6、8分别代入得： ，能被3整除，符合； ，不能被3整除，不符合； ，不能被3整除，不符合； ，能被3整除，符合。 小明用数字卡片组成了两个三位数，☆34和54☆，要使☆34是3的倍数，54☆是2的倍数，☆是2或8。 【变式训练2】（2026五年级下·全国·专题练习）下面说法正确的有（    ）个。 ①2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数。 ②7、9、15、87、630这五个数中，不是3的倍数的数有1个。 ③三个连续的自然数的和一定是3的倍数。 ④既是3的倍数又是5的倍数的数一定是奇数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位是0或5；三个连续自然数的和等于中间数的3倍；能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。据此分析各说法判断是否正确。 【规范解答】①3的倍数不一定是奇数，比如6是3的倍数，但6是偶数不是奇数，说法错误； ②7不是3的倍数；9是3的倍数；15的各个数位之和为1＋5＝6，是3的倍数；87的各个数位之和为8＋7＝15，是3的倍数；630的各个数位之和为6＋3＋0＝9，是3的倍数。不是3的倍数的数只有1个，是7，说法正确； ③可以假设三个连续的自然数中间的数为n，则前后两个数分别是、，三个数的和（n－1）＋n＋（n＋1）＝n－1＋n＋n＋1＝3n，是3的倍数，说法正确 ④例如30，既是3的倍数又是5的倍数，但是却是偶数，说法错误。 因此，说法正确的是②③，共2个。 考点八 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏徐州·期末）猜车牌号码。从左到右，第一个数字是最小的合数；第二个数字既是偶数又是质数；第三个数字的最大因数和最小倍数都是8；第四个数字是所有自然数（0除外）的公因数；第五个数字是10以内最大的奇数。这个车牌号码是：苏C。 【答案】42819 【思路引导】最小的合数是4；2既是偶数又是质数；一个数的最大因数和最小倍数就是它本身； 1是所有自然数（0除外）的公因数；10以内的奇数有1、3、5、7、9，最大的奇数是9。 【规范解答】第一个数字是4，第二个数字是2，第三个数字是8，第四个数字是1，第五个数字是9。 这个车牌号码是苏C42819。 【变式训练1】（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测）下面说法正确的是（    ）。 A．凡是7的倍数都是奇数 B．1.2÷0.3＝4，所以1.2是0.3的倍数 C．最小的质数是1 D．两个奇数的乘积一定是奇数 【答案】D 【思路引导】A．找出7的倍数，判断是否都是奇数。 B．在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。根据因数和倍数的意义判断。 C．根据质数和合数的意义，1既不是质数，也不是合数。 D．根据奇数×奇数＝奇数判断。 【规范解答】A．7的倍数有、、、，⋯。其中、是偶数，所以凡是的倍数都是奇数的说法错误，此选项错误。 B．因数和倍数是在非零自然数范围内研究的，和是小数，不属于非零自然数，不能说是的倍数，此选项错误。 C．1只有个因数，既不是质数也不是合数，最小的质数是，此选项错误。 D．根据奇数的运算性质，奇数奇数奇数，例如，是奇数，所以两个奇数的乘积一定是奇数，此选项正确。 【变式训练2】（24-25五年级下·江西赣州·期末）某社区防溺水安全宣传栏记录了以下数据： 防溺水宣传讲座举行了24次，社区游泳池安全员15名，游泳池危险水域警示牌安装了11块，中小学生游泳技能培训课时20小时。请根据这些信息完成以下问题。 (1)这些自然数中，奇数有( )；质数有( )。 (2)这些自然数中，3的倍数有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (3)24的因数有( )。 (4)在括号里填质数：15＝( )＋( )。 【答案】(1) 15、11 11 (2) 24、15 20 (3)1、2、3、4、6、8、12、24 (4) 2 13 【思路引导】（1）不是2的倍数的数叫奇数；除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数。 （2）一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 （3）列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 （4）将15拆分成两数相加的形式，再确定两个加数都是质数的情况即可。 【规范解答】（1）不是2的倍数的数有15、11，因此奇数有15、11；只有两个因数的有11，因此质数有11。 （2）2＋4＝6、1＋5＝6、1＋1＝2、2＋0＝2，3的倍数有24、15；2和5的倍数的个位上的数字一定是0，既是2的倍数，又是5的倍数的有20。 （3）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。 （4）15＝1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8 其中两个加数都是质数的是2和13，因此15＝2＋13。 考点九 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·福建龙岩·期中）同学们排方阵做操，每行的人数都相等。下面是靠靠、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。 (1)你认为( )数对了。 (2)写出你的理由：________________________。 【答案】(1)龙一鸣 (2)因为49＝7×7，其余三个都是质数 【思路引导】总人数＝行数×列数，据此分别列乘法算式找四人数出的总人数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。总人数是合数即可。 【规范解答】（1）41＝1×41、43＝1×43、47＝1×47、49＝1×49＝7×7 龙一鸣数对了。 （2）因为49＝7×7，其余三个都是质数，方阵是7行7列。 【变式训练1】（24-25五年级下·湖北十堰·期中）美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 【答案】6平方分米 【思路引导】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，则长＋宽＝周长÷2，据此求出长方形纸的长与宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，求出和是5分米的两个质数，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出这张长方形纸的面积。 【规范解答】10÷2＝5（分米） 和是5的两个质数是3和2，长方形纸的长是3分米，宽是2分米。 3×2＝6（平方分米） 答：这张长方形纸的面积是6平方分米。 【变式训练2】（24-25五年级下·江西宜春·期中）张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】77平方分米 【思路引导】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；再将长与宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 【规范解答】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 77＞65，最大面积是77平方分米。 答：这幅水墨画的面积最大是77平方分米。 考点十 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（2026五年级下·全国·专题练习）高尔基说过“世界上的一切光荣和骄傲，都来自母亲”。母亲生日这天，华华买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员100元，营业员找回27元，华华立刻指出营业员找回的钱数不对。你知道华华是怎么判断的吗？请写出你的思考过程。 种类 康乃馨 百合花 价格 2元/枝 8元/枝 【答案】花的单价2和8都是2的倍数，所以买花的总钱数也是2的倍数。100是偶数，找回的钱也应该是偶数。27是奇数，所以营业员找回的钱数不对。 【思路引导】根据奇偶的运算性质可知，偶数－偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数。故先判断花的总钱数的奇偶性，进而得出找回的钱数的奇偶性，从而得出结论。 【变式训练1】（24-25五年级下·辽宁葫芦岛·期末）如果用自然数m表示一个偶数，那么2m＋1一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．奇数 【答案】C 【思路引导】大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身以外，还有其他因数的数是合数；能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数。2×任何整数＝偶数，偶数＋1＝奇数。据此先分析2m＋1的奇偶性，再举例验证各选项的正确性。 【规范解答】因为2×任何整数＝偶数，则2m是偶数。 又因为偶数＋1＝奇数，则2m＋1一定为奇数。 A．当m＝2时，2×2＋1＝4＋1＝5（质数）；当m＝4时，2×4＋1＝8＋1＝9＝3×3（合数），存在反例说明不一定是质数。 B．当m＝2时，2×2＋1＝4＋1＝5（质数），存在反例说明不一定是合数。 C．无论m取何值，2m＋1的结果都是奇数。 因此，2m＋1一定是奇数。 【变式训练2】（24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）依依买了一个笔袋、几支钢笔和几本笔记本，付给售货员50元，售货员叔叔找给她25元。依依看了看单价，说：“叔叔，您把账算错啦！”想一想，依依为什么这么快就知道账算错了？ 【答案】见详解 【思路引导】首先判断依依的付款和各种商品的单价是偶数还是奇数，然后依据奇偶加减的运算规律进行推断。 【规范解答】笔袋、钢笔、笔记本的单价都是偶数，它们的总价也一定是偶数，三个偶数的和是偶数，50元减去一个偶数，差也一定是偶数。而售货员叔叔找给她25元是奇数，所以一看就知道账算错了。（答案不唯一，合理即可） 【考点剖析】奇偶加减的运算规律：偶数±偶数＝偶数，偶数±奇数＝奇数； 奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数； 1．（24-25五年级下·甘肃兰州·期末）如果三位数76a同时是2和3的倍数，那么符合条件的数有（    ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数； 3的倍数特征：各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 先根据2的倍数特征确定个位数字可以取哪些数，再根据3的倍数特征确定的具体数值，最后统计符合条件的数的个数。 【规范解答】因为三位数是2的倍数，所以可以是0、2、4、6、8。 是3的倍数，各数位上的数字之和应为3的倍数，则，为3的倍数。 当时，，13不是3的倍数，不符合题意； 当时，，15是3的倍数，符合题意； 当时，，17不是3的倍数，不符合题意； 当时，，19不是3的倍数，不符合题意； 当时，，21是3的倍数，符合题意。 综上所述，符合条件的有和，即符合条件的数有和，共个。 2．（24-25五年级下·广东广州·期末）已知34这个三位数既是3的倍数，又是5的倍数，里的数是（    ）。 A．0 B．2 C．5 D．8 【答案】C 【思路引导】3的倍数特征：各数位上的数的和是3的倍数，5的倍数特征：个位上的数是0或5，据此解答。 【规范解答】这个数是5的倍数：340或345， 3＋4＋0 ＝7＋0 ＝7 7不是3的倍数，所以340不是3的倍数， 3＋4＋5 ＝7＋5 ＝12 12÷3＝4 12是3的倍数，所以345是3的倍数。 3．（25-26五年级下·贵州黔东南·阶段检测）将一副扑克牌中同花色的A－K这13张牌打乱顺序，反扣在桌面上，任意抽一张。抽中（    ）的可能性大。（将A看作1，J看作11，Q看作12，K看作13） A．质数 B．合数 C．偶数 D．奇数 【答案】D 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此比较质数、合数、偶数、奇数的数量，哪种数的个数多，抽中哪种数的可能性就大。 【规范解答】扑克牌A－K代表的数值分别为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13。 A．质数有2、3、5、7、11、13，共6个； B．合数有4、6、8、9、10、12，共6个； C．偶数有2、4、6、8、10、12，共6个； D．奇数有1、3、5、7、9、11、13，共7个。 7＞6，抽中奇数的可能性大。 4．（24-25五年级下·湖北省直辖县级单位·期中）五（1）班有45名同学，五（2）班有46名同学，两个班的班长都准备把全班分成4个组去社区帮扶老人，每个组都是奇数名同学，（    ）这样分配。 A．五（1）班可以 B．五（2）班可以 C．都可以 D．都不可以 【答案】B 【思路引导】首先判断五（1）班和五（2）班的学生数是奇数还是偶数，然后根据奇偶加减的运算规律推断即可。 【规范解答】若要4个小组都是奇数名同学，则这个班的学生数应是偶数。五（1）班有45人，45是一个奇数，所以五（1）班做不到；五（2）班有46人，46是一个偶数，所以五（2）班可以这样分配。 故答案为：B 【考点剖析】奇偶加减的运算规律：偶数±偶数＝偶数，偶数±奇数＝奇数；奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数。 5．（24-25五年级下·山东泰安·期末）两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是( )和( )，它们相差( )。 【答案】 5 13 8 【思路引导】质数是指大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他因数。据此列举乘积为65的所有正整数组合；分别计算每组数的和，筛选符合条件的质数对；最后计算两个质数的差。 【规范解答】65＝1×65 65＝5×13 第一组1和65的和为1＋65＝66，不符合和为18的要求，且65不是质数。 第二组5和13的和为5＋13＝18，符合要求，且5和13均为质数。 因此这两个质数是5和13。 两数的差是13－5＝8 6．（24-25五年级下·山西晋中·期末）一个三位数46□，如果使它成为2和5的倍数，□里应该填( )；如果使它成为3的倍数，□里最小填( )。 【答案】 0 2 【思路引导】个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 要使这个数是2和5的倍数，那么个位上一定是0。根据3的倍数特征，个位上从0开始，逐个判断是否是3的倍数。 【规范解答】如果使46□成为2和5的倍数，□里应该填0； 如果个位填0，4＋6＋0＝10，10÷3＝3⋯⋯1，10不是3的倍数，所以460不是3的倍数。 如果个位填1，4＋6＋1＝11，11÷3＝3⋯⋯2，11不是3的倍数，所以461不是3的倍数。 如果个位填2，4＋6＋2＝12，12÷3＝4，12是3的倍数，所以462是3的倍数。 所以，如果使46□成为3的倍数，□里最小填2。 7．（24-25五年级下·四川遂宁·期末）智能快递柜走进了城市的各个社区，解决了社区居民排队取快递的烦恼。居民王阿姨某次网购的取件码是一个四位数，千位上是最大的一位数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的合数，个位上是2和3的倍数，王阿姨的取件码是( )。 【答案】9146 【思路引导】最大的一位数是9，最小的奇数是1，最小的合数是4，个位是一位数且是2和3的倍数，所以个位上的数字是；将四个数位的数字按顺序组合，得到最终的四位数。 【规范解答】千位上写9，百位上写1，十位上写4，个位上写6； 王阿姨的取件码是9146。 8．（25-26五年级下·河北保定·期末）一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a与f的和是19，那么这个自然数是( )，d＋e＝( )。 【答案】 18 15 【思路引导】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，根据“已知a与f的和是19”先求出这个数是多少，再写出这个数的所有因数，即可知道d和e分别是多少，再计算d＋e是多少。 【规范解答】根据分析可知，a＝1，f＝19－1＝18，所以这个自然数是18。 18的因数有1，2，3，6，9，18，所以d＋e＝6＋9＝15。 9．（25-26五年级下·陕西榆林·阶段检测）根据。可知和是因数，是倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据因数和倍数的定义（在乘法算式（均为非零的自然数）中，就是的因数，是的倍数）以及关系（因数和倍数是成对出现）进行判断即可。 【规范解答】题目中根据。可知和是因数，是倍数。这种表述缺少参照对象。 正确说法应是：和是的因数，是和的倍数。 故答案为：× 10．（25-26五年级下·湖南永州·期末）一个自然数不是质数就是合数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】非0自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数。据此判断。 【规范解答】1只有它本身1个因数，既不是质数，也不是合数，原题说法错误。 故答案为：× 11．（24-25六年级下·重庆九龙坡·开学考试）日历上连续6天的号数和一定是6的倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据相邻的两个自然数相差1的特点，从而求出6个连续自然数的和，判断结果能否被6整除即可。 【规范解答】解：设第一天为a，则连续6天的号数的和为： a＋（a＋1）＋（a＋2）＋（a＋3）＋（a＋4）＋（a＋5） ＝a＋a＋1＋a＋2＋a＋3＋a＋4＋a＋5 ＝6a＋15 15不能被6整除，所以日历上连续6天的号数和不是6的倍数，原题说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查了倍数问题，知道相邻的两个自然数相差1是解题的关键。 12．（25-26五年级下·河南周口·阶段检测）求下面每组数的最小公倍数。 7和13    72和16 【答案】91；144 【思路引导】当两个数互质时，它们的最小公倍数是它们的积；用分解质因数的方法求出72和16的最小公倍数。 【规范解答】7和13互质，它们的最小公倍数是7×13＝91。 72＝2×2×2×3×3 16＝2×2×2×2 72和16的最小公倍数是2×2×2×2×3×3＝144。 13．（24-25五年级下·广东广州·期末）已知a和b均为质数，且5a＋7b＝45。云云说5a和7b中一定有一个数是偶数。 (1)云云说的对吗？请说明理由。 (2)a和b分别是多少？写出思考过程。 【答案】(1)对；因为45是奇数，奇数＋偶数＝奇数。 (2)a＝2，b＝5；奇数×偶数＝偶数，2是唯一的偶质数，a和b必有一个数是2。假设a＝2，计算出b的值；假设b＝2，计算出a的值，看哪组数据符合条件。 【思路引导】（1）奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数。 （2）5和7都是奇数，奇数×偶数＝偶数，所以a和b中必有一个偶数。a和b均为质数，2是唯一的偶质数，所以a和b必有一个数是2。假设a＝2，计算出b的值；假设b＝2，计算出a的值，看哪组数据符合条件。 【规范解答】（1）云云说得对。把5a和7b分别看作一个数。45是奇数，奇数＝偶数＋奇数，所以5a和7b中一定有一个数是偶数。 （2）①假设5a是偶数，5只有乘偶数结果才是偶数，并且a是质数，所以a＝2，由此可得：5×2＋7×b＝45 10＋7b＝45 10＋7b－10＝45－10 7b＝35 7b÷7＝35÷7 b＝5 ②假设7b是偶数，那么b＝2，由此可得： 5a＋7×2＝45 5a＋14＝45 5a＋14－14＝45－14 5a＝31 5a÷5＝31÷5 a＝（不符合题意） 所以a＝2，b＝5。 14．（25-26五年级下·福建莆田·阶段检测）取件码的出现，提高了快递服务的安全性和便利性。刘阿姨的取件码是一个六位数，从左向右数第一位数是最小的质数，第二位数是两个不同质数的乘积，第三位数是最小的偶数，第四位数是最小合数的2倍，第五位数最大的因数是7，第六位数是10以内最大的奇数，刘阿姨的取件码是多少？ 【答案】260879 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【规范解答】第一位数：最小的质数是2； 第二位数：该数是一位数，且是两个不同质数的乘积。一位数中的质数有2、3、5、7， 只有2×3＝6，是一位数，符合题意，所以第二位数是6； 第三位数：最小的偶数是0； 第四位数：最小的合数是4，4的2倍是8； 第五位数：一个数最大的因数是它本身，最大的因数是7，所以这个数就是7； 第六位数：10以内最大的奇数是9。 答：刘阿姨的取件码为：260879。 15．（25-26五年级下·福建龙岩·阶段检测）永定土楼是世界文化遗产之一，位于福建省西南部的龙岩市永定区。五（1）班的同学准备去参观永定土楼，学校为同学们准备了95个面包，有如图三种包装（每个圈处放一个面包），选哪种包装盒正好可以装完？为什么？ 【答案】③；95是5的倍数，不是3和4的倍数 【思路引导】包装盒的数量＝面包的总数量÷每个包装盒可以装面包的数量，如果包装盒正好可以装完，那么面包的总数量应该是每个包装盒可以装面包数量的倍数，学校为同学们准备了95个面包，95的个位数是5，符合5的倍数特征，所以选择每个盒子可以装5个面包的包装盒。 【规范解答】95÷3＝31（个）……2（个），不能整除，不能正好装完； 95÷4＝23（个）……3（个），不能整除，不能正好装完； 95÷5＝19（个），95是5的倍数能整除，能正好装完。 答：选包装盒③正好可以装完，因为95是5的倍数，不是3和4的倍数。 16．（25-26五年级下·山东济南·期中）“逢七过”是一个有趣的数字游戏。游戏规则如下：从1开始按顺序报数，当遇到7的倍数或者个位数是7时，就要喊“过”。现在请你思考：在1到40的数字中，有多少个数字需要喊“过”？请把这些数字都列出来。 【答案】8个；7，14，17，21，27，28，35，37 【思路引导】先找出1到40之间所有7的倍数；再找出1到40之间所有个位数字是7的数；最后将两组数合并，注意去掉同时满足两个条件的重复数字，统计总个数并列出所有符合条件的数字。 【规范解答】找出1到40之间7的倍数： 7×1＝7 7×2＝14 7×3＝21 7×4＝28 7×5＝35 7×6＝42（超过40，舍去） 符合条件的倍数有：7，14，21，28，35，共5个。 找出1到40之间个位是7的数： 符合条件的数有：7，17，27，37，共4个。 观察发现，数字7既是7的倍数，个位也是7，在两组中均出现，属于重复数据。 总个数为：5＋4－1＝8（个） 将所有数字按从小到大排列列为：7，14，17，21，27，28，35，37。 答：有8个数字需要喊“过”，分别是7，14，17，21，27，28，35，37。 17．（25-26五年级下·广东佛山·阶段检测）请阅读以下材料，再解决问题。 123各位上的数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？ 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 (1)先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面画“√”），并写出9的倍数的特征。 90（    ）        693（    ）        239（    ）        990（    ） 9的倍数特征：（                                  ）。 (2)请仿照阅读材料，说明判断693是不是9的倍数的方法的道理。 【答案】(1)90（√）；693（√）；239（  ）；990（√） 各位上的数的和能被9整除 (2) 6×99和9×9一定是9的倍数，剩下部分为“6＋9＋3”，也就是“各位上的数的和”，6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数。 【思路引导】（1）先计算出各数的各位数字之和，如果和是9的倍数，则这个数就是9的倍数。 （2）将693拆分成百位、十位、个位对应的数值和，即693＝6×100＋9×10＋3，再把100改写为99＋1，10改写为9＋1，算式变为6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3，利用乘法分配律展开算式，分析每项是否是9的倍数，即可判断693是不是9的倍数。 【规范解答】（1）90：9＋0＝9，9是9的倍数，所以90是9的倍数； 693：6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数； 239：2＋3＋9＝14，不是9的倍数，所以239不是9的倍数； 990：9＋9＋0＝18，18是9的倍数，所以990是9的倍数； 9的倍数特征：各位上的数的和能被9整除。 （2）693＝6×100＋9×10＋3 ＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3 ＝6×99＋6＋9×9＋9＋3 6×99和9×9一定是9的倍数，剩下部分为“6＋9＋3”，也就是“各位上的数的和”，6＋9＋3＝18，18是9的倍数，所以693是9的倍数。 18．（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）农场要围一块长方形的草莓种植区，围栏的总长度是60米。要求种植区的长和宽都是大于10的质数。这块长方形种植区的最大面积是多少平方米？ 【答案】221平方米 【思路引导】除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。长方形周长÷2＝长＋宽，据此找到长和宽都大于10的所有情况，确定都是质数的情况，根据长方形面积＝长×宽，分别计算出面积，比较即可。 【规范解答】60÷2＝30（米） 30＝10＋20＝11＋19＝12＋18＝13＋17＝14＋16＝15＋15 其中都是质数的有11和19、13和17 19×11＝209（平方米） 17×13＝221（平方米） 209＜221 答：这块长方形种植区的最大面积是221平方米。 19．（24-25五年级下·福建福州·期中）探究11的倍数特征 我们学习了3的倍数特征——各位数字之和是3的倍数。那么，11的倍数是否有类似的规律呢？通过数学家的研究，发现11的倍数有两种判断方法：奇偶位差法和末三位分段法。让我们通过实验探究这些方法的原理与应用。 任务一：【观察与猜想】 列出以下11的倍数：99、110、121、1936、3025。尝试通过数字排列或数位运算发现规律。提出一种判断11的倍数的猜想（例如：奇偶位差或末三位分段）。 任务二：【阅读与验证】 实验方法一：奇偶位差法 方法：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。 示例：判断32571是否为11的倍数：奇数位（第1、3、5位）和：3＋5＋1＝9，偶数位（第2、4位）和：2＋7＝9，差为0（11的倍数），因此是11的倍数。 应用此方法判断下面各数是否是11的倍数。 （1）385             （2）35024 实验方法二：末三位分段法 方法：将数从个位开始两两分隔，若所有分隔的数和为11的倍数。 示例：判断123456是否为11的倍数：分隔成12、34、56，计算12＋34＋56＝102（102不是11的倍数）。 应用此方法判断下面各数是否是11的倍数。 （1）1320            （2）25531 任务三：【思考与启发】（可课余时间完成） （1）本质思考：奇偶位差法与末三位分段法是否本质相同？举例说明。 （2）迁移探究：尝试用类似方法探究7或13的倍数特征（参考末三位分段法）。 【答案】 见详解 【思路引导】任务一：通过观察给出的11的倍数，归纳出奇偶位数字之和的差与11的关系。 任务二： 实验方法一（奇偶位差法）：从左边第一位开始，分别计算奇数位数字之和与偶数位数字之和，求其差，判断差是否为11的倍数（含0）。 实验方法二（分段法）：从个位开始每两位分为一段，计算各段数值之和，判断和是否为11的倍数。 任务三：【思考与启发】（可课余时间完成） （1）本质是相通的，都是通过对数字分组、计算和差，来判断能不能被11整除，只是分组的方式不同。 （2）迁移探究：7或13的倍数特征（参考末三位分段法） 7的倍数特征：从右往左每三位分段，用奇数段和减偶数段和，差是7的倍数则原数是7的倍数，以121为例即可验证。 13的倍数特征：从右往左每三位分段，奇数段和减偶数段和，差是13的倍数则原数是13的倍数。 【规范解答】任务一：【观察与猜想】观察99、110、121、1936、3025这些11的倍数。 以121为例：奇数位的数字和为1＋1＝2，偶数位的数字和为，差为。 以1936为例：奇数位的数字和为1＋3＝4，偶数位的数字和为9＋6＝15，差为15－4＝11。 猜想：一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数，这个数就是11的倍数。 任务二：【阅读与验证】实验方法一：奇偶位差法 规则：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是11的倍数。 （1）奇数位数字之和：3＋5＝8 偶数位数字之和： 差：8－8＝0 因为0是11的倍数，所以385是11的倍数。 （2）判断35024： 奇数位数字之和3＋0＋4＝7 偶数位数字之和：5＋2＝7 差：7－7＝0 因为0是11的倍数，所以35024是11的倍数。 实验方法二：末三位分段法 规则：将数从个位开始两两分隔，若所有分隔的数和为11的倍数。 （1）判断1320： 从个位开始两两分隔为：20、13 分隔的数之和：20＋13＝33 因为33是11的倍数（），所以1320是11的倍数。 （2）判断25531： 从个位开始两两分隔为：31、55、2 分隔的数之和：31＋55＋2＝88 因为88是11的倍数（），所以25531是11的倍数。 任务三：【思考与启发】（可课余时间完成） （1）本质是相同的，都是通过对数字分组、计算和差，来判断能不能被11整除，只是分组的方式不同。 以121为例： 奇偶位差法：奇数位和1＋1＝2，偶数位和2，差为0，是11的倍数； 分段法：121分为1和21，1＋21＝22，是11的倍数。 （2）7的倍数特征：从右往左每三位分段，用奇数段和减偶数段和，差是7的倍数则原数是7的倍数。 例：判断1603是否为7的倍数： 分段为1和603，603－1＝602，602÷7＝86，因此1603是7的倍数。 13的倍数特征：从右往左每三位分段，奇数段和减偶数段和，差是13的倍数则原数是13的倍数。 例：判断1001是否为13的倍数：分段为1和001，1－1＝0，是13的倍数，因此1001是13的倍数。 【考点剖析】关键掌握奇偶位差法和分段法判断11的倍数，会用这一方法对其他数的倍数特征进行研究。 20．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【规范解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【考点剖析】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null