（复习篇）专题02 长方体和正方体表面积和体积的计算【思维导图+知识卡片+知识梳理+十四大考点讲练+真题强化 共48题】-2026-2027学年人教版数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

null2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题02长方体和正方体表面积和体积的计算 思维导图+知识回顾+十四大考点讲练+真题强化（共48题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 五年级/下册 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义[温故知新」 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）图成的立体图形。 11.长方体的定义 1表面积与棱长扩倍关系 长方体（或正方体）的棱长扩大到原来的n倍， (3)顶点：8个顶点，每个顶点连接3条棱。 2.长方体的组成 表面积扩大到原来的信。 (1)6个面都是长方形（特殊情况有两个面是正方形） 1.长方体和正方体的 5.体积与 2体积与转长护广倍关系 (2)相对的面面积相等，平行 (3)相对的棱长度相等，平行 认识及特征 表面积的关系 (4)相对的顶点间的距高相等 3.长方体的特征 相关于一个顶点的三条棱分别叫做长、宽，高。 3.给合关系 长方体（成正方体）的长，宽，高同时扩大a倍 体积扩大倍，表面积扩大倍。 1。接水法原理 物体完全浸没在水中时，排开水的体积等于物体的体积 长 由6个完全相同的正方形围成的立体图形，叫做正方体。 (1)在容器中倒入适量的水，记下水位 1.正方体的认识 2.排水法步漂 (2)将物体完全漫入水中，再记下水位。 6.排水法求 (3)排开水的体积=水面上升部分的体积。 (3)顶点：8个顶点，每个顶点连接3条棱 2.正方体的组成 不规则物体体积 专题02 Vnu-Vae-Va-Va 1)6个面都是正方形，且大小完全相同 3排水法体积公式 长方体和正方体的 注意：必须将物体完全浸没。且无水溢出 高相等，统称为棱长 2.正方体的 认识及特征 表面积和体积 长方体6个面的总面积（包括上下，前后， 1.长.k方体的ah 左右6个长方形)之和。 7.解决问题 1.等积变形：形状变了，体积不变 其中：a=长，b=宽，h=高 4.体积 2.转化思想：将复杂问题转化成已学如识决 的策略 3.分制与拼接：把复杂图形分成规则图形，把多个图形拼威一个整份 体积的认识 物体所占空间的大小，常用体积单位： 正方体6个面究全相同，表面积=棱长×楼长×6 4.图形分析：面图翻助理解，找出关醴条件和数量关系 立方厘米(em).立方分米(dm)、立方米(m) 5列表法：有序不重复地列学所有情况，过免遗漏 公式：S=6a2(a是棱长) ,表面积 2长方体和正方体的体积公式 长方体：V=axbxh 6,检验与验证：代入数第或面图验证结果显否合理 正方体：V=a×a×a=a 常用公式汇总 切拼后表面积的变化有三种情况 3.体积单位间的进率1m=1000dm,1dm2=1000cm 长有体 正方体 (1)增加：切后多出两个面 1 L=1 dm'.1 mL=1 cm 表而：=2(ab+ah4bh》 表面积：S=6a (2)减少：切后少了两个面 4.体积与容积的区别 体积：V恒axbxh 体积：Va (3)不变：只是形状改变了，表面积不变 体积（容纳物体的空向大小） 容积（容器所能容纳物体的体积） 其中：a=长，b，h高。a=棱长 ①物体占空间的大小 ①容器所能容纳的体积 方堂用cm.dm3,m1 堂用Lm ③测量：从外测量长、宽、高 ③测量：从内部测量长。宽。高 3多动手授作，面图分析。培养空间观念 学习小贴 4.结合生活实麻，学以致用，解决同题！ 知识梳理温故知新 知识点一长方体的认识及特征 1.长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2.长方体的组成 第2页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 （1)面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； (2)棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； (3)顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3.长方体的特征 名称 顶点 面 棱 个数 个数 形状 大小关系 条数 长度关系 长方体 8 长方形 相对的面完全相同 12 相对的棱长度相等 4.长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二正方体的认识及特征 1.正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是 特殊的长方体。 2.正方体的组成 (1)面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； (2)棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3)顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3.正方体的特征 （1)正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 (2)正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为 棱。 第3页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 名称 顶点 面 棱 个数 个数 形状 大小关系 条数 长度关系 正方体 8 6 正方形 所有的面均相等 12 所有的棱长度相等 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4.正方体和长方体的关系 (1)转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方 体。 （2)相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对 的面相等且平行。 (3)区别 特征 长方体 正方体 面 6个长方形（或2个正方形） 6个完全相同的正方形 棱 分3组，每组4条棱等长 12条棱全部等长 顶点与棱的关系 长、宽、高可能不同 长、宽、高相等（棱长） 知识点三长方体的表面展开图 1.长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 (1)一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； (2)二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； (3)二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种： (4)三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2.口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三 个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 第4页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义[温故知新」 且且年看 中 知识点四正方体的表面展开图 1.正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 (1)一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 (2)二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 甲甲 (3)二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 (4)三三型，两侧各三个。 第5页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2.口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三 一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五长方体的棱长及棱长总和 1.棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2.棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4仁（长+宽+高)×4，用字母表示为 L=（(a+b+h)X4。 3.根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4一宽一高； 宽=棱长和÷4一长一高； 高=棱长和÷4一长一宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计 算步骤。 知识点六正方体的棱长及棱长总和 1.正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2.反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七长方体的表面积 1.长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个 长方形（或特殊情况下含正方形面)的面积之和。 2.长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示 为S-2ab+2ah+2bh=2(ab+ah+bh)。 高 宽 长 3.已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 第6页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 4.表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注 意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、 方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八正方体的表面积 1.正方体的表面积：正方体的表面积是指6个完全相同的正方形面的总面积。 2.正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a2。 3.表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个 面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加， 二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1.切割引起的表面积增加 （1)正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开)，此时表面积会增加2个正方 形的面（切口处的两个新面)，用公式表示为增加面积=2a?。 (2)长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加2个宽×高的面； ③沿高切割：增加2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化， 在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 (3)多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面…将长方体或正方体切割成n段，需切(n一1) 刀，每刀增加2个面，总增加面积为2(n一1)×截面面积。 段数一1=刀数；刀数×2=切面个数。 第7页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义[温故知新」 2.拼接引起的表面积减少 （1)正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三 个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方 形的个数。 (2)长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3.特殊的切拼问题 （1)将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配， 需要计算切口增加的截面面积 （2)将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算 所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十立方体表面染色问题 1.立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表 面染色后统计不同颜色面的数量。 2.染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1)三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数 量：8个。 (2)染两个面的小正方体数量：12×(a一2)。 (3)染一个面的小正方体数量：6×（a一2)×(a一2)。 (4)没有染色的面的小正方体数量：(a一2)×(a一2)×（a一2)。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一体积和容积的认识 1.体积 （1)体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米(cm3)、立方分米(dm3)、 立方米(m),1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 (2)测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2.容积 （1)容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升(L)、毫升（mL)。 (2)测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 第8页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 3. 体积和容积的区别 特征 体积 容积 测量对象 所有物体 容器类物体（如箱子、杯子） 单位侧重 通用单位(m3、dm等) 液体/气体常用(L、ml) 大小关系 同一容器的体积之容积 容积忽略容器壁厚度时等于体积 应用场景 计算物体占据的空间 计算容器内可容纳物体的量 知识点十二体积和容积的单位 1.体积单位 （1)立方米(m3) 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10㎡的卧室)、冰箱外 部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算)等。 (2)立方分米(dm3) 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm)、微波炉的容积、小 纸箱的容量等。 (3)立方厘米(cm3) 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm3)、药片体积、橡皮擦大小等。 2.容积单位 (1)升(L) 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油)、汽车油箱容量（如 50L)、大瓶饮料（如2L可乐)等。 （2)毫升(mlL) 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10ml)、小瓶装酸奶（100ml)、 口服液剂量（如5ml)等。 3.总的来说，液体（如水、油)多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分 米等。 4.体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5.容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6.体积与容积单位间的换算 第9页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7.单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三长方体的体积 1.长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底Xh。 2.体积公式变形，反求长、宽、高 （1)长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 (2)宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 (3)高=体积÷长÷宽，h=V÷a÷b。 知识点十四正方体的体积 1.正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=aXaXa=a3,读作“a的立方”表示3个a 相乘。 2.区分2a、a2和a3 2a=2Xa,表示两个a相加；a2=a×a,表示两个a相乘；a3=a×aXa,表示3个a相乘。 知识点十五长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1.正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大32=9倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大102=100倍。 2.长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1)如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n倍。 (2)如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3.正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大a倍，体积扩大a3倍。 4.长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大a倍，体积扩大a×a 第10页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 Xa=a3倍 知识点十六剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a,则 长=原长方形的长一2a; 宽=原长方形的宽一2a; 高=剪去的正方形边长a; 容积=长×宽×高=（原长一2a)×(原宽一2a)×a。 知识点十七等积变形问题 1.等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场 景。 2.等积变形问题常有以下类型 (1)熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 (2)倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 (3)液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八排水法求不规则物体体积 1.排水法求不规则测物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本 质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2.排水法求不规则物体的体积的步骤 (1)在容器中注入适量的水，记下水位。 (2)将不规则物体放入水中，再次记下水位。 (3)用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4)用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3.排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体V现在一V原来； ②V物体SX(h现在一h原来)； 第11页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 ③V物体二SXh升高 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八不规则及组合立体图形的表面积和体积 1.在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的， 再求出对应面的面积即可。 2.求不规测及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形 的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 优选题型考点讲练 考点一长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·四川遂宁·期末)如图是一个长方体框架的三条棱。 10cm 12cm (1)制作这样一个长方体框架，至少需要（ )cm的铁丝。 (2)如果在框架外面糊上一层纸，至少需要( )cm的纸。 【变式训练】(25-26五年级下·河南开封·阶段检测)六一儿童节前夕，五(1)班计划制作一个长 方体展示台，用于陈列手工作品。老师让同学们一起参与设计和计算材料用量。 (1)同学们设计的展台框架长50厘米，宽30厘米，高25厘米。制作这个框架至少需要多长的木条？ (接头处忽略不计) (2)为美化展示台，同学们准备为其除底面外的其他五个面贴上彩色卡纸。至少需要准备多少平方厘米 的卡纸？ (3)制作完成后，有同学提议将展示台的高度增加5厘米。若保持原卡纸的粘贴方式不变（仅贴五个面）， 那么高度增加后，需要新增多少平方厘米的卡纸？ 第12页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点二正方体表面积的应用与应用 【典例精讲】(24-25五年级下·河北邯郸·期末)把一个长方体照下图切两刀，切成3个正方体， 一个正方体的表面积是150cm2,切后的表面积比原来增加了( )cm2。 【变式训练】(24-25五年级下·浙江杭州·期末)如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用 彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘 米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 考点三立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】(24-25五年级下·浙江杭州·期未)一块表面涂有红漆的长方体木块，如下图那样挖 掉一个长10厘米、宽4厘米、深6厘米的小长方体。求挖掉后的木块没有涂红漆的面的总面积是多少 平方厘米？ 6 10 10 【变式训练】(24-25五年级下·山东聊城·期末)把长5厘米、宽4厘米、高3厘米的两块相同的 长方体拼成一个新长方体，有( )种拼法，表面积最大是( )平方厘米。 第13页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点四组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】(25-26五年级下·陕西西安·阶段检测)求下列图形的表面积（单位：厘米）。 20 6 (1) (2) 【变式训练】(25-26五年级下·河南周口·阶段检测)如图所示的一个机器零件，下面是一个长方 体，长方体上面的正中心位置有一个正方体。现在要给这个零件外表涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是 多少平方厘米？（长方体的底面也要涂，图中单位：厘米） 8 8 18 15 20 25 考点五表面涂色的正方体 【典例精讲】(24-25五年级下·吉林长春·期末)一些小正方体堆放在墙角（如图），有( 个面露在外面。若紧挨着这些小正方体再放上一个小正方体，这个小正方体最多会露出( )个 面。 第14页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(24-25五年级下·重庆奉节·期末)同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的 有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方 体会出现4种不同的涂色情况。 ② ④ ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共8块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共2×12=24块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共4×6=24块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共2×2×2=8块。 检验：总块数=4×4×4=64，各类块数之和=8+24+24+8=64。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、 两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？ ①三面涂色的小正方体共()块。 ②两面涂色的小正方体共（)块。 ③一面涂色的小正方体共(）块。 ④没有涂色的小正方体共()块。 检验：总块数=（)，各类块数之和=（)。 第15页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新 考点六长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测)一个长为20分米的方木的横截面是边长为5 分米的正方形，将它的长锯掉3分米后，原方木的体积比原来减少()立方分米。 A.15 B.17 C.75 D.100 【变式训练】(25-26五年级下·陕西榆林·阶段检测)儿童玩具厂正在设计新款积木套装，其中一 款长方体积木模具，只要把它的高增加3厘米，就能变成一个正方体积木模具。改造后模具的表面积 比原来增加了96平方厘米。原来这个长方体积木模具的体积是多少立方厘米? 考点七正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(25-26五年级下·湖南永州·期末)一个正方体的棱长总和是36cm，它的表面积是 $$c m ^ { 2 } ，$$ ，体积是() \left.{)}c $$c m ^ { 3 } 。$$ 【变式训练】(24-25五年级下·河北石家庄·期末)用铁丝做一个长、宽、高分别为7厘米、6厘 米和5厘米的长方体框架(拼接处不计)，至少需要()厘米铁丝，若把这根铁丝围成一个正方 体框架(正好用完)，正方体框架的棱长是()厘米，体积是()立方厘米。 考点八体积单位间的进率与换算(立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】(25-26五年级下·四川资阳·期中)尊老爱幼是中华民族的传统美德，在母亲节来临 之际，小明把给妈妈准备的礼物放在了一个长30厘米，宽20厘米的，高15厘米的长方体盒子里，然 后用一根彩色丝带将盒子捆扎起来(如图所示)。 (1)如果打结处用去25厘米长的彩带，那么一共需要()厘米的彩带。 (2)做这样一个盒子至少需要硬纸板多少平方分米? (3)这样一个盒子占据多大的空间? 第16页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】（25-26五年级下·河南三门峡·期中)空心砖是一种常用建筑材料，内部有贯穿孔洞， 具有减轻重量、节省材料、保温隔音等优点。一种空心砖长250毫米、宽120毫米、高40毫米。内 部有10个贯穿的正方体孔洞，制作该砖的陶土每立方厘米重2.6克。制作一块空心砖需要陶土多少千 克？（结果保留两位小数） 考点九体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】(24-25五年级下·陕西汉中·期末)将一个棱长为8cm的实心正方体铁块熔化后铸成 一个实心长方体铁块，已知长方体长为16cm、宽为4cm,则高为()cm。 【变式训练】（25-26五年级下·陕西咸阳·期中)一个封闭的长方体容器，从里面量长、宽、高分 别是1分米、8厘米、1.5分米，里面装着水，水的高度是6厘米，张明不小心把容器碰倒了（如图)。 现在水的高度是多少？ a0--s8 =·。=55一55六5 第17页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点十立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】(24-25五年级下·山东济宁·期未)我国古代建筑多采用木质材料，在修复一座老木 屋时，需要从一根长1.5米、宽0.8米、高0.6米的长方体木料上锯掉一个最大的正方体，剩下木料 的体积是多少立方米？ 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末)分别求出下面图形的表面积和体积。（单位：厘 米) 5 考点十一组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】(24-25五年级下·吉林通化·期末)从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示 (单位：厘米)。算一算，这个空心零件的体积是多少立方厘米。 40 40 30 30 10■ 10 20 30 从上而看 从前面看 从左面看 第18页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(25-26五年级下·广东揭阳·期中)仔细观察长方体表面展开图和正方体图，分别求 表面积和体积。（单位：cm) 5cm 13cm 12 12 8cm 12 考点十二体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】(24-25五年级下·甘肃平凉·期末)有一个长方体玻璃水池，从里面量长60厘米，宽 30厘米，玻璃水池中完全浸没一块石头后（水未溢出），玻璃水池中的水深30厘米，把石头拿出来后 水面下降了15厘米。 (1)这块石头的体积是多少立方分米？ (2)玻璃水池里的水有多少升？ 【变式训练】(24-25五年级下·浙江台州·期末)一个长方体水槽长15厘米，宽12厘米，深10 厘米，现将1.26升的水注入其中，再将一个高为8厘米的长方体铁块慢慢放入水中（如下图)，当铁 块浸没6厘米时，水槽中的水刚好满了。 不 10cm ◆ 6dm cm 12cm K-15cm (1)图1中水槽中的水面高度是多少厘米？ (2)长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 第19页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点十三长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·江西赣州·期末)补给站使用长方体水箱储水，长15分米、宽8 分米、高6分米。 ()要给水箱四周贴上醒目的红色背胶纸，一个水箱至少需要多大的背胶纸？ (2)若需为选手准备2000升水，至少需要多少个这样的水箱？ 【变式训练】(24-25五年级下·江西赣州·期未)优优和果果从不同的角度观察爷爷做的一个无盖 的长方体玻璃鱼缸。 优优从上面看： 6dm 果果从左面看： 5dm ()根据她们看到的形状和测量的数据，你能计算出爷爷做这个鱼缸至少用多少平方分米玻璃吗？ (2)如果玻璃厚度忽略不计，那么这个鱼缸的容积是多少升？ 考点十四不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】(24-25五年级下·甘肃兰州·期末)一个长方体装水容器从里面量得底面长60厘米， 宽35厘米，里面放入一个钢块并完全沉没在水中，当钢块取出时，容器内的水下降6厘米。这个钢块 的体积是多少立方分米？ 第20页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(24-25五年级下·湖南张家界·期末)王叔叔要制作一个长7.5分米、宽4.8分米、 高为4分米的长方形无盖玻璃鱼缸。 4.8dm 7.5dm ()制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（得数保留整数） (2)玻璃鱼缸中放入一块高为1.5分米，体积为6立方分米的假山石，如果水管以每分钟4立方分米的 流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 真题汇编能力强化 ■1■=m11■■1■1■■1■1m■11■1■11■1■11n 1.(25-26五年级下·甘肃张掖·阶段检测)有下面几种硬纸板若干张，选择（)正好可以围成一 个长方体。 ① ② ③ ④ ⑤ A.4张①号，2张③号 B.2张②号，4张③号 C.2张①号，2张④号，2张⑤号 D.2张④号，4张⑤号 2.（24-25五年级下·湖南张家界·期末)把一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体平均切分 成两个一样的小长方体，其中一个小长方体的表面积最大可能是()平方厘米。（损耗忽略不计） A.14800 B.15800 C.16000 D.16600 3.(24-25五年级下·湖南张家界·期末)一个无盖的正方体木箱，从外面量，木箱的棱长是40厘米， 制作这个木箱的木板厚度是5厘米，这个木箱的容积是（)立方厘米。 A.64000 B.27000 C.31500 D.42875 第21页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 4.（24-25五年级下·广东深圳·期末)在四张相同的正方形纸板的四个角上分别剪去一个大小相同 的小正方形，便可以做成一个无盖的纸盒。下面四个选项中剪去的小正方形的边长依次为4、3、2、1， 做出来的纸盒中，容积最大的是（)。（单位：cm) 12 5. (25-26五年级下·全国·单元复习)乐乐和他的好朋友分别用4根5cm、4根9cm和4根12cm的 磁力棒搭一个长方体框架，下面是他们搭出的部分框架，在此基础上用剩下的磁力棒继续搭建，其中 一定不能搭成长方体框架的是（)。 6.(25-26五年级下·河北保定·期末)把一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体截成两个相 同的小长方体，表面积最多增加( )平方分米，最少增加( )平方分米。 7.（24-25五年级下·河南三门峡·期末)用一根长60分米的铁条，焊成一个长8分米，宽5分米的 长方体框架，长方体框架的高是( )分米。这个框架焊上铁皮做成一个长方体铁皮箱，体积是 )立方分米。 8.(24-25五年级下·湖南张家界·期末)刘华在一块长方形纸板的两个角上各剪掉一个小正方形， 如果把剪下的两个小正方形粘贴到长方形另一边的中间（如图），正好可以制成一个无盖的长方体纸 盒。这个盒子的容积是( )cm。(损耗忽略不计) 2cm 15cm 9.(24-25五年级下·湖南张家界·期末)从一个长2dm、宽9cm、高4cm的长方体木块中锯下一个最 大的正方体木块，这个正方体木块的棱长为( )cm,最多可以锯下( )个这样的正方体。（损 耗忽略不计) 第22页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 10.（24-25五年级下·福建福州·期中)两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体 图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点。如果大积木的 棱长为3厘米，则这个立体图形的表面积为( )。 (俯视图) 11.（24-25五年级下·湖南张家界·期末)一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都等距离 地切两刀，切成了27个小正方体，三个面涂红色的小正方体有6个，两个面涂红色的小正方体有12 个。（ )(判断对错) 12.两个长方体的表面积相等，体积也一定相等。（ )(判断对错) 13.(24-25五年级下山东滨州期末)一个正方体的棱长总和是36厘米，它的棱长是3厘米。（ (判断对错) 14.（24-25五年级下·四川川遂宁·期中)用8个体积为1立方分米的小正方体堆成1个大正方体，这 个大正方体的底面周长是1分米。( )(判断对错) 15.(25-26五年级下·甘肃张掖·阶段检测)计算下面图形的表面积和体积。 m 6cm 目 2dm 10cm 6 dm 15 cm 6 dm 16.(24-25五年级下·辽宁大连·期末)小明想测量一块圆柱体铁块的体积。他准备了一个底面积是 6平方分米、深是2分米的长方体容器，往容器中倒入6升的水后，再将铁块完全浸没在水中，这时测 得水高为1.3分米。这个圆柱体铁块的体积是多少立方分米？ 第23页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 17.（25-26五年级下·河南三门峡·期中)地质勘探能帮助人们发现金属、煤炭等矿产资源，也能了 解地球的演变历史。勘探队员在山中发现一块矿石，想快速估算其体积，以便初步判断矿石类型和运 输方案。他们用野外便携的长方体水盒（长12厘米，宽8厘米，高10厘米)进行排水法测量。盒内 原有水面离盒口2厘米，放入矿石完全浸没后，水面上升并溢出，收集溢出的水为95毫升。这块矿石 的体积是多少立方厘米？ 18.（25-26五年级下·广东揭阳·阶段检测)将一个正方体的高减少3厘米，它的表面积就减少了 72平方厘米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？ 19.(25-26五年级下·广东佛山·期中)如图，长方体密封容器的一个侧面有一个边长为3厘米的正 方形开口，往容器里倒了一些水，水刚好无溢出，然后将容器倒过来摆放，水会减少616立方厘米。 这个容器最初放了多少立方厘米的水？（容器的厚度忽略不计） 第24页共25页 2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 20.(2025·湖南长沙·小升初真题)有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、 3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾 斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器 中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 10cm 乙 15cm 10cm 甲 3cm 3cm 4cm 10cm 10cm 5cm 第25页共25页2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题02 长方体和正方体表面积和体积的计算 人教版 思维导图+知识回顾+十四大考点讲练+真题强化 （共48题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·四川遂宁·期末）如图是一个长方体框架的三条棱。 (1)制作这样一个长方体框架，至少需要( )cm的铁丝。 (2)如果在框架外面糊上一层纸，至少需要( )cm2的纸。 【答案】(1)120 (2)592 【思路引导】（1）用铁丝制作长方体框架，铁丝的长度至少等于长方体的棱长总和，即（长＋宽＋高）×4。从图中可知，长方体的长是12cm，宽是10cm，高是8cm； （2）在长方体外面糊上一层纸，至少需要纸的面积就是长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽 ＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】（1）（12＋8＋10）×4 ＝30×4 ＝120（cm） （2）（12×10＋12×8＋10×8）×2 ＝（120＋96＋80）×2 ＝296×2 ＝592（cm2） 【变式训练】（25-26五年级下·河南开封·阶段检测）六一儿童节前夕，五（1）班计划制作一个长方体展示台，用于陈列手工作品。老师让同学们一起参与设计和计算材料用量。 (1)同学们设计的展台框架长50厘米，宽30厘米，高25厘米。制作这个框架至少需要多长的木条？（接头处忽略不计） (2)为美化展示台，同学们准备为其除底面外的其他五个面贴上彩色卡纸。至少需要准备多少平方厘米的卡纸？ (3)制作完成后，有同学提议将展示台的高度增加5厘米。若保持原卡纸的粘贴方式不变（仅贴五个面），那么高度增加后，需要新增多少平方厘米的卡纸？ 【答案】(1)420厘米 (2)5500平方厘米 (3)800平方厘米 【思路引导】（1）长方体框架由12条棱组成，12条棱长被分成4组“长、宽、高”，根据棱长总和公式为（长＋宽＋高）4求棱长总和。 （2）求长方体无底面的5个面表面积，用上面＋前后左右4个面面积和求解。 （3）高度增加5厘米，新增面积为前后左右4个侧面增加的面积，底面不贴故无新增。 【规范解答】（1）（50＋30＋25）×4 ＝105×4 ＝420（厘米） 答：制作这个框架至少需要420厘米长的木条。 （2）50×30＋50×25×2＋30×25×2 ＝1500＋2500＋1500 ＝5500（平方厘米） 答：至少需要准备5500平方厘米的卡纸。 （3）50×5×2＋30×5×2 ＝500＋300 ＝800（平方厘米） 答：需要新增800平方厘米的卡纸。 考点二 正方体表面积的应用与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河北邯郸·期末）把一个长方体照下图切两刀，切成3个正方体，一个正方体的表面积是150cm2，切后的表面积比原来增加了( )cm2。 【答案】100 【思路引导】已知一个正方体的表面积是150cm2，根据正方体的表面积公式S＝6a2可知，用正方体的表面积除以6，求出正方体一个面的面积； 一个长方体切两刀，切成3个正方体，增加了正方体的4个面；用正方体一个面的面积乘4，求出增加的表面积。 【规范解答】2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 150÷6×4 ＝25×4 ＝100（cm2） 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 【答案】(1)290厘米 (2)6300平方厘米 【思路引导】（1）与30厘米棱长相等的有8条，用这8条的长度加上打结部分的长度即可求出彩带总长度； （2）因为礼盒上面是两块正方形纸板，因此一共需要的纸板总面积相当于6＋1＝7个正方形的面积，所以用礼品盒一个面的面积乘7即可求出需要纸板的总面积。 【规范解答】（1）30×8＋50 ＝240＋50 ＝290（厘米） 答：至少需要290厘米的彩带。 （2）30×30×7 ＝900×7 ＝6300（平方厘米） 答：一共需要6300平方厘米的纸板。 考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）一块表面涂有红漆的长方体木块，如下图那样挖掉一个长10厘米、宽4厘米、深6厘米的小长方体。求挖掉后的木块没有涂红漆的面的总面积是多少平方厘米？ 【答案】208平方厘米 【思路引导】原来的大长方体中挖掉一个小长方体，没有涂红漆的面实际上是小长方体的四个侧面加上后面，其中对应的两个面的面积是相等的，将五个面的面积求出后再相加解答即可。 【规范解答】6×10×2＋4×6×2＋10×4 ＝60×2＋24×2＋40 ＝120＋48＋40 ＝208（平方厘米） 答：挖掉后的木块没有涂红漆的面的总面积是168平方厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·山东聊城·期末）把长5厘米、宽4厘米、高3厘米的两块相同的长方体拼成一个新长方体，有( )种拼法，表面积最大是( )平方厘米。 【答案】 3 164 【思路引导】每个长方体有3组不同的面，把两个完全相同的长方体拼成一个新长方体，可以把长5厘米、宽4厘米的两个面拼在一起，也可以把长5厘米、高3厘米的两个面拼在一起，还可以把宽4厘米、高3厘米的两个面拼在一起，所以有3种拼法。 新长方体的表面积等于两个长方体的表面积之和减去拼在一起的两个面的面积之和。面积最小的两个面拼在一起，减少的面积最小，新长方体的表面积就最大。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】根据分析，有3种不同的拼法。 5×4＝20（平方厘米） 5×3＝15（平方厘米） 4×3＝12（平方厘米） 12＜15＜20，所以把宽4厘米、高3厘米的两个面拼在一起，减少的面积最小，表面积就最大。 （5×4＋5×3＋4×3）×2×2－4×3×2 ＝（20＋15＋12）×2×2－4×3×2 ＝47×2×2－4×3×2 ＝188－24 ＝164（平方厘米） 考点四 组合体的表面积（长方体、正方体) 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西西安·阶段检测）求下列图形的表面积（单位：厘米）。 （1）    （2） 【答案】（1）216平方厘米 （2）700平方厘米 【思路引导】（1）求第一个图形的表面积，相当于一个正方体，凹进去的三面小正方形正好补充正方体一角缺失的3个小正方形，也就相当于求正方体的表面积，用棱长乘棱长乘棱长。 （2）图形为长方体的展开图，能拼成一个长方体，表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 【规范解答】（1）6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） （2）（30－10×2）÷2 ＝（30－20）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） （10×20＋20×5＋10×5）×2 ＝（200＋100＋50）×2 ＝（300＋50）×2 ＝350×2 ＝700（平方厘米） 【变式训练】（25-26五年级下·河南周口·阶段检测）如图所示的一个机器零件，下面是一个长方体，长方体上面的正中心位置有一个正方体。现在要给这个零件外表涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方厘米？（长方体的底面也要涂，图中单位：厘米） 【答案】2606平方厘米 【思路引导】，正方体表面积，，把正方体上面平移到长方体与正方体相接的位置，则这个零件涂色的部分包含长方体的六个面的面积之和，以及正方体前后左右四个面的面积之和。 【规范解答】（25×20＋25×15＋20×15）×2＋8×8×4 ＝（500＋375＋300）×2＋256 ＝1175×2＋256 ＝2606（平方厘米） 答：涂防锈漆的面积是2606平方厘米。 考点五 表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·吉林长春·期末）一些小正方体堆放在墙角（如图），有( )个面露在外面。若紧挨着这些小正方体再放上一个小正方体，这个小正方体最多会露出( )个面。 【答案】 13 4 【思路引导】（1）分别观察立体图形正面、右面、上面露在外面的正方形面的个数，计算露在外面的面的总数； （2）要使新添加的小正方体露在外面的面最多，应将其和最底层前排右列的小正方体挨着，此时新添加的小正方体露在外面的面最多。 【规范解答】（1）观察可知，正面有5个正方形面露在外面，右面有4个正方形面露在外面，上面有4个正方形面露在外面，因此得到露在外面的面的总数为： 5＋4＋4＝13（个） （2）当新添加的小正方体放在最底层前排右列的小正方体上面时，它的底面和其下面的正方体挨着，后侧面和后面的正方体挨着，此时露在外面的面数为：6－2＝4（面） 当新添加的小正方体放在最底层前排右列的小正方体前面或右面时，它的一个面和底面挨着，一个面和最底层右列的小正方体挨着，此时露在外面的面数仍为：6－2＝4（面） 但是当新添加的小正方体靠墙放时，就会有3个面挨着墙或者正方体，此时露在外面的面数仍为：6－3＝3（面） 因此，若紧挨着这些小正方体再放上一个小正方体，这个小正方体最多会露出4个面。 【变式训练】（24-25五年级下·重庆奉节·期末）同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。 ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共8块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？ ①三面涂色的小正方体共（    ）块。 ②两面涂色的小正方体共（    ）块。 ③一面涂色的小正方体共（    ）块。 ④没有涂色的小正方体共（    ）块。 检验：总块数＝（    ），各类块数之和（    ）。 【答案】①8；②36；③52； ④24；120；120 【思路引导】通过阅读材料我们得到几个结论（1）正方体是特殊的长方体；（2）三面涂色的小正方体只在正方体的8个顶点处；（3）两面涂色的小正方体在12条棱上，每条棱的2个顶点处的小正方体不包含在内；（4）只有一面涂色的小正方体位于6个面上，位于四条棱的中间，长、宽、高减2后分别两两相乘即得到前（后）面、左（右）面、上（下）面，只有一面涂色的小正方体个数；（5）没涂色的小正方体在6个面的内部，长、宽、高分别减2后计算乘积；（6）总块数＝长×宽×高，据此解答。 【规范解答】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色。 ①三面涂色的小正方体共8块 ②两面涂色的小正方体： 4×（6－2）＋4×（4－2）＋4×（5－2） ＝4×4＋4×2＋4×3 ＝16＋8＋12 ＝36（块） ③一面涂色的小正方体： （6－2）×（5－2）×2＋（4－2）×（5－2）×2＋（6－2）×（4－2）×2 ＝4×3×2＋2×3×2＋4×2×2 ＝24＋12＋16 ＝52（块） ④没有涂色的小正方体： （6－2）×（4－2）×（5－2） ＝4×2×3 ＝24（块） 总块数：6×4×5 ＝24×5 ＝120（块） 各类块数之和：8＋36＋52＋24 ＝44＋52＋24 ＝120（块） 考点六 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）一个长为20分米的方木的横截面是边长为5分米的正方形，将它的长锯掉3分米后，原方木的体积比原来减少（    ）立方分米。 A．15 B．17 C．75 D．100 【答案】C 【思路引导】长方体体积＝横截面的面积×长，根据正方形面积＝边长×边长，计算出横截面的面积，横截面的面积×锯掉的长度＝减少的体积。 【规范解答】5×5×3＝75（立方分米） 原方木的体积比原来减少75立方分米。 【变式训练】（25-26五年级下·陕西榆林·阶段检测）儿童玩具厂正在设计新款积木套装，其中一款长方体积木模具，只要把它的高增加3厘米，就能变成一个正方体积木模具。改造后模具的表面积比原来增加了96平方厘米。原来这个长方体积木模具的体积是多少立方厘米？ 【答案】320立方厘米 【思路引导】根据“高增加3厘米变成正方体”，可知原长方体的长和宽相等，且比高多3厘米；改造后增加的表面积是4个相同的长方形侧面的面积和，先用总面积除以4求出单个长方形的面积，再除以3得到长方体的长（宽）；用长减去3厘米得到原长方体的高，最后根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出体积。 【规范解答】单个增加的长方形面积：96÷4＝24（平方厘米） 原长方体的长/宽：24÷3＝8（厘米） 原长方体的高：8－3＝5（厘米） 原长方体的体积：8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方厘米） 答：原来这个长方体积木模具的体积是320立方厘米。 考点七 正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级下·湖南永州·期末）一个正方体的棱长总和是36cm，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 54 27 【思路引导】正方体的棱长总和＝棱长×12，用正方体的棱长总和除以12算出棱长；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】36÷12＝3（cm） 表面积：3×3×6 ＝9×6 ＝54（cm2） 体积：3×3×3 ＝9×3 ＝27（cm3） 【变式训练】（24-25五年级下·河北石家庄·期末）用铁丝做一个长、宽、高分别为7厘米、6厘米和5厘米的长方体框架（拼接处不计），至少需要( )厘米铁丝，若把这根铁丝围成一个正方体框架（正好用完），正方体框架的棱长是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 72 6 216 【思路引导】根据长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，据此求出铁丝的长度；铁丝的长度不变，根据正方体的总棱长＝棱长×12，据此求出正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体的体积。 【规范解答】（7＋6＋5）×4＝18×4＝72（厘米） 72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝36×6＝216（立方厘米） 至少需要72厘米铁丝，若把这根铁丝围成一个正方体框架（正好用完），正方体框架的棱长是6厘米，体积是216立方厘米。 考点八 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（25-26五年级下·四川资阳·期中）尊老爱幼是中华民族的传统美德，在母亲节来临之际，小明把给妈妈准备的礼物放在了一个长30厘米，宽20厘米的，高15厘米的长方体盒子里，然后用一根彩色丝带将盒子捆扎起来（如图所示）。 (1)如果打结处用去25厘米长的彩带，那么一共需要( )厘米的彩带。 (2)做这样一个盒子至少需要硬纸板多少平方分米？ (3)这样一个盒子占据多大的空间？ 【答案】(1)185 (2)27平方分米 (3)9立方分米 【思路引导】（1）从上面看，彩带沿长方向捆一圈是两条长加两条高，沿宽方向捆一圈是两条宽加两条高。合起来就是两条长加两条宽加四条高，再加打结长度。 （2）求长方体的表面积，公式是（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。算出平方厘米后换算成平方分米。 （3）实际上求的就是长方体体积，公式是长×宽×高，算出立方厘米后换算成立方分米。单位换算注意，1平方分米等于100平方厘米，1立方分米等于1000立方厘米。 【规范解答】（1）2×30＋2×20＋4×15 ＝60＋40＋60 ＝160（厘米） 160＋25＝185（厘米） （2）（30×20＋30×15＋20×15）×2 ＝（600＋450＋300）×2 ＝1350×2 ＝2700（平方厘米） 2700÷100＝27（平方分米） 答：至少需要硬纸板27平方分米。 （3）30×20×15 ＝600×15 ＝9000（立方厘米） 9000÷1000＝9（立方分米） 答：这样一个盒子占据9立方分米的空间。 【变式训练】（25-26五年级下·河南三门峡·期中）空心砖是一种常用建筑材料，内部有贯穿孔洞，具有减轻重量、节省材料、保温隔音等优点。一种空心砖长毫米、宽毫米、高毫米。内部有10个贯穿的正方体孔洞，制作该砖的陶土每立方厘米重克。制作一块空心砖需要陶土多少千克？（结果保留两位小数） 【答案】 千克 【思路引导】先根据长乘宽乘高算出没有孔洞的空心砖的体积，正方体的棱长就是长方体的高，再用棱长乘棱长乘棱长算出一个孔洞的体积，再乘算出个孔洞的体积，用没有孔洞的空心砖的体积减去个孔洞的体积算出空心砖的体积，注意换算单位，进率是，再乘算出质量，最后换算单位，进率是，保留两位小数。 【规范解答】 （立方毫米） 立方毫米立方厘米 （千克） 答：制作一块空心砖需要陶土千克。 考点九 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西汉中·期末）将一个棱长为8cm的实心正方体铁块熔化后铸成一个实心长方体铁块，已知长方体长为16cm、宽为4cm，则高为( )cm。 【答案】8 【思路引导】根据题意，把一个正方体铁块熔铸成长方体，铁块的体积不变；根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积，即熔铸成的长方体的体积。再根据“长方体体积＝长×宽×高”，可知“长方体高＝体积÷长÷宽”，据此解答。 【规范解答】8×8×8 ＝64×8 ＝512（） 512÷16÷4 ＝32÷4 ＝8（cm） 【变式训练】（25-26五年级下·陕西咸阳·期中）一个封闭的长方体容器，从里面量长、宽、高分别是1分米、8厘米、1.5分米，里面装着水，水的高度是6厘米，张明不小心把容器碰倒了（如图）。现在水的高度是多少？ 【答案】4厘米 【思路引导】根据1分米＝10厘米，先将数据单位统一。无论容器怎么放，里面水的体积是固定的，不会改变。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算出水的体积。容器倒置后，底面变成长1.5分米，宽8厘米的长方形，水的高度＝水的体积÷倒后的容器的底面积。 【规范解答】1分米＝10厘米，1.5分米＝15厘米。 水的体积＝10×8×6＝480（立方厘米） 倒后的容器的底面积：15×8＝120（平方厘米） 480÷120＝4（厘米） 答：现在水的高度是4厘米。 考点十 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·山东济宁·期末）我国古代建筑多采用木质材料，在修复一座老木屋时，需要从一根长1.5米、宽0.8米、高0.6米的长方体木料上锯掉一个最大的正方体，剩下木料的体积是多少立方米？ 【答案】0.504立方米 【思路引导】要从长方体木料上锯下一个最大的正方体，该正方体的棱长必须等于长方体长、宽、高中最短的那条棱的长度。长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用原长方体体积减去锯下的正方体体积即可求出剩下木料的体积。 【规范解答】1.5×0.8×0.6 ＝1.2×0.6 ＝0.72（立方米） 1.5＞0.8＞0.6 0.6×0.6×0.6 ＝0.36×0.6 ＝0.216（立方米） 0.72－0.216＝0.504（立方米） 答：剩下木料的体积是0.504立方米。 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）分别求出下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：150平方厘米；体积：113立方厘米 【思路引导】表面积：从正方体顶点处挖去长方体后，减少3个面的同时又新增3个相同的面，所以该图形的表面积等于正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数值计算即可； 体积：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，用正方体的体积减去挖去的长方体的体积即可求出该图形的体积。 【规范解答】表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝25×5－4×3 ＝125－12 ＝113（立方厘米） 考点十一 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·吉林通化·期末）从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示（单位：厘米）。算一算，这个空心零件的体积是多少立方厘米。 【答案】22000立方厘米 【思路引导】通过观察三种视图可知：这个空心零件是从一个长40厘米，宽30厘米，高20厘米的长方体里挖去了一个长10厘米，宽10厘米，高20厘米的长方体。根据“长方体的体积＝长×宽×高”分别求出外面大长方体的体积及里面小长方体的体积，再相减即可求出这个空心零件的体积。 【规范解答】40×30×20－10×10×20 ＝1200×20－100×20 ＝24000－2000 ＝22000（立方厘米） 答：这个空心零件的体积是22000立方厘米。 【变式训练】（25-26五年级下·广东揭阳·期中）仔细观察长方体表面展开图和正方体图，分别求表面积和体积。（单位：cm）            【答案】（1）；； （2）； 【思路引导】（1）观察发现该长方体的长为13cm，宽为5cm，而宽和高的和为8cm，因此可以求出高是多少。然后根据长方体的表面积＝（长宽长高宽高），长方体的体积长宽高进行计算。 （2）观察发现该图形在正方体的顶点处挖去的长方体，所以它的表面积等于正方体的表面积，体积等于正方体的体积减去小长方体的体积。正方体的表面积＝棱长棱长，正方体的体积＝棱长棱长棱长，长方体的体积长宽高进行计算。 【规范解答】（1） 表面积： 体积： （2）表面积： 体积： 考点十二 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）有一个长方体玻璃水池，从里面量长60厘米，宽30厘米，玻璃水池中完全浸没一块石头后（水未溢出），玻璃水池中的水深30厘米，把石头拿出来后水面下降了15厘米。 (1)这块石头的体积是多少立方分米？ (2)玻璃水池里的水有多少升？ 【答案】(1)27立方分米 (2)27升 【思路引导】（1）根据题意，把完全浸没在水中的石头拿出来后水面下降了15厘米，那么水下降部分的体积等于这块石头的体积；水下降部分是一个长60厘米、宽30厘米、高15厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这块石头的体积，并根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位。 （2）根据题意可知，水池中原有水深是（30－15）厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积，并根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位。 【规范解答】（1）60×30×15 ＝1800×15 ＝27000（立方厘米） 27000立方厘米＝27立方分米 答：这块石头的体积是27立方分米。 （2）60×30×（30－15） ＝60×30×15 ＝1800×15 ＝27000（立方厘米） 27000立方厘米＝27升 答：玻璃水池里的水有27升。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江台州·期末）一个长方体水槽长15厘米，宽12厘米，深10厘米，现将1.26升的水注入其中，再将一个高为8厘米的长方体铁块慢慢放入水中（如下图），当铁块浸没6厘米时，水槽中的水刚好满了。 (1)图1中水槽中的水面高度是多少厘米？ (2)长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1)7厘米 (2)720立方厘米 【思路引导】（1）观察图可知，先将水的体积转化成立方厘米作单位，水槽底面积＝长×宽＝15×12，水槽里现在水的体积÷水槽的底面积＝水槽里水面高度，据此列式计算； （2）根据题意，先求出水槽的容积，水槽的容积＝长×宽×高，放入铁块前水的体积是1260立方厘米，当铁块浸没6厘米时水刚好满，此时铁块浸没部分的体积为水槽容积减去水的体积，因为铁块浸没部分的高为6厘米，根据长方体体积公式V＝Sh，可得铁块的底面积，最后用铁块的底面积×高＝铁块的体积，据此列式计算。 【规范解答】（1）1.26升＝1260立方厘米 1260÷（15×12） ＝1260÷180 ＝7（厘米） 答：图1中水槽中的水面高度是7厘米。 （2）15×12×10 ＝180×10 ＝1800（立方厘米） 1800－1260＝540（立方厘米） 540÷6＝90（平方厘米） 90×8＝720（立方厘米） 答：长方体铁块的体积是720立方厘米。 考点十三 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·江西赣州·期末）补给站使用长方体水箱储水，长15分米、宽8分米、高6分米。 (1)要给水箱四周贴上醒目的红色背胶纸，一个水箱至少需要多大的背胶纸？ (2)若需为选手准备2000升水，至少需要多少个这样的水箱？ 【答案】(1)276平方分米 (2)3个 【思路引导】（1）给水箱四周贴上醒目的红色背胶纸，根据“长×高×2＋宽×高×2”计算即可求出需要的背胶纸的面积。 （2）先统一单位，2000升＝2000立方分米；根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”算出一个水箱的容积；最后用水的总量除以一个水箱的容积，由于剩余部分也需要一个水箱，所以采用“进一法”取整。 【规范解答】（1）15×6×2＋8×6×2 ＝90×2＋48×2 ＝180＋96 ＝276（平方分米） 答：一个水箱至少需要276平方分米的背胶纸。 （2）2000升＝2000立方分米 15×8×6 ＝120×6 ＝720（立方分米） 2000÷720≈3（个） 答：至少需要3个这样的水箱。 【变式训练】（24-25五年级下·江西赣州·期末）优优和果果从不同的角度观察爷爷做的一个无盖的长方体玻璃鱼缸。 优优从上面看：    果果从左面看： (1)根据她们看到的形状和测量的数据，你能计算出爷爷做这个鱼缸至少用多少平方分米玻璃吗？ (2)如果玻璃厚度忽略不计，那么这个鱼缸的容积是多少升？ 【答案】(1)118平方分米 (2)120升 【思路引导】（1）根据图片，从上面观察可得：鱼缸的长是6分米，宽是5分米；从左面观察可得：鱼缸的高是4分米。鱼缸是无盖长方体，因此玻璃面积＝底面积 ＋ 4个侧面的面积。 （2）玻璃厚度忽略不计，容积＝长方体体积，再进行单位转换。 【规范解答】（1）6×5＋2×（4×6＋4×5） ＝30＋2×（24＋20） ＝30＋2×44 ＝30＋88 ＝118（平方分米） 答：爷爷做这个鱼缸至少用118平方分米玻璃。 （2）4×5×6 ＝20×6 ＝120（立方分米） 120立方分米＝120升 答：这个鱼缸的容积是120升。 考点十四 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·甘肃兰州·期末）一个长方体装水容器从里面量得底面长60厘米，宽35厘米，里面放入一个钢块并完全沉没在水中，当钢块取出时，容器内的水下降6厘米。这个钢块的体积是多少立方分米？ 【答案】 立方分米 【思路引导】因为钢块完全沉没在水中，所以钢块的体积等于取出钢块后容器中下降部分的水的体积，下降的水形成的是一个与容器底面相同，高为水面下降高度的长方体，用长方体体积公式：，计算该部分体积。因为最终结果要求的单位是立方分米，所以计算完成后要将立方厘米换算成立方分米。 【规范解答】长方体：长厘米，宽厘米，高厘米 （立方厘米） 立方分米立方厘米 立方厘米立方分米 答：这个钢块的体积是立方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）王叔叔要制作一个长7.5分米、宽4.8分米、高为4分米的长方形无盖玻璃鱼缸。 (1)制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（得数保留整数） (2)玻璃鱼缸中放入一块高为1.5分米，体积为6立方分米的假山石，如果水管以每分钟4立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 【答案】(1)134平方分米 (2)12分钟 【思路引导】（1）制作一个长方体无盖玻璃鱼缸需要的玻璃的面积等于长方体的下面、前后、左右5个面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：需要玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算结果采用四舍五入法保留整数即可； （2）先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出鱼缸中流入高度为1.5分米的水的体积，再减去假山石的体积即可得到实际需要流入的水的体积，最后除以每分钟水的流入量即可解答。 【规范解答】（1）7.5×4.8＋7.5×4×2＋4.8×4×2 ＝36＋60＋38.4 ＝134.4（平方分米） ≈134（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要玻璃134平方分米。 （2）7.5×4.8×1.5－6 ＝54－6 ＝48（立方分米） 48÷4＝12（分钟） 答：至少需要12分钟才能把假山石完全淹没。 1．（25-26五年级下·甘肃张掖·阶段检测）有下面几种硬纸板若干张，选择（    ）正好可以围成一个长方体。 A．4张①号，2张③号 B．2张②号，4张③号 C．2张①号，2张④号，2张⑤号 D．2张④号，4张⑤号 【答案】B 【思路引导】围成长方体需要6个面，相对的面完全相同，3组对面要各由2张相同的硬纸板组成。据此逐个看选项。 【规范解答】A．4张①号，2张③号。①号是4×3，③号是3×2。只有两种规格，凑不成3组对面，不符合题意； B．2张②号，4张③号。②号是3×3，是正方形，③号是3×2。如果有2张3×3，那么和它相对的面也得是3×3，正好用②号对上。剩下4张③号3×2，可以分成两组对面。一组长方体有2个正方形面和4个长方形面，正方形面边长3，长方形面宽3正好和正方形边长一样，长是2，能围成，符合题意； C．2张①号，2张④号，2张⑤号。①号4×3，④号1×2，⑤号4×2。尺寸乱七八糟，棱对不齐，不符合题意； D．2张④号，4张⑤号。④号1×2，⑤号4×2。2张④号能成一对对面，但剩下4张⑤号都是4×2，棱和④号的1对不上，不符合题意； 2．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）把一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体平均切分成两个一样的小长方体，其中一个小长方体的表面积最大可能是（    ）平方厘米。（损耗忽略不计） A．14800 B．15800 C．16000 D．16600 【答案】D 【思路引导】根据“1分米＝10厘米”将“分米”换算成“厘米”。沿高将长方体平均切分成两个一样的小长方体，小长方体的表面积最大。小长方体的高＝大长方体的高÷2；根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算。 【规范解答】8分米＝80厘米，6分米＝60厘米，5分米＝50厘米； 50÷2＝25（厘米） （80×60＋80×25＋60×25）×2 ＝（4800＋2000＋1500）×2 ＝（6800＋1500）×2 ＝8300×2 ＝16600（平方厘米） 所以小长方体的表面积最大可能是16600平方厘米。 3．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）一个无盖的正方体木箱，从外面量，木箱的棱长是40厘米，制作这个木箱的木板厚度是5厘米，这个木箱的容积是（    ）立方厘米。 A．64000 B．27000 C．31500 D．42875 【答案】C 【思路引导】容积表示所能容纳物体的体积；根据题意可知，木箱内部长方体的长、宽均为（40－5－5）厘米、高是（40－5）厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值即可解答。 【规范解答】40－5－5＝30（厘米） 40－5＝35（厘米） 30×30×35 ＝900×35 ＝31500（立方厘米） 这个木箱的容积是31500立方厘米。 4．（24-25五年级下·广东深圳·期末）在四张相同的正方形纸板的四个角上分别剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个无盖的纸盒。下面四个选项中剪去的小正方形的边长依次为4、3、2、1，做出来的纸盒中，容积最大的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】长方体容积＝长×宽×高，正方体容积=棱长×棱长×棱长，分别计算出四种方法做出的纸盒容积，再进行比较，从而找出容积最大的纸盒。 【规范解答】A．正方体的棱长： 12－4×2 ＝12－8 ＝4（厘米） 正方体纸盒的容积： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） B．长方体底面是一个正方形，高是3cm，边长为： 12－3×2 ＝12－6 ＝ 6（厘米） 长方体纸盒的容积是： 6×6×3 ＝36×3 ＝108（立方厘米） C．长方体底面是一个正方形，高是2cm，边长为： 12－2×2 ＝12－4 ＝8（厘米） 长方体纸盒的容积是： 8×8×2 ＝64×2 ＝128（立方厘米） D．长方体底面是一个正方形，高是1cm，边长为： 12－1×2 ＝12－2 ＝10（厘米） 长方体纸盒的容积是： 10×10×1 ＝100×1 ＝100（立方厘米） 64＜100＜108＜128 容积最大的是。 5．（25-26五年级下·全国·单元复习）乐乐和他的好朋友分别用4根5cm、4根9cm和4根12cm的磁力棒搭一个长方体框架，下面是他们搭出的部分框架，在此基础上用剩下的磁力棒继续搭建，其中一定不能搭成长方体框架的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】长方体的长、宽、高各需要4根等长的磁力棒，每种长度最多用4根；判断各选项中已用的磁力棒数量，若某一长度的磁力棒已用完且无法满足长方体棱的配对需求，就不能搭成。 【规范解答】A．已用的5cm、9cm、12cm磁力棒数量都不超过4根，剩余磁力棒可凑齐长、宽、高各4根，能搭成。 B．已用完4根9cm磁力棒，长方体对面还需要4根9cm的棱，无剩余可用，不能搭成。 C．已用的三种长度磁力棒数量都不超过4根，剩余磁力棒可凑齐长、宽、高各4根，能搭成。 D．已用的三种长度磁力棒数量都不超过4根，剩余磁力棒可凑齐长、宽、高各4根，能搭成。 6．（25-26五年级下·河北保定·期末）把一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体截成两个相同的小长方体，表面积最多增加( )平方分米，最少增加( )平方分米。 【答案】 108 48 【思路引导】将一个长方体截成两个完全相同的小长方体，一共有3种不同的截法。 竖着切，截成的长方体的表面积之和比原来增加了2个截面的面积，分别是左面和右面； 横着切，截成的长方体的表面积之和比原来增加了2个截面的面积，分别是上面和下面； 侧着切，截成的长方体的表面积之和比原来增加了2个截面的面积，分别是前面和后面。 分别求出3种截法对应的截面的面积，最后比较大小即可求得。 【规范解答】横着切，表面积增加： 6×4×2 ＝24×2 ＝48（平方分米） 横着切，表面积增加： 9×6×2 ＝54×2 ＝108（平方分米） 侧着切，表面积增加： 9×4×2 ＝36×2 ＝72（平方分米） 108平方分米＞72平方分米＞48平方分米 表面积最多增加108平方分米，最少增加48平方分米。 7．（24-25五年级下·河南三门峡·期末）用一根长60分米的铁条，焊成一个长8分米，宽5分米的长方体框架，长方体框架的高是( )分米。这个框架焊上铁皮做成一个长方体铁皮箱，体积是( )立方分米。 【答案】 2 80 【思路引导】（1）长方体一共有12条棱，分为4组相等的长、宽、高，因此棱长总和＝4×（长＋宽＋高）。 （2）长方体体积公式为：体积＝长×宽×高。 【规范解答】1组长宽高的和：60÷4＝15（分米） 高：15−8−5 ＝7－5 ＝2（分米） 体积：8×5×2 ＝40×2 ＝80（立方分米） 长方体框架的高是2分米。这个框架焊上铁皮做成一个长方体铁皮箱，体积是80立方分米。 8．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）刘华在一块长方形纸板的两个角上各剪掉一个小正方形，如果把剪下的两个小正方形粘贴到长方形另一边的中间（如图），正好可以制成一个无盖的长方体纸盒。这个盒子的容积是( )cm3。（损耗忽略不计） 【答案】216 【思路引导】观察图形可知，长方形纸板的宽是12cm，两个角各剪掉一个小正方形，且能拼成盒子的两个侧面，说明12cm平均分成2份，长方体纸盒的宽是12÷2＝6cm，长方体纸盒的高等于小正方形的边长是6÷2＝3cm，长方体纸盒的长是15－3＝12cm；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这个盒子的容积。 【规范解答】长方体纸盒的宽：12÷2＝6（cm） 长方体纸盒的高：6÷2＝3（cm） 长方体纸盒的长：15－3＝12（cm） 盒子的容积： 12×6×3 ＝72×3 ＝216（cm3） 9．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）从一个长2dm、宽9cm、高4cm的长方体木块中锯下一个最大的正方体木块，这个正方体木块的棱长为( )cm，最多可以锯下( )个这样的正方体。（损耗忽略不计） 【答案】 4 10 【思路引导】先根据“1dm＝10cm”将长方体的长度单位换算成“cm”；锯下的最大的正方体木块的棱长，与长方体的长、宽、高中最短的部分相同。分别计算沿长方体的高、长和宽可以锯的正方体的棱长的个数，然后将沿长和宽可以锯出的个数求积，即为可以锯下的正方体的数量。 【规范解答】2dm＝20cm 因为4＜9＜20，所以这个正方体木块的棱长为4cm； 4÷4＝1（个） 20÷4＝5（个） 9÷4＝2（个）……1（cm） 最多可以锯下的正方体的个数为：1×5×2＝10（个） 10．（24-25五年级下·福建福州·期中）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点。如果大积木的棱长为3厘米，则这个立体图形的表面积为( )。 【答案】74平方厘米/74 【思路引导】 小正方形粘贴面的四个顶点是大正方形边长的三等分点，因此大正方形四个角的直角三角形直角边分别是1厘米、2厘米，小正方形的面积＝大正方形的面积4个直角三角形的面积。两个正方体重合粘贴，重合的两个面都被挡住，不计入表面积，因此总表面积＝大正方体表面积＋小正方体表面积2×重合面面积，根据正方体的表面积公式：求出大小正方体的表面积代入关系式即可。 【规范解答】1×2÷2×4 ＝2÷2×4 ＝1×4 ＝4（平方厘米） 3×3＝9（平方厘米） 9×6＝54（平方厘米） 6×（94） ＝6×5 ＝30（平方厘米） 54＋302×5 ＝54＋3010 ＝8410 ＝74（平方厘米） 11．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀，切成了27个小正方体，三个面涂红色的小正方体有6个，两个面涂红色的小正方体有12个。( ) 【答案】× 【思路引导】先确定正方体每条棱上小正方体的数量；再根据正方体的特征可知，三个面涂色的小正方体在大正方体的各个顶点处；两个面涂色的小正方体在大正方体每条棱的中间，用每条棱上小正方体的个数减去两头的小正方体个数，可得出大正方体的每条棱上两个面涂色的小正方体数量；两个面涂色的小正方体总数＝每条棱上两个面涂色的小正方体数量×12。 【规范解答】因为正方体有8个顶点，所以三个面涂色的小正方体有8个； 因为27＝3×3×3，所以正方体的每条棱上可以切出3个小正方体； 两个面涂色的小正方体数量为： （3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） 所以原说法错误。 故答案为：× 12．（2016·全国·小升初模拟）两个长方体的表面积相等，体积也一定相等。( ) 【答案】× 【思路引导】长方体的表面积公式为，体积公式为。表面积相等表示六个面的面积之和相等，但长、宽、高的乘积不一定相等，可以举反例说明。 【规范解答】假设一个长方体的长、宽、高分别为2厘米、2厘米、5厘米。 表面积： （2×2＋2×5＋2×5）×2 ＝（4＋10＋10）×2 ＝（14＋10）×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 体积： 2×2×5 ＝4×5 ＝20（立方厘米） 另一个长方体的长、宽、高分别为4厘米、4厘米、1厘米。 表面积： （4×4＋4×1＋4×1）×2 ＝（16＋4＋4）×2 ＝（20＋4）×2 ＝24×2 ＝48（平方厘米） 体积： 4×4×1 ＝16×1 ＝16（立方厘米） 所以两个长方体的表面积相等，体积不一定相等。 故答案为：× 13．（24-25五年级下·山东滨州·期末）一个正方体的棱长总和是36厘米，它的棱长是3厘米。( ) 【答案】√ 【思路引导】正方体有12条长度相等的棱，棱长总和＝棱长×12，用棱长总和÷12求出棱长，再与题干说法对比判断。 【规范解答】正方体有12条长度相等的棱 36÷12＝3（厘米） 计算结果与题目说法一致 故答案为：√ 14．（24-25五年级下·四川遂宁·期中）用8个体积为1立方分米的小正方体堆成1个大正方体，这个大正方体的底面周长是1分米。( ) 【答案】× 【规范解答】8个体积为1立方分米的小正方体总体积为8立方分米，堆成的大正方体体积也为8立方分米。根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，棱长必须为2分米（因为2×2×2＝8）。底面为正方形，周长＝4×棱长＝4×2＝8分米。题干中底面周长为1分米，与计算结果不符。 故答案为：×。 15．（25-26五年级下·甘肃张掖·阶段检测）计算下面图形的表面积和体积。     【答案】长方体：表面积600cm2，体积900cm3； 挖空几何体：表面积216dm2，体积204dm3； 【思路引导】第一个长方体（长15cm、宽10cm、高6cm），表面积公式＝（长×宽＋长×高＋宽×高），体积＝长×宽×高。 第二个挖空几何体（棱长6dm，挖去2dm×2dm×3dm小长方体），表面积＝原正方体表面积，因为挖去小方块后凹少了小长方体的前面、右面、上面3个面，同时又新增加了小长方体少的3个面，所以新的几何体表面积和原来正方体表面积相等。体积＝大正方体体积−挖去小长方体体积。 【规范解答】（1）第一个长方体（长15cm、宽10cm、高6cm）： 表面积： 2×（15×10＋15×6＋10×6） ＝2×（150＋90＋60） ＝2×300 ＝600（cm2） 体积：15×10×6＝900（cm3） 长方体：表面积600cm2，体积900cm3。 （2）第二个挖空几何体： 表面积： 6×6×6－（22＋23＋2×3）＋（2×2＋2×3＋2×3） ＝216－16＋16 ＝216（dm2） 体积： 6×6×6−2×2×3 ＝216−12 ＝204（dm3） 挖空几何体：表面积216dm2，体积204dm3。 16．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）小明想测量一块圆柱体铁块的体积。他准备了一个底面积是6平方分米、深是2分米的长方体容器，往容器中倒入6升的水后，再将铁块完全浸没在水中，这时测得水高为1.3分米。这个圆柱体铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】1.8立方分米 【思路引导】1L＝1立方分米，铁块的体积＝放入铁块后的体积－倒入的水的体积。 【规范解答】6L＝6立方分米 6×1.3－6 ＝7.8－6 ＝1.8（立方分米） 答：这个圆柱体铁块的体积是1.8立方分米。 17．（25-26五年级下·河南三门峡·期中）地质勘探能帮助人们发现金属、煤炭等矿产资源，也能了解地球的演变历史。勘探队员在山中发现一块矿石，想快速估算其体积，以便初步判断矿石类型和运输方案。他们用野外便携的长方体水盒（长12厘米，宽8厘米，高10厘米）进行排水法测量。盒内原有水面离盒口2厘米，放入矿石完全浸没后，水面上升并溢出，收集溢出的水为95毫升。这块矿石的体积是多少立方厘米？ 【答案】 287立方厘米 【思路引导】由题知，这块矿石的体积等于上升水的体积加上溢出水的体积，即盒内原有空余部分的体积，加上溢出水的体积。先根据“上升水的体积＝长×宽×水上升高度”，代入数据可求得盒内原有空余部分的体积，再加上溢出水的体积，即可解答。 【规范解答】12×8×2 ＝96×2 ＝192（立方厘米） 95毫升＝95立方厘米 192＋95＝287（立方厘米） 答：这块矿石的体积是287立方厘米。 18．（25-26五年级下·广东揭阳·阶段检测）将一个正方体的高减少3厘米，它的表面积就减少了72平方厘米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】216平方厘米 【思路引导】 如图所示，将一个正方体的高减少3厘米，表面积减少上面小长方体4个侧面的面积，上面的小长方体上下底面是正方形，其它4个侧面是形状完全相同的长方形，先根据减少的表面积求出1个侧面的面积，再根据“”求出小长方体的长，即正方体的棱长，最后根据“”求出原来正方体的表面积。 【规范解答】72÷4÷3 ＝18÷3 ＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 答：原来正方体的表面积是216平方厘米。 19．（25-26五年级下·广东佛山·期中）如图，长方体密封容器的一个侧面有一个边长为3厘米的正方形开口，往容器里倒了一些水，水刚好无溢出，然后将容器倒过来摆放，水会减少616立方厘米。这个容器最初放了多少立方厘米的水？（容器的厚度忽略不计） 【答案】840立方厘米 【思路引导】最初放的水是一个高15厘米、底面积是容器底面积的长方体的体积，倒过来后容器中剩下的水的底面积等于最初水的底面积、高是4厘米，因此，减少的水的体积＝容器底面积×最初水的高15厘米－容器底面积×剩下的水的高4厘米＝容器底面积×（最初水的高15厘米－剩下的水的高4厘米），即减少的水的体积÷（最初水的高15厘米－剩下的水的高4厘米）＝容器的底面积，最后再根据：容器的底面积×最初水的高15厘米＝容器中最初放的水的体积。 【规范解答】616÷（15－4） ＝616÷11 ＝56（平方厘米） 56×15＝840（立方厘米） 答：这个容器最初放了840立方厘米的水。 20．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【思路引导】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【规范解答】甲容器中水的体积：10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 【考点剖析】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题02 长方体和正方体表面积和体积的计算 人教版 思维导图+知识回顾+十四大考点讲练+真题强化 （共48题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·四川遂宁·期末）如图是一个长方体框架的三条棱。 (1)制作这样一个长方体框架，至少需要( )cm的铁丝。 (2)如果在框架外面糊上一层纸，至少需要( )cm2的纸。 【变式训练】（25-26五年级下·河南开封·阶段检测）六一儿童节前夕，五（1）班计划制作一个长方体展示台，用于陈列手工作品。老师让同学们一起参与设计和计算材料用量。 (1)同学们设计的展台框架长50厘米，宽30厘米，高25厘米。制作这个框架至少需要多长的木条？（接头处忽略不计） (2)为美化展示台，同学们准备为其除底面外的其他五个面贴上彩色卡纸。至少需要准备多少平方厘米的卡纸？ (3)制作完成后，有同学提议将展示台的高度增加5厘米。若保持原卡纸的粘贴方式不变（仅贴五个面），那么高度增加后，需要新增多少平方厘米的卡纸？ 考点二 正方体表面积的应用与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·河北邯郸·期末）把一个长方体照下图切两刀，切成3个正方体，一个正方体的表面积是150cm2，切后的表面积比原来增加了( )cm2。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）一块表面涂有红漆的长方体木块，如下图那样挖掉一个长10厘米、宽4厘米、深6厘米的小长方体。求挖掉后的木块没有涂红漆的面的总面积是多少平方厘米？ 【变式训练】（24-25五年级下·山东聊城·期末）把长5厘米、宽4厘米、高3厘米的两块相同的长方体拼成一个新长方体，有( )种拼法，表面积最大是( )平方厘米。 考点四 组合体的表面积（长方体、正方体) 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西西安·阶段检测）求下列图形的表面积（单位：厘米）。 （1）    （2） 【变式训练】（25-26五年级下·河南周口·阶段检测）如图所示的一个机器零件，下面是一个长方体，长方体上面的正中心位置有一个正方体。现在要给这个零件外表涂上防锈漆，涂防锈漆的面积是多少平方厘米？（长方体的底面也要涂，图中单位：厘米） 考点五 表面涂色的正方体 【典例精讲】（24-25五年级下·吉林长春·期末）一些小正方体堆放在墙角（如图），有( )个面露在外面。若紧挨着这些小正方体再放上一个小正方体，这个小正方体最多会露出( )个面。 【变式训练】（24-25五年级下·重庆奉节·期末）同学们，这个学期我们学习了长方体和正方体的有关知识，让我们进一步阅读、解决和探索如下问题。 【阅读材料】用棱长为1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，表面涂上颜色。这些小正方体会出现4种不同的涂色情况。 ①三面涂色的小正方体，位于大正方体的8个顶点上，共8块。 ②两面涂色的小正方体，位于大正方体的12条棱上，共块。 ③一面涂色的小正方体，位于大正方体的6个面上，共块。 ④没有涂色的小正方体，位于大正方体的内部，共块。 检验：总块数，各类块数之和。 【解决问题】用棱长1cm的小正方体拼成一个长6cm、宽4cm、高5cm的长方体，表面涂上颜色，三面、两面、一面涂色和没有涂色的小正方体各有几块？ ①三面涂色的小正方体共（    ）块。 ②两面涂色的小正方体共（    ）块。 ③一面涂色的小正方体共（    ）块。 ④没有涂色的小正方体共（    ）块。 检验：总块数＝（    ），各类块数之和（    ）。 考点六 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）一个长为20分米的方木的横截面是边长为5分米的正方形，将它的长锯掉3分米后，原方木的体积比原来减少（    ）立方分米。 A．15 B．17 C．75 D．100 【变式训练】（25-26五年级下·陕西榆林·阶段检测）儿童玩具厂正在设计新款积木套装，其中一款长方体积木模具，只要把它的高增加3厘米，就能变成一个正方体积木模具。改造后模具的表面积比原来增加了96平方厘米。原来这个长方体积木模具的体积是多少立方厘米？ 考点七 正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（25-26五年级下·湖南永州·期末）一个正方体的棱长总和是36cm，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【变式训练】（24-25五年级下·河北石家庄·期末）用铁丝做一个长、宽、高分别为7厘米、6厘米和5厘米的长方体框架（拼接处不计），至少需要( )厘米铁丝，若把这根铁丝围成一个正方体框架（正好用完），正方体框架的棱长是( )厘米，体积是( )立方厘米。 考点八 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（25-26五年级下·四川资阳·期中）尊老爱幼是中华民族的传统美德，在母亲节来临之际，小明把给妈妈准备的礼物放在了一个长30厘米，宽20厘米的，高15厘米的长方体盒子里，然后用一根彩色丝带将盒子捆扎起来（如图所示）。 (1)如果打结处用去25厘米长的彩带，那么一共需要( )厘米的彩带。 (2)做这样一个盒子至少需要硬纸板多少平方分米？ (3)这样一个盒子占据多大的空间？ 【变式训练】（25-26五年级下·河南三门峡·期中）空心砖是一种常用建筑材料，内部有贯穿孔洞，具有减轻重量、节省材料、保温隔音等优点。一种空心砖长毫米、宽毫米、高毫米。内部有10个贯穿的正方体孔洞，制作该砖的陶土每立方厘米重克。制作一块空心砖需要陶土多少千克？（结果保留两位小数） 考点九 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西汉中·期末）将一个棱长为8cm的实心正方体铁块熔化后铸成一个实心长方体铁块，已知长方体长为16cm、宽为4cm，则高为( )cm。 【变式训练】（25-26五年级下·陕西咸阳·期中）一个封闭的长方体容器，从里面量长、宽、高分别是1分米、8厘米、1.5分米，里面装着水，水的高度是6厘米，张明不小心把容器碰倒了（如图）。现在水的高度是多少？ 考点十 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·山东济宁·期末）我国古代建筑多采用木质材料，在修复一座老木屋时，需要从一根长1.5米、宽0.8米、高0.6米的长方体木料上锯掉一个最大的正方体，剩下木料的体积是多少立方米？ 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）分别求出下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 考点十一 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·吉林通化·期末）从三个方向看一个空心零件，三种视图如图所示（单位：厘米）。算一算，这个空心零件的体积是多少立方厘米。 【变式训练】（25-26五年级下·广东揭阳·期中）仔细观察长方体表面展开图和正方体图，分别求表面积和体积。（单位：cm）            考点十二 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级下·甘肃平凉·期末）有一个长方体玻璃水池，从里面量长60厘米，宽30厘米，玻璃水池中完全浸没一块石头后（水未溢出），玻璃水池中的水深30厘米，把石头拿出来后水面下降了15厘米。 (1)这块石头的体积是多少立方分米？ (2)玻璃水池里的水有多少升？ 【变式训练】（24-25五年级下·浙江台州·期末）一个长方体水槽长15厘米，宽12厘米，深10厘米，现将1.26升的水注入其中，再将一个高为8厘米的长方体铁块慢慢放入水中（如下图），当铁块浸没6厘米时，水槽中的水刚好满了。 (1)图1中水槽中的水面高度是多少厘米？ (2)长方体铁块的体积是多少立方厘米？ 考点十三 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·江西赣州·期末）补给站使用长方体水箱储水，长15分米、宽8分米、高6分米。 (1)要给水箱四周贴上醒目的红色背胶纸，一个水箱至少需要多大的背胶纸？ (2)若需为选手准备2000升水，至少需要多少个这样的水箱？ 【变式训练】（24-25五年级下·江西赣州·期末）优优和果果从不同的角度观察爷爷做的一个无盖的长方体玻璃鱼缸。 优优从上面看：    果果从左面看： (1)根据她们看到的形状和测量的数据，你能计算出爷爷做这个鱼缸至少用多少平方分米玻璃吗？ (2)如果玻璃厚度忽略不计，那么这个鱼缸的容积是多少升？ 考点十四 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·甘肃兰州·期末）一个长方体装水容器从里面量得底面长60厘米，宽35厘米，里面放入一个钢块并完全沉没在水中，当钢块取出时，容器内的水下降6厘米。这个钢块的体积是多少立方分米？ 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）王叔叔要制作一个长7.5分米、宽4.8分米、高为4分米的长方形无盖玻璃鱼缸。 (1)制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（得数保留整数） (2)玻璃鱼缸中放入一块高为1.5分米，体积为6立方分米的假山石，如果水管以每分钟4立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 1．（25-26五年级下·甘肃张掖·阶段检测）有下面几种硬纸板若干张，选择（    ）正好可以围成一个长方体。 A．4张①号，2张③号 B．2张②号，4张③号 C．2张①号，2张④号，2张⑤号 D．2张④号，4张⑤号 2．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）把一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体平均切分成两个一样的小长方体，其中一个小长方体的表面积最大可能是（    ）平方厘米。（损耗忽略不计） A．14800 B．15800 C．16000 D．16600 3．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）一个无盖的正方体木箱，从外面量，木箱的棱长是40厘米，制作这个木箱的木板厚度是5厘米，这个木箱的容积是（    ）立方厘米。 A．64000 B．27000 C．31500 D．42875 4．（24-25五年级下·广东深圳·期末）在四张相同的正方形纸板的四个角上分别剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个无盖的纸盒。下面四个选项中剪去的小正方形的边长依次为4、3、2、1，做出来的纸盒中，容积最大的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 5．（25-26五年级下·全国·单元复习）乐乐和他的好朋友分别用4根5cm、4根9cm和4根12cm的磁力棒搭一个长方体框架，下面是他们搭出的部分框架，在此基础上用剩下的磁力棒继续搭建，其中一定不能搭成长方体框架的是（    ）。 A． B． C． D． 6．（25-26五年级下·河北保定·期末）把一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体截成两个相同的小长方体，表面积最多增加( )平方分米，最少增加( )平方分米。 7．（24-25五年级下·河南三门峡·期末）用一根长60分米的铁条，焊成一个长8分米，宽5分米的长方体框架，长方体框架的高是( )分米。这个框架焊上铁皮做成一个长方体铁皮箱，体积是( )立方分米。 8．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）刘华在一块长方形纸板的两个角上各剪掉一个小正方形，如果把剪下的两个小正方形粘贴到长方形另一边的中间（如图），正好可以制成一个无盖的长方体纸盒。这个盒子的容积是( )cm3。（损耗忽略不计） 9．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）从一个长2dm、宽9cm、高4cm的长方体木块中锯下一个最大的正方体木块，这个正方体木块的棱长为( )cm，最多可以锯下( )个这样的正方体。（损耗忽略不计） 10．（24-25五年级下·福建福州·期中）两个大小不同的正方体积木粘在一起，构成如图所示的立体图形，其中，小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点。如果大积木的棱长为3厘米，则这个立体图形的表面积为( )。 11．（24-25五年级下·湖南张家界·期末）一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀，切成了27个小正方体，三个面涂红色的小正方体有6个，两个面涂红色的小正方体有12个。( )（判断对错） 12．两个长方体的表面积相等，体积也一定相等。( )（判断对错） 13．（24-25五年级下·山东滨州·期末）一个正方体的棱长总和是36厘米，它的棱长是3厘米。( )（判断对错） 14．（24-25五年级下·四川遂宁·期中）用8个体积为1立方分米的小正方体堆成1个大正方体，这个大正方体的底面周长是1分米。( )（判断对错） 15．（25-26五年级下·甘肃张掖·阶段检测）计算下面图形的表面积和体积。     16．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）小明想测量一块圆柱体铁块的体积。他准备了一个底面积是6平方分米、深是2分米的长方体容器，往容器中倒入6升的水后，再将铁块完全浸没在水中，这时测得水高为1.3分米。这个圆柱体铁块的体积是多少立方分米？ 17．（25-26五年级下·河南三门峡·期中）地质勘探能帮助人们发现金属、煤炭等矿产资源，也能了解地球的演变历史。勘探队员在山中发现一块矿石，想快速估算其体积，以便初步判断矿石类型和运输方案。他们用野外便携的长方体水盒（长12厘米，宽8厘米，高10厘米）进行排水法测量。盒内原有水面离盒口2厘米，放入矿石完全浸没后，水面上升并溢出，收集溢出的水为95毫升。这块矿石的体积是多少立方厘米？ 18．（25-26五年级下·广东揭阳·阶段检测）将一个正方体的高减少3厘米，它的表面积就减少了72平方厘米，原来正方体的表面积是多少平方厘米？ 19．（25-26五年级下·广东佛山·期中）如图，长方体密封容器的一个侧面有一个边长为3厘米的正方形开口，往容器里倒了一些水，水刚好无溢出，然后将容器倒过来摆放，水会减少616立方厘米。这个容器最初放了多少立方厘米的水？（容器的厚度忽略不计） 20．（2025·湖南长沙·小升初真题）有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null