广东深圳市南山区2025-2026学年第二学期 七年级数学期末模拟二

**基本信息** 以春节非遗、荡秋千等真实情境为载体，融合图形性质、整式运算、概率统计等知识，通过“一线三垂直”模型探究等题设计，考查几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称与轴对称、科学记数法、垂线段最短|结合春节标志图案考图形性质，体现文化传承| |填空题|5/15|三角形三边关系、角平分线性质、正方形面积|婴儿车角度计算考查三角形外角，联系生活| |解答题|7/61|整式运算、全等三角形、函数图像应用|荡秋千问题（任务1证全等）考查推理能力，“一线三垂直”模型（题20）培养模型意识|

深圳市南山区2025-2026学年第二学期 七年级数学期末模拟二 考试时长：90分钟 满分：100分 一．选择题（每题3分，共8小题，合计24分） 1．2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　） A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5 C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6 3．如图，要在一条主路m旁建一座自来水中转站，向点M处的小区引自来水，在什么地方建造，才能使输水管道最短？并说明理由．下列说法正确的是（　　） A．A点，两点之间线段最短 B．B点，垂线段最短 C．C点，两点确定一条直线 D．D点，垂线段最短 4．下面运算中正确的是（　　） A．m2•m3＝m6 B．m2+m2＝2m4 C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．（﹣2x2）•（﹣5x4）＝10x6 5．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠COA＝∠DOB B．∠COA与∠DOA互余 C．∠AOD＝∠B D．∠AOD与∠COB互补 6．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 7．如图，点E在BC的延长线上，下列条件能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠D＝∠5 C．∠3＝∠4 D．∠1+∠3+∠B＝180° 8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝152°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．55° B．56° C．57° D．58° 二．填空题（每题3分，共5小题，合计15分） 9．一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 　 　 ． 10．如图，图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，当CB平分∠ACD时，点B到桌面CD的距离是12cm，则点B到AC的距离是 　 　 cm． 11．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若∠1＝130°，∠2＝85°，则∠3的度数为　 　 ． 12．如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是　 　 秒． 13．如图，正方形ABCD和正方形AEFG的面积和为15，D、A、E三点共线且DE＝5，则图中阴影部分图形的面积为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，合计61分） 14．（9分）计算：（1）； （2）（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2． 15．（7分）先化简，再求值；[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x），其中x＝﹣2，y＝﹣4． 16．（7分）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设制如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中4张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券1张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶1瓶”．抽完奖后系统自动更新出4张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． （1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 　 　 ； （2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 17．（9分）云端学校组织七年级进行“春日蓄能”春季社会实践活动（图1）．下午13：30小鹏同学到达出发点，以一定的速度沿路线“入口﹣经纬寻踪﹣能源汇智﹣光影捕美﹣出口”进行打卡游览，小鹏同学步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分图象如图2所示（图象不完整）．根据图回答下列问题： （1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 　 　 ，因变量为 　 　 ； （2）小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是 　 　 千米/时； （3）图2中点A表示的意义是 　 　 ． （4）A点与出口之间的距离为3000米，小鹏同学按第一段（入口到经纬寻踪）的步行速度从A点出发，可以在18点前到达出口吗？ 18．（9分）在学习《角》时，同学们开展了如下探究： 【背景】如图，已知∠AOB＝α，射线OC在∠AOB内部，∠AOC＝β． 【问题】以点O为顶点，射线OA为一边，作∠AOD，使得∠AOD＝∠BOC，求∠BOD的度数． 【探究】 （1）在作∠AOD时，同学们发现有如下两种情况，根据信息补全表格中的尺规作图与结论．（用含α、β的代数式表示） 情况1 情况2 位置分类 以射线OA为边，在∠AOB内部作∠AOD＝∠BOC． 以射线OA为边，在∠AOB外部作∠AOD＝∠BOC． 尺规作图 如图，∠AOD即为所求． 发现结论 ∠BOD的度数为　 　 ． ∠BOD的度数为　 　 ． 【拓展】 （2）在情况2中，当OA为∠DOC的平分线时，猜想α与β之间的等量关系，并说明理由． 19．（10分）根据以下素材，探索完成任务. 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°． 问题解决 任务1 △OBD与△COE全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 20．（10分）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝10，BE＝4，则DE的长为 　 　 ． 【深入探究】 （3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，求△ADG的面积． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市南山区2025-2026学年第二学期 七年级数学期末模拟二 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．春节蕴含了非常丰厚的历史内涵和文化内涵．下列春节标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形沿对称轴折叠后可重合，分析选项中哪些图形是轴对称图形；根据中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，找出各选项中的中心对称图形，即可得到答案． 【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意． 故选：C． 2．宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”．月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（　　） A．3.52×10﹣5 B．0.352×10﹣5 C．3.52×10﹣6 D．35.2×10﹣6 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000352＝3.52×10﹣5． 故选：A． 3．如图，要在一条主路m旁建一座自来水中转站，向点M处的小区引自来水，在什么地方建造，才能使输水管道最短？并说明理由．下列说法正确的是（　　） A．A点，两点之间线段最短 B．B点，垂线段最短 C．C点，两点确定一条直线 D．D点，垂线段最短 【分析】垂线段的性质：垂线段最短，由此即可得到答案． 【解答】解：要在一条主路m旁建一座自来水中转站，向点M处的小区引自来水，在B点建造，才能使输水管道最短，理由是垂线段最短． 故选：B． 4．下面运算中正确的是（　　） A．m2•m3＝m6 B．m2+m2＝2m4 C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．（﹣2x2）•（﹣5x4）＝10x6 【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方的运算法则计算，判断即可． 【解答】解：A、m2•m3＝m5，本选项计算错误，不符合题意； B、m2+m2＝2m2，本选项计算错误，不符合题意； C、（﹣3a2b）2＝9a4b2，本选项计算错误，不符合题意； D、（﹣2x2）•（﹣5x4）＝10x6，本选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠COA＝∠DOB B．∠COA与∠DOA互余 C．∠AOD＝∠B D．∠AOD与∠COB互补 【分析】由余角和补角的概念分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠COD＝∠AOB＝90°， ∴∠COD﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD， 即∠AOC＝∠DOB，故选项A不符合题意； B、∵∠COA+∠DOA＝90°， ∴∠COA与∠DOA互余，故选项B不符合题意； C、当AB⊥OD时，∠AOD＝∠B，故选项C符合题意； D、∵∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠COA+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝90°+90°＝180°， ∴∠AOD与∠COB互补，故选项D不符合题意； 故选：C． 6．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（　　） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【分析】利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【解答】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.410， 所以对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是0.410， 故选：D． 7．如图，点E在BC的延长线上，下列条件能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠D＝∠5 C．∠3＝∠4 D．∠1+∠3+∠B＝180° 【分析】直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【解答】解：A、当∠1＝∠2时，可得：AD∥BC，不合题意； B、当∠D＝∠5时，可得：AD∥BC，不合题意； C、当∠3＝∠4时，可得：AB∥CD，符合题意； D、当∠1+∠3+∠B＝180°时，可得：AD∥BC，不合题意； 故选：C． 8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝152°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．55° B．56° C．57° D．58° 【分析】作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF交BC于点M，交CD于点N，连接AM，AN，此时△AMN周长最小，求出∠MAN＝60°，即可求解． 【解答】解：作A点关于BC的对称点E，作A点关于CD的对称点F，连接EF交BC于点M，交CD于点N，连接AM，AN， ∵AM＝EM，AN＝NF， ∴AM+AN+MN＝EM+MN+NF＝EF，此时△AMN周长最小， 由对称可知，∠EAM＝∠E，∠NAF＝∠F， ∵∠BAD＝152°， ∴∠E+∠F＝28°， ∴∠EAM+∠NAF＝28°， ∴∠MAN＝124°， ∴∠AMN+∠ANM＝56°， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 9．一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为 　8　 ． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长度是x，得到1＜x＜9，即可得到答案． 【解答】解：设三角形的第三边长度是x， 由三角形三边关系定理得到：5﹣4＜x＜5+4， ∴1＜x＜9， ∵三角形的三边长均为整数， ∴第三边长度的最大值为8． 故答案为：8． 10．如图，图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，当CB平分∠ACD时，点B到桌面CD的距离是12cm，则点B到AC的距离是 　12　 cm． 【分析】直接根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：∵CB平分∠ACD，点B到桌面CD的距离是12cm， ∴点B到AC的距离是12cm． 故答案为：12． 11．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若∠1＝130°，∠2＝85°，则∠3的度数为　35°　 ． 【分析】先根据邻补角的定义求出∠AEB的度数，再由三角形外角的定义即可得出结论． 【解答】解：∵∠2＝85°， ∴∠AEB＝180°﹣85°＝95°， ∵∠1＝130°， ∴∠3＝∠1﹣∠AEB＝130°﹣95°＝35°． 故答案为：35°． 12．如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是　4　 秒． 【分析】先证明∠C＝∠DMB，利用AAS证明Rt△ACM≌Rt△BMD，根据全等三角形的性质得到BD＝AM＝12米，进而可 求出个人运动到点M所用时间． 【解答】解：∵∠CMD＝90°， ∴∠CMA+∠DMB＝90°， 又∵∠CAM＝90°， ∴∠CMA+∠C＝90°， ∴∠C＝∠DMB（同角的余角相等）． 在Rt△ACM和Rt△BMD中， ， ∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS）， ∵BD＝12米， ∴BD＝AM＝12米（全等三角形对应边相等）， ∴BM＝20﹣12＝8（米）， ∵该人的运动速度为2m/s， ∴他到达点M时，运动时间为8÷2＝4（s）． 故答案为：4． 13．如图，正方形ABCD和正方形AEFG的面积和为15，D、A、E三点共线且DE＝5，则图中阴影部分图形的面积为 　10　 ． 【分析】设正方形ABCD边长为a，正方形AEFG边长为b，依题意得a2+b2＝15，a+b＝5，进而得a2+b2+2ab＝25，由此得ab＝5，再求出S△ABG，S△BGF，S正方形AEFG＝b2，继而得S阴影，然后将a2+b2＝15，ab＝5代入计算即可得出答案． 【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形AEFG的边长为b， ∴AD＝AB＝BC＝a，∠ABC＝90°，AD＝EF＝FG＝AG＝b，∠AGF＝90°， ∴BG＝AB﹣AG＝a﹣b，∠BGF＝90°， ∵正方形ABCD和正方形AEFG的面积和为15， ∴a2+b2＝15， ∵D、A、E三点共线且DE＝5， ∴DE＝AD+AE＝a+b＝5， ∴（a+b）2＝25， ∴a2+b2+2ab＝25， ∴15+2ab＝25， ∴ab＝5， ∵S△ABGAB•BC，S△BGFFG•BGb（a﹣b），S正方形AEFG＝b2， ∴S阴影＝S△ABG+S△BGF+S正方形AEFG， ∵a2+b2＝15，ab＝5， ∵S阴影10． 故答案为：10． 三．解答题（共7小题） 14．计算： （1）； （2）（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2． 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘法法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（1） ＝1﹣4+（﹣1） ＝﹣4； （2）（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2 ＝a2﹣4b2﹣（a2﹣2ab+b2） ＝a2﹣4b2﹣a2+2ab﹣b2 ＝2ab﹣5b2． 15．先化简，再求值；[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x），其中x＝﹣2，y＝﹣4． 【分析】先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：[（x﹣y）2﹣（y﹣3x）（3x+y）﹣2（x2﹣2xy）]÷（﹣2x） ＝[（x2﹣2xy+y2）﹣（y2﹣9x2）﹣2x2+4xy]÷（﹣2x） ＝（x2﹣2xy+y2﹣y2+9x2﹣2x2+4xy）÷（﹣2x） ＝（x2+9x2﹣2x2﹣2xy+4xy+y2﹣y2）÷（﹣2x） ＝（8x2+2xy）÷（﹣2x） ＝﹣4x﹣y， 当x＝﹣2，y＝﹣4时，原式＝﹣4×（﹣2）﹣（﹣4）＝8+4＝12． 16．某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设制如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中4张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券1张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶1瓶”．抽完奖后系统自动更新出4张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． （1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 　　 ； （2）通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案． 【解答】解：（1）小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是， 故答案为：； （2）①的个数为122，②的个数为124，③、④的个数为123， 17．云端学校组织七年级进行“春日蓄能”春季社会实践活动（图1）．下午13：30小鹏同学到达出发点，以一定的速度沿路线“入口﹣经纬寻踪﹣能源汇智﹣光影捕美﹣出口”进行打卡游览，小鹏同学步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分图象如图2所示（图象不完整）．根据图回答下列问题： （1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 　游览时间　 ，因变量为 　步行的路程　 ； （2）小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是 　4　 千米/时； （3）图2中点A表示的意义是 　出发3.5时，步行的路程为7千米　 ． （4）A点与出口之间的距离为3000米，小鹏同学按第一段（入口到经纬寻踪）的步行速度从A点出发，可以在18点前到达出口吗？ 【分析】（1）根据图2表示小鹏同学步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分图象，即可得到自变量以及因变量； （2）根据“时间＝路程÷速度”解答即可； （3）根据点A的横坐标和纵坐标解答即可； （4）根据“时间＝路程÷速度”解答即可． 【解答】解：（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为游览时间，因变量为步行的路程． 故答案为：游览时间，步行的路程； （2）小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是4（千米/时）， 故答案为：4； （3）图2中点A表示的意义是出发3.5时，步行的路程为7千米， 故答案为：出发3.5时，步行的路程为7千米； （4）3（h）， 3.54.25（h）， 13.5+4.25＝17.75＜18， 所以可以在18点前到达出口． 18．在学习《角》时，同学们开展了如下探究： 【背景】如图，已知∠AOB＝α，射线OC在∠AOB内部，∠AOC＝β． 【问题】以点O为顶点，射线OA为一边，作∠AOD，使得∠AOD＝∠BOC，求∠BOD的度数． 【探究】 （1）在作∠AOD时，同学们发现有如下两种情况，根据信息补全表格中的尺规作图与结论．（用含α、β的代数式表示） 情况1 情况2 位置分类 以射线OA为边，在∠AOB内部作∠AOD＝∠BOC． 以射线OA为边，在∠AOB外部作∠AOD＝∠BOC． 尺规作图 如图，∠AOD即为所求． 发现结论 ∠BOD的度数为　β　 ． ∠BOD的度数为　2α﹣β　 ． 【拓展】 （2）在情况2中，当OA为∠DOC的平分线时，猜想α与β之间的等量关系，并说明理由． 【分析】（1）分两种情形分别画出图形求解即可； （2）根据角平分线的定义构建关系式可得结论． 【解答】解：（1）如图，当OD在∠AOB的内部时 ∵∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝α﹣β， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝β； 当OD在∠AOB的外部时， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝2α﹣β． 故答案为：β，2α﹣β； （2）当OA为∠DOC的平分线时，β＝α﹣β， ∴α＝2β． 19．根据以下素材，探索完成任务. 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°． 问题解决 任务1 △OBD与△COE全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【分析】任务1：理由AAS可以证明△OBO与△COE全等； 任务2：理由△BOD≌△OCE，得到BD＝OE＝1.4m，EC＝OD＝1.8m，进而可求出当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面高度． 【解答】解：任务1：∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠ODB＝∠OEC＝90°， ∵∠BOD+∠EOC＝90°，∠BOD+∠DBO＝90°，∠BOC＝90°， ∴∠OBD＝∠EOC， 在△BOD和△OCE中， ， ∴△BOD≌△OCE（AAS）； 任务2：设OA的延长线与地面交于M，如图， ∵△BOD≌△OCE， ∴EC＝OD＝1.8m，BD＝OE＝1.4m， ∴EM＝OD+DM﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m）． 答：当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有1.4m高． 20．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝10，BE＝4，则DE的长为 　6　 ． 【深入探究】 （3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，求△ADG的面积． 【分析】（1）证明△ACD和△CBE全等得AD＝CE，CD＝BE，进而得AD+BE＝CE+CD＝DE，由此可得出AD、BE与DE之间满足的数量关系； （2）证明△ACD和△CBE全等得CD＝BE，AD＝CE，进而得DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE，由此即可得出DE的长； （3）过点D作DP⊥直线FG于点P，过点E作EQ⊥直线FG于点Q，同（1）证明△ABF和△DAP全等，△ACF和△EAQ全等，则BF＝AP，AF＝DP，CF＝AQ，AF＝EQ，进而得BC＝BF+CF＝2AP+PQ＝21，AF＝DP＝EQ＝12，再证明△DPG和△EQG中得PG＝QG，则PQ＝2PG，继而得AG＝AP+PG，然后由三角形的面积公式即可求出△ADG的面积． 【解答】解：（1）AD、BE与DE之间满足的数量关系是：AD+BE＝DE，理由如下： 如图1所示： 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠1+∠3＝90°， ∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E， ∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴AD+BE＝CE+CD＝DE； （2）如图2所示： 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠1+∠2＝90°， ∵AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E， ∴∠ADC＝∠E＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝∠1， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（ASA）， ∴CD＝BE，AD＝CE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE， ∵AD＝10，BE＝4， ∴DE＝6， 故答案为：6； （3）过点D作DP⊥直线FG于点P，过点E作EQ⊥直线FG于点Q，如图3所示： 同（1）证明：△ABF≌△DAP，△ACF≌△EAQ， ∴BF＝AP，AF＝DP，CF＝AQ，AF＝EQ， ∴BC＝BF+CF＝AP+AQ＝AP+AP+PQ＝2AP+PQ，AF＝DP＝EQ， ∵BC＝21，AF＝12， ∴2AP+PQ＝21，DP＝EQ＝12， ∵DP⊥直线FG，EQ⊥直线FG于点Q， ∴∠DPG＝∠EQG＝90°， 在△DPG和△EQG中， ， ∴△DPG≌△EQG（AAS）， ∴PG＝QG， ∴PQ＝2PG， ∴2AP+2PG＝21， ∴AG＝AP+PG， ∴△ADG的面积为：AG•DP63． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/12 19:40:24；用户：涂海青；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 学科网（北京）股份有限公司 $