精品解析：广东省深圳市南山区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

2024-2025学年广东省深圳市南山区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：在四个选项的图形中，只有选项B的图形能找到一条直线，使图形沿直线对折后两边完全重合，故选项B是轴对称图形，选项A、C、D不是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及完全平方公式、同底数幂的乘除法、幂的乘方等基本法则，需逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 4. 下列说法正确的是（　　） A. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的概率为 C. 买一张中国福利彩票，中奖是必然事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查随机事件的概念及概率计算，需逐一分析各选项是否符合必然事件、不可能事件或随机事件的定义，并计算相应概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、掷3颗骰子，3颗全为6点朝上可能发生，也可能不发生，属于随机事件，原说法正确，故符合题意； B、1至5中偶数为2、4，共2个，概率为，而非，原说法错误，故不符合题意； C、彩票中奖是可能发生的事件，并非必然事件，原说法错误，故不符合题意； D、连续抛硬币2次可能全部反面朝上，不必然有1次正面，原说法错误，故不符合题意； 故选：A． 5. 茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系．如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查函数的图象问题，根据茶杯的底部直径小，从底部向上直径逐渐增大，可知水面上升的速度由快变慢，据此可得答案，本题关键是分析出容器内水的高度随着注水时间t变化而变化的快慢． 【详解】解：由题意可知，向茶杯中匀速注水，水面上升的速度由快变慢，故选项B符合题意． 故选：B． 6. 如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 过两点有且只有一条直线 C. 垂线段最短 D. 过一点可以作无数条直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据“垂线段的性质：垂线段最短”解答即可． 【详解】这样做的理由是垂线段最短． 故选C． 【点睛】本题考查了垂线段最短．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 7. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， ∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行. 故选：D． 8. 如果将（n为非负整数）展开式每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： …… 观察上述每个式子的各项系数，我们可以得到如图所示的数表，这就是我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到的数表“杨辉三角”，他揭示了展开后的各项系数的规律．根据这个表，的展开式中所有项系数的和为（　　） A. 128 B. 256 C. 512 D. 108 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了杨辉三角，数字类的变化规律，直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案，通过观察得到系数的规律是解题的关键． 【解答】解：展开式中所有项系数的和为， 的展开式中所有项系数的和为， 的展开式中所有项系数的和为， …， ∴的展开式中所有项系数的和为， ∴的展开式中所有项系数的和为． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 若am=2,an=8,则am+n=_________. 【答案】16 【解析】 【详解】∵am=2,an=8, ∴am+n= am·an=2×8=16. 点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 10. 一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0.270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是______ ． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用球的总个数乘摸到红球频率的稳定值即可． 【详解】解：随着摸球次数增大，摸到红球的频率越接近 估计袋中红球的个数是（个）， 故答案为：10． 11. 如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则________． 【答案】##71度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，三角形的外角性质．先求出，根据折叠的性质得到，，由平行线的性质得到，，推出，然后根据平角的定义得，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 小南设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，则按照此程序运算2025次后得到的数是______ ． 【答案】495 【解析】 【分析】本题考查了数字变化规律，读懂题意，找出规律是解题的关键．任选三个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的三位数重复上述的过程，即可发现规律． 【详解】解：第1次运算：， 第2次运算：， 第3次运算：， 第4次运算：， 第5次运算：， …， ∴按照此程序运算2025次后得到的数是：495， 故答案为：495． 13. 如图，在中，，点D在内部，且满足，若，则的面积为______． 【答案】18 【解析】 【分析】由可证，可得，即可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点B作直线于H， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：18． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）0； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． （1）先算零指数幂、负整数指数幂和乘方，再算减法、加法； （2）先算积的乘方，再算乘除． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请画出四边形关于直线m成轴对称的四边形； （2）请在直线m上确定一点P，使最短． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）连接，交直线m于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求． 【小问2详解】 如图，连接，交直线m于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 17. 如图，在中，，． （1）请用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）的条件下，和相等吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）AD＝DE，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，，可得，则可得，可知为的平分线，结合角平分线的性质可得． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：． 理由：连接， 直线垂直平分， ，， ． ，， ， ， 为的平分线， ． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等边对等角、角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 18. 如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线． 观察图象，回答下列问题： （1）自变量是______，因变量是______； （2）由图象知，遗忘速度先______后______，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐______； （3）请说明图中点B的实际意义； （4）有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%．由此，你对数学学习有什么感悟？ 【答案】（1）时间，记忆保持量； （2）快，慢，降低； （3）图中B点表示的意义是：记忆1小时后记忆保持量约为44.2%； （4）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的基本概念、函数图象的意义以及应用等知识，理解题意，通过艾宾浩斯遗忘曲线获得所需信息是解题关键． （1）根据自变量和因变量的定义分析判断即可； （2）观察图象即可获得答案； （3）对照艾宾浩斯遗忘曲线的横纵轴代表的意义可得出结论； （4）可以结合我们实际学习生活回答即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，其中自变量是时间，因变量是记忆保持量． 故答案为：时间，记忆保持量； 【小问2详解】 解：由图象可知，遗忘速度先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐降低， 故答案：快，慢，降低； 【小问3详解】 解：结合图象可知，图中B点表示的意义是：记忆1小时后记忆保持量约为44.2%； 【小问4详解】 解：如不复习，会很快忘掉很多，只能保持大约30%的记忆保持量；老师要求学生“堂清”、“日清”，提示我们学习后要及时复习．（答案不唯一）． 19. 综合与实践数形结合是一种重要的数学思想方法，借助图形的直观性，可以对很多数学问题进行直观推导．在学习整式乘法运算时，启航小组同学利用图1所示的正方形和长方形卡片拼成了如图2所示的大正方形，发现这个图形可以直观解释完全平方公式：． 【初步体验】 （1）领航小组同学拼出了如图3所示的长方形，这个图形可以解释的等式为____________； （2）护航小组同学要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需要A型卡片____ 张，B型卡片___ 张，C型卡片___ 张； 【实践操作】 （3）从A，B，C三种卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形，请在图4方框中画出你的拼图； 【实践探究】 （4）远航小组同学用5张C类卡片按图5所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）1，3，4；（3）见解析；（4），理由见解析． 【解析】 【详解】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别用代数式表示图3的面积即可； （2）根据多项式乘多项式计算即可； （3）画出长为，宽为的长方形即可； （4）由图5可知，，，则阴影部分的面积与的差为，令即可． 【解答】解：（1）图3整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为，拼成图3的六个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）∵， ∴要拼成一个长为，宽为的长方形，那么需要A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张， 故答案为：1，3，4； （3）∵， ∴它们拼成一个面积为的长方形，即需要A型卡片2张，B型卡片2张，C型卡片5张，拼成的长为，宽为的长方形即可： （4），理由： 由图5可知，，， 则阴影部分的面积与的差为， 由于阴影部分的面积与的差与无关，即与x无关， 所以， 即． 20. 在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路． 【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边、上任意一点，且，连接、，与相交于点O． 【特例感知】（1）当点D为中点，点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系______，______； 【一般探究】（2）当D、E分别为边，上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，在等边中，P、M分别为边、上的点，且，过点P作交于点Q，交于点G；过点M作交于点N，交于点F，则： ①_____； ②求证：． 【答案】（1）；；（2）第一问的结论还成立，理由见解析；（3）①60；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，由点D为中点，点E为中点，得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； （3）①根据平行线的性质得到即可得到结论； ②根据三角形内角和定理得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为中点，点E为中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：第一问的结论还成立，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， 和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）①解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； ②证明：∵，， 且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点评】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省深圳市南山区七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（　　） A. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的概率为 C. 买一张中国福利彩票，中奖是必然事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 5. 茶文化是中国对茶认识一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系．如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（　　） A. B. C. D. 6. 如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 过两点有且只有一条直线 C. 垂线段最短 D. 过一点可以作无数条直线 7. 要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 8. 如果将（n为非负整数）的展开式每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： …… 观察上述每个式子的各项系数，我们可以得到如图所示的数表，这就是我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到的数表“杨辉三角”，他揭示了展开后的各项系数的规律．根据这个表，的展开式中所有项系数的和为（　　） A. 128 B. 256 C. 512 D. 108 二、填空题（每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 9. 若am=2,an=8,则am+n=_________. 10. 一个不透明的袋子里装有红、蓝两种颜色的球共40个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 50 100 200 500 800 1000 摸到红球的频数 11 27 50 124 201 249 摸到红球的频率 0.220 0270 0.250 0.248 0.251 0.249 请估计袋中红球的个数是______ ． 11. 如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则________． 12. 小南设计了如下的运算程序：任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，则按照此程序运算2025次后得到的数是______ ． 13. 如图，在中，，点D在内部，且满足，若，则的面积为______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题10分，共61分） 14. 计算 （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请画出四边形关于直线m成轴对称的四边形； （2）请在直线m上确定一点P，使最短． 17. 如图，在中，，． （1）请用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不用写作法） （2）在（1）的条件下，和相等吗？请说明理由． 18. 如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘．德国心理学家艾宾浩斯最早研究了记忆遗忘规律，他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线（如图所示），这就是艾宾浩斯遗忘曲线． 观察图象，回答下列问题： （1）自变量是______，因变量是______； （2）由图象知，遗忘速度先______后______，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐______； （3）请说明图中点B的实际意义； （4）有研究表明，如及时复习，经过一天记忆能保持98%．由此，你对数学学习有什么感悟？ 19. 综合与实践数形结合是一种重要的数学思想方法，借助图形的直观性，可以对很多数学问题进行直观推导．在学习整式乘法运算时，启航小组同学利用图1所示的正方形和长方形卡片拼成了如图2所示的大正方形，发现这个图形可以直观解释完全平方公式：． 【初步体验】 （1）领航小组同学拼出了如图3所示的长方形，这个图形可以解释的等式为____________； （2）护航小组同学要拼成一个长为，宽为长方形，那么需要A型卡片____ 张，B型卡片___ 张，C型卡片___ 张； 【实践操作】 （3）从A，B，C三种卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为的长方形，请在图4方框中画出你的拼图； 实践探究】 （4）远航小组同学用5张C类卡片按图5所示方式不重叠地放在长方形内，阴影部分的面积与的差与的长度无关，设的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由． 20. 在面对复杂数学问题时，“特殊化与转化”是重要的问题解决策略．从特殊图形出发．将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，将一般转化为特殊，有助于我们发现解决问题的思路． 【问题背景】如图1，在等边中，D、E分别为边、上任意一点，且，连接、，与相交于点O． 【特例感知】（1）当点D为中点，点E为中点时，请直接写出线段与的数量关系______，______； 【一般探究】（2）当D、E分别为边，上任意一点时，第一问的结论还成立吗？请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图2，在等边中，P、M分别为边、上的点，且，过点P作交于点Q，交于点G；过点M作交于点N，交于点F，则： ①_____； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$