专题07分式与分式方程期末易错压轴专项训练(22大题型共计86道)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式与分式方程高频易错点及压轴题型，通过易错点归纳与解题步骤拆解，构建从概念辨析到实际应用的完整逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错模块（1-11）|11个核心易错点|明确分式值为零条件、符号判断等易错点，强调分母不为零等关键限制|从分式定义、性质到基本运算，夯实概念基础| |压轴模块（12-22）|11类综合题型|分式最值化简变形、方程无解分类讨论、实际问题等量关系构建等|从运算技巧到规律探究、新定义应用，提升综合解题能力|

专题07分式与分式方程期末易错压轴专项训练 本专练聚焦分式与分式方程全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈 易错01.分式值为零的条件 易错02.分式的判断 易错03.分式值正负的取值范围 易错04.判断分式变形是否正确 易错05.求使分式变形成立的条件 易错06.由分式的性质判断分式值变化 易错07.分式约分与最简分式 易错08.最简公分母与通分 易错09.分式乘方及混合运算 易错10.异分母分式加减法 易错11.整式与分式相加减 压轴12.分式最值 压轴13.分式加减乘除混合运算 压轴14.分式化简求值 压轴15.由分式方程解的情况求值 压轴16.分式方程无解问题 压轴17.分式方程行程问题 压轴18.分式方程工程问题 压轴19.分式方程经济问题 压轴20.分式方程和差倍分问题 压轴21.分式规律探究题 压轴22.新定义运算 .易错01.分式值为零的条件 典题特征：给出含字母的分式，求解使分式值等于0时字母的取值。 易错点：①只令分子等于0，忘记分母不能为0；②求出结果后不代入检验分母。 1．若分式 的值等于，则的取值为（     ） A． B． C． D． 2．分式 的值为0，则x的值为（     ） A．3 B． C． D．不存在 3．若分式的值为零，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 4．已知分式的值为，那么的值为（   ） A．且 B．或 C． D． 易错02.分式的判断 典题特征：给出一组代数式，要求从中识别、区分分式与整式。 易错点：①仅看形式，忽略分母含字母这一核心判定条件；②把π这类常数字母当成未知数，误判分式；③化简后再判断，改变原式结构导致判断错误；④混淆分数线与除号，误将整式判定为分式。 5．下列选项中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 6．在下列式子：①；②；③；④中，是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．代数式，，，中，属于分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 易错03.分式值正负的取值范围 典题特征：根据分式值为正数或负数，列不等式组求解字母的取值范围。 易错点：①忽略分式有意义的前提，未限制分母不为0；②分子分母符号搭配判断错误；③解不等式时弄错不等号方向。 8．若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 9．当________时，分式的值为负． 10．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 11．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 易错04.判断分式变形是否正确 典题特征：给出多个分式变形式子，逐一辨别正误。 易错点：①误用分式性质，给分子分母同时加减式子；②约去可能为0的因式；③符号改写出现失误。 12．下列式子中，从左往右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 13．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（     ） A． B． C． D． 14．下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 15．下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 易错05.求使分式变形成立的条件 典题特征：已知两个分式相等，求解该变形成立时字母需要满足的条件。 易错点：①遗漏变形过程中，所乘（除）整式不为0的要求；②只考虑原式分母，忽略变形后新增的取值限制。 16．如果，那么为（   ） A． B． C． D． 17．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 18．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 易错06.由分式的性质判断分式值变化 典题特征：说明分子、分母的变化方式，判断分式整体数值变大、变小或不变。 易错点：①凭主观直觉判断，不列式计算验证；②分不清分子、分母单独变化对分式值的影响规律。 19．已知分式中，把，的值都扩大到原来的倍，则原分式的值（    ） A．不变 B．扩大倍 C．缩小倍 D．扩大倍 20．分式中的a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值是原来的（   ） A． B．2倍 C．4倍 D．无法确定 21．如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的3倍，则分式的值也扩大为原来的3倍，那么整式可以是（    ） A． B． C． D． 22．下列说法中，正确的有（   ）个． ①比的前项和后项同时乘或除以相同（除外）的数，比值不变； ②一件商品先提价，再降价，则现价比原价少； ③圆的半径扩大倍，周长扩大倍； ④一个百分数，若把百分号去掉，则数值扩大倍． A．1 B．2 C．3 D．4 易错07.分式约分与最简分式 题特征：完成约分后，判断式子是否为最简分式，或将分式化为最简分式。 易错点：①不清楚最简分式定义，残留公因式；②因式分解不完整，导致约分不到位。 23．化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 24．下列分式中，属于最简分式的是（   ）. A． B． C． D． 25．下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 27．约分： (1)． (2)． (3)． (4)． 易错08.最简公分母与通分 典题特征：给出多个分式，确定最简公分母，并完成通分运算。 易错点：①找公分母时漏取字母、最高次幂；②分母为多项式时，未因式分解就确定公分母；③通分后分子漏乘对应因式。 28．分式与的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 29．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 30．已知，则代数式的值为______． 31．分式、、的最简公分母是______． 32．通分： (1)， (2) 易错09.分式乘方及混合运算 典题特征：包含分式乘方、乘除的综合计算题型。 易错点：①分式乘方时，漏给分子分母整体加括号；②运算顺序混乱，先算乘除后算乘方；③符号运算出错。 33．计算： (1) (2) 34．计算或化简： (1)； (2)． 35．计算： (1)； (2)． 36．计算： (1)． (2)． (3)． 易错10.异分母分式加减法 典题特征：给出多个分母不同的分式，要求进行加减运算、化简。 易错点：①未先找最简公分母直接分子分母分别相加减；②通分时分子漏乘对应因式；③分式相减时，后项分子未整体加括号，符号出错；④计算完成后未约分，结果不是最简分式。 37．计算：______． 38．计算的结果是（     ） A． B． C．1 D． 39．化简：________． 40．下面是某同学化简分式的解题过程： 解：① ② ③ ④． (1)上述解题过程从第______（填写序号）步开始出现错误； (2)请写出完整的正确解题过程． 易错11.整式与分式相加减 典题特征：整式和分式进行加减混合运算。 易错点：①把整式直接和分式分子相加减，未将整式化为同分母分式；②通分过程中计算失误。 41．计算的结果是________． 42．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 43．计算： (1)； (2)． 44．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 压轴12.分式最值 典题特征：给定分式及字母取值范围，求分式的最大值或最小值。 解题思路：①先对分式化简变形；②结合取值范围、分式性质分析式子增减规律；③代入临界值求出最值。 45．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 46．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 47．若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（   ） A． B． C． D． 48．阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． 压轴13.分式加减乘除混合运算 典题特征：同时包含加、减、乘、除多种运算的复杂分式计算题。 解题思路：①遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序；②有括号先算括号内，多项式优先因式分解；③每步运算后及时约分简化。 49．化简：． 50．化简：． 51．化简：． 52．计算：． 压轴14.分式化简求值 典题特征：先化简分式，再根据分式方程解的限制条件确定字母取值，最后代入求值。 解题思路：①化简待求分式；②解分式方程，结合解的要求筛选字母；③避开使原式分母为0的数值，代入计算。 53．先化简，再求值：其中． 54．先化简，再求值：，其中． 55．先化简，再求值：，其中． 压轴15.由分式方程解的情况求值 典题特征：已知分式方程的解满足正数、负数、整数、特定范围等条件，据此求方程中参数的值或取值范围。 解题思路：①去分母将分式方程化为整式方程，用参数表示出方程的解；②结合解的限定条件列出不等式/等式；③排除增根对应的参数值，最终确定参数结果。 56．若关于的方程有增根，则的值是_______． 57．如果方程有增根，那么增根为________． 58．若关于x的分式方程 有增根，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 59．已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的根是，求的值； (2)若该分式方程无解，求的值． 压轴16.分式方程无解问题 典题特征：已知分式方程无解，求方程中参数的取值。 解题思路：①去分母化为整式方程；②分两种情况讨论：整式方程无解、整式方程的解是原分式方程的增根；③综合情况求出参数。 60．若关于的分式方程无解，则_______． 61．若关于的分式方程无解，则m的值是（    ） A．3或 B．3或10 C．3 D． 62．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 压轴17.分式方程行程问题 典题特征：结合路程、速度、时间关系，列分式方程求解实际问题。 解题思路：①梳理行程三要素，找准等量关系；②设未知数，根据时间/速度差列方程；③解方程并检验，结合实际作答。 63．五一期间，小冉爸爸开车带她去科技馆．有两条路线：路线一全程，但交通比较拥堵；路线二比路线一多，但平均速度比路线一快．若走路线二比走路线一少用，求走路线一的平均速度． 64．某校学生乘车去距学校的景区游玩，一部分学生乘慢车，另一部分学生乘快车，他们同时出发，结果乘慢车的同学晚到，已知快车速度是慢车速度的倍，求慢车的速度． 65．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间． (1)根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如表所示．下列说法不正确的是（　　） 小刚： 小强： A．表示规定时间   B．表示慢马的速度        C．表示         D．表示 (2)从（1）中小刚和小强列出的不完整方程中选择其中的一种将它补全，并完成剩余的解答过程． 压轴18.分式方程工程问题 典题特征：围绕工作总量、工作效率、工作时间，利用分式方程解题。 解题思路：①把工作总量看作单位1，表示出各自工作效率；②根据合作、单独工作的时间关系列方程；③求解检验后写答案。 66．在“绿色低碳生活”主题实践活动中，某校“环保志愿小组”计划使用新能源清扫车清理校园周边的白色垃圾．若使用传统燃油清扫车，清理完指定区域的垃圾需要若干小时．学校后来调配了新能源清扫车，其工作效率是传统燃油清扫车的3倍，结果比原计划提前6小时完成任务．已知该区域共有90吨垃圾需要清理，求传统燃油清扫车平均每小时能清理多少吨垃圾？ 67．列方程解下列问题： 重庆坐拥“世界摩托之都”美誉，一年一度的重庆国际摩博会享誉海内外，本土摩托品牌赛场夺冠、远销海内外，尽显重庆制造实力．某本土摩托制造企业生产通勤代步摩托与赛道竞速摩托两类车型，已知该厂每日生产竞速摩托数量比通勤摩托多台，天生产通勤摩托的总产量与天生产竞速摩托的总产量相等． (1)求该厂每天生产通勤摩托、竞速摩托各多少台； (2)该厂紧跟产业升级浪潮，工厂完成智能生产线改造，升级后每日只生产一种车型，日产能大幅提升．升级后每日竞速摩托增产数量是通勤摩托增产数量的倍．现生产台通勤摩托、台竞速摩托总共用时天，求每日通勤摩托的增产数量． 68．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 压轴19.分式方程经济问题 典题特征：结合单价、数量、总价，利用分式方程解决销售、费用类问题。 解题思路：①明确单价、数量、总价的等量关系；②根据价格变化、数量差异列分式方程；④检验解的合理性并作答。 69．随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． (1)求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； (2)该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 70．中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 71．某商户预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，衬衫面市后果然供不应求．该商户又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．该商户销售这种衬衫时，每件定价都是60元，最后剩下1000件打折销售，很快售完． (1)第一批购进衬衫多少件？ (2)若在这两笔生意中，该商户盈利不少于9.2万元，请问最多可以打几折销售？ 压轴20.分式方程和差倍分问题 典题特征：依据数量之间和、差、倍数关系，建立分式方程求解。 解题思路：①分析题干中和、差、倍的数量关系；②合理设元，列出对应分式方程；③解方程、检验并作答。 72．某生活超市用元购进一批饮料，进入市场后供不应求，超市又用元购进第二批这种饮料，第二批饮料的数量是第一批数量的倍，但单价比第一批少元．求购进第一批饮料的单价． 73．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个．求制作1个榫需要的木材为多少千克？ 74．列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 压轴21.分式规律探究题 典题特征：给出一组分式式子、数列，找寻排列规律，求解指定项或通用表达式。 解题思路：①分别观察分子、分母、符号的变化规律；②总结出通项公式；③按规律计算指定项数值。 75．观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 76．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 77．在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A．2026 B． C．2025 D． 78．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 压轴22.新定义运算 典题特征：定义全新分式运算规则，按规则列式计算、求解参数。 解题思路：①读懂新运算的运算法则；②严格按照定义把式子转化为常规分式运算；③逐步计算、化简或解方程。 79．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为______． 80．定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 81．对于，规定，例如，，那么________． 82．定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 83．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 84．我们定义：形如：（、不为零），且两个解分别为，的方程为“十字分式方程”． 例如为“十字分式方程”，可化为，，． 再如为“十字分式方程”，可化为 ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则， （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，则的值为． （3）若关于的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），则的值为2． 正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 85．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 86．定义：对任意正实数，规定，例如，，……利用以上规律解答下列问题． (1)计算：_____． (2)对任意正实数，求出的结果． (3)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07分式与分式方程期末易错压轴专项训练 本专练聚焦分式与分式方程全章高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈 易错01.分式值为零的条件 易错02.分式的判断 易错03.分式值正负的取值范围 易错04.判断分式变形是否正确 易错05.求使分式变形成立的条件 易错06.由分式的性质判断分式值变化 易错07.分式约分与最简分式 易错08.最简公分母与通分 易错09.分式乘方及混合运算 易错10.异分母分式加减法 易错11.整式与分式相加减 压轴12.分式最值 压轴13.分式加减乘除混合运算 压轴14.分式化简求值 压轴15.由分式方程解的情况求值 压轴16.分式方程无解问题 压轴17.分式方程行程问题 压轴18.分式方程工程问题 压轴19.分式方程经济问题 压轴20.分式方程和差倍分问题 压轴21.分式规律探究题 压轴22.新定义运算 .易错01.分式值为零的条件 典题特征：给出含字母的分式，求解使分式值等于0时字母的取值。 易错点：①只令分子等于0，忘记分母不能为0；②求出结果后不代入检验分母。 1．若分式 的值等于，则的取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分式的值等于， ∴，且， ∴． 2．分式 的值为0，则x的值为（     ） A．3 B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据且，计算即可． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得，且， 故． 3．若分式的值为零，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】要使分式的值为零，需同时满足以下两个条件： ①分子为零：； ②分母不为零：． 【详解】解：A、当时：分子，分母，分式值为，符合题意； B、当时：分母，分式无意义，不符合题意； C、当时：分子，分式值不为，不符合题意； D、当时：符合条件，但使分母为，分式无意义，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是牢记“分子为零且分母不为零”这两个条件，缺一不可，避免只看分子而忽略分母的限制． 4．已知分式的值为，那么的值为（   ） A．且 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为的条件，根据分式的值为，分子的值为且分母的值不等于解答即可求解，掌握分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， ∴， 故选：． 易错02.分式的判断 典题特征：给出一组代数式，要求从中识别、区分分式与整式。 易错点：①仅看形式，忽略分母含字母这一核心判定条件；②把π这类常数字母当成未知数，误判分式；③化简后再判断，改变原式结构导致判断错误；④混淆分数线与除号，误将整式判定为分式。 5．下列选项中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：分母是常数，不含字母，是整式，不是分式； 选项B：分母是常数，不含字母，是整式，不是分式； 选项C：分母含有字母，因此符合分式定义，是分式； 选项D：分母是常数，不含字母，是常数，属于整式，不是分式． 6．在下列式子：①；②；③；④中，是分式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①的分母是常数，不含字母，不是分式； ②的分母含有字母，是分式； ③中是常数，分母不含字母，不是分式； ④的分母含有字母，是分式； 综上，共有个分式． 7．代数式，，，中，属于分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据分式的定义形如，分母含有字母的式子，，都是整式，进行判断即可． 【详解】∵中分母含有字母是分式； 中分母不含有字母是整式； 中分母含有字母是分式； 中分母不含有字母是整式； ∴一共个分式， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的定义，熟练掌握掌握分式的定义是解题的关键． 易错03.分式值正负的取值范围 典题特征：根据分式值为正数或负数，列不等式组求解字母的取值范围。 易错点：①忽略分式有意义的前提，未限制分母不为0；②分子分母符号搭配判断错误；③解不等式时弄错不等号方向。 8．若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值为正的条件，根据题意列出不等式成为解题的关键． 根据已知得出分式的分子为正数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，解得：． 故选C． 9．当________时，分式的值为负． 【答案】 【分析】由分式的值为负结合非负数的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵的值为负， 又∵， ∴， ∴． 10．分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 11．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵由题得分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 易错04.判断分式变形是否正确 典题特征：给出多个分式变形式子，逐一辨别正误。 易错点：①误用分式性质，给分子分母同时加减式子；②约去可能为0的因式；③符号改写出现失误。 12．下列式子中，从左往右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．不符合分式的基本性质，变形错误，不符合题意； B．，变形正确，符合题意； C．当时，无意义，变形错误，不符合题意； D．不符合分式的基本性质，变形错误，不符合题意． 13．下列各式从左到右的变形，一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，即分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，据此逐一判断各选项即可 【详解】解： A 选项，，仅当或时等式成立，变形错误； B 选项，， ，变形错误； C 选项，原式分母为，可得， 分子分母同时除以，得，变形正确； D 选项，分子分母同时加同一个数，不符合分式基本性质，等式不一定成立，变形错误 14．下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质化简选项，和对比即可得到结果． 【详解】解：A、是最简分式，，故本选项不合题意； B、是最简分式，，故本选项不合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意； D、是最简分式，，故本选项不合题意． 15．下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件等知识，对于每个结论，利用分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件以及整数解的分析进行判断． 【详解】解：结论①：∵， ∴，即，故正确． 结论②：∵有意义， ∴，， ， ∴，，，故错误． 结论③：∵分式值为零 ∴且， ∴，故正确． 结论④：∵的值为整数， ∴为整数， ∴或或， ∴或或或或或， 又为整数， ∴或，共2个整数解，故正确． 结论⑤：当时，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意， ∴和，故错误． 故答案为∶ ①③④． 易错05.求使分式变形成立的条件 典题特征：已知两个分式相等，求解该变形成立时字母需要满足的条件。 易错点：①遗漏变形过程中，所乘（除）整式不为0的要求；②只考虑原式分母，忽略变形后新增的取值限制。 16．如果，那么为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质可将左边的等式分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 17．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 18．将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 易错06.由分式的性质判断分式值变化 典题特征：说明分子、分母的变化方式，判断分式整体数值变大、变小或不变。 易错点：①凭主观直觉判断，不列式计算验证；②分不清分子、分母单独变化对分式值的影响规律。 19．已知分式中，把，的值都扩大到原来的倍，则原分式的值（    ） A．不变 B．扩大倍 C．缩小倍 D．扩大倍 【答案】A 【分析】将扩大倍数后的m，n代入原分式，化简后与原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：∵把m，n的值都扩大到原来的7倍后，新分式的分子为，新分式的分母为， ∴新分式为，与原分式相等， 因此原分式的值不变． 20．分式中的a和b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值是原来的（   ） A． B．2倍 C．4倍 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的a，b分别用替换，计算出新分式的结果，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：当a和b同时扩大2倍时，新分式为： ， ∴得到的分式的值是原来的4倍， 故选：C． 21．如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的3倍，则分式的值也扩大为原来的3倍，那么整式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当表示时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值与原分式的值的相等，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的27倍，故C不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的3倍，故D符合题意； 故选：D． 22．下列说法中，正确的有（   ）个． ①比的前项和后项同时乘或除以相同（除外）的数，比值不变； ②一件商品先提价，再降价，则现价比原价少； ③圆的半径扩大倍，周长扩大倍； ④一个百分数，若把百分号去掉，则数值扩大倍． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的运算和比： ①利用比的基本性质判断； ②设原价为元，提价后为元，再降价后为元； ③设圆的周长为，半径扩大倍后； ④设百分数为，，． 【详解】①比的前项和后项同时乘或除以相同非零数，比值不变，说法正确； ②设原价为元，提价后为元，再降价后为元，现价比原价少的比值，说法正确； ③设圆的周长为，半径扩大倍后，周长变为原来的倍而非倍，说法错误； ④设百分数为，，，但当时，把百分号去掉，则数值不变，说法错误． 综上所述，说法正确的有①、②，共个． 故选：B 易错07.分式约分与最简分式 题特征：完成约分后，判断式子是否为最简分式，或将分式化为最简分式。 易错点：①不清楚最简分式定义，残留公因式；②因式分解不完整，导致约分不到位。 23．化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 24．下列分式中，属于最简分式的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式的定义，即分子分母没有公因式的分式是最简分式，对各选项的分式分解因式后判断能否约分即可得到答案． 【详解】解：∵分子分母没有公因式的分式是最简分式， ∴对各选项逐一分析： 选项A：，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项B：分解因式得：，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项C：分解因式得：，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D：，分子和分母都不能再分解因式，且没有公因式，无法约分，是最简分式． ∴选项D为最简分式． 25．下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：，，，只有是最简分式， ∴其中最简分式有1个． 26．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各选项分子进行因式分解，判断分子分母是否存在公因式，无公因式的即为最简分式． 【详解】解：选项：分子分母中不含有能约分的式子，是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式． 27．约分： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （3）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （4）分子展开合并，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 易错08.最简公分母与通分 典题特征：给出多个分式，确定最简公分母，并完成通分运算。 易错点：①找公分母时漏取字母、最高次幂；②分母为多项式时，未因式分解就确定公分母；③通分后分子漏乘对应因式。 28．分式与的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再相乘即可得到结果. 【详解】解：∵ 两个分母的系数分别为和，最小公倍数为； 的次数分别为和，取最高次幂； 的次数分别为和，取最高次幂； ∴ 两个分式的最简公分母为. 29．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的性质分别进行通分把分母变为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴分式的分子应变为， 故选：A． 30．已知，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的数量关系，再将所求分式的分子分母分组提公因式变形，最后整体代入计算求值. 【详解】解：已知，对等式左边通分，得，整理得，即. ∴ 31．分式、、的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的确定，根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可． 【详解】解：分母分解因式：，，；系数最小公倍数为12，字母a最高次幂为，字母b最高次幂为b，因式最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 32．通分： (1)， (2) 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查分式的通分： （1）先确定最简公分母为，然后再通分即可； （2）先确定最简公分母为，然后再通分即可 【详解】（1）解：； ； （2）解： 易错09.分式乘方及混合运算 典题特征：包含分式乘方、乘除的综合计算题型。 易错点：①分式乘方时，漏给分子分母整体加括号；②运算顺序混乱，先算乘除后算乘方；③符号运算出错。 33．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算乘方，再把除法化为乘法，最后运算乘法化简，即可作答． （2）先进行因式分解，再化简原式，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 34．计算或化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再算乘法即可解答； （2）先计算除法，再算减法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 36．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）先计算乘方，再把除法转化为乘法，最后根据分式乘法法则化简即可． （3）先将因式分解，再按照先乘方再乘除的运算法则化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握并灵活运用分式的乘除法法则是解题关键． 易错10.异分母分式加减法 典题特征：给出多个分母不同的分式，要求进行加减运算、化简。 易错点：①未先找最简公分母直接分子分母分别相加减；②通分时分子漏乘对应因式；③分式相减时，后项分子未整体加括号，符号出错；④计算完成后未约分，结果不是最简分式。 37．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 38．计算的结果是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】变形转化为同分母的加法计算即可． 【详解】解：． 39．化简：________． 【答案】 【详解】解：原式 40．下面是某同学化简分式的解题过程： 解：① ② ③ ④． (1)上述解题过程从第______（填写序号）步开始出现错误； (2)请写出完整的正确解题过程． 【答案】(1)②； (2)解： 【分析】（1）根据分式加减法则，同分母分式相加减时分母不变，原解题过程第二步错误去掉了分母，据此可判断错误步骤； （2）先对分母因式分解，通分后按照正确的分式加减法则计算，即可得到正确结果． 【详解】（1）解：根据分式加减运算法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，第②步错误去掉了公分母， 因此从第②步开始出现错误； （2）略． 易错11.整式与分式相加减 典题特征：整式和分式进行加减混合运算。 易错点：①把整式直接和分式分子相加减，未将整式化为同分母分式；②通分过程中计算失误。 41．计算的结果是________． 【答案】 【分析】将整式通分为分母为的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 【详解】解：原式． 42．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 43．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】按照运算顺序先计算乘法，再将异分母分式通分转化为同分母分式，进行加减运算后化简得到最简结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 44．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）本题是整式和分式相加的运算，把分母看成即可； （2）把分母化为进行同分母分式相加减进行运算即可； （3）先对分母进行因式分解，利用最简公分母进行通分化简即可； （4）把分母化为，再利用最简公分母进行通分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确的运算是解题的关键． 压轴12.分式最值 典题特征：给定分式及字母取值范围，求分式的最大值或最小值。 解题思路：①先对分式化简变形；②结合取值范围、分式性质分析式子增减规律；③代入临界值求出最值。 45．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 46．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 47．若，都是正数， 满足则分式的最大值与最小值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题设，利用第一个方程得到的表达式，代入两个不等式化简，即可得到的取值范围，进而计算最大值与最小值的和． 【详解】解：， 设， ，都是正数， ， 由①得： ④， 将④代入②得： ， 化简得：， ，两边同除以得：， ∴，即， 再将④代入③得：， 化简得：， ，两边同除以得：， ∴， ，两边同除以得：，即， 的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为． 48．阅读下面材料并解答问题 材料：定义：如果将一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如． 求： (1)如果分式的值为整数，求的整数值． (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)的整数值为，，， (2)最小值为 【分析】（1）将原式化为，由分式的值为整数，可得是整数，即是的约数，即可求解； （2）将原式化为，由作为分母，不能为，则最小可取，即可求解． 【详解】（1）解： ， 分式的值为整数， 是整数，即是的约数， 可取，，，， 此时的整数值为，，，； （2） 作为分母，不能为， 最小可取， 此时的最小值为， 代数式的最小值为． 压轴13.分式加减乘除混合运算 典题特征：同时包含加、减、乘、除多种运算的复杂分式计算题。 解题思路：①遵循先乘方、再乘除、最后加减的顺序；②有括号先算括号内，多项式优先因式分解；③每步运算后及时约分简化。 49．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 50．化简：． 【答案】． 【分析】先把括号内的式子通分，再约分计算即可． 【详解】解： ． 51．化简：． 【答案】 【分析】本题先计算括号内的分式减法，通过通分计算后，将除法转化为乘法，对用平方差公式因式分解，再约分化简即可得到结果，用到分式运算法则与平方差公式． 【详解】解： ． 52．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 直接运用分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 压轴14.分式化简求值 典题特征：先化简分式，再根据分式方程解的限制条件确定字母取值，最后代入求值。 解题思路：①化简待求分式；②解分式方程，结合解的要求筛选字母；③避开使原式分母为0的数值，代入计算。 53．先化简，再求值：其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 54．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】首先进行分式的化简运算，再把的值代入化简后的式子，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，上式. 55．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ，原式 【分析】先根据整式乘法法则和分式混合运算法则化简原式，再计算出的值，代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ； ， 把代入得，原式． 压轴15.由分式方程解的情况求值 典题特征：已知分式方程的解满足正数、负数、整数、特定范围等条件，据此求方程中参数的值或取值范围。 解题思路：①去分母将分式方程化为整式方程，用参数表示出方程的解；②结合解的限定条件列出不等式/等式；③排除增根对应的参数值，最终确定参数结果。 56．若关于的方程有增根，则的值是_______． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，代入整式方程即可求出的值； 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得：， 整理得， ∵方程有增根， ∴，即， 将代入，得． 57．如果方程有增根，那么增根为________． 【答案】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，只需确定增根的可能值，令最简公分母为即可．本题中分母和互为相反数，最简公分母是． 【详解】解：原方程有增根， 最简公分母， 解得， 方程的增根为． 检验：当 时，最简公分母 ，所以原分式方程无解，其增根为． 58．若关于x的分式方程 有增根，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程增根的概念，增根使分母为零，代入化简后的方程可求参数． 分式方程的增根是使分母为零的根，即.将方程去分母后，代入增根求解即可． 【详解】解：∵方程有增根， ∴增根为. 原方程：， 两边同乘得：， 化简得：， 将增根代入， 得， 解得， 因此，的值为2， 故选C． 59．已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的根是，求的值； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将已知的方程根代入原方程，即可计算出的值； （2）先将分式方程化为整式方程，再分整式方程本身无解、整式方程的解为分式方程增根两种情况讨论，即可得到的值． 【详解】（1）解：∵分式方程的根是， ∴将代入方程得， 化简得， 解得． （2）解： 方程两边同乘去分母， 得， 展开整理得， 当，即时， 方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解， 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴方程的解为原分式方程的增根，满足， 解得或， 把代入，得，等式不成立，舍去， 把代入，得， 解得， 综上，分式方程无解时，的值为或． 压轴16.分式方程无解问题 典题特征：已知分式方程无解，求方程中参数的取值。 解题思路：①去分母化为整式方程；②分两种情况讨论：整式方程无解、整式方程的解是原分式方程的增根；③综合情况求出参数。 60．若关于的分式方程无解，则_______． 【答案】或1或6 【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以得， 整理，得， 解得， 当时，原方程无解，此时，解得，，经检验是原方程的解； 当时，原方程无解，此时，解得，经检验是原方程的解； 当时，无意义，原方程无解，解得； 综上，的值为或1或6． 61．若关于的分式方程无解，则m的值是（    ） A．3或 B．3或10 C．3 D． 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可． 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论：①若整式方程无解，则， ∵时，，等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根，原分式方程的分母为， 令，得增根为， 把代入，得， 解得； 综上，的值为或． 62．关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方式及分式方程无解的情况是解题关键． （1）代入k的值，解分式方程并检验即可； （2）通过解分式方程的方法，用含k的式子表示x，利用方程无解的情况确定x的值，进而确定k的值． 【详解】（1）解：当时，关于的方程为， 化为整式方程，得，     去括号，得， 移项，合并同类项，得． 经检验：当时，， 因此该方程的解为； （2）解：等号两边同时乘以，得：， ∴， 若该方程无解，有两种情况： ①该整式方程无解，则，解得； ②分式方程增根导致无解，则，即，解得； 综上可知，的值为或． 压轴17.分式方程行程问题 典题特征：结合路程、速度、时间关系，列分式方程求解实际问题。 解题思路：①梳理行程三要素，找准等量关系；②设未知数，根据时间/速度差列方程；③解方程并检验，结合实际作答。 63．五一期间，小冉爸爸开车带她去科技馆．有两条路线：路线一全程，但交通比较拥堵；路线二比路线一多，但平均速度比路线一快．若走路线二比走路线一少用，求走路线一的平均速度． 【答案】走路线一的平均速度为． 【分析】设走路线一的平均速度是，则走路线二的平均速度是，根据时间差列出正确的分式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：设走路线一的平均速度为，则走路线二的平均速度是， 由题意可得， 解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：走路线一的平均速度为． 64．某校学生乘车去距学校的景区游玩，一部分学生乘慢车，另一部分学生乘快车，他们同时出发，结果乘慢车的同学晚到，已知快车速度是慢车速度的倍，求慢车的速度． 【答案】慢车的速度为 【分析】设慢车速度为未知数，因为快车速度是慢车的1.5倍，所以可以用该未知数表示出快车速度，根据“时间路程速度”，分别写出慢车和快车行驶全程的时间，因为慢车比快车多用，所以可以根据两车的时间差建立分式方程，求解分式方程即可求解． 【详解】解：设慢车的速度为，依题意，得：， 解得：， 经检验是原题的解， 答：慢车的速度为． 65．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间． (1)根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如表所示．下列说法不正确的是（　　） 小刚： 小强： A．表示规定时间   B．表示慢马的速度        C．表示         D．表示 (2)从（1）中小刚和小强列出的不完整方程中选择其中的一种将它补全，并完成剩余的解答过程． 【答案】(1)D (2)选择补全小刚：， 具体解答过程如下： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：规定时间为天． 选择补全小强：， 具体解答过程如下： 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 则规定时间为， 答：规定时间为天． 【分析】（1）由题意，结合小刚和小强分别列出的尚不完整的方程分析求解即可； （2）由（1）中分析补全小刚和小强列出的分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据小刚列出的方程，结合若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，可知表示规定时间，A选项正确； 从而由题意可补全方程为，则表示，D选项错误； 根据小强列出的方程，结合若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，可知表示慢马的速度，C选项正确； 从而由题意可补全方程为，则表示，C选项正确； 综上所述，说法不正确的是D选项； （2）略 压轴18.分式方程工程问题 典题特征：围绕工作总量、工作效率、工作时间，利用分式方程解题。 解题思路：①把工作总量看作单位1，表示出各自工作效率；②根据合作、单独工作的时间关系列方程；③求解检验后写答案。 66．在“绿色低碳生活”主题实践活动中，某校“环保志愿小组”计划使用新能源清扫车清理校园周边的白色垃圾．若使用传统燃油清扫车，清理完指定区域的垃圾需要若干小时．学校后来调配了新能源清扫车，其工作效率是传统燃油清扫车的3倍，结果比原计划提前6小时完成任务．已知该区域共有90吨垃圾需要清理，求传统燃油清扫车平均每小时能清理多少吨垃圾？ 【答案】 传统燃油清扫车平均每小时能清理吨垃圾 【分析】利用“工作时间总工作量工作效率”的关系，根据提前6小时完成任务得到等量关系，设未知数后列分式方程求解，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：设传统燃油清扫车平均每小时能清理吨垃圾， 由题意可得新能源清扫车平均每小时清理吨垃圾， 根据题意列方程得， 去分母得，解得， 经检验，当时，，即是原方程的解，且符合实际意义． 答：传统燃油清扫车平均每小时能清理10吨垃圾． 67．列方程解下列问题： 重庆坐拥“世界摩托之都”美誉，一年一度的重庆国际摩博会享誉海内外，本土摩托品牌赛场夺冠、远销海内外，尽显重庆制造实力．某本土摩托制造企业生产通勤代步摩托与赛道竞速摩托两类车型，已知该厂每日生产竞速摩托数量比通勤摩托多台，天生产通勤摩托的总产量与天生产竞速摩托的总产量相等． (1)求该厂每天生产通勤摩托、竞速摩托各多少台； (2)该厂紧跟产业升级浪潮，工厂完成智能生产线改造，升级后每日只生产一种车型，日产能大幅提升．升级后每日竞速摩托增产数量是通勤摩托增产数量的倍．现生产台通勤摩托、台竞速摩托总共用时天，求每日通勤摩托的增产数量． 【答案】(1)该厂每天生产通勤摩托台，竞速摩托台 (2)每日通勤摩托的增产数量为台 【分析】（1）根据“每日生产竞速摩托比通勤摩托多台，天生产通勤摩托总产量等于天生产竞速摩托总产量”的等量关系，列一元一次方程求解； （2）根据“生产台通勤摩托和台竞速摩托总用时天”的等量关系，列分式方程求解，检验后得到结果． 【详解】（1）解：设该厂每天生产通勤摩托台，则每天生产竞速摩托台． 根据题意得： 解得 则 答：该厂每天生产通勤摩托台，竞速摩托台． （2）设每日通勤摩托的增产数量为台，则每日竞速摩托的增产数量为台，升级后每日生产通勤摩托台，每日生产竞速摩托台 根据题意得： 方程两边同时乘得： 整理得 解得 检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意． 答：每日通勤摩托的增产数量为25台． 68．在抗击新冠肺炎疫情期间，某志愿者筹集了24000元购买A、B两种不同型号的口罩共13000个，由快递公司寄往武汉，已知A型口罩的单价是B型口罩单价的1.6倍，且用于购买A型口罩和B型口罩的费用相同． (1)求A、B两种型号口罩的单价各是多少？ (2)快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快递，甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求的值． 【答案】(1)A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元 (2)1 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，分式方程的工程问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）（元）．设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元，根据题意列出分式方程求解，从而可求得A型口罩的单价； （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：，从而可得，同理可得，，从而可求得． 【详解】（1）解：（元）． 设B型口罩的单价为m元，则A型口罩的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型口罩的单价为元，B型口罩的单价为元． （2）设甲单独完成的效率为x，乙单独完成的效率为y，丙单独完成的效率为z， 依题意得：， ∴， ∴，即． 同理，， ∴． 压轴19.分式方程经济问题 典题特征：结合单价、数量、总价，利用分式方程解决销售、费用类问题。 解题思路：①明确单价、数量、总价的等量关系；②根据价格变化、数量差异列分式方程；④检验解的合理性并作答。 69．随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． (1)求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； (2)该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； (2)购买A型健身器材20台，52000元． 【分析】（1）设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台，根据题意，列出不等式得出设采购费用为y元，得出相应得一次函数解析式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴（元） ∴A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台． 根据题意得： 解得： 设采购费用为y元， 根据题意得：． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∴当时，y有最小值， 最小为：（元）． 70．中国文字博物馆是我国首座以文字为主题的博物馆．小明跟团参观中国文字博物馆时，在文创商店购买青铜小摆件和甲骨文书签，已知每个青铜小摆件比每个甲骨文书签贵5元，若分别用200元购买青铜小摆件，用160元购买甲骨文书签，得到的青铜小摆件与甲骨文书签的数量相同． (1)求青铜小摆件与甲骨文书签的单价． (2)若该旅行团游客团购青铜小摆件和甲骨文书签共30个（其中青铜小摆件不超过15个），可以享受团购优惠价，优惠方案如下： 方案一：青铜小摆件打八折，甲骨文书签半价； 方案二：购买一个青铜小摆件送一个甲骨文书签． 请根据以上方案，说明选择哪种方案购买文创产品更合算． 【答案】(1)青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元 (2)当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算 【分析】（1）设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元，由题意得到分式方程，然后进行求解即可； （2）设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中，根据题意分别得出方案一和方案二的价格，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设青铜小摆件的单价为元，则甲骨文书签单价为元， 由题意得， 解得， 经检验是方程的解， ∴； 答：青铜小摆件单价为25元，甲骨文书签单价为20元． （2）解：设购买青铜小摆件个，则购买甲骨文书签个，其中， 由题意得： 方案一所需金额元； 方案二所需金额元； ∴当方案一和方案二相等时，则有， 解得， 答：当购买青铜小摆件数量少于12个时，选择方案一更合算；当购买青铜小摆件数量为12个时，两种方案一样合算；当购买青铜小摆件数量多于12个且不超过15个时，选择方案二更合算． 71．某商户预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，衬衫面市后果然供不应求．该商户又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．该商户销售这种衬衫时，每件定价都是60元，最后剩下1000件打折销售，很快售完． (1)第一批购进衬衫多少件？ (2)若在这两笔生意中，该商户盈利不少于9.2万元，请问最多可以打几折销售？ 【答案】(1)第一批购进衬衫2000件 (2)最多可以打8折销售 【分析】（1）设第一批购进衬衫的数量，根据第二批单价比第一批贵4元列分式方程求解即可． （2）设打折销售，根据盈利不少于9.2万元列一元一次不等式，结合折扣的意义即可求出最多的折扣． 【详解】（1）解：8万元元，17.6万元=176000元，9.2万元元， 设第一批购进衬衫件，则第二批购进衬衫件， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一批购进衬衫2000件． （2）解：设打折销售， 由（1）得，第一批购进2000件，第二批购进（件），总进货量为（件），总成本为（元）， 由盈利不少于92000元，可得：， 化简得， 整理得， 解得， ∵折扣越小，售价越低，盈利越少， ∴要满足盈利要求，最多可以打8折． 答：最多可以打8折销售． 压轴20.分式方程和差倍分问题 典题特征：依据数量之间和、差、倍数关系，建立分式方程求解。 解题思路：①分析题干中和、差、倍的数量关系；②合理设元，列出对应分式方程；③解方程、检验并作答。 72．某生活超市用元购进一批饮料，进入市场后供不应求，超市又用元购进第二批这种饮料，第二批饮料的数量是第一批数量的倍，但单价比第一批少元．求购进第一批饮料的单价． 【答案】 购进第一批饮料的单价为元 【分析】设购进第一批饮料的单价是元，则第二批饮料的单价是元，列分式方程求解即可． 【详解】解：设购进第一批饮料的单价是元，则第二批饮料的单价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， 答：购进第一批饮料的单价是元． 73．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍．已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个．求制作1个榫需要的木材为多少千克？ 【答案】制作1个榫需要的木材为千克． 【分析】设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克．根据“用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个”这一等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， 根据题意得， 解得， 答：制作1个榫需要的木材为千克． 74．列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【答案】(1)甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元 (2)购买乙种商品的数量为50件 【分析】此题考查了二元一次方程组以及分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键． （1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设售价上涨的价格为元，再列式得，再解方程即可． 【详解】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元， ， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多， 所以， 解得，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 压轴21.分式规律探究题 典题特征：给出一组分式式子、数列，找寻排列规律，求解指定项或通用表达式。 解题思路：①分别观察分子、分母、符号的变化规律；②总结出通项公式；③按规律计算指定项数值。 75．观察下列一组分式：，，，，，…，则第10个分式为________，第个分式为________． 【答案】 【分析】分别从符号，分子系数，分母的指数三个部分归纳第n项的规律，再将代入规律得到第10个分式． 【详解】解：观察给出的分式，分部分归纳规律： 符号规律：第1个分式为正，第2个为负，第3个为正，…，可知符号规律为（为项数）； 分子规律：分子系数等于项数，分子恒含因式，因此分子为； 分母规律：分母为的次方，即； 因此第个分式为：， 当时，代入得：． 76．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 77．在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A．2026 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律的探究，分式的求值．对于每个整数（），和的分式值之和为0；时分式值为0，且出现两次；时分式值为．因此总和为． 【详解】解：∵当且时，， 当时，， ∴． 对于从2到2025，共有2024对，每对和为0； 又∵时，，且出现两次，和为0； 时，， ∴总和为； 故选：B． 78．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 【答案】(1) (2)猜想第个等式为，理由见解析 【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律即可写出第个等式，再根据分式的混合运算法则即可证明等式成立． 【详解】（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为：． 故答案为：； （2）猜想第个等式为． 理由：左边 ， ∴左边右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查数字类规律探索、分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 压轴22.新定义运算 典题特征：定义全新分式运算规则，按规则列式计算、求解参数。 解题思路：①读懂新运算的运算法则；②严格按照定义把式子转化为常规分式运算；③逐步计算、化简或解方程。 79．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据新定义运算得到关于的分式方程，再解分式方程并检验即可得到结果． 【详解】解：由定义新运算可知：， 即， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 经检验，是原分式方程的根． 80．定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 【答案】2 【分析】先对进行化简得到，再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当且仅当时，等号成立， ∴关于a，b的巧数的最小值为． 81．对于，规定，例如，，那么________． 【答案】 【分析】根据给定的的定义，推导得出，将原式两两分组结合后，即可计算出最终结果． 【详解】解：，， ， 即，且． 原式 ． 82．定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 83．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义将原方程转化为分式方程，再整理为整式方程，分一次方程无解、分式方程产生增根两种情况讨论，求出的可能值即可 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 去分母得 整理得 方程无解分两种情况： ① 当一次项系数为时，方程无解，即 ，得，此时，等式不成立，方程无解. ② 分式方程产生增根时，原方程分母，得增根，把代入，得 ，解得. 综上，的值为或 84．我们定义：形如：（、不为零），且两个解分别为，的方程为“十字分式方程”． 例如为“十字分式方程”，可化为，，． 再如为“十字分式方程”，可化为 ，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则， （2）若“十字分式方程”的两个解分别为，，则的值为． （3）若关于的“十字分式方程”的两个解分别为，（，），则的值为2． 正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】（1）由 ，，根据十字分式方程的定义即可得； （2）先根据十字分式方程的定义求出，的值，再化简代入计算即可得； （3）先根据十字分式方程的定义求出，，从而可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：（1）对于 ， ，，符合十字分式方程定义， ，，故（1）正确． （2）方程 可化为 ， 根据定义得，． ．故（2）错误． （3）原方程变形：两边同时减1得 ， 整理得 ， ， ，符合十字分式方程定义， ， ，即 ， 又， ， ， 得 ，， 代入得 ，故（3）正确． 综上，正确的结论共2个． 85．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数），已知．并规定：，，．则①；②；③对于任意正整数，成立，以上结论中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查与有理数有关的规律探索，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．根据题意逐一分析判断即可解答． 【详解】解：，， ，，，， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 由①②可得、分别是以和为周期的数列， 当为奇数时，，此时，，等式成立； 当为偶数时，，此时，，等式成立，故③正确． 综上所述，结论正确的有3个． 86．定义：对任意正实数，规定，例如，，……利用以上规律解答下列问题． (1)计算：_____． (2)对任意正实数，求出的结果． (3)计算：． 【答案】(1)1 (2)2 (3)4051 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）先求出，再根据同分母的分式加法计算法则计算； （3）根据（2）得到的结论求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：由题意可得， ． （3）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $