25.3 一元二次方程的应用（知识解读）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦一元二次方程的应用这一核心知识点，系统梳理变化率、传染、枝干、单双循环、销售利润、几何面积、动点等8类题型，通过具体问题情境构建方程模型，形成从理论解法到实际应用的学习支架。 资料以“知识点+题型+例题+变式”结构，结合产量增长、病毒传播等现实情境，引导学生用数学眼光观察问题，通过例题变式提升推理与运算能力，几何与动点问题强化数学语言表达，课中辅助专题教学，课后助力查漏补缺。

25.3 一元二次方程的应用（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型2 一元二次方程的应用-传染率问题】 3 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 5 【题型4 一元二次方程的应用-单循环问题】 7 【题型5 一元二次方程的应用-双循环问题】 9 【题型6 一元二次方程的应用-销售利润问题】 11 【题型7 一元二次方程的应用-几何面积问题】 14 【题型8 一元二次方程的应用-动点与几何问题】 19 【随堂检测】 24 知识点1 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后为 ；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为 ²=b 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 【例1】某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 【答案】(1) (2)666件 【分析】（1）设该厂每周平均增长率为，根据题意列出，即可得到答案； （2）根据增长率列出计算式即可． 【详解】（1）解：设该厂每周平均增长率为， ， 解得，（舍去）， 故增长率为； （2）解：件， 答：第四周日产量预计为件． 【变式1-1】随着国际油价波动，国内某标号汽油价格连续两次上调后，从原来的7.20元/升涨到了9.30元/升．设平均每次上调的百分率为x，则根据题意列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增长率的计算规律，初始量乘以（平均增长率）的增长次数方等于最终量，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每次上调的百分率为x， 根据题意列方程． 3．年月日电影《疯狂动物城》在中国内地上映，第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每天票房的增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每天票房的增长率为， 根据题意得，， 故选：． 4．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 知识点2 传染，枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2 一元二次方程的应用-传染问题】 【例2】近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4人 (2)三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 【变式2-1】经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 【变式2-2】某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 【变式2-3】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 【例3】某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 【答案】主干长出了6个支干 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设主干长出x个支干，则长出个小分支，根据主干、支干和小分支总数是43列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设主干长出x个支干，则长出个小分支， 根据题意得：， 即， 解得： 或（不合题意舍去）． 答：主干长出了6个支干． 【变式3-1】九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得，（舍去） 答：x的值为． 【变式3-2】化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 【变式3-3】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 【答案】小华邀请了10名同学转发 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据传播规则，结合经过两轮转发后共有111个人参与了小华创意作品的转发活动，即可得出关于x的一元二次方程求解． 【详解】解：设小华邀请了x名同学转发， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：小华邀请了10名同学转发． 知识点3 握手比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4 一元二次方程的应用-单循环比赛问题】 【例4】我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环赛制的特点，推导总比赛场数的表达式，结合已知总场数列出方程，判断正确选项． 【详解】解：∵共有个班参加比赛，单循环赛制中每个班需要和除自身外的个班各赛一场， 又∵两个班之间只赛一场，上述计算中每场比赛被重复计算了一次， ∴总比赛场数为， ∵总比赛场数为21， ∴列方程得． 【变式4-1】参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，若有x家公司共签订了45份合同，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题思路为：明确每家公司的签约数量，去掉重复计算的部分，根据总签约合同数列出等量关系即可得到方程． 【详解】解：∵共有家公司参加商品交易会，每两家公司之间签订一份合同， ∴每家公司要和除自身外的家公司签订合同， ∵同一份合同会被两家公司各重复计算一次， ∴所有公司签订合同的总份数为， 已知总合同数为45份，因此可列方程． 【变式4-2】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 【答案】7 【分析】本题属于一元二次方程的实际应用问题，可通过设未知数，根据每两个机场间航线的计数规则建立方程求解，核心是避免航线的重复计算． 【详解】解：设这个航空公司飞往的飞机场有个， 根据题意列方程：， 解得：，， 因为飞机场的数量为正整数，所以不符合实际意义，舍去． 【变式4-3】已知在一次会议中，参会的每两个人之间握手一次，全部参会人员一共握手66次，则参会的人数是________人． 【答案】12 【分析】设共有x个人参会，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设共有x个人参会， 根据题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， 故答案为：12． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 【题型5 一元二次方程的应用-双循环比赛问题】 【例5】某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据双循环赛制中，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场数为球队数x与的乘积列方程即可． 【详解】解：设有x支球队，则每支球队与其他支球队各进行两场比赛，总比赛场数为， 由题意得：， 故选B． 【变式5-1】高铁出行，方便快捷．为保证每两个城市之间都可乘坐高铁互相往来，某条高铁线需要印制不同的火车票共种（每两个城市之间需印制种不同的往返火车票）．则该条高铁线上的城市总数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该条高铁线上的城市总数为，根据车票印制规则列出一元二次方程，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设该条高铁线上的城市总数为（为正整数）.， 每两个城市之间需印制种不同的往返火车票，总共有种不同火车票， 根据题意可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：或， 城市个数为正整数，需舍去负根， ，即该条高铁线上的城市总数为． 【变式5-2】毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（　　） A．40人 B．41人 C．42人 D．43人 【答案】D 【分析】先设这个班级共有x名学生，根据礼物总数相等列出一元二次方程，求出解并判断符合题意的答案即可． 【详解】解：设这个班级共有x名学生，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 所以这个班级共有学生43人． 【变式5-3】九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 【答案】 30 【分析】设全班有名学生，可得每名同学需要给名同学写留言，根据总留言数为列出一元二次方程，求解后舍去不合实际意义的解即可得到答案． 【详解】解：设全班有名学生， 根据题意，列方程得， 整理得， 解得，（舍去）， 则全班有名学生． 知识点4 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【题型6 一元二次方程-销售利润问题】 【例4】某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【答案】(1) 这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元； (2) 这种面包的单价是9元或11元. 【分析】（1）根据单价变化与销量变化的关系列一元一次方程求出单价，再利用总利润=单个利润×销售量计算总利润； （2）根据总利润的等量关系列一元二次方程，求解得到面包单价． 【详解】（1）解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得， 解得 ， 则总利润为（元）， 答：这种面包的单价定为10元，这天卖面包的利润是500元． （2）解：设这种面包的单价定为元， 根据题意得 ， 解得， ， 答：这种面包的单价是9元或11元． 【变式4-1】电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个． (1)降价5元时，日销量增加了多少个？ (2)当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)降价5元时，日销量增加了个； (2)当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 【分析】（1）根据玩偶售价每降价1元，日销量可增加5个列式计算即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，降价5元时，日销量增加了（个）， 答：降价5元时，日销量增加了个； （2）解：设降价元，则单个玩偶的利润为元，销量个， 由题意得 ， 解得（舍去），， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 【变式4-2】某生鲜超市以每斤2元的价格购进某种水果,然后以每斤4元的价格销售,每天的销售量为100斤．后通过市场调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.2元,每天可多售出40斤． (1)若设这种水果每斤的售价为x元时,销售量为y斤,直接写出y与x之间的函数关系式； (2)已知超市每天销售量不超过260斤,若希望通过降价销售这种水果每天盈利300元,则每斤的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题意知销售量 以每斤4元的价格销售时每天的销售量100斤+(降低价格后的差价)，化简即可； （2）根据题意找出等量关系：每斤的盈利对应的销售量每天的总盈利，然后，得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，即y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 即， 解得,． ∵， ∴． ∴， ∴每斤的售价应定为元． 【变式4-3】某书店老板购进一批进价为20元/本的儿童绘本，试销阶段发现这种儿童绘本的日销售量（本）与销售单价（元）的函数图象如下，请解决如下问题： (1)求该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)如果该书店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该书店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该儿童绘本的销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)该儿童绘本的销售单价应定为30元 【分析】（1）设该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为，由题意得，解方程组求解即可； （2）由题意得，解方程求解即可； 【详解】（1）解：设该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 由题意得解得 该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式为； （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 为了尽快减少库存， ， 答：该儿童绘本的销售单价应定为30元． 知识点5 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7 一元二次方程-几何面积问题】 【例4】综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 【答案】(1)答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． (2)答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． (3)不可行，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，进行求解，即可． （1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据面积为，列出方程，即可； （2）由（1）可得，垂直于墙的一边长为或；分别求出平行于墙的一边长，进行比较，即可； （3）长方形养鸡场的面积扩建为，设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，列出方程，进行解答，即可． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 解得：，； 答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． （2）解：当，则平行于墙的一边长为：符合题意； 当，则平行于墙的一边长为：，不符合题意； 答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． （3）解：不可行，理由如下： 设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 整理得：， ， ∴此方程没有实数根， ∴没有符合题意的方案． 【变式4-1】如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【答案】(1)矩形菜地的长和宽都为10米． (2)不能围成面积是120平米的菜地 【分析】（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式，当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可； （2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程判断是否有根即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 【变式4-2】如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 【答案】(1)空白画框的宽度为； (2)该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框(空白部)的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为，根据题意列方程得： ， 解得：，， 当时，不符合题意， ． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据题意列方程得： ， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 【变式4-3】如图，学校生态园有一道长的墙，生物小组用总长的围栏，借助这道墙围一个中间隔有一道围栏（平行于）的长方形种植区．为了方便进出，计划在垂直于墙的两边上各开一个宽的小门（门的位置用铰链，不计入围栏总长度）． (1)设种植区的一边的长为，则的长可用含的代数式表示为_____． (2)当的长是多少时，围成的种植区面积为？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的几何应用，解题的关键是正确理解题意列出方程求解． （1）根据即可列出代数式； （2）由题意得，，再解方程，并且检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 故答案为： （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 由题意得，， ∴， 解得， 故舍去， ∴符合题意， 答：当的长是时，围成的种植区面积为． 知识点6 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8 一元二次方程-动点与几何问题】 【例8】如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)； (2)或4时，的面积为 【分析】（1）根据点P、Q运动的速度，表示出、即可； （2）利用两点运动的速度表示出的长，进而表示出的面积；把代入，解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点从点出发，以的速度沿运动， ∴； ∵点从点出发，以的速度沿运动， ∴； （2）解：由题意得：，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 【变式8-1】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，从点开始沿边向点以的速度移动，（其中一点到终点，另一点也随之停止）如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，是等腰三角形？ (2)几秒钟后，的面积等于？ 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】（1）设运动时间为秒，用含的式子表示、的长度，根据两直角边相等列方程求解； （2）设运动时间为秒，用含的式子表示、的长度，根据直角三角形面积公式列方程求解，得到符合条件的时间． 【详解】（1）解：设经过秒后，是等腰三角形， 根据题意可得，，、两点到达终点均需秒， ， ，解得秒． （2）解：设经过秒后，的面积等于， 根据题意可得，，、两点到达终点均需秒， ， 的面积为， ， 解得，， 故经过或秒后，的面积等于． 【变式8-2】如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 【变式8-3】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 【答案】(1)28 (2)不能，理由见解析 (3)6或 【分析】本题考查矩形上的动点问题，勾股定理，一元二次方程的应用，用含t的式子正确表示出相关线段长度是解题的关键． （1）当时，计算出相关线段长度，根据求解； （2）根据列关于t的一元二次方程，利用判别式判断是否有实数根即可； （3）当恰好是直角三角形时，，根据列关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，，， 矩形中，，， ，， ， 故答案为：28； （2）解：在运动过程中的面积不能为，理由如下： 根据题意得，，， ，， 当时， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴的面积不可能为； （3）解：由题意知， ， 当恰好是直角三角形时，， ∴， ∴， 解得，， 即t的值为6或． 随堂检测c 1．在研究森林木材存量变化时，某林区原有木材总量为立方米．由于自然损耗与合理采伐，木材总量逐年按相同的减少率下降．经过年后，木材总量变为立方米．设年平均减少率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照年平均减少率推导两年后木材总量，即可得到正确方程． 【详解】解：∵原有木材总量为立方米，年平均减少率为， ∴第一年木材总量变为， ∴第二年木材总量在第一年的基础上再次按相同减少率减少，变为， ∵经过年后木材总量为立方米， ∴可列方程为． 2．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设矩形的一边长为米，则矩形的另一边长为米， 根据题意得，． 3．芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得挂图是一个长为，宽为的矩形，求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 4．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 5．冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 【答案】或 【分析】根据传染模型，每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以的平方，即可作答． 【详解】解：∵初始患流感人数为1， ∴第一轮传染后，患流感人数为 ∴第二轮传染时，有人，每人传染x人， ∴ 新传染人数为， ∴第二轮后总患病人数为， 又∵ 两轮后共有16人患流感， ∴. 6．如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设t秒后的面积等于，由题意得：，则有，然后可得方程，进而求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于，由题意得：，则有， ∴， 解得：， ∴当点P运动2或4秒后，的面积等于． 故答案为:2或4． 7．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的20万人增加到2025年的万人．求该市这两年参加健身运动人数的年均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，设该市2024，2025这两年参加健身运动人数的年均增长率为x，结合从2023年的20万人增加到2025年的万人，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设该市2024，2025这两年参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意，得， 解这个方程，得， 经检验，不符合题意，舍去；，符合题意． 答：该市这两年参加健身运动人数的年均增长率为． 8．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． (1)平均每天的销售量为 本（用含x的代数式表示）； (2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2210元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 【答案】(1) (2)每本画册应降价3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）利用平均每天的销售量这种画册每本降价的钱数，即可用含x的代数式表示出平均每天的销售量； （2）利用总利润=每本的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合每本售价不低于55元，即可确定结论． 【详解】（1）解：依题意，当这种画册每本降价x元时，平均每天的销售量为本． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得： 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：每本画册应降价3元． 9．如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向运动，同时点从点出发以每秒的速度也向运动，一个点到达点则另一个点也停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示、的长，并指出的取值范围； (2)连接，为何值时，的面积为． 【答案】(1)，， (2)1 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据各数量之间的关系用含的代数式表示出各线段的长度； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， （秒）, ； （2）解：    解得，（舍） ∴当为1秒时，的面积为． 10．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个． (1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1)前三个月生产量的平均增长率为 (2)应该再增加3条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设前三个月生产量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月，根据题意，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设前三个月生产量的月增长率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：前三个月生产量的平均增长率为； （2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月， 依题意得：， ， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ． 答：应该再增加3条生产线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.3 一元二次方程的应用（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型2 一元二次方程的应用-传染率问题】 2 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 3 【题型4 一元二次方程的应用-单循环问题】 4 【题型5 一元二次方程的应用-双循环问题】 5 【题型6 一元二次方程的应用-销售利润问题】 6 【题型7 一元二次方程的应用-几何面积问题】 8 【题型8 一元二次方程的应用-动点与几何问题】 10 【随堂检测】 12 知识点1 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后为 ；第二次增长（或下降）后为²．可列方程为 ²=b 【题型1 一元二次方程的应用-变化率问题】 【例1】某工厂改进生产线后，某零件日产量从第一周的500件增加到第三周的605件．若第二周、第三周相对于前一周的增长率相同． (1)求每周平均增长率； (2)按此增长率，第四周日产量预计为多少件？ 【变式1-1】随着国际油价波动，国内某标号汽油价格连续两次上调后，从原来的7.20元/升涨到了9.30元/升．设平均每次上调的百分率为x，则根据题意列方程为（     ） A． B． C． D． 3．年月日电影《疯狂动物城》在中国内地上映，第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 知识点2 传染，枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【题型2 一元二次方程的应用-传染问题】 【例2】近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． (1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ (2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【变式2-1】经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【变式2-2】某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【变式2-3】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【题型3 一元二次方程的应用-枝干问题】 【例3】某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求主干长出了多少个支干？ 【变式3-1】九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【变式3-2】化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【变式3-3】小华为推广自己在校园科技节的创意作品，先在某个社交平台上发布作品介绍，再邀请若干名同学转发，每名同学转发后，又各自邀请相同数量且互不相同的同学转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111人参与了小华创意作品的转发活动（含小华自己），则小华邀请了多少名同学转发？ 知识点3 握手比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【题型4 一元二次方程的应用-单循环比赛问题】 【例4】我校组织“求实杯”篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都赛一场），共比了场，设共有个班参加比赛，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，若有x家公司共签订了45份合同，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个． 【变式4-3】已知在一次会议中，参会的每两个人之间握手一次，全部参会人员一共握手66次，则参会的人数是________人． 【题型5 一元二次方程的应用-双循环比赛问题】 【例5】某省举办的城市业余足球联赛采用主客场双循环赛制，每支球队与其他球队需进行两场比赛（主场和客场各一次）．本赛季该联赛共完成比赛156场．设参加联赛的球队有x支，根据题意，为求解x，以下列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】高铁出行，方便快捷．为保证每两个城市之间都可乘坐高铁互相往来，某条高铁线需要印制不同的火车票共种（每两个城市之间需印制种不同的往返火车票）．则该条高铁线上的城市总数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】毕业前夕，九年级某班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为毕业纪念，全班共赠出1806件礼物，那么这个班级共有学生（　　） A．40人 B．41人 C．42人 D．43人 【变式5-3】九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了870份留言．则全班有_____名学生． 知识点4 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【题型6 一元二次方程-销售利润问题】 【例4】某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包单价定为7元时，每天卖出160个，在此基础上，这种面包单价每提高1元，该零售店每天就会少卖出20个，该零售店每个面包的成本是5元． (1)如果每天卖出面包100个，那么这种面包的单价定为多少？这天卖面包的利润是多少？ (2)如果每天销售这种面包获得的利润是480元，那么这种面包的单价是多少？ 【变式4-1】电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个． (1)降价5元时，日销量增加了多少个？ (2)当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【变式4-2】某生鲜超市以每斤2元的价格购进某种水果,然后以每斤4元的价格销售,每天的销售量为100斤．后通过市场调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.2元,每天可多售出40斤． (1)若设这种水果每斤的售价为x元时,销售量为y斤,直接写出y与x之间的函数关系式； (2)已知超市每天销售量不超过260斤,若希望通过降价销售这种水果每天盈利300元,则每斤的售价应定为多少元？ 【变式4-3】某书店老板购进一批进价为20元/本的儿童绘本，试销阶段发现这种儿童绘本的日销售量（本）与销售单价（元）的函数图象如下，请解决如下问题： (1)求该儿童绘本的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)如果该书店的房租、水电费、人工费等每天的支出为200元，该书店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该儿童绘本的销售单价应定为多少元？ 知识点5 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【题型7 一元二次方程-几何面积问题】 【例4】综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 【变式4-1】如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【变式4-2】如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 【变式4-3】如图，学校生态园有一道长的墙，生物小组用总长的围栏，借助这道墙围一个中间隔有一道围栏（平行于）的长方形种植区．为了方便进出，计划在垂直于墙的两边上各开一个宽的小门（门的位置用铰链，不计入围栏总长度）． (1)设种植区的一边的长为，则的长可用含的代数式表示为_____． (2)当的长是多少时，围成的种植区面积为？ 知识点6 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【题型8 一元二次方程-动点与几何问题】 【例8】如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1) ， （用含t的代数式表示） (2)则当t为何值时，的面积为． 【变式8-1】如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，从点开始沿边向点以的速度移动，（其中一点到终点，另一点也随之停止）如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，是等腰三角形？ (2)几秒钟后，的面积等于？ 【变式8-2】如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【变式8-3】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以的速度向点C移动．设运动时间为t秒． (1)当时，的面积为____ ； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出t的值，若不能，请说明理由； (3)运动过程中，当恰好是直角三角形时，求t的值； 随堂检测c 1．在研究森林木材存量变化时，某林区原有木材总量为立方米．由于自然损耗与合理采伐，木材总量逐年按相同的减少率下降．经过年后，木材总量变为立方米．设年平均减少率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为6米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块8平方米的矩形菜地作为实践基地．如图，设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．芜湖铁画，原名“铁花”，是安徽省芜湖市特有的传统工艺品，起源于宋代，清代康熙年间形成独立艺术流派．该技艺以低碳钢为原料，融合国画构图与剪纸、雕刻技法，经锻打、焊接等工序制成山水、人物等题材作品，具有黑白分明的立体效果．如图，在一幅长，宽的芜湖铁画的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与铁画衔接处忽略不计），制成一幅面积为的挂图．设外框的宽度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 5．冬季是流感等呼吸道传染病高发的季节，某班级最初有1人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有16人患流感，若设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为__________． 6．如图，在中，，的长为，的长为，点从点开始，沿边向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，______秒后的面积等于． 7．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的20万人增加到2025年的万人．求该市这两年参加健身运动人数的年均增长率． 8．某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元． (1)平均每天的销售量为 本（用含x的代数式表示）； (2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2210元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？ 9．如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向运动，同时点从点出发以每秒的速度也向运动，一个点到达点则另一个点也停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示、的长，并指出的取值范围； (2)连接，为何值时，的面积为． 10．某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个． (1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $