25.2.1配方法（第1课时 直接开平方法）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过复习平方根定义及性质，结合“一个数的平方等于9求这个数”等情境设问，搭建从平方根知识到方程求解的学习支架，衔接新旧知识。 以“降次转化”思想为核心，通过自主探究（自研课本）和合作讨论培养学生抽象能力与推理意识，结合降价率等实际应用题发展模型意识，典型例题与中考真题结合，规范解题步骤，提升运算能力与应用意识。

25.2.1配方法（第1课时 直接开平方法） （导学案） （1）理解直接开平方法的定义和解题依据，熟练掌握用直接开平方法解和型一元二次方程的步骤；能准确判断方程是否有实数根，规范书写解题过程. （2）经历从平方根知识推导方程解法的探究过程，体会一元二次方程“降次转化”的核心思想，提升类比迁移、归纳总结和代数运算能力. （3）通过新旧知识的衔接探究，感受数学知识的连贯性和逻辑性，体验解题方法的简洁性，增强学习代数的信心，培养严谨细致的运算习惯. 重点：掌握直接开平方法解和型一元二次方程的方法及规范解题步骤. 难点：理解直接开平方法“降次转化”的数学思想；准确判断p的正负，区分方程实数根的三种情况；避免开平方时遗漏负根. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：①什么是平方根？②正数、0、负数的平方根各有什么性质？ ③求下列各数的平方根：4、0、、-2. 情境设问：若一个数的平方等于9，这个数是多少？若，如何求解x？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第5-6页的内容 【学法指导】自研课本P5-6页内容 (一)解一元二次方程的基本思想 活动1：解一元二次方程的基本思想 追问1：怎样解一元一次方程的？ 解一元二次方程的基本思想： （2） 基础型方程 活动2：怎样解型方程 交流思考：解方程， 追问1：结合平方根性质思考：方程的根有几种情况？由什么决定？ 追问2：对方程的根有几种情况？由什么决定？ 及时巩固：用直接开平方法解方程. （三）探究复合型方程 活动3：怎样解型方程 交流思考：如何解方程？能否把x+1看作一个整体？ 追问1：如果把x+1设其为y，方程变形为什么？怎样解方程呢？ 巩固练习：解方程. 追问2：你能归纳出用平方法解一元二次方程的步骤吗？交流讨论. 【自研自探】 自研课本P5-6页内容 典型例题 例１.解下列方程: (1); (2). 例2.解方程： 第二环节 合作探究 1.讨论解一元二次方程的基本思想 2.讨论怎样解型方程 3.讨论怎样解型方程 拓展提升： 1.某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率． 课本课堂练习（P6）第1题、第2题（1、3、5）. 1．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 2．（2025•台湾）已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（　　） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 1. 知识技能：（1）解一元二次方程需要“ ”，即把二次方程转化为 方程.（2）掌握了完整解题步骤： → → → ，同时能准确判断方程 实数根. 2. 思想方法：（1）核心数学思想为转化 思想：将一元二次方程通过 转化为 方程，化未知为已知；（2）运用整体思想，把多项式 看作整体简化运算，这是后续配方法解题的核心思维. 3. 易错提醒：（1）开平方时必须保留 号，极易遗漏 ，导致少解 根；（2）当p<0时，方程 数根，不可 求解；（3）解方程前需先将方程化为 的标准形式，注意系数化 ；（4）p=0时，方程有 的实数根，不可 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1配方法（第1课时 直接开平方法） （导学案） （1）理解直接开平方法的定义和解题依据，熟练掌握用直接开平方法解和型一元二次方程的步骤；能准确判断方程是否有实数根，规范书写解题过程. （2）经历从平方根知识推导方程解法的探究过程，体会一元二次方程“降次转化”的核心思想，提升类比迁移、归纳总结和代数运算能力. （3）通过新旧知识的衔接探究，感受数学知识的连贯性和逻辑性，体验解题方法的简洁性，增强学习代数的信心，培养严谨细致的运算习惯. 重点：掌握直接开平方法解和型一元二次方程的方法及规范解题步骤. 难点：理解直接开平方法“降次转化”的数学思想；准确判断p的正负，区分方程实数根的三种情况；避免开平方时遗漏负根. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：①什么是平方根？②正数、0、负数的平方根各有什么性质？ ③求下列各数的平方根：4、0、、-2. 情境设问：若一个数的平方等于9，这个数是多少？若，如何求解x？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第5-6页的内容 【学法指导】自研课本P5-6页内容 (一)解一元二次方程的基本思想 活动1：解一元二次方程的基本思想 追问1：怎样解一元一次方程的？ 解一元二次方程的基本思想：降次转化为一元一次方程. （二）基础型方程 活动2：怎样解型方程 交流思考：解方程， 追问1：结合平方根性质思考：方程的根有几种情况？由什么决定？ 根据平方根性质有三种情况，是由决定的 追问2：对方程的根有几种情况？由什么决定？ 师生归纳：当时，方程有两个不相等的实数根：； 当时，方程有两个相等的实数根：； 当时，方程无实数根（平方数非负）. 及时巩固：用直接开平方法解方程. 解题示范：移项得，因为25>0，所以，即. （三）探究复合型方程 活动3：怎样解型方程 交流思考：如何解方程？能否把x+1看作一个整体？ 追问1：如果把x+1设其为y，方程变形为什么？怎样解方程呢？ 设y=x+1，方程转化为，先求，再反求x. 直接开平方，求出y，即x+1，可以求出x. 巩固练习：解方程. 系数化为1得，开方得，解得 追问2：你能归纳出用平方法解一元二次方程的步骤吗？交流讨论. 师生总结解题步骤： ① 整理方程：化为的标准形式； ② 判断符号：看常数p，是负数没有实数根； ③ 开方降次：整体开平方，得到两个一元一次方程； ④ 求解整理：解一元一次方程，写出方程的根. 【自研自探】 自研课本P5-6页内容 典型例题 例１.解下列方程: (1); (2). 【分析】按解一元二次方程的步骤，先转化为形式，直接开平方. 【详解】解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得 由此可得， 即. (2) 移项，得 由此可得 x+2=3，或x+2=-3， 即. 例2.解方程： 【分析】将一元二次方程转化为形式，再直接开平方. 【详解】解：移项，并将二次项系数化为1，得 此题考查了一元二由此可得 ，或， 即. 第二环节 合作探究 1.讨论解一元二次方程的基本思想 2.讨论怎样解型方程 3.讨论怎样解型方程 拓展提升： 1.某汽车公司随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，求月平均降价率． 【详解】设月平均降价率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴月平均降价率是． 课本课堂练习（P6）第1题、第2题（1、3、5）. 1．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　） A．10% B．20% C．22% D．44% 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故选：B． 2．（2025•台湾）已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（　　） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 【解答】解：对于方程（x﹣4）2＝9， x﹣4＝±3， 解得x1＝7，x2＝1； 对于方程（x+9）2＝﹣4． 因为负数没有平方根， 所以此方程没有实数解． 故选：A． 1. 知识技能：（1）解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程.（2）掌握了完整解题步骤：整理方程→判断p的符号→开方降次→求解根，同时能准确判断方程有无实数根. 2. 思想方法：（1）核心数学思想为转化降次思想：将一元二次方程通过开平方转化为两个一元一次方程，化未知为已知；（2）运用整体思想，把多项式mx+n看作整体简化运算，这是后续配方法解题的核心思维. 3. 易错提醒：（1）开平方时必须保留正负号，极易遗漏负根，导致少解一个根；（2）当p<0时，方程无实数根，不可强行开方求解；（3）解方程前需先将方程化为平方等于常数的标准形式，注意系数化为1；（4）p=0时，方程有两个相等的实数根，不可只写一个根. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $