25.1 一元二次方程的概念（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程的概念”，引导学生理解定义及三大判定特征，掌握一般形式与根的检验方法。课堂导入通过矩形铁皮面积、排球比赛场次实际问题列方程，类比一元一次方程归纳新知，搭建旧知到新知的学习支架。 此导学案以“实际问题列方程—观察对比—归纳概念—辨析应用”为主线，培养学生抽象能力与模型意识。自主学习结合合作探究，典型例题与中考真题助力理解，提升推理意识，帮助学生建立知识联系，激发主动探究代数问题的兴趣。

25.1 一元二次方程的概念 （导学案） （1）理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的三大判定特征；熟记一元二次方程的一般形式，能准确识别方程的各项及系数；掌握方程根的定义，会检验一个数是否为一元二次方程的根. （2）经历“实际问题列方程—观察对比—归纳概念—辨析应用”的全过程，提升抽象概括、类比迁移、数学建模的能力. （3）感受方程与生活的紧密联系，体会数学建模的实用性，培养严谨的数学辨析思维，激发主动探究代数问题的兴趣. 重点：一元二次方程的定义及三大核心特征；一元二次方程的一般形式及各项、系数的识别；一元二次方程根的检验方法. 难点：理解一般形式中二次项系数 a≠0 的核心意义；复杂整式方程的化简与一元二次方程的精准辨析；结合实际问题感知建立一元二次方程模型. 第一环节 自主学习 问创设情景，引入新课 展示课本中实际问题，引导学生设未知数、列方程： 1. 面积问题：一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在四个角截去相同的正方形，折起后无盖长方体底面积为3600cm²，设截去的正方形边长为xcm，如何列方程？ 2. 比赛场次问题：组织排球邀请赛，每两队之间赛一场，7天赛程，每天4场，总28场比赛，设参赛队伍为x支，如何列方程？ 【学法指导】自研课本P2-3页内容， (一)类比旧知，归纳定义 活动1：对比所学一元一次方程（ax+b=0,a≠0），观察上述两个方程，有哪些相同点和不同点？ 追问1：上面的两个方程含有几个未数？ 追问2：未知数的最高次数是多少？ 追问3：等式两边的代数式有什么特点？ 总结共性： 规范定义： （二）规范一般形式，辨析各项系数 活动2：任意一元二次方程经过整理可以统一化为什么形式？ 学生交流讨论： 规范定义： 强调核心条件： （三） 认识方程的根 活动3：什么一元二次方程解（根）？ 复习回顾：什么是一元一次方程的解？ 尝试类比一元一次方程的解，给出定义： 活动4：如何检验是否是一元二次方程的解（根） 学生讨论依据和方法.. 实际检验：以方程为例，检验x=8、x=7是否为方程的根. 【自研自探】 自研课本P2-3页内容 典型例题 例１.已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 例2.将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是什么？ 例3.已知关于的方程的一个根为，求的值． 第二环节 合作探究 1.讨论一元二次方程定义 2.讨论一元二次方程的一般形式及各项系数 3.讨论什么是一元二次方程的根,怎样判别. 拓展提升： 1.若是关于的方程的一个根，求的值. 课本课堂练习（P3-4） 1.（2025·贵港统考）关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·长沙·九年级统考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（　　） A． B．0 C．2 D．4 3.（2025·贵港·九年级统考）若关于的一元二次方程的一个根为1，求的值. 1. 知识与技能：（1）一元二次方程定义： 、 、 三大核心特征；（2）一般形式: ，明确各项及系数的定义，牢记 ；（3）方程的根：能使 值，掌握规范检验方法. 2. 思想方法：（1）类比思想：类比一元一次方程的 ，快速掌握一元二次方程相关知识；（2）建模思想：将生活实际问题转化为 模型；（3）分类讨论思想：根据 ，区分 与一元一次方程. 3. 易错提醒：（1）判定方程类型前，必须先 ， 方程、 方程一定不是一元二次方程；（2）一般形式中， 是必备条件，参数题型优先考虑此条件；（3）识别各项、系数时，必须包含 ，常数 0；（4）方程的根可以 个，检验时需严格 计算，不可主观臆断. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念 （导学案） （1）理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的三大判定特征；熟记一元二次方程的一般形式，能准确识别方程的各项及系数；掌握方程根的定义，会检验一个数是否为一元二次方程的根. （2）经历“实际问题列方程—观察对比—归纳概念—辨析应用”的全过程，提升抽象概括、类比迁移、数学建模的能力. （3）感受方程与生活的紧密联系，体会数学建模的实用性，培养严谨的数学辨析思维，激发主动探究代数问题的兴趣. 重点：一元二次方程的定义及三大核心特征；一元二次方程的一般形式及各项、系数的识别；一元二次方程根的检验方法. 难点：理解一般形式中二次项系数 a≠0 的核心意义；复杂整式方程的化简与一元二次方程的精准辨析；结合实际问题感知建立一元二次方程模型. 第一环节 自主学习 问创设情景，引入新课 展示课本中实际问题，引导学生设未知数、列方程： 1. 面积问题：一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在四个角截去相同的正方形，折起后无盖长方体底面积为3600cm²，设截去的正方形边长为xcm，如何列方程？ 2. 比赛场次问题：组织排球邀请赛，每两队之间赛一场，7天赛程，每天4场，总28场比赛，设参赛队伍为x支，如何列方程？ 【学法指导】自研课本P2-3页内容， (一)类比旧知，归纳定义 活动1：对比所学一元一次方程（ax+b=0,a≠0），观察上述两个方程，有哪些相同点和不同点？ 追问1：上面的两个方程含有几个未数？ 一个 追问2：未知数的最高次数是多少？ 2 追问3：等式两边的代数式有什么特点？ 等式两边都是整式 总结共性：只含有一个未知数（一元）；未知数的最高次数是2（二次）；等式两边都是整式（整式方程）. 学生尝试给方程下定义. 规范定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. （二）规范一般形式，辨析各项系数 活动2：任意一元二次方程经过整理可以统一化为什么形式？ 学生交流讨论：任意一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项、合并同类项），都可化为统一形式：，这就是一元二次方程的一般形式. 规范定义：一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 强调核心条件：，若a=0，方程变为bx+c=0，即为一元一次方程，不再是一元二次方程；b、c可以为0. （三） 认识方程的根 活动3：什么一元二次方程解（根）？ 复习回顾：什么是一元一次方程的解？ 使一元一次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解 尝试类比一元一次方程的解，给出定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，一元一次方程的解也叫方程的根. 活动4：如何检验是否是一元二次方程的解（根） 学生讨论依据和方法. 依据是一元二次方程的解（根）的定义，方法代入方程两边根据是否相等判断. 实际检验：以方程为例，检验x=8、x=7是否为方程的根，规范检验步骤：代入——计算左右两边——对比判断. 【自研自探】 自研课本P2-3页内容 典型例题 例１.已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 例2.将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是什么？ 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可． 【详解】解：方程整理得：， 则一次项系数、常数项分别为，3． 例3.已知关于的方程的一个根为，求的值． 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，由于一根为，把代入方程即可求得的值． 【详解】解：关于的方程的一个根为3， ， 解得， 的值为． 第二环节 合作探究 1.讨论一元二次方程定义 2.讨论一元二次方程的一般形式及各项系数 3.讨论什么是一元二次方程的根,怎样判别. 拓展提升： 1.若是关于的方程的一个根，求的值. 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴，即， ∴. 课本课堂练习（P3-4） 1.（2025·贵港统考）关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【详解】解：由一元二次方程的定义可得，解得：． 故选A． 2．（2025·长沙·九年级统考）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（　　） A． B．0 C．2 D．4 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故选：D． 3.（2025·贵港·九年级统考）若关于的一元二次方程的一个根为1，求的值. 【详解】解：由题意，得：， ∴． 1. 知识与技能：（1）一元二次方程定义：一元、二次、整式方程三大核心特征；（2）一般形式：，明确各项及系数的定义，牢记二次项系数不为0；（3）方程的根：能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握规范检验方法. 2. 思想方法：（1）类比思想：类比一元一次方程的定义、解、一般形式，快速掌握一元二次方程相关知识；（2）建模思想：将生活实际问题转化为一元二次方程数学模型；（3）分类讨论思想：根据二次项系数是否为0，区分一元二次方程与一元一次方程. 3. 易错提醒：（1）判定方程类型前，必须先化简为整式方程，分式方程、根式方程一定不是一元二次方程；（2）一般形式中，二次项系数a≠0是必备条件，参数题型优先考虑此条件；（3）识别各项、系数时，必须包含项前面的正负符号，常数项可正、可负、可为0；（4）方程的根可以有多个，检验时需严格代入计算，不可主观臆断. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $