25.1 一元二次方程的概念（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 贵州专版）

第二十 25.1 新知导学 ◆。·预习新知 新知梳理 ①一般地，如果方程中只含有 个 未知数，且含有未知数的式子都是 ,未知数的最高次数是 这样的方程叫作一元二次方程.它的 一般形式是ax2十bx十c=0(a,b,c是 常数，且a0),其中a,b,c分别 是二次项系数、一次项系数、 ②使一元二次方程左右两边 的 未知数的值，就是这个一元二次方程 的解（根） ☑例题引路 【例1】将一元二次方程5x(x-2) 4x2一3x化成一般形式，并写出它的二 次项系数、一次项系数和常数项， 【方法点拨】去括号时不要漏乘，移项时 不要忘记变号. 【学生解答】 【例2】把长为2m的绳子分成两段，使 较长一段长的平方等于较短一段的长 与原绳长的积.设较长一段的长为xm, 根据题意，可列方程为 () A.x2=2(2-x) B.x2=2(2+x) C.(2-x)2=2xD.x2=2-x 【方法点拨】找准等量关系：较长一段长 的平方=较短一段的长X原绳长， 【学生解答】 易错典例 【例3】若关于x的一元二次方程(m十 2)x2+4x+m=4有一个根为0，则m 的值为 【易错剖析】将根代入原方程求m的值 时，注意二次项系数不能为0 【学生解答】 五章一元二次方程 一元二次方程的概念 基础过关 ●●●逐点击破 知识点1一元二次方程的概念及一般形式 1.(2025-2026·遵义期中)下列方程中，是关于x的一元 二次方程的是 () A.3x-1=0 B.ax2+bx+c=0 C.3x2+1=0 D.x2+1=0 2.(2025一2026·铜仁期中)一元二次方程3x2十x一1=0 的常数项是 () A.1 B.-1 C.3 D.0 3.(教材P4习题T1变式)将下列方程化成一元二次方程 的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常 数项： (1)3x2=7; (2)2x2-2x+5=2x; (3)(x-2)(2x+1)=x2+2. 知识点2一元二次方程的解（根） 4.(教材P4习题T3变式)下列各数是方程x2一x=12的根 的是 ( A.3 B.4 C.5 D.10 5.(2025·绵阳中考)若关于x的一元二次方程x2一6.x十 a=0的一个根为1，则a的值为 6.(2026·黔南一模)若a是一元二次方程x2-2x-3=0 的一个根，则a2一2a十2026的值为 九年级数学人教版全一册1 知识点3根据实际问题列一元二次方程 7.人文特色情境化小亮做的一张家乡宣传海 报如图所示，海报的长比宽多10cm,面积为 375cm.设该海报的长为xcm,则可列方 程为 A.x(x+10)=375 B.2x+2(x+10)=375 C.x(x-10)=375 D.2x+2(x-10)=375 口能力提升 。◆◆整合运用 8.(易错题)若关于x的一元二次方程(a十1)x十 2x+a=1的常数项为0，则a的值为( A.±1 B.1 C.-1 D.0 9.数学文化新趋势《九章算术》中记载：今有户 不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之 不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是： 如图，今有门，不知其高宽，今有竿，不知其 长短.将这根竿子横放，竿比门宽长出4尺； 将这根竿子竖放，竿比门高长出2尺；将这 根竿子斜着放，竿与门对角线恰好相等.问 门的对角线长为多少尺.若设门的对角线长 为x尺，则可列方程为 A.(x-2)2+(x-4)2=2x B.(x-2)2+42=x2 C.(x-4)2+(x-2)2=x2 D.(x-4)2+x2=(x-2)2 10.整体思想新理念若x=2是关于x的一元 二次方程ax2一bx十2=0的解，则代数式 2035+2a-b的值是 11.(教材P4习题T2变式)根据下列问题，列 出方程，并将其化成一般形式： (1)把一张面积为54cm的长方形纸片的一 边剪去5cm,另一边剪去2cm,恰好变成 一个正方形，求这个正方形的边长x; 2第二十五章一元二次方程 (2)一个直角三角形的三边长是三个连续 偶数，求这个直角三角形的三边长， 口思维拓展 >>强化素养 12.新定义新趋势已知关于x的一元二次方程 ax2十bx十c=0(a≠0)，如果a,b,c满足 3a十2b+c=0,我们就称这个一元二次方程 为“波浪方程”. (1)判断方程2x2一x一4=0是否为“波浪 方程”，并说明理由； (2)已知关于x的“波浪方程”ax2一2x十 c=0的一个根为一1，求这个“波浪方程”.参考答案 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 新知梳理 ①一整式2≠常数项②相等 例题引路 【例1】解：去括号，得5x2-10x=4x2-3x.移项、合并同类项，得x2-7x=0.它的二次项系 数是1，一次项系数是一7，常数项是0.【例2】A 易错典例 【例3】2 基础过关 1.C2B3.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为3x2-7=0.它的二次项系数是 3,一次项系数是0，常数项是一7.(2)移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 2x2一4x十5=0.它的二次项系数是2，一次项系数是-4，常数项是5.(3)去括号，得2x2十 弥 x一4x-2=x2十2.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2-3x一4=0.它的 帐 二次项系数是1，一次项系数是-3，常数项是一4.4.B5.56.20297.C 能力提升 8.B9.C10.203411.解：(1)根据题意，得(x十5)(x十2)=54.化成一般形式为x2+ 7x-44=0.(2)设较短直角边的长为xcm.根据题意，得x2十(x十2)2=(x十4)2.化为一般 形式为x2-4x-12=0. 思维拓展 地 12.解：(1)是.理由如下：a=2,b=-1,c=-4,.3a十2b十c=3×2十2×(-1)十(-4) 0.方程2x2-x-4=0是“波浪方程”.(2)把x=-1代入ax2-2x十c=0,得a十2十c=0. .此方程为“波浪方程”，，3a十2×（一2）十c=0,即3a一4十c=0.联立 1a十2十(=0，解得 3a-4+c=0,1 封 1a=3, .这个“波浪方程”为3x2-2x-5=0. c=-5. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①√D -√万0②n二厘 m 例题引路 渠 【例】解：1)整理，得r-织由此可得x=±子“A==一子(2)移项，得（红 5)2=9.由此可得x-5=士3..x-5=3,或x-5=-3.∴.x1=8,x2=2.(3)整理，得(x 1)2=18.由此可得x-1=士3√2.∴x-1=3√2，或x-1=-3√2..x1=1+3√2，x2=1 3√2 易错典例 【例2】8 基础过关 1.C2.C【变式题15（答案不唯-（≥0即可）3解：1)整理，得r=号”一另<0， 原方程无实数根.(2)整理，得x2=6.由此可得x=士√6，即x1=√6，x2=一√6.4.D 5.x1=6,x2=06.解：(1)由方程可得3x-1=士9..3x-1=9,或3x-1=-9,.x1= 38 10 2)整理，得(2-)=品由此可得2-=±是2-=是，或2-= 11 42= 41 55 能力提升 7.C8C9.-25【变式题1k=2=-210.解：0整理，得(2x十1=克由此可 得2x十1=±号2x+1=号或2x十1=-号∴=是，=-子.(2)整理，得9r= 7,即产=子由此可得=±号甲=号=(3)整理，得(x十6=3.由此可得 x十5=士5.∴.x十5=√5，或x十5=-√5.∴.x1=-5十√5，x2=-5-√5. 思维拓展 11.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x十2)-4][(x十2)十4]=4，∴.(x十2)2-42=4. ∴.(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=士25.x1=-2+2√5，x2=-2-25. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①(a±b)2②一半 例题引路 【例1】解：(1)移项，得x2十2x=1.配方，得x2十2x十1=1十12，即(x十1)2=2.由此可得 x十1=士2.∴x=-1十√2，x2=-1一√2.(2)移项，得4x-7x=-2.二次项系数化为1， 得-子=-司配方，得x-子+（餐）=-令+（合），即(x-8)-品由此可 8 易错典例 【例2】C 基础过关 1D2.193(2)华号（3)是是3B4解：1)移项，得x十10x=-8配 方，得x2十10x十52=-8十52，即(x十5)2=17.由此可得x十5=±√17..x1=-5十 =-5-m.2)配方，得x-3x+()=-子+（受），即(x-是)=子.由 此可得一-±=3 -2 2 2,=3,2.5.B6.解：1)移项、二次项系数化为 2 1得一号是配方得r-导十（付）=号(）即（一吉）碧由此可得 一号=士专=1=一子(2)移项、二次项系数化为1，得2-8x=一4.配方，得 x2-8x十42=-4十42，即(x-4)=12.由此可得x-4=士2√5..x1=4+2√3，x2=4- 23. 能力提升 7.D84或-29.-空10.解：1)移项，得r-25x=3.配方，得r-2x十= 3十3，即(x一√5)2=6.由此可得x一√3=士6.∴.x1=5十√6，x2=3-√6.(2)整理，得 x+3x=1.配方，得x+3x+(受)广=1+（受），即(x+受)-9由此可得x+多 ±.x=二3士区，=二3压.(3)整理，得3x+2x=-1.二次项系数化为1， 2 2 2 得父+号=一子配方，得+号x+(信)=言十(）)即(+）-号 :-号<0原方程无实数根。 思维拓展 1山.解：)x=5=号(2)士(3)三次项系数化为1，得r-29=-1.配方，得 a 2- （得）=-1+（号）(x-号)-岩由此可得x-号=士号=5 5 x=行经检验，=5，=号都是原方程的解.(1)中猜想结论正确。 1 -56 专题一配方法的四种常见运用 1.证明：原式=(4x2-8.x十4)十5=4(x2-2x十1)十5=4(x-1)2+5.4(x-1)2≥0， .4(x-1)2十5≥5.∴.代数式4x2-8x十9的值恒为正数.2.解：(1)1(2)原式=m2十6m十9 十n2-4十4十7=(m十3)2十(n-2)2十7..(m十3)2≥0，(n-2)2≥0，∴.(m十3)2十(n 2)2+7≥7..m2十n2+6m-4n十20的最小值为7.3.解：x2-1-(2x-3)=x2-2x十2= (x-1)2十1.(x-1)≥0，.(x-1)2+1>0.∴.x2-1-(2x-3)>0.∴.x2-1>2x-3. 4.15.解：：a2-8a+b-6b+c2-6c+34=0,.(a2-8a十16)+(b-6b+9)+(c2-6c+ 9)=0..(a-4)2+(b-3)2+(c-3)2=0.:(a-4)2≥0，(b-3)2≥0，(c-3)2≥0，.a 4=0,b-3=0,c-3=0,解得a=4,b=c=3.∴.△ABC是等腰三角形.6.解：原式=x2 4xy十4y2-y2=(x-2y)2-y2=(x-2y十y)(x-2y-y)=(x-y)(x-3y). 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 基础过关 1.C2.C3B4-2(答案不唯-，m<-号即可）5.解：1)：a=1,b=-3c=4, .△=b2-4ac=(-3√2)2-4×1×4=2>0.∴.方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可 化为x2+5x十10=0，：a=1,b=5,c=10,.△=-4ac=52-4×1×10=-15<0..方程 没有实数根， 能力提升 6.D7.B【变式题】D8.5或69.(1)解：由题意，得△=[-(2m十1)]-4×1× (4m-2)=4m2-12m十9.(2)证明：由(1)，得△=4m2-12m十9=(2m-3)2≥0，.无论m 取何值，这个方程总有实数根， 第2课时用公式法解一元二次方程 新知梳理 ①≥ -b士√形-4ac 2a 例题引路 【例1】解：(1)a=1,b=-2,c=3,△=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0..方程无实 数根.(2)：a=2,b=7,c=0,∴.△=b2-4ac=72-4×2×0=49>0.∴.方程有两个不相等的 实数根.生公匹-装里-7学=0。=一号 7 2a 2×2 易错典例 【例2】B 基础过关 1.D2.B3解：1：a=号，6=-2c=3,4=8-4ac=(-2)-4×号×3=0.方 3 程有两个相等的实数根六=9=一2名=-一名=3.(2)方程化为x一25x十100 1 a=1,b=-25,c=10,.△=6-4ac=(-2√5)2-4×1×10=-20<0..方程无实数 根.4.解：(1)一用公式法解方程前没有将方程化为一般形式(2)原方程可化为x2一 5x-1=0.a=1,b=-5,c=-1,∴.△=b2-4ac=(-5)2-4×1X(-1)=29>0..方程 有两个不相等的实数根.“x=二生4@匹_5±，四1=5士)√四，x 2a 2 2 型，-2四 2 能力提升 5.C6.B7.x1=3,x2=-18.解：方程化为2x2十2x-1=0..a=2,b=2,c=-1, ∴.△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=12>0..方程有两个不相等的实数根.x= 证-2生2=1a=1 Za 4 2 ,9.(1)证明：：△=[-(k十 1)]-4×1×(2k-2)=(k-3)≥0，.此方程总有两个实数根.(2)解：由(1)得x= 十1)±/=3》，=k-1,=2.由题意，得0<k-1<1,解得1<k<2. 2 57