暑假作业13 压轴题综合训练（18题型100题）（巩固培优）八年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦中考压轴题，通过18题型100题构建"方法提炼-知识迁移-综合应用"三阶训练体系，融合数学抽象、逻辑推理与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|3题|整体思想、基本不等式|概念性质→运算→综合应用| |勾股定理|4题|手拉手模型、中线长定理|定理证明→逆定理→动态应用| |四边形|6题|折叠变换、建系法|平行四边形→特殊四边形→存在性问题| |函数与统计|8题|数形结合、数据建模|函数性质→实际应用→统计分析|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业13压轴题综合训练18题型100题 【题型1 二次根式及其性质】 1．已知整式，其中和n为自然数，，，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②满足条件的所有整式中，有且仅有2个整式，使得的化简结果为整式； ③当时，关于x的方程（为对应整式的常数项）总存在整数解． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 3．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【题型2 二次根式的乘法与除法】 4．已知成立，则代数式的值为_____________． 5．阅读理解阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程． 化简：． 解：原式． 6．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 【题型3 二次根式的加法与减法】 7．【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 8．先化简，再求值：，其中． 9．已知，，求的值． 10．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【题型4 勾股定理及其应用】 11．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：， ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． (1)【尝试应用】：请直接写出的最小值_____； (2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； (3)【创新应用】：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 12．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； (2)若是以为腰的等腰三角形，求t的值； (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 13．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 (1)如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为________； (2)如图2，点P是等腰直角中内部一点，，且，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则求的度数及的长； (3)如图3，若，则求的长． 14．探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【题型5 勾股定理的逆定理及其应用】 15．我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 16．如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 17．数形结合是数学中的一种重要思想方法，它将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，通过“以数解形”或“以形助数”的方式，使复杂问题简单化，抽象问题具体化． （1）如图，在中，，过作，，，则 ． 画一画：以数解形 （2）如图，线段，过点作直线，用直尺和圆规在直线上找一点，使得，要求使用两种不同方法．（不写作法，保留作图痕迹） 探究应用： （3）如图，在中，，，用直尺和圆规在线段上找一点，使得到的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【题型6 四边形及多边形】 18．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是AD上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（填序号）________． 19．在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 20．在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的，．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【题型7 平行四边形】 21．如图，在中，，对角线，，点E是的中点，连接，的平分线与交于点F，与交于点G，则的长为________． 22．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 23．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 24．如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． (1)①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． (2)用代数式表示S； (3)当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 【题型8 矩形】 25．如图，在矩形中，，E为边上一动点（不含端点），F为边上一点，，交于点G，下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当，时，．其中正确的是______（填写序号）． 26． 综合与实践 定义：将宽与长的比值为 (n为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形． (1)概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图1，这就是我们在数学活动中认识过的黄金矩形，它的宽（）与长（）的比值是 ． (2)操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图2）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点D的对应点为点 H，展开，折痕为 第三步：过点 G折叠纸片，使得点A、B分别落在边、上，展开，折痕为 试说明：矩形 是黄金矩形． (3)迁移探究： 小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图3，点E为正方形 边 上(不与端点重合)任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 27．已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 【题型9 菱形】 28．【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 29．在菱形中，（），点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 30．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 【题型10 正方形】 31．在正方形中，点，点分别在边，上，满足，点是对角线的中点．   (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，直接写出的长为________． (3)如图3，连接，，，求的长． 32．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 33．综合与实践：探究“中线长定理”． 【问题提出】小杭想探究三角形三边长与其一边中线长度的关系，如左图，是的中线，小杭通过作边的高线得出了结论． (1)【初步解决】请你根据小杭的想法，推测小杭的结论，即著名的“中线长定理”是什么； (2)【感知应用】已知在中，，，直接写出两条对角线，和的取值范围； (3)【深入探究】如右图，在正方形中，，在边，上，沿翻折四边形，使点的对应点落在上．设点的对应点为点，的中点为，连接，，，若，，试运用中线长定理求的长． 【题型11 一次函数的图象和性质】 34．定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，，连接． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)在线段上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出此时点P的坐标． (3)在x轴上找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点的坐标． 【题型12 一次函数的概念】 37．已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（    ） A． B．24 C． D．12 38．在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”． (1)求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标； (2)证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”； (3)若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围． 39．如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C（a，4）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线⊥x轴，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标； （3）在y轴上是否存在一点F，使以O、C、F为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 【题型13 一次函数与方程 （组） 、不等式】 40．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 41．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型14 实际问题与一次函数】 43．【阅读材料】建系法：我们通常可以通过构建平面直角坐标系，借助点坐标、函数等方法，把几何关系转化成代数关系解决数学问题． 【初步运用】如图1，将边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系： ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为___________，点坐标为； ③由点和点的坐标求出直线的表达式为___________． ④因为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为___________． 【迁移探究】如图3，长方形中，，点是边上的一点，交于点． （1）请用“建系法”求四边形的面积；（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）如图4，若过点的直线与轴、轴分别交于点，当面积最小时，求出直线的表达式； （3）在（2）的条件下，为线段上的一个动点，点在轴的负半轴上，若，则的大小是否发生变化，若不变，请求出度数，若变化，请说明理由． 44．平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且满足； (1)矩形的顶点B的坐标是（ ， ） (2)若是中点，沿折叠矩形使点落在处，折痕为，连接并延长交于，求直线的解析式． (3)将（2）中直线向左平移一个单位交轴于，为第二象限内的一个动点，且，求的最大值． 45．如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴交于A点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两条直线相交于点，直线过点且平行于轴，点是直线上的一个动点． (1)求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)连接，当时，求点的坐标． 【题型15 数据的集中趋势】 46．对于一个各个数位数字均不为零的四位自然数p，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称P为“等和数”．设一个“等和数”满足（，，，a，b，c都为整数），将p的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将Q的各个数位数字之和记为；当与的差能被整除时，则所有满足条件的“等和数”p所组成的一组数据的中位数是______． 47．某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题： （1）请补全条形统计图： （2）所调查学生测试成绩的平均数为______，中位数为______，众数为_____； （3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？ 【题型16 数据的离散程度】 48．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 49．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 50．为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 【题型17 数据的四分位数】 51．某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 52．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 53．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 【题型18 数据的分组】 54．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 55．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 56．为评估不同教学方法的效果，学校对采用传统教学法的甲班和采用新型教学法的乙班进行数学测验，两班学生成绩如下（单位：分，满分100分，达标线75分）： 甲班：45，50，55，60，62，64，68，70，72，78，78，80，82，85，88，90，92，95，98，100． 乙班：60，65，70，72，75，75，80，82，85，88，90，92，95，98，100，100，100，100，100，100． (1)分别绘制甲班和乙班成绩的箱线图． (2)从箱线图出发，通过学生成绩的分布差异，分析新型教学法的优势与不足． 1．设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 2．已知，其中分别为的中点，将两个三角形按图①方式摆放，三角形从点开始沿方向平移至点与点重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（   ） A．50 B．40 C． D． 4．在综合实践课上，小明把边长为的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1所示．然后固定纸片，把纸片沿的方向平移得到，连接，，，在平移过程中： （1）四边形的形状始终是__________； （2）的最小值为__________． 5．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 6．在中，于点D，点E在边的右侧，，，连接，若，，，与交于M，则_________． 7．在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A． B．3 C． 或 D．或3 8．如图，是边长为6的等边三角形，点E在上且，点D是直线上一动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接的最小值是（　　） A． B． C．4 D．6 9．如图，五边形的五条边相等，，现以为坐标原点建立平面直角坐标系，有点坐标为，则点E的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点为外一点，且满足，则的长为______． 11．如图，分别以的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，，其中，连接交于点，连接．若与的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 12．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（    ）； A．2 B．3 C．4 D．5 13．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 14．如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 15．如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 16．新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 17．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 18．设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，．    (1)求的面积． (2)以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 19．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图像，图像最低点的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 21．动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则说法正确的有几个（        ） ①动点H的速度是； ②的长度为； ③当点H到达D点时的面积是； ④b的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．点A按上述规则连续平移3次的过程如图所示，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列判断甲：点的坐标为；乙：点A，，，，在同一条直线上，函数表达式为；丙：若直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等，则正确的是（      ） A．三人都对 B．只有乙对 C．只有甲、丙对 D．只有丙不对 23．如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 24．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 25．如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 26．两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为___________； （2）比较大小：__________（选填“>”“<”或“=”）； （3）计算：___________． 27．设，其中n为正整数，则____． 28．在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 29．如图，在中，，点D是边上一点，将沿着直线翻折至所在平面内，得到，若，，，则______，点E到的距离是______． 30．如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，则下列结论： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．正确的有__________（填序号）． 31．如图，Rt，射线交边于点D，点E为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，当取最小值时，平行四边形的面积为__________________． 32. 如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是________； （2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 34．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是______． 35．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 36．我们新定义一种三角形：两边平方的差等于第三边平方的两倍的三角形，叫作“倍差三角形”．例如：某三角形三边长分别是3、、，因为，所以这个三角形是倍差三角形． (1)判断边长分别为2、、4的三角形是否为倍差三角形？并说明理由； (2)小鲲同学认为存在一个三角形既是直角三角形也是倍差三角形，为了验证他的想法是否正确，他尝试进行了如下证明： 如图1，在中，，，，． … （请补充他的证明过程） (3)如图2，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O为坐标原点，顶点分别在轴正半轴上，将长方形沿对角线所在的直线折叠，使得点B落在点D处，交y轴于点N，点B坐标为，若为倍差三角形，请求出a的值及D点坐标． 37．课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 (1)①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 (2)如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 (3)如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 38．定义：若一个四边形有一个内角为直角，且一条对角线平分一个内角，我们称这个四边形为“美好四边形”． (1)如图1，四边形为美好四边形，，平分，若，，则的度数为______； (2)如图2，四边形为长方形，请你用尺规在边上作出一点E，使得四边形为“美好四边形”； (3)如图3，已知四边形为“美好四边形”，平分，，连接，交于点E，过点D作于点F，若． ①求证：； ②试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (4)如图4，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C为y轴负半轴上一点，D为x轴正半轴上一点，若四边形为“美好四边形”，请直接写出满足条件的点C和对应的点D的坐标． 1．发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 2．【初步探究】（）如图，在四边形中，，点是边上一点，， ，连接，判断的形状，并说明理由． 【解决问题】（）如图，在长方形中（足够长），点是边上一定点，在边上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【拓展应用】（）如图，在直角坐标系中，已知、，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，求点坐标 （）如图，直角坐标系中，已知点，是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，连接，则的最小值是 3．综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 4．【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）古今中外，勾股定理有很多证明方法，请你利用图3推导勾股定理； （2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_____个； 【拼图发现】 （3）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为，宽为的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 5．我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． (1)若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． (2)若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 6．提出问题：已知平面直角坐标系内，任意一点A，到另外一个点B之间的距离是度多少？ 问题解决： （1）遇到这种问题，我们可以先从特例入手，最后推理得出结论 探究一：点A（1，﹣1）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝　 　， 探究二：点A（2，﹣2）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝　 　， 一般规律： 如图1，在平面直角坐标系xoy内已知A（x1，y1）、B（x2，y2），我们可以表示连接AB，在构造直角三角形，使两条边交于M，且∠M＝90°，此时AM＝　 　，BM＝　 　，AB＝　 　． 材料补充：已知点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离d2可用公式d2＝计算． 问题解决： （2）已知互相平行的直线y＝x﹣2与y＝x＋b之间的距离是3，试求b的值． 拓展延伸： 拓展一：已知点M（﹣1，3）与直线y＝2x上一点N的距离是3，则△OMN的面积是 　 　． 拓展二：如图2，已知直线y＝分别交x，y轴于A，B两点，⊙C是以C（2，2）为圆心，2为半径的圆，P为⊙C上的动点，试求△PAB面积的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业13压轴题综合训练18题型100题 【题型1 二次根式及其性质】 1．已知整式，其中和n为自然数，，，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②满足条件的所有整式中，有且仅有2个整式，使得的化简结果为整式； ③当时，关于x的方程（为对应整式的常数项）总存在整数解． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于①，当和时，可分别求出整式中各有1个单项式，即可判断； 对于②，针对，1，2，3，4等5种情况，对满足条件的所有整式逐一判断即可； 对于③，针对，2，3，4等4种情况，逐一解方程判断即可． 【详解】解：，，，为正整数，且，和n为自然数， ， 当，则，整式A为4，是单项式； 当，则， 令，，整式A为，是单项式； ①错误； 当，为整式； 当，则，， 不存在，的值，使得的化简结果为整式； 若，则， 满足条件的所有整式是，，，，，， 其中只有，即，时， 则整式A为，为整式； 当时，满足条件的所有整式是，，，， 其中所有的整式均不满足的化简结果为整式； 当时，， ，， 整式为，，不符合题意； 满足条件的所有整式中，有且仅有2个整式，使得的化简结果为整式； ②正确； 当时，整式是，，，， 关于x的方程分别是，，，， 以上方程的解分别是，，，， 方程的解均为整数； 当时，整式是，，，，，， 关于x的方程分别是，，，，，， 以上方程的解分别是，；，；，；，；，；，， 以上方程均有整数解； 当时， 关于x的方程分别是，，，， 以上方程的解分别是；，；；， 所有方程均有整数根； 当时，整式为， 关于x的方程分别是， 因式分解得， 解得，， 方程有整数根； 综上所述，当时，关于x的方程（为对应整式的常数项）总存在整数解； ③正确； 正确的是②③． 2．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6 (2) (3) (4)4 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 3．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 【题型2 二次根式的乘法与除法】 4．已知成立，则代数式的值为_____________． 【答案】1014 【分析】本题考查分式的化简和二次根式的运算，找到规律是解题的关键． 由给定等式化简可得，验证满足等式．所求表达式中的每一项均为x，共1014项，和为，整体为，代入得1014． 【详解】给定等式为 提取公因式，分子为，分母为，简化得 因式分解得 验证可知时，左边，右边，成立． ∴是方程的一个解， 所求表达式为 每一项形如（n为正整数），项数为从1到2027的奇数个数，共1014项，和为，整体为．代入，得． 故答案为：1014． 5．阅读理解阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程． 化简：． 解：原式． 【答案】错误，过程见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 先根据题意可得，进而得出，，，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：错误．正确的解答如下： 由二次根式的性质可知，， ，，， 则原式 ， ． 6．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 【答案】(1)； (2)或3 (3) 【分析】（1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是； （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为或3． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∵ ∴、， 两式相减，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴的“整数区间”是． 【题型3 二次根式的加法与减法】 7．【材料1】：处理分数（式）的某问题时，取倒数是一种有用的方法．可以用“两个正数比较大小，倒数大的反而小”这个道理比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且 ，（两个正数比较大小，倒数大的反而小）当然，我们也可以用“两个正数比较大小，平方大的数就大”比较两个正数的大小，比如，请比较与的大小：解：与都为正数，且，（两个正数比较大小，平方大的数就大） 【材料2】：在处理无理数的问题时，灵活运用平方差公式是一种非常有用的方法．比如化简二次根式时：；这里运用了平方差公式，使得这些无理数通过平方后转化成了有理数．请利用上面信息，解决下面问题： (1)化简∶ ； (2)请你灵活运用上面介绍的方法，比较每组中两个无理数的大小． 与； 与； (3)已知，求、的值． 【答案】(1) (2) ； (3) ， 【分析】（1）利用题干给出的分母有理化的方法化简即可； （2）取倒数比较正数大小求解即可；运用平方比较正数大小的方法求解即可； （3）分别两式相乘和两式相除，得到与的数量关系，解关于、的方程组即可． 【详解】（1） 解：； （2） 解： ，， ，， ， ， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，倒数大的反而小，得； ，， ， ，即， 与 两个数均为正数，， 根据两个正数比较大小，平方大的数就大，得； （3） 解：， 得，， 整理得， 得，， 整理得， 两边平方得， 整理得， 将代入得 ， 化简得， ， ，解得， ， 即，． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ， ∴原式 . 9．已知，，求的值． 【答案】 【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 10．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 【题型4 勾股定理及其应用】 11．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：， ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． (1)【尝试应用】：请直接写出的最小值_____； (2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； (3)【创新应用】：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)8 【分析】本题主要考查了配方法求最值． （1）根据题中已知条件，运用配方法，将配方化为：，结合完全平方式的非负性，求得该式的最小值； （2）运用配方法，将配方化为：，结合完全平方式的非负性，证得，即可证明无论x取何实数，二次根式都有意义． （3）过点A作于点D．先运用已知条件，得出，的长，再在，中，根据勾股定理，得到，整理得到 ，从而求得，最后运用配方法，求出当时，取得最大值． 【详解】（1）解：， ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为． （2）解： ， ∵无论x取何实数，都有， ∴， ∴， 即 ∴无论x取何实数，二次根式都有意义． （3）解：过点A作于点D． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴在中， ， 在中， ， ∴， 即， 化简得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 12．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； (2)若是以为腰的等腰三角形，求t的值； (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)或 (3)当t为1或时，P、Q两点之间的距离为 【分析】（1）利用勾股定理求解，过点作于点，证明，可得，进一步利用勾股定理求解即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解； （3）分在上，在上；在上，在上；都在上，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 如图所示， 过点作于点，， ∵点P到的距离与点P到的距离相等； ∴， ∴平分， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 设，则 ． 在中，， 即， 解得：， ∴. （2）解：当是以为腰的等腰三角形，则点在线段上， ①时，如图： ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：是以为腰的等腰三角形，t的值为或. （3）解：由题意，得：点按运动，共需要：； 点按运动，共需要：； ∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动， ∴、运动的总时间为：； ①在上，在上时： 由题意，得：， ∵ ， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ②当点在上、点在上时，即，如图， ∴，， ∴， 当时，最小值为， ∴，不合题意； ③当点、都在上，此时：，， 点在点的左侧时， ， 解得：； 点P在点Q的右侧时， ， 解得：； ∵， ∴不合题意，舍掉； 综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为． 13．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 (1)如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为________； (2)如图2，点P是等腰直角中内部一点，，且，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则求的度数及的长； (3)如图3，若，则求的长． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，利用定理证明；根据全等三角形的性质得到∠，结合图形计算即可； （2）连接证明，得到，由勾股定理的逆定理可证，进而证明，进一步可求解． （3）根据已知可得是等腰直角三角形，所以将绕点A顺时针旋转，得到，则，证明是直角三角形，再利用勾股定理可求值． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴．， ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接，    ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点P，点B，点D共线， ∵， ∴． （3）解：过点A作，且，连接，如图所示：    则是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴， ∴． 14．探究与应用 [问题初探]（1）如图1，是的中线，则线段会有何种数量关系呢？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空： 如图（1），过点作于点， 在中，，．① 在中，．② 由①+②得：． ， 又在中，______， …… 根据小刚的方法，可以得到线段的数量关系是______． [简单应用]（2）如图（2），在中，是中线，，，，求的长． [灵活应用]（3）在中，，点D是上一点，且，连接，过点D作，则_______． [深度思考]（4）已知线段，点D在线段上，，点A是平面内任意一点，且满足，则的最大值为______． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3）8；（4） 【分析】（1）根据三线合一、勾股定理和线段的和差关系，进行求解即可； （2）根据（1）中结论求出，再通过三角形的中线得到求解即可； （3）取的中点，连接，由（1）可知，，在直角三角形中，，在中，对三个式子进行化简计算即可； （4）取中点，连接，由（1）可知，求出，再通过三边关系即可求解． 【详解】解：（1）在中，，．① 在中，．② 由得：． ， 又在中，， ； （2）由（1）可知，， ∵，，， ∴， ∴（负值已舍）， ∵在中，是中线， ∴； （3）∵， ∴， 取的中点，连接， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，，设， ∴， 又∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）取中点，连接， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴，当三点在同一直线时等号成立， ∴的最大值为． 【题型5 勾股定理的逆定理及其应用】 15．我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长至，使得，连接，证明，得出，，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）延长至，使，连接，过点作于点，则，、和都是直角三角形，设，求出，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得，则，，，再由中线的性质即可得出结果； （3）延长到，使得，连接，过点作于点，则，，和都是直角三角形，设，则，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得 ，则，，求出，再结合中线的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：延长至，使得，连接，如图所示： ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接，过点作于点，如图： ∴，、和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为； （3）解：延长到，使得，连接，过点作于点，如图： ∴，，和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16．如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：． 理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，二次根式和绝对值的非负性，等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 17．数形结合是数学中的一种重要思想方法，它将抽象的数学语言和直观的几何图形结合起来，通过“以数解形”或“以形助数”的方式，使复杂问题简单化，抽象问题具体化． （1）如图，在中，，过作，，，则 ． 画一画：以数解形 （2）如图，线段，过点作直线，用直尺和圆规在直线上找一点，使得，要求使用两种不同方法．（不写作法，保留作图痕迹） 探究应用： （3）如图，在中，，，用直尺和圆规在线段上找一点，使得到的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，三角形内角和定理的应用以及基本作图； （1）设，根据勾股定理可得，根据，可得，两式得出，即可求解； （2）方法一：如图所示，以为圆心，的长为半径，在上截取，再截取，交于点，点即为所求；方法二，如图所示，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为直径作弧，交于点，则点即为所求， （3）作，，则，以的长为半径，在上截取，过点作交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）设， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （2）方法一：如图所示，以为圆心，的长为半径，在上截取，再截取，交于点，点即为所求； 理由如下，如图所示，连接， ∵ ∴在中，， ∴， 在中， ∵ ∴在中， ∴， ∴ ∴是直角三角形，且 方法二，如图所示，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为直径作弧，交于点，则点即为所求， 理由如下， ∵ ∴ ∵ ∴； （3）如图所示，作，，则，以的长为半径，在上截取，过点作交于点，则点即为所求； 理由如下，连接， 设，，则， ∵， 在中， 在中， 在中， ∴ 【题型6 四边形及多边形】 18．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是AD上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（填序号）________． 【答案】①②③④ 【分析】设，证明，可得①符合题意；连接，求解，证明，可得②符合题意；过作交于，截取，而，证明，可得③符合题意；作，连接，证明，可得，，再证明，可得④符合题意；从而可得答案． 【详解】解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故①符合题意； 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 过作交于，截取，而， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； 作，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，多边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 19．在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)①等边三角形，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①证明即可推出为等边三角形；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②． 证明：∵为等边三角形, ∴,, 如图，作点D关于直线的对称点，连接． ∴, ∴，则点P在的延长线上时，的值最大，此时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵,, ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 20．在中，，．点D、E分别在的边上，且均不与的顶点重合，连接，将沿折叠，使点A的对称点始终落在四边形的外部，交边于点F，且点与点C在直线的异侧． (1)如图①，则_______． (2)如图②，则_______． (3)如图③，设图②中的，．求的度数； (4)当的某条边与或垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)48 (2)222 (3) (4)或或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，四边形的内角和定理，平行的性质和折叠的性质，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数； （2）根据四边形内角和定理可得的度数； （3）由（2）的结论可得，由折叠可得，由三角形内角和定理可得，两式相减，可得答案； （4）分六种情况：或或或或或时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：48； （2）解：， ， 故答案为：222； （3）解：由（2）知， ， 由折叠知， ， ， 得：； （4）解：如图，当时， ， ， ， 由（3）知， ， 由折叠知， ； 如图，当时， ； 如图，当时，点与点C在直线的同侧，不合题意； ； 如图，当时，点落在上，不符合题意； ； 如图，当时，， ； ∴； 如图，当时，， ； ∴ 综上可知，的度数为或或． 【题型7 平行四边形】 21．如图，在中，，对角线，，点E是的中点，连接，的平分线与交于点F，与交于点G，则的长为________． 【答案】 【分析】如图，过作于，作于，求解，，，，证明，设,结合，可得,，证明是等边三角形，可得，，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】解：如图，过作于，作于， ∵在中，，，， ∴，，，，，，，， ∵的平分线与交于点F， ∴， 设, ∴，， ∴， 解得：, ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 22．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 23．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 24．如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． (1)①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． (2)用代数式表示S； (3)当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①由勾股定理计算即可得出结果；②由等腰直角三角形的性质可得，由题意可得，结合， 为等腰直角三角形，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）先求出当为矩形时，，再分两种情况：当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点；当时，与重叠部分图形为梯形；分别计算即可得出结果； （3）由（2）可得，，，，，分两种情况：当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作；，与交于点，为中点，过点作；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴； ②∵在中，，， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，当为矩形时，则，， ， 由题意可得：，， ∵， ∴、均为直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即当为矩形时，， 如图，当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 如图，当时，与重叠部分图形为梯形， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 综上所述，； （3）解：由（2）可得，，，，， 当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，过点P且平行于的直线经过一边中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，列代数式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【题型8 矩形】 25．如图，在矩形中，，E为边上一动点（不含端点），F为边上一点，，交于点G，下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当，时，．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】如图，连接交于，证明为等边三角形，可得①符合题意；证明，进一步可得②符合题意；令，，结合②可得：，证明，可得③不符合题意；如图，过作交的延长线于，证明四边形是平行四边形，令，则，，再进一步可得④符合题意． 【详解】解：如图，连接交于， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故①符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 令，， 结合②可得：， ∴， ∴， ∴， 此时，不成立，故③不符合题意； 如图，过作交的延长线于， 同理可得：，而，， ∴， ∴，， ∴， ∴，而， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④符合题意． 26． 综合与实践 定义：将宽与长的比值为 (n为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形． (1)概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图1，这就是我们在数学活动中认识过的黄金矩形，它的宽（）与长（）的比值是 ． (2)操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图2）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点D的对应点为点 H，展开，折痕为 第三步：过点 G折叠纸片，使得点A、B分别落在边、上，展开，折痕为 试说明：矩形 是黄金矩形． (3)迁移探究： 小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图3，点E为正方形 边 上(不与端点重合)任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）将代入，即可求解． （2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， （2）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形是黄金矩形． （3）解：如图，连接，设正方形的边长为1，设，则， 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 整理得， ∴四边形的周长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值. 27．已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②为等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）①设正方形的边长为a，利用折叠性质可知，从而求出的长度，接着在中，利用勾股定理建立关于a的方程解出a即可求出； ②设正方形的边长为b，利用折叠的性质得到，，，，且垂直平分，因此点H为的中点，通过三角形中位线定理可推出，，由此可得，确定是直角三角形，接着，在中，利用勾股定理求出的长度，再利用面积法求出的长度，进而得出的长度，最后，在中，用勾股定理求出的长度，发现，结合从而最终判定为等腰直角三角形； （2）设，则，利用折叠的性质可得，，，利用勾股定理求出的长度，从而计算出的比值． 【详解】（1）解：①设正方形的边长为a，则， 由折叠可知：，，， 在中，， ， 在中，， 即， ， ； ②是等腰直角三角形，理由如下： 设正方形的边长为b， 点是中点， ， 由折叠可知：，，，， 则垂直平分，即点H为的中点， ，，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 是等腰直角三角形； （2）解：设，则，， 由折叠可知：，，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】该题的题眼在于“折叠”二字，不论图形如何变化，折叠前后的对应边、对应角相等是解题的关键，同时，通过建立平面直角坐标系将几何位置关系转化为代数关系，是解决动点和参数问题的通法． 【题型9 菱形】 28．【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 29．在菱形中，（），点在对角线上运动（点不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先由判定菱形为正方形，根据得为中点，连接，通过等角推导证得，再利用线段和代换得出； （2）先由得为等边三角形，求出；作、，由角平分线性质得，证得；再由直角三角形性质得，分两种位置情况推导，得出恒为； （3）先作，利用等边三角形性质求出、的长度；设，在中用勾股定理列方程解得或；代入（2）的结论，结合已知，计算出的两个值，检验均符合题意． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 当时，菱形为正方形， ∴，平分，， ∵，即， ∴为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵菱形边长为，， ∴为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 如图，过作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，同理得， 分两种情况： ①当点在、之间时，点在、之间， ； ②当点在、之间时，点在、之间， ； 综上，； （3）解：如图，过点作于点， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中， ∵，， ∴， 解得或， 由（2）知， ∵， ∴当时，； 当时，； 经检验，两种情况均符合题意， ∴的长为或． 【点睛】本题是菱形中“定角夹定角”的经典定值与动点综合题，其核心是角平分线上的动点定角截两边的通用模型，菱形对角线天然是角平分线，在对角线上任取一点作与菱形内角相等的定角，该角与菱形两边相交形成的两条动线段之和为定值，解题的核心通法是过动点作角两边的双垂线，利用角平分线性质得等距，再证全等，实现动线段向定线段的转化． 30．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为24，，即， ∴ ，则， ∴． 【题型10 正方形】 31．在正方形中，点，点分别在边，上，满足，点是对角线的中点．   (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，直接写出的长为________． (3)如图3，连接，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴； (2) (3) 【分析】（1）利用证明即可． （2）如图，连接交于，证明是等边三角形，再进一步求解即可． （3）延长交分别于点，作于点，进一步证明，可得，进一步证明，结合全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，延长交分别于点，作于点，如图， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 (3)①；②或 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理得出，，即可证明结论； （3）①连接、，设，交于点M，证明，得出，证明，根据解析式（2）得出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可； ②当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；当时，同理可得． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； （2）解：猜想：． 理由：∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． （3）解：连接、，设，交于点M，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 当时， 同上可求此时， 过点P作于点D， 同上可证：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， 综上：或． 33．综合与实践：探究“中线长定理”． 【问题提出】小杭想探究三角形三边长与其一边中线长度的关系，如左图，是的中线，小杭通过作边的高线得出了结论． (1)【初步解决】请你根据小杭的想法，推测小杭的结论，即著名的“中线长定理”是什么； (2)【感知应用】已知在中，，，直接写出两条对角线，和的取值范围； (3)【深入探究】如右图，在正方形中，，在边，上，沿翻折四边形，使点的对应点落在上．设点的对应点为点，的中点为，连接，，，若，，试运用中线长定理求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，，，把两式相加进一步求解即可； （2）证明，，结合，可得，结合（1）可得：，进一步求解即可. （3）过点作，交于点，交于点，则，求解，记，交点为，则由折叠，证明，连接，，则由折叠，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由勾股定理可得， ，① ，② ①②得：， ， ， 是的中线， ， . （2）解：如图，中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 结合（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：. （3）解：过点作，交于点，交于点，则， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 记，交点为，则由折叠， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 连接，，则由折叠， ， ， ，为中点， ， ， . 【题型11 一次函数的图象和性质】 34．定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题根据新定义可知，“巅峰值”就是函数在自变量范围内的最大值，“顶峰函数”就是函数在自变量范围内存在最大值，结合一次函数的性质，逐个判断即可得到结果 【详解】解： ①对于， ∵随增大而减小， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，①正确； ②对于， ∵，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为，②正确； ③对于，巅峰值为，即最大值为，分情况讨论： 当时，随增大而增大，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，随增大而减小，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，，最大值为，不符合题意， ∴不存在满足条件的，③错误； ④对于， ∵，随增大而减小， ∴函数最大值为，最小值为， ∵巅峰值是，∴， ∵最小值不超过，∴， 将代入不等式得， 化简得，解得， 又，即，解得， ∴， ④错误； 综上，①②正确，共个正确说法，故选B 35．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 36．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，，连接． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)在线段上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出此时点P的坐标． (3)在x轴上找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3)的坐标为或或或. 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，可得，，然后设，则，在中，根据勾股定理，可求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，则，求出直线的表达式，即可求解． （3）如图，为等腰三角形，设，求解，分情况如下：当时， 当时， 当时，再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：把代入得：， ∴ 把代入得：， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：作点C关于x轴的对称点，则；连接交轴于，则，此时最短； 把代入得：， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入得， ∴点P的坐标为． （3）解：如图，为等腰三角形，设， ∵，， ∴， 当时，则， 解得：，（舍去）， ∴， 当时，则， 解得：或， ∴，， 当时，则， 解得：， ∴， 综上：的坐标为或或或. 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【题型12 一次函数的概念】 37．已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（    ） A． B．24 C． D．12 【答案】A 【分析】根据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值． 【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上， ∴＝﹣+， ∴a﹣b＝﹣c， 又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4， ∴ab＝4，即ab＝8， 又∵a2+b2＝c2， ∴（a﹣b）2+2ab＝c2， ∴（﹣c）2+2×8＝c2， 解得c＝2， 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，完全平方公式等知识，根据新定义和直角三角形面积公式、勾股定理得到三个关系式并结合完全平方公式进行转化是解答此题的关键． 38．在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”． (1)求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标； (2)证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”； (3)若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或时，W内没有整数点 【分析】（1）由“吉祥点”的定义可知时，不是整数，所以只有，是函数图像上的整点； （2）把函数关系式整理为，发现图象一定过“吉祥点”； （3）解出，，，然后根据，，，，，分情况解题即可． 【详解】（1）解：x是整数，时，是一个无理数， 时，不是整数， ，即函数的图象上“吉祥点”的坐标是； （2）解： ， 无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”：； （3）解：由题意，，，， 点B始终直线的右侧（也就是直线在直线的右侧，点B的左侧）， 当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意； 当时，y轴将W分成左右两部分，左边部分内点的横坐标在－1到0之间（不包括y轴），右边部分的点纵坐标在0到1之间（包括y轴），故时W内无整点； 当时， W内无整点； 当时，W内可能存在的整数点横坐标只能为－1， 此时边界上两点坐标为和，； 故时，W内无整点； 当时， W内无整点； 当时，横坐标为－2的边界点为和，线段长度为，故必有整点． 综上所述：或时，W内没有整数点． 39．如图1，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，与直线y=2x交于点C（a，4）． （1）求点C的坐标及直线AB的表达式； （2）如图2，在x轴上有一点E，过点E作直线⊥x轴，交直线y=2x于点F，交直线y=kx+b于点G，若GF的长为3．求点E的坐标； （3）在y轴上是否存在一点F，使以O、C、F为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）Ｃ(2，4)，直线的解析式： （2）点E的坐标（3，0）或者（1,0）（3）存在． 【分析】（1）根据将点C的坐标代入解析式y=2x，得出a的值，写出点c的坐标．知道点A，点C的坐标再利用待定系数法求出直线AB的表达式． （2）设点E的坐标为（m，0），根据点F、点G、点E在同一直线上，写出点F,点G的坐标，利用 列方程求出求点E的坐标． （3）根据题意，分别以点O、C、F为顶点的等腰三角形，可能出现的情况有OF=OC，CF=OC，FO=FC，根据三种情况写出点F的坐标． 【详解】（1）∵点C在直线y=2x上，把（a,4）代入得： 2a=4解得a=2， ∴C(2,4) 将点A（6,0）点C（2,4）代入直线y=kx+b得： 解得 ∴直线AB的表达式为：y=-x+6 （2）根据题意，设点E的坐标为（m，0） ∵点E、F、G三点在同一直线上，且点F在直线y=2x上，点G在直线y=-x+6上 ∴F(m，2m)，G(m，-m+6) 又∵ ∴ 即 则有 或 解得：m=3或m=1 故E(3,0)或（1，0） （3）根据题意： 为等腰三角形，点F在y轴上,如下图，则有： 当OC=OF时 根据勾股定理的OC= ，故 (0, ), 当CF=OC时 根据等腰三角形三线合一，可知底边O上的高过点C，且平分底边，故 (0,8) 当FC=FO时， 由FD是OC的线段垂直平分线，则， 过点C作轴于，连接，设， 则 ， 解得 ， 所以 【点睛】本题考查一次函数解析式、用坐标表示两点之间的距离、等腰三角形的存在性问题．本题在讨论等腰三角形存在性问题时要用分类讨论思想．用坐标表示两点之间的距离时用方程思想． 【题型13 一次函数与方程 （组） 、不等式】 40．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)①，；②图见解析；③右，0.5 (2)A、C、D (3) 【分析】本题考查的是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据绝对值的代数意义去掉绝对值即可； ②根据一次函数的图象特征和自变量x的取值范围不同，确定三个点即可画出该函数图象； ③画出函数的图象，结合图象得出平移方式即可； （2）根据函数的图象进行性质判断即可； （3）根据题意画出图象，结合图象求出的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，； ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： ③函数，当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： 由图可知，函数的图象可由的图象向右平移0.5个单位得到； （2）解：结合图象，函数的图象经过第一、二象限； 当时，， 解得：， ∴时，值随值的增大而增大；图象关于直线对称； 函数当时，有最小值为0， 若，当时，， 当时，， ∴若，当时，； 故说法正确的有：A、C、D； （3）解：当时，函数； 当时，函数， 把，代入， 解得：或； 把，代入， 解得：或； 结合上图，当的图象根据a的不同，在坐标系中左右平移时，对于任意的都满足关于x的不等式， 则的图象的两个临界情况分别是右侧分支经过点和左侧分支经过点， 即的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小， 当时，对于任意的都满足关于x的不等式， ∴a的取值范围为． 41．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． （2）解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． （3）解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的坐标变换．熟练掌握绝对值与二次根式的非负性，根据三角形的列一次函数解析式，平行四边形的性质是解题的关键．注意分类讨论． 42．如图1，已知直线l与x轴交于点，与y轴交于点，以A为直角顶点在第一象限内作等腰，其中上，． (1)求直线l的解析式和点C的坐标； (2)如图2，点M是的中点，点P是直线l上一动点，连接、，求的最小值，并求出当取最小值时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当取最小值时，在直线上是否存在一点Q，使？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)5； (3)存在；或 【分析】（1）用待定系数法即可求得直线的解析式，过点作轴，利用证明，结合其性质可得点的坐标； （2）根据中点坐标公式可得，延长至，使得，即点为的中点，可知，垂直平分，连接，则，得，当点在直线上时取等号，由勾股定理求得，利用待定系数法得直线的解析式为，当点在直线上时，即直线与直线相交，联立方程组即可求得此时点的坐标为； （3）根据题意得，过点作轴交直线于，可知，分情况：当点在点右侧时，当点在点、点之间时，当点在点左侧时，结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，，代入得，， 解得：， ∴， 过点作轴，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 则点的坐标为； （2）由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即：， 延长至，使得，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴垂直平分， 连接，则， ∴，当点在直线上时取等号， 由勾股定理可得：， 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在直线上时，即直线与直线相交， 得，解得：， 即此时点的坐标为， 综上，的最小值为5，此时点的坐标为； （3）存在，理由如下： ∵， 则， 过点作轴交直线于， 此时，则，即， ∴，则， 当点在点右侧时，， ∴， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 当点在点、点之间时，，不符合题意； 当点在点左侧时，， ， 解得：， 当时，， 即此时点的坐标为； 综上，存在点的坐标为或时，． 【点睛】本题考查了图形与坐标，待定系数法求函数解析式，一次函数，两直线交点坐标与二元一次方程组解的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【题型14 实际问题与一次函数】 43．【阅读材料】建系法：我们通常可以通过构建平面直角坐标系，借助点坐标、函数等方法，把几何关系转化成代数关系解决数学问题． 【初步运用】如图1，将边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） 解题思路： ①如图2，以直线为轴，直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系： ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为___________，点坐标为； ③由点和点的坐标求出直线的表达式为___________． ④因为点的横坐标为6，且点在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点坐标，得到线段和线段的长，从而求出阴影部分直角梯形的面积为___________． 【迁移探究】如图3，长方形中，，点是边上的一点，交于点． （1）请用“建系法”求四边形的面积；（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）如图4，若过点的直线与轴、轴分别交于点，当面积最小时，求出直线的表达式； （3）在（2）的条件下，为线段上的一个动点，点在轴的负半轴上，若，则的大小是否发生变化，若不变，请求出度数，若变化，请说明理由． 【答案】初步运用：② ，③ ，④ 点的纵坐标为，⑤ ； 迁移探究：（1）； （2）； （3）的大小不变，． 【分析】初步运用：按照阅读材料解答即可； 迁移探究： （1）过点作于，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，运用待定系数法求得直线，的解析式，再联立方程组求解即可求得点的坐标，再利用，即可求得答案； （2）设直线解析式为，将点的坐标代入可得直线解析式为，进而得出点，的坐标，则，利用完全平方公式和非负数的性质求得的值，再利用待定系数法即可求得答案； （3）在上截取，连接，，，，可证得（），（），再结合等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】初步运用：①如图2，以直线为轴，直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系； ②由题意得，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为； ③设直线的表达式为，把，代入，得 ， 解得， 由点和点的坐标求出直线的表达式为． ④点的横坐标为，且点在直线上， ， 点的纵坐标为． ⑤点的横坐标为， ， 点坐标为， ，， ，，， ， 故答案为：②，③，⑤； 迁移探究： （1）如图，过点作于，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，则，，，，， 设直线的解析式为，则 ， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立得 ， 解得， ， ， ； （2）由（1）知， 设直线解析式为，则， 解得， ， 当时，， 当时，. ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ，当且仅当时为最小值， ，即， 直线的表达式为； （3），大小不变，理由如下： 如图，在上截取，连接，，，， 由（2）知，， 是等腰直角三角形， . ，， 在和中， ， （）， ，， ， ，即， ， ，即， 在和中， ， （）， ， 的大小不变，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，建立平面直角坐标系将几何问题转化为代数问题是解题关键． 44．平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标分别为，，，且满足； (1)矩形的顶点B的坐标是（ ， ） (2)若是中点，沿折叠矩形使点落在处，折痕为，连接并延长交于，求直线的解析式． (3)将（2）中直线向左平移一个单位交轴于，为第二象限内的一个动点，且，求的最大值． 【答案】(1)6，8 (2) (3) 【分析】（1）将整理得出，根据平方和算术平方根的非负性可得：，，求解即可得到a、b的值，即可求出B点坐标； （2）连接，根据折叠的性质得出，证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，得出，利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）根据平移得出直线的表达式为，求出点M的坐标为，以为直角边构造等腰，，，过点M作交的延长线于点J，连接，，取的中点R，连接，．证明，得出，求出，，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：将整理得： ， ∴，， 解得：，， ∴B点坐标为：； （2）解：连接，如图所示， ∵D是中点， ∴， ∵沿折叠矩形使O点落在E处，折痕为， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：． （3）解：直线向左平移一个单位后的表达式为：， 把代入得：， ∴点M的坐标为， ∴， 根据解析（2）可知：点F的坐标为， 如图，以为直角边构造等腰，，，过点M作交的延长线于点J，连接，，取的中点R，连接，． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点J的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数的平移、三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 45．如图，在平面直角坐标系中，点，过点的直线与轴交于A点，直线与轴交于点，与轴交于点，且两条直线相交于点，直线过点且平行于轴，点是直线上的一个动点． (1)求点的坐标； (2)若，求点的坐标； (3)连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）先利用待定系数法求得直线，再联立求解即可； （2）先求得点，设点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）作的平分线交于点，根据题意求得，设交直线于点，证明，求得，再利用勾股定理求得点的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，可求得点的坐标，再利用对称性即可求解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴，解得， ∴直线， 联立得， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：令，则， ∴点， 设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）解：作的平分线交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设交直线于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在直线中， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 设，又， ∴， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 由对称性知点也符合题意， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数与二元一次方程，一次函数的交点坐标，勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算． 【题型15 数据的集中趋势】 46．对于一个各个数位数字均不为零的四位自然数p，若千位与百位数字之和等于十位与个位数字之和，则称P为“等和数”．设一个“等和数”满足（，，，a，b，c都为整数），将p的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将Q的各个数位数字之和记为；当与的差能被整除时，则所有满足条件的“等和数”p所组成的一组数据的中位数是______． 【答案】2781 【分析】分别求出p、，可求得，由“等和数”把b用a、c表示，结合整除关系进行讨论即可． 【详解】解：∵． ， ， ∵， ∴； ． ∴； ①当时，，则， 而， ∴， ∵． ∴当或时，与的差才能被整除， ∴或， ∵， ∴， 而， ∴， 表明不符合题意， ∴． 由上式及知，a只能取2、4、6、8四个数，此时对应的四个数， ∴b取值对应为：0，1，2，3，因0不合题意，舍去， ∴对应的“等和数”为； ②当时，， 则， 而， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴最大为16，最小为8， ∴作为21的因数只能是1，3，7； 当时，即， ∴． ∴． 解得 此种情况不存在； 当时，即， ∴． a只能取4，则， 对应的等和数为4141， 当时，即， 则a只能取2，4，6，8四个数，对应地c取6，7，8，9四个数， 此时b对应地取5，4，3，2四个数， 由于，只有4691这个数满足题意； 综上，满足题意的数有五个：； 这组数据中，中位数为2781； 故答案为：2781． 【点睛】本题考查了整式的运算，通过新定义，利用整除关系，整式的运算及不等式的知识，求得结果，注意分类讨论． 47．某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题： （1）请补全条形统计图： （2）所调查学生测试成绩的平均数为______，中位数为______，众数为_____； （3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？ 【答案】1）详见解答；（2）8.56，9，10．（3）1140人． 【解析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图； （2）利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可； （3）先计算抽样学生中成绩不低于8分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况． 【详解】解：（1）抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%， 所以本次抽样人数为：10÷20%=50（人）， 因为成绩9分的人数占抽样人数的24%， 所以抽样学生中成绩为9分的有：50×24%=12（人）． 补全条形统计图如下： （2）所调查学生测试成绩的平均数为： ； 把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9， 所以该组数据的中位数为：9； 该组数据中，10分出现的次数最多， 所以众数为：10． 故答案为：8.56，9，10． （3）由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占： 20%+24%+32%=76%， 所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有： 1500×76%=1140（人）． 答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键． 【题型16 数据的离散程度】 48．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4)准确性较高，原因见解析 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 49．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)81，83 (2)增大，减小 (3)94，99 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的定义求解即可； （3）分别求出甲、乙、丙的平均数，甲和乙的方差然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：B队成绩中的数据出现的次数最多，故众数； A队中，两组的人数分别为2和7，而20个数据的中位数是第10，11个数据的平均数，那么第10，11个数据在这一组，是80，82， 因此中位数； （2）解：B队原来平均分为 则去掉一个最高分95和一个最低分61后平均数为，故平均数增大； 而方差反映的是数据波动程度，当去掉最高分和最低分两个极端值之后，数据更加集中，波动减小，故方差减小； （3）解：，； ，； ， ∴， 丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，即丙排第2名， ∴①，， 解得 ∵为整数， ∴可取； ②， 则，解得 此时， 故符合题意； ③， 则，解得， 则， 故符合题意， 综上：的取值为， 故最小值为，最大值为． 50．为促进学生全面发展，充分培养学生兴趣，学校运动会新增了射击比赛，经过初赛，有甲、乙、丙、丁四位选手进入了决赛，在决赛中，每位选手要进行五轮比赛，记录员对这四位选手五轮比赛成绩（单位：环）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名选手这五轮成绩的条形统计图： b．丙选手这五轮成绩依次为，，，，； c．甲、乙、丙三位选手五轮比赛成绩的平均数、中位数、方差如下表： 统计量 选手 甲 乙 丙 平均数 中位数 方差 (1)表中的值为_____，的值为_____； (2)丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有_____轮； (3)根据这五轮比赛成绩，排名规则按照平均数大的排名靠前，若平均数相同，方差小的排名靠前，现已知丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环，经过最后的核算，丁选手获得第二名，则丁选手其余两轮的成绩分别为_____环、_____环、（成绩均为整数） 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据平均数和方差的定义计算出结果即可； （2）先求出丙选手的中位数为，根据丙选手有两轮的成绩为，可知丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）根据排名的方法和丙选手获得第二名，分情况讨论确定性丙选手其余两轮成绩． 【详解】（1）解：由统计图可得甲选手五轮成绩为，，，，， 平均成绩（环）； 由统计图可得乙选手五轮成绩为，，，，，由统计表可知其平均成绩为环， 方差为； （2）解：将丙选手这五轮成绩按从小到大的顺序排列为，，，，， 排在第个的数据为， 丙选手五轮成绩的中位数为， ， 丙选手的五轮成绩中，低于中位数的成绩有轮； （3）解：根据排名规则，先比较甲、乙、丙选手成绩的平均数，可知甲、乙选手成绩的平均数均为环，且大于丙选手成绩的平均数环， 丙选手不可能是第一名和第二名； 再比较甲、乙选手成绩的方差， ， 甲排在乙前，故甲、乙、丙的排名为甲、乙、丙， 最终丁选手获得第二名， 丁选手排在甲和乙之间，根据排名规则可知丁选手的平均分为环，方差＜2.24， 丁选手五轮成绩的总环数为（环）， 丁选手其中三轮的成绩分别为环、环、环， 其余两轮的成绩总环数为16（环）， 乙选手也有三轮成绩分别为环、环、环， 丁其余两轮成绩不可能是环和环； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，不符合题意； 当丁选手的成绩为环和环时， 方差为，符合题意， 丁选手其余两轮的成绩分别为环和环． 【题型17 数据的四分位数】 51．某校为普及世界杯知识，举办了“激情世界杯・热血足球梦”知识竞赛．已知甲组和乙组人数相等，两班竞赛成绩的箱线图如图，则下列说法正确的是（   ） A．乙组成绩比甲组成绩集中 B．甲组成绩的上四分位数是70分 C．乙组有同学的成绩超过96分 D．乙组的中位数是80分 【答案】A 【分析】本题主要考查了箱线图，解题的关键是掌握箱线图的定义． 根据箱线图数据，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由箱线图可得，乙组成绩比甲组成绩集中，该选项正确，符合题意； B. 由箱线图可得，甲组成绩的上四分位数是96分，该选项错误，不符合题意； C. 由箱线图可得， 乙组同学的成绩最高为96分，该选项错误，不符合题意； D. 由箱线图可得， 乙组的中位数是90分，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 52．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【答案】③ 【分析】 根据箱线图的信息解答即可． 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 53．综合与实践 【问题背景】为了对体育节米接力项目的成绩进行分析研究，某班同学进行了数据统计分析．已知全校有3个年级，每个年级个班，分男、女子组进行比赛． 【数据统计】 A．八年级男子组米接力成绩统计如下：（单位：秒） B．三个年级男子米接力成绩的箱线图如下： 【数据分析】 （1）箱线图中x的值为_____________； （2）比较三个年级男子米接力成绩的集中趋势或离散程度，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可） 发现：_______________________________________________________ 原因：_______________________________________________________ 【进阶分析】在米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的米单项用时之和． （3）在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系（其中），已知当时，；当时，．并且接力比赛用时满足： 米接力成绩四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间 ①求t关于x的函数表达式； ②已知九（1）班四名选手的米单项用时总和为秒，则九（1）班米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式为_____________；（化简为的形式） ③九（2）班四名男子选手的米单项用时总和比九（3）班快秒，但米接力成绩比九（3）班慢秒，且两个班的交接棒训练时间之和为小时．求九（3）班的交接棒训练时长． 【答案】（1）（2）三个年级中九年级男子接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（3）①；②；③九（3）班的交接棒训练时长为小时 【分析】（1）把八年级成绩按照从小到大排列，求其下四分位数即可； （2）从集中趋势或离散程度比较两个年级成绩，说法合理即可； （3）①设一次函数关系为，因为当时，；当时，代入即可求得解析式； ②由题意，米接力成绩y秒四人米单项时间总和三次交接棒总节约时间，据此列出关系式即可； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，九（3）班的交接棒训练时长为小时，设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒，设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒，由①②可知：，，因为九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒，即，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1）x的值为八年级成绩的下四分位数，将八年级成绩由小到大排列， ， 这组数据的下四分位数为． 故答案为：； （2）发现：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子接力成绩离散程度最小； 原因：九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：三个年级中九年级男子米接力成绩整体水平最好，八年级男子米接力成绩离散程度最小；九年级学生生长发育的更好但学习压力较大，八年级生长发育较好然后体育锻炼的时间比较多； （3）①设平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）的一次函数关系为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴故t关于x的函数表达式为； ②由题意得． 故答案为：； ③设九（2）班的交接棒训练时长为小时，则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 设九（2）班四名男子选手的米单项用时总和秒，则九（3）班四名男子选手的米单项用时总和为秒， 设九（2）班米接力成绩秒，九（3）班米接力成绩秒， 由①②可知： 即， ， 即， ∵九（）班米接力成绩比九（3）班慢秒， ∴， 即， 解得， 则九（3）班的交接棒训练时长为小时， 答：九（3）班的交接棒训练时长小时． 【点睛】本题考查箱线图，下四分位数数，用统计量进行判断，一次函数的应用，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 【题型18 数据的分组】 54．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 55．为提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，学校组织八年级甲班、乙班、丙班、丁班四班同学参加“跳绳”比赛．并将调查结果进行整理，绘制了箱线图（如图）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)这四个班学生中，哪个班的成绩最稳定？ (2)这四个班学生中，哪个班成绩的中位数最大？跳的次数最多的同学在哪个班？ (3)你觉得哪个班的同学表现得最出色？请说明理由． 【答案】(1)乙班 (2)丙班中位数最大，跳的次数最多的同学在甲班 (3)乙班同学表现最出色（答案不唯一），理由见解析 【分析】由箱线图根据中位数，最大值，最小值，以及上、下四分位数进行分析即可． 【详解】（1）解：这四个班学生中，乙班的成绩最稳定， 因为乙班的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； （2）解：由箱线图可得，丙班的中位数最大，由箱线图可得甲班的最大值最大，因此跳的次数最多的同学在甲班； （3）解：乙班同学表现最出色，理由如下： 因为乙班成绩最稳定，且中位数不低，学生成绩整体均衡，无明显两极分化等． 56．为评估不同教学方法的效果，学校对采用传统教学法的甲班和采用新型教学法的乙班进行数学测验，两班学生成绩如下（单位：分，满分100分，达标线75分）： 甲班：45，50，55，60，62，64，68，70，72，78，78，80，82，85，88，90，92，95，98，100． 乙班：60，65，70，72，75，75，80，82，85，88，90，92，95，98，100，100，100，100，100，100． (1)分别绘制甲班和乙班成绩的箱线图． (2)从箱线图出发，通过学生成绩的分布差异，分析新型教学法的优势与不足． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先计算出甲班和乙班的四分位数，再根据四分位数绘制箱线图即可； （2）根据箱线图和四分位数比较两组数据，即可分析优势与不足． 【详解】（1）解：甲班：下四分位数，中位数，上四分位数． 乙班：下四分位数，中位数，上四分位数． 籍线图如图所示． （2）解：（合理即可）优势：乙班中位数和上四分位数更高，高分段学生占比大，说明新型教学法能让更多学生达到较高水平． 不足：乙班下四分位数75分与达标线相同，且最小值60分较低，说明班级内成绩两极分化严重，部分学生基础薄弱． 【点睛】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键． 1．设 ，则 的值为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再根据规律计算求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 2．已知，其中分别为的中点，将两个三角形按图①方式摆放，三角形从点开始沿方向平移至点与点重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K，根据勾股定理和全等三角形性质推出，判定四边形是矩形， ， ，得到，的最小值为1；当点A、F重合时，判定是等腰直角三角形，得到；当点C、E重合时，判定是等腰直角三角形，得到； 得到最大为，即得的取值范围． 【详解】解：分别过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K， 则， ∵，，， ∴， ∵， ∴，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 当时， ，最小； 当点A、F重合时， ∵， ∴， ∵，， ∴； 当点C、E重合时，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点A、F重合或点C、E重合时，最大，为， ∴的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形与平移综合．熟练掌握勾股定理解直角三角形，平移性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，化为最简二次根式是解决问题的关键． 3．如图，要测量池塘两岸相对的两点B，D的距离，已经测得，，，米，米，则的长为（   ） A．50 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，等腰三角形的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键，如图，过作于，过作于，求解，，，，延长交于，则，由勾股定理可得：，可得：，，同理可得：，可得：，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 故选：A 4．在综合实践课上，小明把边长为的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1所示．然后固定纸片，把纸片沿的方向平移得到，连接，，，在平移过程中： （1）四边形的形状始终是__________； （2）的最小值为__________． 【答案】 平行四边形 【分析】（1）利用平移的性质以及平行四边形的判定即可解答． （2）如图2中，作直线，作点C关于直线的对称点，连接，过点B作于H，作于J．求出，证明 ，进而完成解答． 【详解】解：（1）如图2中，由平移的性质可得：， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形． （2）如图2中，作直线，作点C关于直线的对称点，连接，过点B作于H，作于J． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 5．表示不大于x的最大整数，如，，，则的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据的定义得到，，，…，进而求出，即可计算出的值为2025． 【详解】解：∵，，，…， ∴ ， ∴ ． 故选：D 6．在中，于点D，点E在边的右侧，，，连接，若，，，与交于M，则_________． 【答案】16 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形的面积，勾股定理．根据证明可得，，结合三角形的面积可求，及的长，即可得的长，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16． 7．在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A． B．3 C． 或 D．或3 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得由E是的中点，得，由折叠得，则 ，可证明，得，再分两种情况讨论，一是点F线段上，因为，所以，则，由勾股定理得；二是点F在线段的延长线上，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∵E是的中点， ∴， 由折叠得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 当点F线段上，如图1 ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上，如图2，    ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故选：C． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 8．如图，是边长为6的等边三角形，点E在上且，点D是直线上一动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接的最小值是（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】过点E作交于M，在的延长线上取点N，使，连接交于H，则可得，从而，从而易得，即点F在直线上运动；过点A作于G，当F与G重合时，取得最小值，利用含角直角三角形的性质即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点E作交于M，在的延长线上取点N，使，连接交于H； 则； 由题意知，， ∴； ∵， ∴， ∴，； 设直线交于点H； ∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴，； ∵， ∴， 即，即点F在垂直于的直线上运动； 过点A作于G，当F与G重合时，取得最小值， 在中，， 则， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点F的运动路径是解题的关键． 9．如图，五边形的五条边相等，，现以为坐标原点建立平面直角坐标系，有点坐标为，则点E的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识点；解题关键是构造旋转全等模型，得出是等边三角形． 将绕点逆时针旋转到如图所示位置，证明是等边三角形，从而求出，进而可得，由此得出是等边三角形，过点作，垂足为，求出，，从而可得点坐标为． 【详解】解：将绕点逆时针旋转到如图所示位置，旋转角为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵五边形的五条边相等，即：， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵点坐标为， ∴， 过点作，垂足为， ∴，， ∴点坐标为， 故选D． 10．如图，在中，，点为外一点，且满足，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形、勾股定理．作于点，于点，交的延长线于点，则，先由两条平行线之间的距离处处相等得到，再证明得到，然后在中由求出，，，，再利用得到，接着利用勾股定理依次求出，，，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，分别以的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，，其中，连接交于点，连接．若与的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得，，，，再根据三角形面积公式得出，从而可得为直角三角形，即，过点作交于，连接，则，从而可得为等腰直角三角形，进而得出，证明，得出，，再证明，得出，结合题意求出，，由勾股定理可得，，设点到的距离为，再由等面积法计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，，， ∵与的面积之和等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 如图，过点作交于，连接， ， 则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点到的距离为， ∵， ∴， ∴点到的距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 12．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（    ）； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由轴对称可得，，则，进而可判断①的正误；由，结合轴对称的性质可知，，由三角形内角和可求，进而可判断②的正误；由，可得边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等，进而可判断③的正误；由轴对称的性质结合勾股定理可判断④的正误；由不全等，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵和是的对称图形， ∴，， ∴，①正确，故符合要求； ∴， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴，即， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等， ∴平分，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴；故④符合要求； ∵，，，， ∴， ∴不全等，即，⑤错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，角平分线的判定．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 13．已知：如图，在正方形外取一点E，连接，，．过点A作的垂线交于点P，若，．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】由正方形的性质可得，，再证明，即可得出，从而判断①正确；先证明是等腰直角三角形，则，求出的度数，再结合全等三角形的性质即可判断②正确；由勾股定理可得，证明是直角三角形，再结合勾股定理即可判断③正确；由全等三角形的性质可得，再结合三角形的面积公式即可判断④正确；过点作，交的延长线于点，先证明是等腰直角三角形，再结合勾股定理计算即可判断⑤正确． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ②在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ⑤过点作，交的延长线于点，如图： ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤，共个． 14．如图，在四边形中，，，，，，点P在直线上方，且的面积为4，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】先推导出点P在平行于且与的距离为1的直线上运动，过P作直线交于，过点D作于，根据垂线段最短，结合含30度角的直角三角形的性质和矩形的性质可判断选项A、B；在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，根据轴对称性质结合勾股定理判断选项C、D，进而可得答案． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴，则点P在平行于且与的距离为1的直线上运动， 如图，过P作直线交于，过点D作于， 则， 当时，最小，最小值为，故选项A正确，不符合题意； 当时，最小，最小值为的长， 过D作延长线于K，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴，即的最小值为，故选项B正确，不符合题意； 在上取点，使 ，则点B与点关于直线l对称，连接交直线l于点，此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为，故选项D正确，不符合题意； 连接并延长交直线l于点，此时最大，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为，故选项C错误，符合题意． 15．如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】选项A结合直角三角形斜边中线定理，将转化为两线段和的最小值问题，通过两点之间线段最短及勾股定理计算验证； 选项B先通过全等三角形转化线段，再利用勾股定理和完全平方公式推导线段和的最大值； 选项C、D则通过作对称点构造将军饮马模型，将折线段和转化为直线段，结合勾股定理求最小值，以此判断各选项的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，； 对于选项A，如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴是斜边的中线， ∴，则， 当点，，共线时，有最小值，由勾股定理得，故选项A错误； 对于选项B，∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最大值为，故选项B正确； 对于选项C，如图，取的中点，以为对称轴作点，的对称点，，则，， ∵， ∴，， 当点，，，共线时，最小， 由勾股定理得，故选项C正确； 对于选项D，以为对称轴作点的对称点，则， ∴，当点，，共线时，和最小， 由勾股定理得，即的最小值为，故选项D正确； 综上，结论错误的是选项A． 16．新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图，在平面直角坐标系中等边，点，，若等边的边上存在不同的两个点，这两个点为和等点，则等和的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义“和等点”，点的坐标变换，等边三角形的性质，解题的关键是理解新定义，并掌握数形结合思想． 先过点作轴，与轴交于点，与交于点，再根据点的坐标结合等边三角形的性质推出点的坐标，然后根据新定义推出，最后根据当直线过点、时，只有一个交点求解即可； 【详解】解：如图，过点作轴，与轴交于点，与交于点， ∵点，， ∴，轴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 根据勾股定理：， ∴点，即， ∴点． ∵设边上点的坐标为， ∴这两个和等点满足，即， ∴这两个和等点为直线与边的两个不同交点， ∵如图，当直线过点、时，只有一个交点， ∴当过点时，，当过点C时，， ∴的取值范围为． 故答案为：． 17．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 18．设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，．    (1)求的面积． (2)以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①详见解析；② 【分析】（1）根据秦九韶公式或海伦公式计算即可； （2）①过作轴，轴的垂线，垂足分别为，．由等面积法求解，可得，证明，可得，．延长到点，使得．则为线段的垂直平分线．证明为等边三角形．再进一步求解即可； ②由（2）知，，则．如图，连接，，．设到各边的距离为．由等面积法求解，设直线的函数表达式为，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：依题意，在中，,,． 根据秦九韶公式，的面积． ． ． 依题意，在中，，，， 则． 根据海伦公式，的面积． ． （2）解：①过作轴，轴的垂线，垂足分别为，． 则的面积．    由（1）知，． ， ． 在Rt中，， ． ∵， ． 又，． ． ，． 延长到点，使得． 则为线段的垂直平分线． ． 又， 为等边三角形． ． ． ②由（2）知，，则． 如图，连接，，．   在的平分线上， 到的距离与到的距离相等． 同理，到的距离与到的距离相等． 即到各边的距离相等． 设到各边的距离为． 则，，的距离分别为，，．则． 又， ． ． 在轴上方，故可设． 设直线的函数表达式为，． 则， ． 直线的函数表达式为． 是的平分线， 点在上， ． 解得． ． 【点睛】本题考查的是三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形，角平分线的性质，正比例函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 19．如图①，中，，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿A→D→C→B的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点N的运动时间t（s）的关系图象如图②所示．有下列说法： ①点N的运动速度是； ②的长度为；③a的值为7； ④当时，t的值为． 其中正确的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，由点的速度和路程可知，时，点和点重合，过点作于点，求出的长，进而求出的长，得出点的速度；由图2可得当时，点和点重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于t的方程是解题的关键． 【详解】解：，点的速度为， 当点从点到点，用时， 当时，过点作于点， ， ， 在中，， ，， ， 点的运动速度是；故①正确； 点从到，用时， 由图2可知，点从到用时， ，故②正确； ，故③正确； 当点未到点时，过点作于点， ， 解得，负值舍去； 当点在上时，过点作交延长线于点， 此时， ， ， 解得， 当时，的值为或9．故④错误； 故选：C． 20．如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图像，图像最低点的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图1，连接，由对称的性质可得，所以，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段的长，根据图2可计算，如图3，作辅助线，构建直角三角形，计算的长可解答． 【详解】解：如图1，连接，，交于F1， ∵在菱形中点A，点C关于对称， ∴， ∴， 当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段的长， 如图2，当时，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由图2知：， 如图3，连接交于G，连接，过点E作于H， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即图像最低点的纵坐标是． 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质，动点问题的函数图像，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21．动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则说法正确的有几个（        ） ①动点H的速度是； ②的长度为； ③当点H到达D点时的面积是； ④b的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②错误， 时，当点H在上，三角形面积逐渐减小， ∴动点H由点C运动到点D共用时， ∴， ∴， 在D点时，的高与相等，即， ∴，故③正确， ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故④错误． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时，故⑤错误． 综上分析可知，正确的有①③，共计2个，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键． 22．在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．点A按上述规则连续平移3次的过程如图所示，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列判断甲：点的坐标为；乙：点A，，，，在同一条直线上，函数表达式为；丙：若直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等，则正确的是（      ） A．三人都对 B．只有乙对 C．只有甲、丙对 D．只有丙不对 【答案】D 【分析】本题考查了坐标的平移变化、一次函数表达式的求解以及正比例函数比例系数的求解，其中找出符合规律的所有点并且理解直线两侧点个数相等的意义是解题的关键． 甲：根据题中信息，把横纵相加再除以3，所得的余数如果是为1时，向上平移；如果余数为2时，向左平移，先从坐标开始算，依次计算即可； 乙：由前面计算得出A，，，，的坐标，取其中两个点用待定系数法求出函数表达式，最后把剩下的点代入表达式验证即可判断是否在同一条直线上； 丙：根据规则满足条件的总共有13个坐标，由此得出直线两侧点个数相等经过的坐标，再把坐标代入即可求出k，从而得出k的范围． 【详解】解：甲：点横纵坐标之后为5， ， 第一次向左平移1个单位，即， 横纵坐标之和为4， ，即第二次向上平移1个单位， ，而的横纵坐标之后为5， ，即第三次向左平移1个单位，即， 的横纵坐标之后为4， 第四次向上平移1个单位，即， 横纵坐标之后为5， 第五次向左平移1个单位，即， 的横纵坐标之后为4， 第六次向上平移1个单位，即， 的横纵坐标之和为5， 第七次向左平移1个单位，即， 的横纵坐标之后为4， 第八次向上平移1个单位，即， 甲同学说法正确，符合题意； 乙：由前面计算得出，，，，， 设直线表达式为，把，代入得， 解得：， 直线表达式为， 经检验，，坐标都在直线上， 乙同学说法正确，符合题意； 丙：按照平移规则依次计算可得点A，，，，共有13个点， 当直线两侧点的个数相等时，直线过点和之间， 设直线过点时，即，解得， 设直线过点时，即，解得， 当时，直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等， 丙同学说法错误，不符合题意， 故选：D． 23．如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【详解】点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案选： A． 24．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，可得，当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：求解，直线为，则从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位，再进一步解答即可． 【详解】解：由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为， ∴，，，， ∴， 当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示： ∵轴，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位， ∴当时，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，平移的性质，一次函数的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键． 25．如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线可知，点，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，，，结论可得． 【详解】解：∵直线与轴负半轴交于点， ∴， ∴， 是等边三角形， 过作轴，如图所示： 垂直平分，即， ，进而由勾股定理可得， ∴， 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 当时，，解得， ∴， 在等边中，同理可得； 按照以上求解过程，可得，，， ∴的横坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标的特征，等边三角形的性质，含的直角三角形性质，勾股定理，特殊图形点的坐标的规律，本题是规律探索型，准确找到坐标的变化规律是解题的关键． 26．两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例如：与；与． （1）的有理化因式为___________； （2）比较大小：__________（选填“>”“<”或“=”）； （3）计算：___________． 【答案】 （答案不唯一） > 【分析】（1）先利用平方差公式计算，从而可得答案； （2）先变形可得，，结合，从而可得答案； （3）先分母有理化，从而原式可化为，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式为． （2）∵，， 而， ∴， ∴． （3） ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，与实数运算相关的规律探究，分母有理化的应用，熟练的利用分母有理化解决问题是解本题的关键． 27．设，其中n为正整数，则____． 【答案】 【分析】计算通项公式，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论． 【详解】∵n为正整数， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和． 28．在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 29．如图，在中，，点D是边上一点，将沿着直线翻折至所在平面内，得到，若，，，则______，点E到的距离是______． 【答案】 10 /8.64/ 【分析】连接，过点D作交于点F，过点E作交于点G，由勾股定理求得的值，再由求得和的值，进而由勾股定理求得的值；由翻折的性质可得出为等腰的中垂线，点A，D，F三点共线，，设，利用勾股定理列方程表示出，求解a的值即可得到，进而求得和的值，最后利用等面积法即可求得的值，即为点E到的距离． 【详解】解：如图，连接，过点D作交于点F，过点E作交于点G， ∵，，， ∴在中，， 又∵， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵沿着直线翻折至所在平面内得到， ∴，，为等腰的中垂线， 即点A，D，F三点共线， ∴， 设， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了勾股定理，翻折的性质，等腰三角形的三线合一定理及利用三角形面积求高． 30．如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，则下列结论： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．正确的有__________（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断①正确；根据全等三角形的性质推出，判定②正确；根据题意无法说明和成立，判断出③④错误；根据，，可以求得得到⑤正确；根据勾股定理表示出，，得到⑥正确；过B作于M，过A作于N，只需判断，利用勾股定理判断不一定成立，得到⑦错误进而可得答案． 【详解】解：①由题知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴，①正确． ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，②正确； ∵不一定等于， ∴不一定平行， ∴不一定等于，即不一定等于，③错误； ④∵，不一定平分，即不一定等于， ∴无法判断，④错误． ⑤∵， ∴，， ∴， 即，故⑤正确． ⑥∵， ∴，，，， ∴，， ∴，故⑥正确． ⑦过B作于M，过C作于N， ∴，， 要使，只需， 由勾股定理得，， ∵，且无法证明成立， ∴不一定成立，即不一定成立，故⑦错误， 综上，正确的有①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键． 31．如图，Rt，射线交边于点D，点E为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，当取最小值时，平行四边形的面积为__________________． 【答案】 【分析】如图，延长到T，使得，连接，过点A作于点M．求解，证明，点F在射线上运动，当点F与M重合时，的值最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长到T，使得，连接，过点A作于点M． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动，当点F与M重合时，的值最小， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 如图， 此时，， ∴设上的高为， ∴， ∴， ∴． 32. 如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，据此可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵点在上且， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点． 33．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，点C的坐标为． （1）直线的解析式是________； （2）点D在x轴上，连接，使，则点D的坐标为________． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点，点A，点B的坐标，根据即可求解； （2）分点在线段上和在点的右边进行讨论计算即可求解． 【详解】解：（1）令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式是． 故答案为：． （2）由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴， 当点在线段的处时，如图， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得， ∴点的坐标为； 当在点的右边处时，如图， 连接并延长交于点， ∵， ∵轴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴点与点关于点对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 34．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴分界点为点， 如图， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， ∵直线与组成的新的图形有两个交点，且直线过定点， ∴当直线过点A时，，此时； 当直线过点B时，，此时； ∴直线与组成的新的图形有两个交点， 的取值范围是． 故答案为： 35．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 36．我们新定义一种三角形：两边平方的差等于第三边平方的两倍的三角形，叫作“倍差三角形”．例如：某三角形三边长分别是3、、，因为，所以这个三角形是倍差三角形． (1)判断边长分别为2、、4的三角形是否为倍差三角形？并说明理由； (2)小鲲同学认为存在一个三角形既是直角三角形也是倍差三角形，为了验证他的想法是否正确，他尝试进行了如下证明： 如图1，在中，，，，． … （请补充他的证明过程） (3)如图2，在平面直角坐标系中，长方形的顶点O为坐标原点，顶点分别在轴正半轴上，将长方形沿对角线所在的直线折叠，使得点B落在点D处，交y轴于点N，点B坐标为，若为倍差三角形，请求出a的值及D点坐标． 【答案】(1)这个三角形是倍差三角形，理由见解析 (2)小鲲同学的想法不正确，证明见解析 (3)a的值为，点D的坐标为 【分析】（1）根据倍差三角形的定义进行计算验证判断即可； （2）由勾股定理可得或，分三种情况验证倍差三角形定义，均推出无意义结论，由此求解即可； （3）根据长方形的性质和折叠的性质可利用证得，则有，，设，，在中，，由为倍差三角形可分析得出，进而可得出，通过方程消元整理可得，在中，再次利用勾股定理解得n值，进而求；过点D作轴，轴，利用等面积法有，进而可得点D的横坐标，最后再次利用勾股定理即可求得点D的纵坐标． 【详解】（1）解：这个三角形是倍差三角形，理由如下： ， 这个三角形是倍差三角形； （2）证明：在中，，，，， ， 则有或， 而倍差三角形要求“两边平方差第三边平方的2倍”，即需满足： 或或， ①若，结合，则，即，无意义； ②若，结合，则，则，无意义； ③若， 是斜边，，， ，等式不成立； 综上所述，直角三角形无法满足倍差三角形的定义， 不存在既是直角三角形又是倍差三角形的三角形，小鲲同学的想法不正确； （3）由题意得：在长方形中，，，， 由折叠可知：，，， 在和中， ， ， ，， 设，， 在中，， 即， 由于为倍差三角形， ， ，无法满足倍差三角形定义， 则， ， 在中，， ， 即， ， 在中，， 即， ， ， 即，， ， 如图，过点D作轴，轴， 在中，， 即， ，即， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上，a的值为，点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了新定义几何图形的理解与应用，勾股定理及变形应用，长方形、图形折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系中利用面积法、勾股定理求点的坐标等，紧扣倍差三角形的定义，排除无效边长平方差组合，确定有效等式，利用折叠和长方形的性质证明三角形全等，得到关键等量关系，设立恰当的未知数结合勾股定理列方程，通过消元法求解，求坐标时用面积法求出关键线段，结合垂线构造直角三角形确定坐标是解题的关键． 37．课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 (1)①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 (2)如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 (3)如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)①证明见解析； ②； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（1）①结合正方形性质推得，，利用角边角即可证明； ②结合全等三角形性质得，再结合正方形性质推得，由勾股定理得，即可推得； （2）连接，延长交于点，结合矩形性质，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，最后结合勾股定理即可证明； （3）过点作，延长交于点，连接、，利用角边角证明，由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，设，则，利用勾股定理得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①正方形中，，， 正方形中，， ，， ， 即， 在和中， ， ； ②解：，理由如下： ， ， 正方形中，，， ， 即， 中，， ； （2）解：，理由如下： 连接，延长交于点， 点是矩形的中心， ， 矩形中，，， ， 在和中， ， ， ，， 矩形中，， 垂直平分， ， 中，， ； （3）解：如下图：，， ， 过点作，延长交于点，连接、， ， 点是边的中点，，，， ，， 在和中， ， ， ，， 又， 即垂直平分， ， 中，， 中，， ， 设，则， 有， 解得， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、构造合适的辅助线． 38．定义：若一个四边形有一个内角为直角，且一条对角线平分一个内角，我们称这个四边形为“美好四边形”． (1)如图1，四边形为美好四边形，，平分，若，，则的度数为______； (2)如图2，四边形为长方形，请你用尺规在边上作出一点E，使得四边形为“美好四边形”； (3)如图3，已知四边形为“美好四边形”，平分，，连接，交于点E，过点D作于点F，若． ①求证：； ②试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (4)如图4，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C为y轴负半轴上一点，D为x轴正半轴上一点，若四边形为“美好四边形”，请直接写出满足条件的点C和对应的点D的坐标． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①见解析；②，理由见解析； (4)，或，或，或，． 【分析】（1）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质即可得出结果； （2）作的角平分线，交于点，则四边形为“美好四边形”； （3）由角平分线的定义可得，由等角的余角相等可得，再结合，即可得证；②过点作于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，从而可得，即可得证； （4）先求出，，再结合“美好四边形”的定义，分四种情况，并结合勾股定理计算即可得出结果 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图：作的角平分线，交于点， ， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵平分， ∴四边形为“美好四边形”； （3）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图，过点作于点， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 由①可得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∵四边形为“美好四边形”， ∴①如图，当，平分时， ， 则， ∵， ∴点与点关于轴对称，即， 设，则， ∵，，且， ∴， 解得：， 此时，； ②如图，当，平分时 ， 由①可得：， 设，则，， ∵，且， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 此时，； ③如图，当，平分时， ， 则， ∵， ∴点与点关于轴对称，即， 设，则，， ∵，且， ∴， 解得：， 此时，； ④如图，当平分，时， ， 由③可得：， 设，则，， ∵，且， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，； 综上所述，满足条件的点C和对应的点D的坐标为，或，或，或，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定性质，勾股定理，一次函数与几何综合等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合和分类讨论的思想是解此题的关键． 1．发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：； 解决问题：方案3路径最短， 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 略 2．【初步探究】（）如图，在四边形中，，点是边上一点，， ，连接，判断的形状，并说明理由． 【解决问题】（）如图，在长方形中（足够长），点是边上一定点，在边上分别作出点，使得点是一个等腰直角三角形的三个顶点，且，．要求：仅用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【拓展应用】（）如图，在直角坐标系中，已知、，点在第一象限内，若是等腰直角三角形，求点坐标 （）如图，直角坐标系中，已知点，是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，连接，则的最小值是 【答案】（）证明见解析；（）作图见解析；（）或或；（）． 【分析】（）证明，即可求解； （）如图，以点为圆心，长为半径作弧交于点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则点即为所求； （）分以为顶点，为腰；以为顶点，为腰；以为底；三种情况求解即可； （）设点的坐标为，则点，由得到求的值，相当于求点到点和点的最小值，据此即可求解． 【详解】（）是等腰直角三角形． 理由如下：∵，，， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （）如图，以点为圆心，长为半径作弧交于点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则点即为所求． 理由：同方法一样，可证明为等腰直角三角形； （）如图，以为顶点，为腰，根据题意，得点的坐标为； 以为顶点，为腰，根据题意，得点的坐标为）； 以为底，连接交于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，，，， ∴直线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 联立得， 解得， ∴交点的坐标为， 由图易判断点关于对称的点位于第四象限，不合题意，舍去， 综上所述，点的坐标为：或或； （）如图作于， 设点的坐标为，由（）知：，，则点，则， 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到、到的距离和最小， 作关于直线的对称点， 而， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题为考查了三角形全等的判定和性质、勾股定理、一次函数的交点，最小值等，运用分类讨论思想是解题的关键． 3．综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）480米 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，正确理解勾股定理的证明方法是关键． （1）根据题意先分别表示各图形的面积，再探究面积之间的关系即可； （2）根据和计算来证明即可； （3）过点A作于点D，过点C作于点H，先根据勾股定理求出米，再根据求解即可． 【详解】证明：（1）方法1：正方形的面积， 方法2：正方形的面积， （2）         即 连接，设 ，， ， 即； （3）过点A作于点D，过点C作于点H， 米，米，， （米）， （米）， ， ， （米）． 4．【问题背景】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）古今中外，勾股定理有很多证明方法，请你利用图3推导勾股定理； （2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_____个； 【拼图发现】 （3）学习了勾股定理的证明方法后，小明同学对拼图产生了浓厚兴趣，他用四个完全相同的长为，宽为的长方形纸片拼成如图所示正方形．若大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，求每个小长方形纸片的对角线长． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）每个小长方形纸片的对角线长为． 【分析】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识； （1）根据面积法即可证明勾股定理； （2）设面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为，面积为的正方形边长为；根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （3）根据大正方形的面积为32，小正方形的面积为8，得到，，求得，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即， 化简得：； （2）三个图形中面积关系满足的有3个； 设直角三角形两直角边中，较短的边长为，较长的边长为，直角三角形的斜边的边长为； 根据题意得：， 如图4： ，， ∴； 如图5： ，，， ∵， ∴； 如图6： ，，， ∵， ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个； 故答案为：3； （3）解：大正方形的面积为32，小正方形的面积为8， ∴，， ∴， ， 每个小长方形纸片的对角线长． 5．我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如纸张的长与宽是，，长与宽的比值接近．这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料．这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例． 已知长方形的长与宽分别是，．若按图1所示的方式折叠，点E，F分别是，的中点，将长方形沿对折，打开后得到的长方形仍为“长与宽的比值为”的长方形． (1)若按图2所示的方式折叠长方形，先沿对折，使点B落在上，对应点是点H．再沿对折，使点C落在上，对应点是点N． ①长方形________（填“是”或“不是”）为“长与宽的比值为”的长方形； ②边长________，边长________． (2)若按图3所示的方式折叠长方形，先沿对折，使得点C落在上，对应点是点Q．再沿对折，使得点A落在上，对应点是点T． ①求的度数； ②若图2中的点M折叠后对应点是点R，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)①是；②， (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据折叠的性质分别求出，，再求出比值即可得解； ②由①即可得解； （2）①根据折叠的性质和勾股定理可证，可得，根据折叠的性质即可得解； ②根据折叠的性质可得，，，可证，进而证明，再根据，，可证，即可得证． 【详解】（1）①解：由折叠可知， ， ， 长方形是“长与宽的比值为”的长方形； ②解：由①知，． （2）①解：沿对折，C落在上的Q， ． 在中，，， ， ， ， ． 由折叠可知，平分， ． ②证明：由折叠可知：，，， ， ， ． ， ． ， ． ． ，， ． ∴四边形是平行四边形． 6．提出问题：已知平面直角坐标系内，任意一点A，到另外一个点B之间的距离是度多少？ 问题解决： （1）遇到这种问题，我们可以先从特例入手，最后推理得出结论 探究一：点A（1，﹣1）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝　 　， 探究二：点A（2，﹣2）到B（﹣1，﹣1）的距离d1＝　 　， 一般规律： 如图1，在平面直角坐标系xoy内已知A（x1，y1）、B（x2，y2），我们可以表示连接AB，在构造直角三角形，使两条边交于M，且∠M＝90°，此时AM＝　 　，BM＝　 　，AB＝　 　． 材料补充：已知点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离d2可用公式d2＝计算． 问题解决： （2）已知互相平行的直线y＝x﹣2与y＝x＋b之间的距离是3，试求b的值． 拓展延伸： 拓展一：已知点M（﹣1，3）与直线y＝2x上一点N的距离是3，则△OMN的面积是 　 　． 拓展二：如图2，已知直线y＝分别交x，y轴于A，B两点，⊙C是以C（2，2）为圆心，2为半径的圆，P为⊙C上的动点，试求△PAB面积的最大值． 【答案】（1）探究一：2；探究二：；一般规律：，，；（2）或-8；拓展一：；拓展二：18 【分析】（1）探究一：直接用A的横坐标减去B的横坐标即可得到答案； 探究二：利用勾股定理进行求解即可； 一般规律：先根据横坐标相同和纵坐标相同求出，，即可利用勾股定理求得； （2）根据题意可知点（2，0）到直线y＝x＋b之间的距离是3，再由题目所给公式进行求解即可； 拓展一：如图过点M作MA⊥ON与A，然后根据题意分别求出，，，，然后利用三角形面积公式进行求解即可； 拓展二：设C到直线AB的距离为d，则，再由圆C的半径为2，则圆C上任意一点到直线AB的距离，然后求出AB的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）探究一：∵A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1）， ∴点A（1，﹣1）到B（﹣1，﹣1）的距离， 故答案为：2； 探究二：∵A（2，﹣2），B（﹣1，﹣1）， ∴点A（2，﹣2）到B（﹣1，﹣1）的距离， 故答案为：； 一般规律：由题意得，， ∵∠M=90°， ∴ 故答案为：，， （2）∵互相平行的直线y＝x﹣2与y＝x＋b之间的距离是3， ∴点（2，0）到直线y＝x＋b之间的距离是3， ∴， ∴或-8； 拓展延伸，拓展一：过点M作MH⊥直线y=2x于点H，如图， 则， ∵＜3， ∴此题有两解． ∵M（-1，3）， ∴． ∵MH⊥OH， ∴， ∴ON1=-2． ∴S△OMN1=． 同理可得：ON2=+2， ∴S△OMN2= 综上，△OMN的面积是：． 故答案为： ．拓展二：如图所示，设C到直线AB的距离为d， ∴， ∵圆C的半径为2， ∴圆C上任意一点到直线AB的距离， ∵A、B分别是直线与x轴和y轴的交点， ∴A（-3，0），B（0，-4）， ∴OA=3，OB=4， ∴， ∴三角形ABP的面积的最大值． ． 【点睛】本题主要考查了一次函数，点与直线的距离，两点之间的距离，直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确读懂题意进行求解． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $