精品解析：吉林省吉林市丰满区东山实验学校2025-2026学年九年级下学期6月数学阶段性练习

2025-2026学年吉林市丰满区东山实验学校 九年级数学阶段性练习 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．先判断两个加数是异号，再判断绝对值大小，根据加法法则解答即可． 【详解】解：∵3与异号，且，，， ∴． 2. 2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地．数据25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 3. 如图所示，一个圆柱体和长方体按如图所示的方式摆放，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的线用虚线表示． 【详解】解：由图可知，主视图为： 故选B． 4. 斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由密若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法依据的基本事实是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理解答即可 本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：，且为同位角， 根据同位角相等，两直线平行，判定直线是平行的， 故选：B． 5. 如图，在中，．顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质，图形与坐标等知识， 过点作轴于，在中，，，可得，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得， 【详解】如图，过点作轴于， ， 顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ∵轴， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，是⊙的直径，点为⊙上一点，连接，过点作交⊙于点，连接、，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握“同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”和“直径所对的圆周角为直角”．由是⊙的直径，得，根据，易得，由，可得，由圆周角定理得，即可求的度数． 【详解】解：是⊙的直径， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟悉一元二次方程根的判别式． 根据关于的方程有两个相等的实数根，列出关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， 故答案为： ． 9. 一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图象如图所示，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】由图象可得，当时，，代入关系式，即可求解． 【详解】解：由图象可得，当时，， ∴， ∴． 10. 如图，在平行四边形中，，，连接，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．则的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据作图得到垂直平分，进而得到，推出的周长为，进行求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 11. 苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为_________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆心角，，， ∴阴影部分的面积是 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式； 当时，原式． 13. 七年级六班的同学去参加科技体验活动，第一组有3人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费120元；第二组有2人选择“九天揽月”活动，4人选择“深海探幽”活动，共花费160元，求每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价分别为多少元？ 【答案】每张“九天揽月”活动的票价为20元，每张“深海探幽”活动的票价为30元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 先设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，再根据费用相等列出二元一次方程组，求出解即可． 【详解】解：设每张“九天揽月”活动的票价为元，每张“深海探幽”活动的票价为元，由题意，得 解得 答：每张“九天揽月”活动的票价为20元，每张“深海探幽”活动的票价为30元． 14. 百度的“文心一言”（甲款）、抖音的“豆包”（乙款）和（丙款）是当前较受关注的三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是__________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择一款进行体验测评，请用列表或画树状图的方法，求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【答案】（1）抽到丙款的概率是； （2）两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图，如图， 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 15. 已知：如图，平分，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得到，证明即可得到结论． 【详解】略 16. 如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的圆上找一格点，使得； （2）在图2中的圆上找一点，使平分． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求． （2） 点即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用圆内接四边形对角互补的性质，找到与互补的即可； （2）根据垂径定理，找到的垂直平分线与的交点即可． 【小问1详解】 解：根据圆内接四边形对角互补，找到圆与格点的交点即可， 【小问2详解】 解：如图，记与格线的交点为，连接，延长后与圆交于点 17. 如图1，一架梯子斜靠在墙上，梯子的底端距离墙面，即，梯子与地面所成的夹角为，即，图2为示意图．求此时梯子的顶端到地面点的距离．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义进行计算即可． 【详解】解：由题可知，， 在中，， ． 答：此时梯子的顶端到地面点的距离为． 18. 阅读是我们获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径．为了提高学生的阅读兴趣，校团委组织开展形式多样的课外阅读活动．从该校随机选取的20名学生进行了调查，统计结果如下（单位：分钟）： 【收集数据】 20，30，35，45，55，60，70，70，80，80，80，80，90，100，100，115，120，140，150，150， 【整理数据】 平均时间（x分钟） 人数（名） 3 5 a 4 【分析数据】 平均数 中位数 众数 83.5 b c （1）填空______________，______________，______________； （2）该校七、八、九年级共1200名学生，每周用于课外阅读的平均时间少于80分钟属于未达标，估计每周用于课外阅读的平均时间达标的学生有多少名？ （3）李明每周用于课外阅读的平均时间为82分钟，小红说：“李明每周平时阅读时间要多于全校一半学生的阅读时间”，你认为小红的说法正确吗？说明理由； 【答案】（1）8；80；80 （2）720名 （3）小红的说法正确．因为全校学生课外阅读的平均时间的中位数为80分钟，说明全校一半学生的阅读时间少于80分钟，而李明每周用于课外阅读的平均时间为82分钟，已经多于全校一半学生的阅读时间． 【解析】 【分析】（1）由条形统计图即可得a的值，根据中位数以及众数的定义即可得b，c的值； （2）将全校学生总数乘以样本中课外阅读的平均时间达标的学生比例，即可解答； （3）根据中位数的意义判断即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知的人数为8人，即． 中位数是第10个和第11个数据的平均数，即． 80出现的次数最多，则众数． 【小问2详解】 解：(名)， 答：估计全校每周用于课外阅读的平均时间达标的学生有720名． 【小问3详解】 略 19. 如图，在等腰中，，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动；过点作于点，以为边向右侧作矩形，且，设点运动的时间为秒，矩形与重叠部分图形的面积是． （1）当点在上时，_____． （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了图形运动与二次函数的综合，求二次函数的解析式，解直角三角形的相关运算，等腰直角三角形的相关性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合等腰直角三角形的性质以及矩形的性质进行分析，然后得出，再解得； （2）理解题意，进行分类讨论且逐个情况作图，根据矩形的面积，梯形的面积，等腰直角三角形的面积公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：当点在上时，如图所示： ∵是等腰三角形，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∵设点运动的时间为秒，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动； ∴， 则， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得， 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 则， 即点P到终点C的运动时间是秒； 由（1）得当点在上时，则， ∵矩形与重叠部分图形的面积是． 故当时，则矩形的面积， 当时，则矩形与重叠部分图形是梯形，如图所示： 则 ∵四边形是矩形， ∴ 即是等腰直角三角形， ∴ 则 ∴ 当时，则矩形与重叠部分图形是等腰，如图所示： 此时． 当时，满足， ∴． 20. 如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为． （1）观察图形，填写如表： 链条节数节 2 3 4 … 链条长度 4.2 ______ ______ … （2）上表的两个变量中，自变量是______； （3）请写出与之间的函数关系式； （4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 【答案】（1）； （2）链条节数 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先求出每增加一节链条长度增加的数值，然后填表； （2）根据链条长度随链条节数的变化而变化，得出自变量； （3）根据第一节链条，然后每增加一节链条，长度增加，得出与之间的函数关系式； （4）根据自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短，结合函数解析式，求出安装后的长度． 【小问1详解】 解：每增加一节链条长度增加：， 当时，， 当时，， 填表如下： 链条节数节 链条长度 【小问2详解】 解：上表的两个变量中，自变量是链条节数； 【小问3详解】 解：根据题意得：与之间的函数关系式为：． 【小问4详解】 解：由（3）得， 当时，， 自行车链条是首尾闭合的环形，直形链条比环形链条少个重叠， 这根链条安装到自行车上后，总长度是． 21. 已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵是正方形的对角线， ，， ， ∴， ； （2）①为等腰三角形，理由： ∵四边形是正方形， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； ② （3）． 【解析】 【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论； （2）①根据（1）证明出；②过点作于，先求出，，进而求出，，最后用勾股定理即可求出答案； （3）先判断出，由（1）知，由（2）知，即可判断出结论． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②如图，过点作于， ∵四边形为正方形，点为的中点，， ，，， 由①知，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， ， 在中，； （3），理由如下： ， ， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，点是该抛物线上一点，其横坐标为，过点作垂直于轴的直线，点、均在直线上，且点的横坐标为，点的横坐标为，当点、不重合时，以为边向下作正方形． （1）求该抛物线对应的函数解析式． （2）当点是该抛物线的顶点时，求正方形的面积． （3）当点恰好落在正方形的边含顶点上时，求的值． （4）当正方形的边含顶点与该抛物线恰有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质等知识，学会用运动变化的观点思考解决问题是解题的关键． （1）把、代入，即可求解； （2）根据点是抛物线的顶点这一特殊情况求解即可； （3）分类讨论，分点分别在正方形的四条边上进行求解，注意把不符合题意的舍去； （4）解题时注意数形结合，关键是找出各种情况的临界点． 【小问1详解】 把、代入，得 解得 所以，抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ， 抛物线的顶点坐标为：． ． ，． ． ． 【小问3详解】 当点在上时， ， 解得 ，舍去． 当点在上时， 由，得舍去． 当点在上时， ， 解得 ，舍去． 当点在上时， 由，得舍去． 综上所述，的值为或． 【小问4详解】 或，理由如下： 当点与点关于对称轴对称时， ， 解得 ． 此时正方形与抛物线只有一个公共点． 当恰好经过抛物线的顶点时， ， 解得 ，舍去． 此时正方形与抛物线恰好有三个交点． 在时，此时正方形与抛物线恰有两个公共点． 当点在抛物线上方时， ， 解得 ． 此时正方形与抛物线都有两个交点． 综上所述，或时，正方形与抛物线恰有两个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年吉林市丰满区东山实验学校 九年级数学阶段性练习 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是( ) A. B. C. D. 2. 2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地．数据25000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，一个圆柱体和长方体按如图所示的方式摆放，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．某数学兴趣小组为了验证斑马线是由密若干条平行线组成的，在保证安全的前提下，按照如图方式分别测出，这种验证方法依据的基本事实是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两直线平行，同位角相等 5. 如图，在中，．顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是⊙的直径，点为⊙上一点，连接，过点作交⊙于点，连接、，若，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式：_________． 8. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 9. 一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图象如图所示，则_________ 10. 如图，在平行四边形中，，，连接，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．则的周长为_____． 11. 苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角．已知，，则该砖雕的面积为_________．（结果保留） 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 七年级六班的同学去参加科技体验活动，第一组有3人选择“九天揽月”活动，2人选择“深海探幽”活动，共花费120元；第二组有2人选择“九天揽月”活动，4人选择“深海探幽”活动，共花费160元，求每张“九天揽月”和“深海探幽”活动的票价分别为多少元？ 14. 百度的“文心一言”（甲款）、抖音的“豆包”（乙款）和（丙款）是当前较受关注的三款聊天机器人． （1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是__________； （2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择一款进行体验测评，请用列表或画树状图的方法，求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 15. 已知：如图，平分，．求证：． 16. 如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的圆上找一格点，使得； （2）在图2中的圆上找一点，使平分． 17. 如图1，一架梯子斜靠在墙上，梯子的底端距离墙面，即，梯子与地面所成的夹角为，即，图2为示意图．求此时梯子的顶端到地面点的距离．（结果精确到）（参考数据：，，） 18. 阅读是我们获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径．为了提高学生的阅读兴趣，校团委组织开展形式多样的课外阅读活动．从该校随机选取的20名学生进行了调查，统计结果如下（单位：分钟）： 【收集数据】 20，30，35，45，55，60，70，70，80，80，80，80，90，100，100，115，120，140，150，150， 【整理数据】 平均时间（x分钟） 人数（名） 3 5 a 4 【分析数据】 平均数 中位数 众数 83.5 b c （1）填空______________，______________，______________； （2）该校七、八、九年级共1200名学生，每周用于课外阅读的平均时间少于80分钟属于未达标，估计每周用于课外阅读的平均时间达标的学生有多少名？ （3）李明每周用于课外阅读的平均时间为82分钟，小红说：“李明每周平时阅读时间要多于全校一半学生的阅读时间”，你认为小红的说法正确吗？说明理由； 19. 如图，在等腰中，，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动；过点作于点，以为边向右侧作矩形，且，设点运动的时间为秒，矩形与重叠部分图形的面积是． （1）当点在上时，_____． （2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 20. 如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为． （1）观察图形，填写如表： 链条节数节 2 3 4 … 链条长度 4.2 ______ ______ … （2）上表的两个变量中，自变量是______； （3）请写出与之间的函数关系式； （4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 21. 已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，点是该抛物线上一点，其横坐标为，过点作垂直于轴的直线，点、均在直线上，且点的横坐标为，点的横坐标为，当点、不重合时，以为边向下作正方形． （1）求该抛物线对应的函数解析式． （2）当点是该抛物线的顶点时，求正方形的面积． （3）当点恰好落在正方形的边含顶点上时，求的值． （4）当正方形的边含顶点与该抛物线恰有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $