9.2.4 总体离散程度的估计课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版 必修第二册

该高中数学课件聚焦总体离散程度的估计，核心内容包括极差、方差、标准差的概念、计算及统计含义。课堂通过射击运动员成绩情境导入，先复习集中趋势（平均数、中位数、众数）发现其局限性，进而引出离散程度的研究，构建前后知识衔接的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，从射击成绩比较中用数学眼光发现数据波动差异，通过推理“平均距离”到方差的合理性培养数学思维，用公式和数据表达离散程度体现数学语言。采用“三步法”计算标准差并结合农作物、水稻产量等实例，帮助学生发展数据分析能力，教师可借助结构化流程提升教学效率。

第九章 统计 9.2.4 总体离散程度的估计 高中数学人教A版必修二 【学习目标】 1、结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差） 2、会求样本数据的标准差、方差、极差 3、理解离散程度参数的统计含义 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息。这是概括一组数据的特征的有效方法。但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策。 【复习回顾】 ▲众 数： 一组数据出现次数最多的数 ▲中位数： 一组数据按大小重新排序后处在中间位置的数（或最中间两个数据的平均数） ▲平均数： 所有数据之和除以样本量 【创设情境 引入新课】 问题1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： ①如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？ ②如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 我们将甲、乙两名运动员的射击成绩重新排序整理： 追问1：两名运动员射击的平均数、中位数、众数分别是多少？ 从数据看，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7. 两名运动员的成绩无差别。 【创设情境 引入新课】 追问2：观察下图两人成绩的频率分布条形图，甲、乙的射击成绩如何？ 【创设情境 引入新课】 比较分散 相对集中 成绩波动幅度大 成绩比较稳定 追问3：观察下图两人成绩的折线图，你又发现了什么？ 射击水平存在差异 追问4：如何度量成绩的这种差异呢？ 离散程度: 极差（最大值与最小值的差） 甲命中环数的极差= 10 - 4 = 6 乙命中环数的极差= 9 - 5 = 4 甲成绩波动范围比乙大。 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 极差越大，离散程度越大 极差越小，离散程度越小 追问5：极差在分析估计时有何优缺点？ 缺点：极差只使用了数据中的最大值和最小值，对其他数据没有涉及，故极差所含信息很少。 优点：易于理解，计算简单 思考1：为了把所有数据都考虑进去，更精确的反映离散程度，你还能想到其它刻画数据离散程度的方法吗？  乙成绩稳定，则大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 因此，我们可以通过射击成绩与平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度；  甲成绩波动幅度大，则大多数的射击成绩离平均成绩比较远； 思考2：为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗？ 总距离与样本量有关。样本量越大，总距离越大；无法反映数据本身的离散程度。比如，从一组数据中抽取两组样本，一组1000个，一组100个，若用总距离，两者差距会很大。 而平均距离是总距离除以样本量，相当于每个数据点偏离中心的平均偏离程度，消除了样本量的干扰，能客观反映数据整体的离散情况。 因此，用平均距离刻画离散程度更合理。 【概念形成 初探新知】 平均距离： 设一组数据是，用表示这组数据的平均数。我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”， 即作为到的“距离”。 含绝对值 运算不方便 方差： 有时为了计算方差方便，我们将方差写成以下形式： 该公式避免反复做减法和处理小数的复杂过程，计算更简单。 【概念形成 初探新知】 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根。 即得到这组数据的标准差为 思考3： 标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 标准差,标准差为0表示这组数据的每个数据到平均数的距离都为0，即每个数据都是相等的。 ①若总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为。 总体方差： 总体标准差： ②总体方差的加权形式： 若总体的个变量值中，不同的值共有个，记为，其中出现的频数为，则总体方差为 【总体的方差和标准差】 ③若一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为, 样本方差： 样本标准差： 思想：用样本标准差估计总体标准差 随堂练习： 1、为评估一种农作物的种植效果，选了n块地做实验田，这n块地的亩产量（单位：kg）分别是，下面给出的指标中可以用来估计这种农作物亩产量稳定程度的是（ ） A、的平均值 B、的标准差 C、的最大值 D、的中位数 2、判断下列说法是否正确？ （2）标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定； √ B × 方差和标准差都是刻画一组数据离散程度的指标。但在解决实际问题时，一般多采用标准差。 方差、标准差特征 （1）若两组数据的方差一样大，则说明这两组数据都是相同的。 （ ） 计算标准差“三步法” 1、求平均数：计算所有数据的平均值； 2、求方差：计算每个数据与平均数之差的平方，再求这些“平方差”的平均数； 3、求标准差：将方差开方 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 回到问题1，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？ 方差 由结果可知， ， 的成绩离散程度大； 由此估计， 比 的射击成绩稳定； > 甲 甲 乙 追问：若要从中选一名参加比赛，你会怎么选？ 看两人的平均成绩在所有选手中的位置，若都在前面，则选 选手；若两人都在后面，则选 选手。 乙 甲 【学以致用】 2、已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为（ ） A、 B、1 C、 D、2 A 1、甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及方差如下表所示，则选送决赛的 最佳人选应是（ ） A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 甲 乙 丙 丁 7 8 8 7 6.3 6.3 7 8.7 B 【学以致用】 农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如下： 品种 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 第六年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 哪种水稻的产量比较稳定？ 【课堂小结】 样本方差： 样本标准差： 1、用定义计算方差、标准差 标准差（或方差）越大，离散程度越大，越不稳定； 标准差（或方差）越小，离散程度越小，越稳定。 2、方差、标准差的特征 $