9.2.4 总体离散程度的估计 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“总体离散程度的估计”，系统讲解极差、方差、标准差的概念及计算，通过任务学习支架衔接“用样本估计总体”前备知识，从数据波动描述切入，构建从概念到应用的完整知识脉络。 其亮点在于以数据分析为核心，结合折线图、频率分布直方图等实例（如气温波动分析、蔬菜质量统计），通过任务驱动与分层抽样方差计算培养数学思维。采用“新知梳理-能力提升-迁移应用”结构，帮助学生深化数据理解，教师可直接用于课堂教学与评价。

第九章 统计 9.2 用样本估计总体 9.2.4 总体离散程度的估计 1 课时学习素养目标：1.熟悉极差、方差、标准差的计算公式，并理解极 差、方差、标准差的统计意义.2.会求解极差、方差、标准差，并会用 平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较、分析 和评价.3.掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法，体 会样本估计总体的思想，培养数据分析的核心素养. 高 中 同 步 课 堂 学 案 2 任务学习一 极差、方差与标准差 任务学习二 用样本的离散程度估计总体 任务学习三 分层随机抽样中的方差和标准差 素养评价·课堂达标 3 任务学习一 极差、方差与标准差 4 新知梳理 1.极差 极差是一组数据中最大值与最小值的差.极差在一定程度上刻画了 数据的离散程度. 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 2.方差与标准差 假设一组数据是，， ，，用 表示这组数据的平均数， 用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即 作为到的“距离”，这样可以得到这组数据 ， ， ，到的“平均距离”为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即 _ ______________，称此式为这组数据的方差.为了计算方差的方便，也 可把方差写成_ ___________的形式. 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为 了使二者单位一致，对方差开平方，取它的算术平方根，即 ，称此式为这组数据的标准差.#2.3 高 中 同 步 课 堂 学 案 能力提升 例1 多选题 如图，这是某地连续10天日平均气温单位： 的折线图， 则( ) ABD A. 该地这10天日平均气温的众数是 B. 该地这10天日平均气温的极差是 C. 该地这10天日平均气温的 分位数是 D. 该地前5天日平均气温的标准差小于后5天 日平均气温的标准差 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 [解析] 对于A，由题图可知该地这10天日平均气温中， 出现2次， 其他数据只出现一次，则该地这10天日平均气温的众数是 ，A正 确；对于B，该地这10天最高日平均气温为 ，最低日平均气温为 ，则该地这10天日平均气温的极差是 ，B正确； 对于C，将该地这10天日平均气温从小到大排列为27，29，30，31，32， 33，33，36，37，38，因为 ，所以该地这10天日平均气 温的分位数是 ，C错误；对于D，由题图可知该地 前5天日平均气温的波动小于后5天日平均气温的波动，则该地前5天日 平均气温的标准差小于后5天日平均气温的标准差，D正确.故选 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 解题感悟 1.方差和标准差的算法 （1）求个数据的平均数 ； （2）求每个数据与平均数的差 ； （3）求 的平方值； （4）求上一步中 个平方值的平均值，即为方差； （5）求方差的算术平方根，即为标准差. 高 中 同 步 课 堂 学 案 10 2.如果一组数据，， ，的方差为，那么， ， ，的方差仍为；，， ，的方差为 ； ，， ，的方差为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 迁移应用1 （2025河北保定期末）若数据,, , 的平均数为3， 方差为4，则数据,, , 的平均数为____，方差 为____. 13 64 [解析] 设，的平均数为，方差为 ， 的平均数为，方差为，则, ， , . 高 中 同 步 课 堂 学 案 12 任务学习二 用样本的离散程度估计总体 13 新知梳理 如果总体中所有个体的变量值分别为，， ， ，总体平均 数为，则称_ _____________为总体方差， 为总体标准差. 与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式. 如果总体的个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为 ，， ，，其中出现的频数为 ，则总体方差为 _ ______________. 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 如果一个样本中个体的变量值分别为，， ， ，样本平均 数为，则称为__________， 为样本标准差. 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的 离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.#2.1 样本方差 高 中 同 步 课 堂 学 案 能力提升 例2 近年来，甘肃省张掖市民乐县利用戈壁荒 滩等非耕地资源，集成基质栽培、节水灌溉、 品种改良、光热控制等现代技术，重构作物生 长环境，突破传统农业对水、土等自然条件的 高度依赖，大力发展戈壁智慧设施农业，使六 坝滩蜕变为区位优势明显、生态产业密集的现代农业试验示范中心.某 机构对民乐县100名菜农去年销售的蔬菜质量（单位：吨）进行了统计 调查，将得到的数据按， 分为4组，画 出的频率分布直方图如图所示. 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 （1）求 ； [解析] 由题图可得，则 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 17 （2）估计这100名菜农去年销售的蔬菜质量的中位数； [解析] 设这100名菜农去年销售的蔬菜质量的中位数的估计值为 ， 因为第一组和第二组数据的频率之和为 ， 第一组、第二组和第三组数据的频率之和为 ， 所以 ， 由，得 . 故这100名菜农去年销售的蔬菜质量的中位数约为37.5吨. 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 （3）估计这100名菜农去年销售的蔬菜质量的平均数与方差 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. [解析] 估计这100名菜农去年销售的蔬菜质量的平均数为 （吨）， 方差为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 迁移应用2 学校为了了解高三学生的地理、历史学习情况，从500名学 生中抽取了100名学生，统计他们的地理、历史成绩如下表： 历史成绩 地理成绩 8 9 9 9 8 15 7 已知历史成绩在内的学生占 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 20 （1）求， 的值； [解析] 由历史成绩在内的学生占，可知 ，解 得， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 21 （2）请根据抽出的100名学生的地理、历史成绩，填写地理、历史成 绩的频数分布表： 地理成绩 频数 历史成绩 频数 根据频数分布表中的数据分别估计高三学生地理和历史成绩的平均数 及方差（同一组数据用该组区间的中点值作代表），并判断哪个学科 的成绩更稳定. 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 [解析] 地理、历史成绩的频数分布表如下： 地理成绩 频数 25 50 25 历史成绩 频数 30 40 30 则 ， 高 中 同 步 课 堂 学 案 23 ， ， ， ， ， 地理学科的成绩更稳定. 高 中 同 步 课 堂 学 案 任务学习三 分层随机抽样中的方差和标 准差 25 新知梳理 以分两层随机抽样的情况为例，假设样本中第一层有 个数，分 别为，， ，，平均数为，方差为；第二层有 个数，分别 为，， ，，平均数为，方差为 ，则根据按比例分配分层随 机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为 ，方差为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 26 能力提升 例3 （链接教材P213例6）某学校统计了所有在职教师（只有一级教师 和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元， 方差为，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为 ，则该 校所有在职教师工资的方差为_____. 0.76 高 中 同 步 课 堂 学 案 27 [解析] 设一级教师的平均工资和方差分别为， ，高级教师的平均 工资和方差分别为， . 因为一级教师的占比为 ，高级教师的占比为 ， 所以全校教师的平均工资为 （千元）， 方差为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 28 迁移应用3 某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年 级物理测试的试卷中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，其中12 名男生的物理成绩（单位：分）为72，68，72，76，80，76，72，80， 88，68，72，76. （1）求这12名男生物理成绩的平均分与方差 ； [解析] 12名男生物理成绩的平均分 ， 方差 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 （2）经计算得这8名女生物理成绩的平均分，方差 ，求 这20名学生物理成绩的平均分与方差. [解析] 20名学生物理成绩的平均分 ， 方差 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 30 素养评价·课堂达标 31 1.已知一个样本由三个4，三个6和四个5组成，则这个样本的标准差 ( ) C A. B. C. D. [解析] 样本的平均数 ， 方差 ， 则标准差 ，故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 32 2.多选题 高一某班的同学在学习了“统计”后，进行了交流讨论. 甲同学说：“均值是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.” 乙同学说：“众数刻画了总体中个体的稳定或波动程度.” 丙同学说：“方差越小，表明个体越整齐，波动越小.” 丁同学说：“两组样本数据对比分析时，极差较大的一组数据其方差也 较大.” 其中说法正确的是( ) AC A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 高 中 同 步 课 堂 学 案 33 [解析] 均值是刻画一组数据集中趋势最主要的指标，甲的说法正确. 方差刻画了总体中个体的稳定或波动程度，乙的说法错误. 方差越小，表明个体越整齐，波动越小，丙的说法正确. 两组样本数据对比分析时，一组数据极差较大不能说明其方差也较大， 丁的说法错误.故选 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 34 3.一次竞赛活动中，评委分为专家评委（10人）和大众评委（40人）两 组.某位青年教师参加比赛的得分情况如下：专家评委组的平均分为9分， 方差为，大众评委组的平均分为8.5分，方差为 ，则该教师本 次比赛得分的方差是_____. 0.06 [解析] 该教师本次比赛得分的平均数为 ， 故该教师本次比赛得分的方差为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 35 4.某校高一年级500名学生全部参加了体 育达标测试，现从中随机抽取50名学生 的测试成绩（单位：分），整理并按分 数段， ， ， 进行分组，假设同一 组中的每个数据可用该组区间的中点值 110 代替，得到体育成绩的折线图，如图所示.估计该校高一年级中体育成 绩低于60分的学生人数是_____；由图判断从分数段_________开始连 续三个分数段的学生人数方差最大. 高 中 同 步 课 堂 学 案 36 [解析] 由折线图可知，成绩低于60分的学生人数是 ，频率 为 ， 据此估计该校高一年级中体育成绩低于60分的学生人数是 . 由折线图可以看出，， 连续三个分数段的学生 人数分别为6，5，16，方差最大. 高 中 同 步 课 堂 学 案 37 $