专题01 三角形中的线段和角暑假预习 讲义 2026年苏科版八年级数学上册

专题01三角形中的线段和角暑假预习讲义 1.准确掌握三角形的定义与符号表示，分清顶点、边、内角；吃透三角形三边关系，会判定三条线段能否组成三角形，能依据两边长度确定第三边取值范围。 2.弄懂三角形的高、中线、角平分线的定义，清楚每种线段各有三条，知晓三线交点特点，理解中线等分三角形面积这一重要结论。 3.动手实操画图，分别在锐角、直角、钝角三角形中规范作出三条特殊线段，着重留意钝角三角形外部高线的画法，避免画错。 4.认识三角形的稳定性，主动想一想生活中有哪些地方利用了这一特性。 5.自学时圈画疑惑点，独立完成预习基础题，带着问题进课堂，听课更有针对性，课堂效率也能大幅提升！ 预习必备 知识点梳理 1.三角形的基础概念 2.三角形的三条重要线段 3.三角形的三边关系 4.三角形的重心 5.常考题型总结 6.易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.三角形的识别与概念 2.三角形的个数问题 3.构成三角形的条件 4.确定第三边的取值范围 5.三角形三边关系的应用 6.大(小)边对大(小)角定理 7.由三角形中线求长度 8.由三角形中心求面积 9.重心的概念 10.三角形角平分线的定义 11.画三角形的高 12.与三角形高有关的计算 13.利用网格求三角形面积 14.重心 强化题型 解答题6题 知识点01:三角形基础概念 1. 定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2.三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角，记作△ ABC。 3.三角形分类（表格汇总） 知识点02:.三角形三条重要线段（本节重中之重） 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高知识点03:三角形三边关系（高频考点） 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 若三边为a、b、c，则：|a-b|<c<a+b 2. 两大应用 ①给定三条线段，判断能否围成三角形（只需验证最短两边之和＞最长边）； ②已知两边长，求第三边取值范围。 易错：忽略 “任意”，只用一组两边和判断。 知识点04:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点05:常考基础题型总结（配套知识使用） 1.给定三条线段，判断能否组成三角形； 2.已知两边，求第三边整数取值、取值范围； 3.在不同类型三角形中规范画出三条高、中线、角平分线； 4.利用中线面积等分性质，求解三角形面积； 知识点06:高频易错汇总（表格） 易错点 错误形式 正确做法 三边判定 逐条验算麻烦，或只算一组和 短边之和＞最长边即可判定成立 钝角三角形画高 高全部画在图形内部 钝角两条高线落在三角形外侧 中线面积 误认为中线分周长相等 中线等分面积，不等分周长 直角三角形内角 忘记两锐角互余性质 出现直角，剩余两角相加直接用90计算 题型1.三角形的识别与概念 【典例】如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】图中以为边的三角形共有______个． 【跟踪专练2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 题型2.三角形的个数问题 【典例】如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【跟踪专练1】如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】如图，图中共有_____个三角形． 【跟踪专练3】聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 题型3.构成三角形的条件 【典例】若一个三角形的两条边长度分别为2和5，则它的第三边边长可能为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 【跟踪专练1】在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，，为三角形的三边，且每边长均大于1，则下列各组线段作为三边一定能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练3】现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（   ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 题型4.确定第三边的取值范围 【典例】设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【跟踪专练3】一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5.三角形三边关系的应用 【典例】已知是三角形的三边，化简______． 【跟踪专练1】把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪专练2】一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【跟踪专练3】周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 题型6.大(小)边对大(小)角定理 【典例】在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【跟踪专练2】在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【跟踪专练3】在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 题型7.由三角形中线求长度 【典例】如图，为的中线，，，和的周长之差是________． 【跟踪专练1】如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 【跟踪专练2】如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【跟踪专练3】在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 题型8.由三角形中线求面积 【典例】如图，已知是的中线，，则_______． 【跟踪专练1】如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 【跟踪专练2】如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【跟踪专练3】如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 题型9.重心的概念 【典例】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点______； 【跟踪专练1】如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练2】如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 题型10.三角形角平分线的定义 【典例】如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 【跟踪专练1】如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则______． 题型11.画三角形的高 【典例】如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【跟踪专练1】用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（   ） A．B．C．D． 【跟踪专练2】如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 题型12.与三角形高有关的计算 【典例】如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 【跟踪专练1】如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 【跟踪专练3】如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型13.利用网格求三角形面积 【典例】如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为________． 【跟踪专练1】如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 【跟踪专练2】如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 【跟踪专练3】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 题型14.重心 【典例】如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是_______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 解答题 1．已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)判断的形状． (3)已知、、为三角形三边，化简：． 2．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 3．如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 4．如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图： (1)请画出的高； (2)直接写出的面积是_____． 5．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 6．综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形中的线段和角暑假预习讲义 1.准确掌握三角形的定义与符号表示，分清顶点、边、内角；吃透三角形三边关系，会判定三条线段能否组成三角形，能依据两边长度确定第三边取值范围。 2.弄懂三角形的高、中线、角平分线的定义，清楚每种线段各有三条，知晓三线交点特点，理解中线等分三角形面积这一重要结论。 3.动手实操画图，分别在锐角、直角、钝角三角形中规范作出三条特殊线段，着重留意钝角三角形外部高线的画法，避免画错。 4.认识三角形的稳定性，主动想一想生活中有哪些地方利用了这一特性。 5.自学时圈画疑惑点，独立完成预习基础题，带着问题进课堂，听课更有针对性，课堂效率也能大幅提升！ 预习必备 知识点梳理 1.三角形的基础概念 2.三角形的三条重要线段 3.三角形的三边关系 4.三角形的重心 5.常考题型总结 6.易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.三角形的识别与概念 2.三角形的个数问题 3.构成三角形的条件 4.确定第三边的取值范围 5.三角形三边关系的应用 6.大(小)边对大(小)角定理 7.由三角形中线求长度 8.由三角形中心求面积 9.重心的概念 10.三角形角平分线的定义 11.画三角形的高 12.与三角形高有关的计算 13.利用网格求三角形面积 14.重心 强化题型 解答题6题 知识点01:三角形基础概念 1. 定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2.三要素：3 个顶点、3 条边、3 个内角，记作△ ABC。 3.三角形分类（表格汇总） 知识点02:.三角形三条重要线段（本节重中之重） 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； 区分易错：角平分线（线段）≠ 角的平分线（射线） “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高知识点03:三角形三边关系（高频考点） 1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 若三边为a、b、c，则：|a-b|<c<a+b 2. 两大应用 ①给定三条线段，判断能否围成三角形（只需验证最短两边之和＞最长边）； ②已知两边长，求第三边取值范围。 易错：忽略 “任意”，只用一组两边和判断。 知识点04:三角形的重心 1. 定义 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 重心一定在三角形内部 2. 重心定理（性质） 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍（即重心分中线为2:1）。 在△ABC 中，∵ O 是△ABC 的重心，AD、BE、CF 是中线， ∴ AO=2OD，BO=2OE，CO=2OF（或 AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1）。 核心总结表 项目 中位线 重心 定义 两边中点的连线 三条中线的交点 数量 3 条 1 个 核心性质 平行且等于第三边的一半 分中线为2:1 关键作用 证平行、算边长 算线段比、分面积 知识点05:常考基础题型总结（配套知识使用） 1.给定三条线段，判断能否组成三角形； 2.已知两边，求第三边整数取值、取值范围； 3.在不同类型三角形中规范画出三条高、中线、角平分线； 4.利用中线面积等分性质，求解三角形面积； 知识点06:高频易错汇总（表格） 易错点 错误形式 正确做法 三边判定 逐条验算麻烦，或只算一组和 短边之和＞最长边即可判定成立 钝角三角形画高 高全部画在图形内部 钝角两条高线落在三角形外侧 中线面积 误认为中线分周长相等 中线等分面积，不等分周长 直角三角形内角 忘记两锐角互余性质 出现直角，剩余两角相加直接用90计算 题型1.三角形的识别与概念 【典例】如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以为边的三角形有，，． 故选：A 【跟踪专练1】图中以为边的三角形共有______个． 【答案】 【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可． 【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键． 【跟踪专练2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 题型2.三角形的个数问题 【典例】如图，在中，，分别为，上的点，则以点为顶点的三角形的个数为（    ） A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题是关键． 根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：∵以为顶点的三角形有， ∴以为顶点的三角形的个数是4个． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，图中共有_____个三角形． 【答案】116 【分析】本题考查组合图形的计数问题，分别找出最小三角形的个数，4个小三角形组成的三角形的个数，9个小三角形组成的三角形的个数，以及16个小三角形组成的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：图中1个小三角形个数为：． 4个小三角形组成的三角形的个数为：， 9个小三角形组成的三角形的个数为：， 16个小三角形组成的三角形的个数为：， 所以图中三角形的个数为：， 故答案为：116． 【跟踪专练3】聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 题型3.构成三角形的条件 【典例】若一个三角形的两条边长度分别为2和5，则它的第三边边长可能为（   ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：设三角形第三边的长度为x， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 且已知两边长度分别为2和5， ∴， 即， 故选项中满足条件的只有B选项． 【跟踪专练1】在下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比上面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． 【跟踪专练2】已知，，为三角形的三边，且每边长均大于1，则下列各组线段作为三边一定能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项A，当，，时，，，不满足两边之和大于第三边，故该选项错误； 选项B，∵ ． ∴ ，故该选项正确； 选项C，当，，时，，，不满足两边之和大于第三边，故该选项错误； 选项D，当，，时，，，不满足两边之和大于第三边，故该选项错误； 故选：B． 【跟踪专练3】现有7根木棍，长度（单位：）分别是1，2，3，4，5，6，7．从中取出三根木棍围成三角形，其中最长的边为，另两边的差大于．这样的三角形一共有（   ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了构成三角形的条件，理解题意是解决本题的关键． 需从长度1至的木棍中选三根围成三角形，要求最长边为，且另两边长度差大于．通过三角形两边之和大于第三边及差的条件，列举所有可能组合进行判断即可． 【详解】解：设另两边为a、，需满足且， ∵a、b从1至6中取不同整数， ∴满足的有：， 其中的只有：差，差． ∴共有2个三角形：和． 故选：A． 题型4.确定第三边的取值范围 【典例】设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，列出不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ， 整理得： ， ∴． 【跟踪专练1】若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 【跟踪专练2】若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据得，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，得，即可作答． 【详解】解：， ，， 解得：， 为三角形的三边， ． 【跟踪专练3】一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质，二元一次方程组的应用以及三角形三边关系定理，根据非负数的性质得，求解后再根据三角形三边关系定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得：， ∵一个三角形的三边长分别是，，， ∴，即， ∴此三角形的边的取值范围是． 故选：B． 题型5.三角形三边关系的应用 【典例】已知是三角形的三边，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识．根据三角形三边关系，判断绝对值内的符号，进而化简绝对值，即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴，， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为． 【跟踪专练1】把一根长的铁丝按下列各选项中的长度剪成三段，首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最大边，即可判断能否围成三角形． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断时只需比较较小两边的和与最大边的大小： A选项，三边长为，，，最大边为， ， 能围成三角形，该选项符合题意； B选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； C选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意； D选项，最大边为， ， 不能围成三角形，该选项不符合题意， 故选：A． 【跟踪专练2】一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【答案】3或5或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于8，再结合三角形周长是奇数可知第三边是奇数即可求解． 【详解】解：设第三边长为x， 根据三角形三边关系可知：， 即， 则x可以是3，4，5，6，7， ∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8， ∴x为奇数， 故x可取3或5或7． 【跟踪专练3】周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边，由三角形两边之和大于第三边得，由是最长边，得，即可得的取值范围． 【详解】解：设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， ∵， ∴， 代入不等式得 ， 解得， ∵是三角形的最长边， ∴且， ∴， 即， 解得得， 当时，，此时三角形为等边三角形，满足最长边的限定条件， ∴最长边m的取值范围是． 故选：A． 题型6.大(小)边对大(小)角定理 【典例】在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答． 【详解】解：在中，是的对边，是的对边， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 题型7.由三角形中线求长度 【典例】如图，为的中线，，，和的周长之差是________． 【答案】3 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度，解题关键是掌握三角形中线的意义，并能熟练运用求解． 先根据三角形中线的意义，得出，再求出和的周长之差． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵，， ∴和的周长之差是 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，是的中线，是的中线．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由是的中线可得是的中点，得；由是的中线得． 【详解】解：∵是的中线， ∴是的中点， ∴， ∵, ∴； 又是的中线， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，是的中线，是的中线，于点F．若，，则长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：是的中线， ， 是的中线， ， ， 于点 ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 【跟踪专练3】在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的三边关系、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设，，则，然后分且和且两种情况，分别根据题意列方程组求解并运用三角形的三边关系验证即可． 【详解】解：设，，则． 当且时，即，解得； ∴，， ∵， ∴能构成三角形，即，符合题意； 当且时，即，解得． ∴，， ∵， ∴不能构成三角形，即，不符合题意； 综上，． 故选：B． 题型8.由三角形中线求面积 【典例】如图，已知是的中线，，则_______． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形求解即可． 【详解】解：是的中线，， ， 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 【答案】C 【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是的中线求出的面积，再由是的中线求出的面积． 【详解】解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 【跟踪专练2】如图，D、E、F分别为、、的中点，的面积是8，则图中阴影部分的面积等于___________． 【答案】2 【分析】根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵点D为边的中点， ∴， 同理可得：， ， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 即：阴影部分的面积为2． 【跟踪专练3】如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【答案】D 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，逐步推导各部分三角形面积之间的关系，进行求解． 【详解】解：连接、，如图所示，    ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴． 题型9.重心的概念 【典例】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的格点上，则的重心是点______； 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如下图， 则有， 由网格可知， ∴，分别是，的中点， ∴、均为的中线， ∴点D是的重心． 故答案为：D． 【跟踪专练1】如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作）放入正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点上，在点（都在网格线的交点上）中，该三角形薄板的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查重心的定义，根据三角形三条中线的交点叫做重心，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点是该三角形薄板的重心； 故选:A． 【跟踪专练2】如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 题型10.三角形角平分线的定义 【典例】如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出的度数，再根据是的角平分线求出．再利用直角三角形两锐角互余，求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．正确的添加辅助线并确定角度之间的数量关系是解题的关键． 设，，则，，，，由角平分线可得，如图，作，则，可得，，，，则，根据，求得，然后求的值，进而可得的值． 【详解】解：设，，则，，，， ∵平分， ∴， 如图，作，则， ∴， ， ，， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型11.画三角形的高 【典例】如图，的高，交于点F，则 （1）在中，边上的高为 __； （2）在中，边上的高为 __． 【答案】 / / 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义作答即可． 【详解】解：（1）在中，边上的高为． 故答案为：； （2）在中，边上的高为． 故答案为：． 【跟踪专练1】用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了画三角形的高，从三角形的一个顶点向它的对边所作的垂线段，即为三角形的一条高，据此逐项分析即可判断． 【详解】解：结合选项可知，只有D选项作法正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 题型12.与三角形高有关的计算 【典例】如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 【答案】 【分析】设边上的高为，根据“三角形的中线平分三角形的面积”求出，再根据可得答案． 【详解】解：设边上的高为， ∵， 分别是 ， 的中点，，， ∴是的边上的中线，是的边上的中线， ∴， ∴，即， 解得：， 即边上的高为． 【跟踪专练1】如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过的面积和已知的高，利用面积公式求出的长度，再根据中线性质得到，进而计算出的长． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，解得． 又∵是的中线， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，点，分别是和上的点，，，，则_______． 【答案】36 【分析】先根据，得出，设边上的高为h ，根据三角形面积计算公式得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 设边上的高为h ， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 题型13.利用网格求三角形面积 【典例】如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查网格中的三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积求法和分割法求解三角形面积是解题的关键．利用网格求出的面积，再利用即可求解． 【详解】解：由图可得的面积为， 由， 则， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，在的正方形网格中，每个正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形中，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】先确定点C的位置，再求出面积即可． 【详解】解：如图，此时面积最大， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 【跟踪专练3】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，找出网格中图形的面积关系是解题关键．根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积求解即可得． 【详解】解：因为图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 所以图中阴影部分的面积是， 故选：B． 题型14.重心 【典例】如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是_______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了三角形的高，再明确三角形高的定义，在分析不同三角形垂心的位置特征，最后根据题目条件判断三角形类型. 【详解】解：是直角三角形； 直角三角形的两条直角边互为高，其交点为直角顶点，第三条高从直角顶点向斜边作垂线， 三条高的交点是直角顶点， 即该三角形为直角三角形； 故答案为： 直角三角形． 【跟踪专练1】如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 解答题 1．已知在中，，，且为奇数． (1)求的周长； (2)判断的形状． (3)已知、、为三角形三边，化简：． 【答案】(1)12 (2)等腰三角形 (3) 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出的值进行周长计算即可； （2），即可判断三角形形状； （3）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【详解】（1）解：由题意得：． 即：． 为奇数， ． 的周长为． （2）解：， 是等腰三角形． （3）解：根据三角形的三边关系得： ． 2．已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 3．如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 【答案】，，， ，，，，同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵平分，平分（已知） ∴，， ∵（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，，，，，，，同位角相等，两直线平行． 4．如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图： (1)请画出的高； (2)直接写出的面积是_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据网格即可画出的高； （2）根据网格即可求出的面积． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积为． 5．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明，，之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的：__________． __________． ， __________． (2)如图，当点为中点时，试判断与的数量关系__________． (3)如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)；；； (2) (3)；证明见解析 【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答； （2）由点D为中点，得到，结合，推出，然后结合即可作答； （3）同（1）的方法求解． 【详解】（1）解：； 证明：， ， ， ； （2）解：点为中点， ∴ ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： ， ， ， ∴． 6．综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $