22.1 直角三角形（第1课时）（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形性质，涵盖两个锐角互余、斜边上中线等于斜边一半等定理。通过知识回顾衔接旧知，以问题探究（如角关系推导、中线性质证明）搭建学习支架，引导学生从已知逐步过渡到新知构建。 其亮点在于注重定理推导过程（如斜边上中线定理用两种证法）和分层训练，结合推理意识与几何直观（如例2用中线证30°角性质，练习3构造等腰三角形）。学生能提升推理能力与应用意识，教师可借助清晰结构和分层练习提高教学效率。

第22章 直角三角形 22.1①直角三角形 ——直角三角形的性质 沪教版2024 八年级数学上册 章节导读 22.1 直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形全等的判定 角平分线定理 角平分线定理的逆定理 22.2 角平分线 勾股定理 勾股定理的逆定理 22.3 勾股定理 勾股定理及逆定理的应用 学习目标 掌握直角三角形的两个锐角互余的定理及运用； 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的定理及运用。 经历推导证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的过程中体会从特殊到一般的研究问题的方法； 知识回顾 问题思考 什么叫直角三角形？具备哪些性质？ 定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形 性质：有一个角是直角. 直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 新课讲授 问题探究 问题1 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A 与∠B有怎样的数量关系？为什么？ 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∵ ∠A +∠B + ∠C=180° ∴∠A +∠B=90° 定理1：直角三角形的两个锐角互余。 定理的逆命题仍然成立吗？ 新课讲授 问题探究 问题2 在△ABC中，∠A +∠B=90°，那么三角形具有什么特征？ 在Rt△ABC中， ∠A +∠B=90° ∵ ∠A +∠B + ∠C=180° ∴∠C=90°， 定理2：两个锐角互余的三角形是直角三角形。 新课讲授 问题探究 问题3 如图在  中，作射线  与边  交于点 ，将  分成两个角，使 ，就有 ，可见  被分成了两个等腰三角形。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 你能证明吗？ 新课讲授 问题探究 问题4 已知：在  中， 是斜边  上的中线。求证：  证明：过点  作射线  交边  于点 ，使 ， 根据题意，可知 ， 由“直角三角形的两个锐角互余”，可得 ， 从而推出 。 所以，，即线段  的中点  与点  重合。 因此， ，即 。 反证法 还有别的方法吗？ 新课讲授 问题探究 问题4 已知：在  中， 是斜边  上的中线。求证：  证明：延长CD到 ,使D＝CD，连接A ∴A=BC ，  AD=  B ｛ 在△AD与△BDC中 AD=BD （已知）  AD=  BDC（对顶角相等） D=CD （已作） ∴ △AD ≌ △BDC (SAS) ∵  BCA=90° ∴  BAC+  B=90° ∴  BAC+  AD=90° ∴  CA＝  ACB 在△AC与△ACB中 A=BC （已证）  CA＝  ACB （已证） AC=AC （公共边） ∴ △AC ≌ △ACB (SAS) ｛ ∴AB＝ CC’ 又CD＝ C ∴CD＝ AB 新课讲授 我归纳！ 直角三角形定理 定理1：直角三角形的两个锐角互余。 定理2：两个锐角互余的三角形是直角三角形。 定理3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 学以致用 我会证！ 例1 如图已知： 是  的边  上的中线，且 。求证： 是直角三角形。 证明 ∵  是边  上的中线，且 ， ∴ 。 ∴ ，。 ∵ , ∴ . ∴ . ∴  是直角三角形（两个锐角互余的三角形是直角三角形） 学以致用 我会证！ 例2 如图 已知：在 Rt 中，，。 求证： 。 证明 如图 22-1-5，作斜边  上的中线 。 ∵ ，， ∴ （直角三角形的两个锐角互余）。 ∵  是斜边  上的中线， ∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。 ∴ 。 ∴ 。 ∴  是等边三角形。 ∴ . 课堂训练 我会用！ 练习1 如图，已知  为线段  的中点，，，垂足分别为 ，，那么下列结论中不正确的是（ ） A. ; B. ; C. ; D. 。 【分析】本题考察几何图形的性质和计算。给定条件：D是AB中点，EA⊥AB，CB⊥AB，AE=AB=2BC。通过坐标几何或相似三角形分析，可验证选项A、B、D正确。选项A中，DE和AC长度相等，可通过距离公式证明。选项B中，∠E和∠C互余，源于三角形角的关系。选项D中，∠EAF和∠ADE相等，可通过角度计算验证。但选项C中，∠CAB应约为26.565°，而非30°，因此不正确。本题需注意点F可能为点C或图中定义点。 C 课堂训练 我会用！ 练习2 如图，已知：在  中，，垂足为 ，、 分别是边 、 的中点，且 。求证：。 【分析】本题涉及直角三角形中线性质。已知AD⊥BC，E、F为AB、AC中点，且DE=DF。在直角三角形ABD和ACD中，DE和DF分别为斜边上的中线，因此DE=1/2 AB，DF=1/2 AC。由DE=DF，直接推出AB=AC。证明关键在于利用直角三角形斜边中线定理，无需复杂构造，简洁高效。 证明∵ ∴  和  为直角三角形。 ∵  是  的中点，∴ 在 Rt 中， 是斜边  上的中线， ∴ 。同理，∵  是  的中点， ∴ 在 Rt 中， 是斜边  上的中线，∴ 。 又 ∵ ，∴ ，即  课堂训练 我会用！ 练习3 如图，已知：、 分别是  的高，、 分别是 、 的中点。求证：. 【分析】本题证明垂直关系，需运用直角三角形中线性质。BD和CE为高，M、N为BC和DE中点。在直角三角形BCE和BCD中，ME和MD均为斜边BC的中线，故ME=MD=1/2 BC。因此△EMD为等腰三角形，N为DE中点，则MN为中线也是高，从而MN⊥ED。证明体现了几何对称性和中线定理的应用。 证明：连接  和 。∵ ，∴  为直角三角形， ∵  是  的中点，∴  是斜边  上的中线，∴ 。 同理，∵ ，∴  为直角三角形， ∵  是  的中点，∴  是斜边  上的中线，∴ 。∴ 。 在  中，∵ ，且  是  的中点， ∴  是等腰三角形  底边  上的中线， ∴ （等腰三角形三线合一）。 课堂小结 我总结！ 直角三角形定理 定理1：直角三角形的两个锐角互余。 定理2：两个锐角互余的三角形是直角三角形。 定理3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 提升训练 我会证！ 提升1 如图，在四边形中，，O为的中点，证明： 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，熟练掌握运用两个性质是解题关键．根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用等边对等角即可证明． 证明：∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∵是直角三角形，O为的中点， ∴， ∴， ∴． 提升训练 我会证！ 提升2 【教材再现】如图1，，都是等边三角形，连接，相交于点，求的度数． 【类比分析】如图2，，都是等边三角形，点在边上，过作，垂足为，求证：． 【拓展延伸】如图3，是等边三角形，在中，，，连接，平分交的延长线于点，交于点，①求的度数；②写出用等式表示线段，，之间数量关系并证明． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 解：（1），都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ． 设与的交点为，则， ， ； 提升训练 我会证！ 提升2 【教材再现】如图1，，都是等边三角形，连接，相交于点，求的度数． 【分析】（1）证明，得出．设与的交点为，根据，得出，即可得出结果； 提升训练 我会证！ 提升2 【类比分析】如图2，，都是等边三角形，点在边上，过作，垂足为，求证：． 【分析】（2）连接，在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，得出即可； （2）证明：如图，连接，在上截取，连接， ，都是等边三角形， ，，， ，即， ．， ，是等边三角形，，， 是等边三角形，，， ，，即． ，， 是等边三角形，，， ，． 提升训练 我会证！ 提升2 【拓展延伸】如图3，是等边三角形，在中，，，连接，平分交的延长线于点，交于点，①求度数； 【分析】（3）①设，则，根据角平分线定义得出．根据等腰三角形的性质得出，求出结果即可； （3）①是等边三角形，，， 设，则， 平分， ． ． ，， ． ； 提升训练 我会证！ 提升2 【拓展延伸】如图3，是等边三角形，在中，，，连接，平分交的延长线于点，交于点，②写出用等式表示线段，，之间数量关系并证明． 【分析】（3）②连接，过作交的延长线于．证明，得出，证明，得出，根据直角三角形的性质得出，根据，即可证明结论． 证明：如图，连接，过作交的延长线于． 是等边三角形，，，， 平分交于，，，∴是的垂直平分线． ．．．， 平分，，，． 又是等边三角形，．，， 又，．， ，，，， ，． ，，． 提升训练 我会证！ 提升3 如图，，为的中点，连接．(1)求证：．(2)若，判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论；（2）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到根据三角形的外角性质得到由等边三角形的判定定理即可得到结论； （1）证明：∵，为的中点，∴，∴． （2）解：∵，为的中点，∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，∴是等边三角形． 感谢聆听 $