第04讲 两条直线的交点（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年暑假新高二数学预习讲义（苏教版选修第一册）

第04讲 两条直线的交点（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线的交点与其方程组解的关系 知识点02：过两直线交点的直线系方程 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求直线交点坐标 题型02：由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型03：由直线交点的个数求参数 题型04：由直线的交点坐标求参数 题型05：三线能围成三角形的问题 题型06：直线交点系方程及应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线的交点与其方程组解的关系 设两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1,l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1,l2的位置关系 相交 重合 平行 温馨提示　(1)将两直线方程联立解方程组,依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时,两直线相交. (2)设l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1与l2相交的充要条件是A1B2-A2B1≠0. (3)设两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1与l2相交⇔k1≠k2. (4)利用方程组解的个数可判定两直线平行、重合、相交,但不能判定两直线垂直. 【例1】判断直线与直线的位置关系，若两直线相交，求出交点坐标。 解：步骤1：联立两条直线方程，得到方程组. 步骤2：解二元一次方程组 由第二个方程变形得： 将代入第一个方程： 化简计算： 回代得： 步骤3：判定位置关系并给出结论 方程组有唯一实数解，因此两条直线相交。 两直线交点坐标为。 【知识点02】过两直线交点的直线系方程 过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)①,或m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n不全为零)②. 温馨提示　(1)对于②:不妨令m≠0,则②可化为①的形式; (2)对于②:当m=0时,表示直线l2;当n=0时,表示直线l1. 【例2】求经过直线与的交点，且过点的直线方程。 解：步骤1：设过两直线交点的直线系方程 根据直线系公式，设所求直线方程为：. 步骤2：代入已知点坐标求解参数 直线过点，将代入方程： 化简得：，式子恒成立，说明该点在直线上。 步骤3：整理得出最终直线方程 满足条件的直线即为直线：。 【题型01】求直线交点坐标 【典例1-1】（25-26高二上·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立两条直线的方程，求解方程组，可求得两条直线的交点坐标. 【详解】由，得. 所以直线与直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）直线：与直线：的交点坐标为________. 【答案】 【分析】联立方程即可求解. 【详解】联立，解得，故交点为， 故答案为： 【变式1-2】（24-25高二上·江苏·期中）在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再联立求出点坐标. （2）设，由的中点在直线上求出点，再利用直线的点斜式方程求出直线的方程. 【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率， 直线的方程为，即，由，解得， 所以点C的坐标为. （2）依题意，设，则边的中点在直线上， 于是，解得：，即点， 所以直线BC的方程为，即. 【变式1-3】（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线和直线的交点为. (1)求点坐标； (2)求过点且与和距离相等的直线方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）解方程组求出点的坐标. （2）根据给定条件，可得所求方程的直线过线段的中点或平行于直线，再分情况求出直线方程. 【详解】（1）由，解得， 所以点的坐标为. （2）令过点且与和距离相等的直线为， 由到直线的距离相等，得经过线段的中点或， 当经过线段的中点时，线段的中点为， 又经过点，则直线的方程为； 当时，而直线的斜率， 则直线的方程为，即， 所以所求直线的方程为或. 【题型02】由方程组的解的个数判断直线位置关系 【典例2-1】（2023高二上·全国·专题练习）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交， (2)重合 【分析】（1）联立方程求出交点坐标； （2）化简得到，可得两直线重合. 【详解】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合， 【变式2-1】分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程有无数多个解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 【变式2-3】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 【题型03】由直线交点的个数求参数 【典例3-1】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式3-1】若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 【变式3-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 【变式3-3】三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 【题型04】由直线的交点坐标求参数 【典例4-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】联立直线方程求交点坐标，再由点在直线上求参数. 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 【变式4-1】（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解. 【详解】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知三条直线，，相交于一点，则____________. 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 由点在直线上，得，所以. 故答案为：3 【变式4-3】已知直线与的交点在y轴上，求m的值． 【答案】 【分析】首先由两线平行得，联立直线方程求交点坐标，根据交点位置求参数即可. 【详解】当时，，平行，无交点； 所以，此时联立方程有，可得， 由交点在y轴上，则，即.    【题型05】三线能围成三角形的问题 【典例5-1】使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 【变式5-2】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 【变式5-3】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【题型06】直线交点系方程及应用 【典例6-1】过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 【变式6-1】若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 【变式6-2】平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 【变式6-3】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 知识点01 直线的交点与其方程组解的关系 1. 核心对应本质 直线上所有点的坐标都满足自身直线方程，因此两条直线交点坐标，同时满足两条直线的方程，直线位置关系和二元一次方程组的解一一对应。 2. 位置关系与方程组解的对应表 设两直线一般式： 方程组解的情况 直线位置关系 交点个数 系数判定条件 唯一一组实数解 相交 1个 无解 平行（不重合） 0个 无数组实数解 重合 无数个 3. 求直线交点通用步骤 联立两条直线的一般式方程，构造二元一次方程组 求解方程组，得到的值 方程组的解即为两直线交点坐标 知识点02 过两直线交点的直线系方程 1. 标准直线系方程 已知相交直线，， 经过两直线交点的直线系方程： 2. 参数与方程核心说明 为任意实数参数，每一个对应一条过交点的直线 关键限制：该直线系方程不能表示直线，做题必须单独检验是否符合题意 解题优势：无需提前计算交点坐标，简化运算，是解析几何快速解题常用结论 3. 特殊补充 若题目无特殊要求，优先使用直线系方程解题；若所求直线恰好为，直线系方程无法求出，需要单独验证补解。 知识点03本节高频易错点（必背避坑） 1.只会用斜率判断平行，忽略直线斜率不存在的特殊情况，系数判定法无斜率漏洞，更通用 2.混淆平行和重合：两直线系数成比例时，常数项是否成比例是区分关键 3.使用直线系方程解题，忘记补检直线，造成漏解 4.联立方程组求解交点时，移项、正负号计算失误 5.直线系方程中是全体实数，不可默认 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【答案】B 【分析】将点分别代入两直线方程即可解得，. 【详解】将点代入直线的方程可得，解得； 将代入直线的方程可得，解得； 故选：B 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出交点坐标，根据第一象限点的特征可得答案. 【详解】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为，所以所求的直线斜率为， 故直线方程为，即. 故选：D. 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【详解】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】联立，可得，所以与的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为， 代入得，所以， 所以直线的方程为，满足题设. 故选：A 7．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 8．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，结合基本不等式，即可求解. 【详解】直线，当，得， 即点， 直线，当，得，即点， 且两条直线满足，所以，即， ， ，当时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 【答案】AC 【分析】对三条直线的位置关系分三种情况分别讨论，即可得解. 【详解】若三条直线不能构成三角形，则直线存在以下三种情况； ①当与平行（或重合）时，则，解得； ②当与平行（或重合）时，则，解得； ③当三条直线交于同一点时，由，解得， 代入解得. 所以选项中，三条直线能构成三角形的实数可能为，AC正确， 故选：AC. 10．设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】举出反例判断A；联立，结合是否为0，讨论方程组解的情况，判断直线的位置关系，判断，讨论是否为0，结合可判断两直线是否垂直，判断D. 【详解】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误； 对于B，联立 ，可得, 当时，，此时方程组有唯一一组解， 故直线与相交，B正确； 对于C，时，若，则无解， 此时； 若，则有无数多组解， 此时重合，故C错误； 对于D，若，则由可得， 即两直线斜率之积等于，故； 若,则可得，此时满足， 直线：，：， 此时， 故当时，，D正确， 故选： 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 三、填空题 12．已知直线和，则直线和的交点为__. 【答案】 【分析】通过联立方程组的方法来求得两直线的交点坐标. 【详解】联立，解得. 直线和的交点为. 故答案为： 13．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 14．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线，，直线与、分别交于B、C两点，若点在线段BC上，且，则的方程为____________． 【答案】 【分析】设点坐标，根据得到方程组，解出两点坐标即可得到直线方程. 【详解】由，且点在线段上，得．设，， 则， 即 解得 则． 因为，所以的方程为，即． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知两直线，.求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程. 【答案】 【分析】先求得交点坐标，再设直线方程为，代入交点坐标，即求解. 【详解】联立，得，即两条直线的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 将代入得，即， 所以所求直线方程为. 16．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先联立和的方程，解出交点，用交点和求斜率，最后用点斜式得方程后整理为. (2)根据垂直关系，由斜率得的斜率为，点斜式得方程后整理为. 【详解】（1）首先求直线和的交点，联立方程：， 解得，所以两直线交点坐标为，已知直线过点和点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 即直线l的一般方程. （2）直线的方程为，化为斜截式得， 即斜率为：，与垂直的直线斜率满足， 所以直线的斜率为，直线经过交点，由点斜式得： ,化为一般式为. 17．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)重合 (3)平行 【分析】分别联立方程组的，解方程组即可判断直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，且交点坐标为． （2）联立直线与的方程得方程组， 因为整理得，即方程②可以化为方程①， 所以方程组有无数组解， 所以与重合． （3）联立直线与的方程得方程组 由得（不成立），可知该方程组无解． 所以与无公共点，即． 18．已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【详解】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简直线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）设直线分别与直线交于两点，联立方程组，求得的坐标，得到的中点，设点在直线和上，利用三角形全等，证得，所以为的中点，代入直线的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）解：设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 两条直线的交点（知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线的交点与其方程组解的关系 知识点02：过两直线交点的直线系方程 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求直线交点坐标 题型02：由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型03：由直线交点的个数求参数 题型04：由直线的交点坐标求参数 题型05：三线能围成三角形的问题 题型06：直线交点系方程及应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线的交点与其方程组解的关系 设两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1,l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1,l2的位置关系 相交 重合 平行 温馨提示　(1)将两直线方程联立解方程组,依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时,两直线相交. (2)设l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),则l1与l2相交的充要条件是A1B2-A2B1≠0. (3)设两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1与l2相交⇔k1≠k2. (4)利用方程组解的个数可判定两直线平行、重合、相交,但不能判定两直线垂直. 【例1】判断直线与直线的位置关系，若两直线相交，求出交点坐标。 【知识点02】过两直线交点的直线系方程 过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0)①,或m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m,n不全为零)②. 温馨提示　(1)对于②:不妨令m≠0,则②可化为①的形式; (2)对于②:当m=0时,表示直线l2;当n=0时,表示直线l1. 【例2】求经过直线与的交点，且过点的直线方程。 【题型01】求直线交点坐标 【典例1-1】（25-26高二上·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）直线：与直线：的交点坐标为________. 【变式1-2】（24-25高二上·江苏·期中）在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 【变式1-3】（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线和直线的交点为. (1)求点坐标； (2)求过点且与和距离相等的直线方程. 【题型02】由方程组的解的个数判断直线位置关系 【典例2-1】（2023高二上·全国·专题练习）判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【变式2-1】分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【变式2-3】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【题型03】由直线交点的个数求参数 【典例3-1】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式3-1】若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【变式3-3】三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【题型04】由直线的交点坐标求参数 【典例4-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-1】（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏·期末）已知三条直线，，相交于一点，则____________. 【变式4-3】已知直线与的交点在y轴上，求m的值． 【题型05】三线能围成三角形的问题 【典例5-1】使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【变式5-3】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【题型06】直线交点系方程及应用 【典例6-1】过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式6-1】若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________．（写成一般式） 【变式6-3】已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 知识点01 直线的交点与其方程组解的关系 1. 核心对应本质 直线上所有点的坐标都满足自身直线方程，因此两条直线交点坐标，同时满足两条直线的方程，直线位置关系和二元一次方程组的解一一对应。 2. 位置关系与方程组解的对应表 设两直线一般式： 方程组解的情况 直线位置关系 交点个数 系数判定条件 唯一一组实数解 相交 1个 无解 平行（不重合） 0个 无数组实数解 重合 无数个 3. 求直线交点通用步骤 联立两条直线的一般式方程，构造二元一次方程组 求解方程组，得到的值 方程组的解即为两直线交点坐标 知识点02 过两直线交点的直线系方程 1. 标准直线系方程 已知相交直线，， 经过两直线交点的直线系方程： 2. 参数与方程核心说明 为任意实数参数，每一个对应一条过交点的直线 关键限制：该直线系方程不能表示直线，做题必须单独检验是否符合题意 解题优势：无需提前计算交点坐标，简化运算，是解析几何快速解题常用结论 3. 特殊补充 若题目无特殊要求，优先使用直线系方程解题；若所求直线恰好为，直线系方程无法求出，需要单独验证补解。 知识点03本节高频易错点（必背避坑） 1.只会用斜率判断平行，忽略直线斜率不存在的特殊情况，系数判定法无斜率漏洞，更通用 2.混淆平行和重合：两直线系数成比例时，常数项是否成比例是区分关键 3.使用直线系方程解题，忘记补检直线，造成漏解 4.联立方程组求解交点时，移项、正负号计算失误 5.直线系方程中是全体实数，不可默认 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二上·全国·专题练习）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·福建宁德·期中）三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 8．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为(    ) A．4 B．8 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东佛山·期中）已知三条直线能构成三角形，则实数可能为（   ） A． B． C． D．6 10．设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知直线和，则直线和的交点为__. 13．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 14．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线，，直线与、分别交于B、C两点，若点在线段BC上，且，则的方程为____________． 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知两直线，.求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程. 16．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线，，求下列直线l的一般方程: (1)若直线经过和的交点，且经过点 ； (2)若直线经过和的交点，且与直线垂直. 17．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 18．已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 19．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $