第1.2讲 直线的方程（暑假预习讲义）新高二数学苏教版

第1.2讲 直线的方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 直线的点斜式方程 题型2 直线的斜截式方程 题型3 直线的两点式方程 题型4 直线的截距式方程 题型5 直线的一般式方程 题型6 直线方程综合辨析 题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型8 直线过定点问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 直线的点斜式方程 已知一点和斜率可直接写出方程；注意斜率不存在时（直线竖直）不能用点斜式，需单独写出直线方程。常考根据条件求点斜式，再转化为其他形式。 2. 直线的斜截式方程 已知斜率和纵截距可直接写出；纵截距是直线与y轴交点的纵坐标，易与横截距混淆。常考判断截距的正负，或由斜截式求斜率与截距。 3. 直线的两点式方程 已知两点坐标（横坐标不相等且纵坐标不相等）时使用；若两点横坐标相同或纵坐标相同，两点式分母为零，需单独处理（直线竖直或水平）。 4. 直线的截距式方程 已知横截距和纵截距（均不为零）时使用；注意截距是坐标值，可正可负可为零，但截距式不能表示过原点或平行于坐标轴的直线。常考求截距或由截距式求面积。 5. 直线的一般式方程 所有直线均可写为一般式；常考点：已知一般式求斜率、截距、方向向量、法向量；含参数时需考虑系数是否为零。 6. 直线方程综合辨析 给出多种形式的方程，判断表示何种直线（如斜截式与一次函数的区别）；或判断点与直线位置关系；或根据条件选择最合适的方程形式。 7. 直线与坐标轴围成图形的面积问题 常考直线与两坐标轴围成的三角形面积（截距式直接得面积公式）；或求过定点且与坐标轴围成面积最小（或定值）的直线方程；注意截距为零时面积为零的特殊情况。 8. 直线过定点问题 含参数的直线方程，将参数整理，令参数系数为零，解方程组得定点坐标。常考证明直线过定点，或由过定点求参数值。 学习重点：掌握五种直线方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）的适用条件与基本形式；能根据已知条件灵活选择方程形式并熟练互化；理解截距的含义（可正可负可为零）；会求直线过定点、直线与坐标轴围成图形面积等问题。 学习难点：注意斜率不存在（竖直线）不能用点斜式、斜截式；两点坐标相等时不能直接用两点式；截距式不能表示过原点或平行于坐标轴的直线；由一般式含参数判断直线位置关系时，容易遗漏系数为零的情况；过定点问题中参数整理与方程组的求解易错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的点斜式与斜截式方程 1、直线的点斜式方程 设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程. 使用范围：斜率存在的情况 2、直线的斜截式方程 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 使用范围：斜率存在的情况 即时即练（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【易错提醒】 当直线的斜率不存在时，其直线方程不能用点斜式与斜截式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于，所以直线方程可以写为 知识点02 直线的两点式与截距式方程 1、直线的两点式方程 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. 注意：①当时，直线方程为 （或）. ②当时，直线方程为 （或）. 2、直线的截距式方程 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 注意：当直线在x轴上的截距、y轴上的截距都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 即时即练（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【易错提醒】 1、两点式方程适用于不垂直于x轴和y轴的直线，截距式方程适用于不含垂直于坐标轴和过原点的直线。 2、截距不同于距离，截距是个数值，可正可负可为0. 知识点03 直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于的二元一次方程（其中不同时为0）叫作直线的一般式方程. 注意：对于方程（不全为0）， 当时，方程可以写成，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当时，它表示垂直于y轴的直线. 当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线. 即时即练（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期末）下列命题正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．与直线关于轴对称的直线方程是 C．若点在直线上，则直线方程还可以写成 D．若直线方程为，则直线倾斜角为 【易错提醒】 对于一般式方程，它适用于任意直线，但是在给出条件求直线的过程中，利用一般式方程并不方便，通常选择其他的四种形式，最后用一般式表达。 知识点04 求直线方程 名称 方程 适用范围 点斜式 不垂直于x轴 斜截式 不垂直于x轴 两点式 不垂直于x轴和y轴 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 任意直线都适用 反设式：圆锥曲线中经常用到 （直线不与x轴平行） 求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，在待定系数法中，可以考虑下面情况 （1）已知直线的斜率，常用点斜式或斜截式。 （2）已知直线的横竖截距，可考虑截距式。 （3）已知直线过某点，可用点斜式，但是要讨论斜率是否存在 （4）已知两点可考虑两点式。 即时即练（多选）（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【易错提醒】 1、平行于x轴的直线：（为常数）； 平行于y轴的直线：（为常数）； 2、方程与方程是有区别的，前者不包含点 题型1 直线的点斜式方程 【例1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为__________. 【例2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为__________. 【技巧归纳】 已知直线上一点和斜率，直接写出方程；注意斜率不存在时直线竖直，不能用点斜式，需单独处理。常用于求直线方程或转化为其他形式。 【变式1-1】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【变式1-2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 题型2 直线的斜截式方程 【例1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 【技巧归纳】 已知直线的斜率和纵截距，直接写出斜截式方程。纵截距是直线与y轴交点的纵坐标（可正可负可零）。适用于斜率存在的情形，斜率不存在时无法使用。 【变式3-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】（25-26高二上·广东汕头·期中）如图所示，直线与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   题型3 直线的两点式方程 【例1】（多选）（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【例2】（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 已知直线上两点（且横纵坐标均不相等），可直接写出两点式方程。若两点横坐标相等，直线竖直；纵坐标相等，直线水平，此时两点式分母为零，需单独处理。适用于求直线方程或转化为其他形式。 【变式2-1】（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 题型4 直线的截距式方程 【例1】（25-26高二上·重庆·期末）已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 为坐标原点，若 ， 则 内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）（25-26高二上·河北·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 已知直线在x轴和y轴上的截距（均不为零），可直接写出截距式方程。截距是坐标值，可正可负，但截距式不能表示过原点、平行于坐标轴或截距为零的直线。常用于与坐标轴围成三角形面积的问题。 【变式3-1】（25-26高二·全国·暑假作业）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 题型5 直线的一般式方程 【例1】（多选）（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线在轴和轴上的截距相等 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜率为1 D．是直线的一个方向向量 【例2】（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 一般式方程可表示所有直线（包括水平、竖直），是直线方程的统一形式。求斜率需将方程化为斜截式（系数B不为零时，斜率为负A除以B），求截距分别令或。注意参数讨论时系数为零的情形。 【变式4-1】（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．直线过点 C．直线的一个方向向量为 D．直线的斜率为 【变式4-2】（25-26高二上·河北承德·阶段检测）设直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．-2 题型6 直线方程综合辨析 【例1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）关于直线的方程下列说法错误的是（    ） A．经过定点且方向向量为的直线都可以用方程表示 B．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 C．方程（、不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线 D．不经过原点的直线都可以用方程来表示 【例2】（多选）（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线的倾斜角为 B．经过点的所有直线都可以用方程表示 C．直线在轴上的截距为 D．点在同一条直线上 【技巧归纳】 综合辨析时需根据条件选择最合适的方程形式（如已知点斜用点斜式，已知截距用截距式），注意各种形式的局限性（斜率不存在、截距为零等）。常考不同形式的互化，以及判断方程是否表示直线或需要附加条件。 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（    ） A．过点的直线方程为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线的倾斜角为 D．过，两点的直线方程为 题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题 【例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【例2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【技巧归纳】 已知直线方程，求与两坐标轴围成的三角形面积时，常用截距式（面积等于|横截距×纵截距|的一半）。若直线过定点，可设点斜式，表示出截距后转化为函数或利用基本不等式求面积最值。注意截距为零时面积为0，且截距的正负不影响面积取绝对值。 【变式6-1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 【变式6-2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 题型8 直线过定点问题 【例1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【技巧归纳】 将含参数的直线方程按参数整理，令参数系数为零，同时令常数项为零，解方程组得到定点坐标。也可取两个特殊参数值求出两条直线，求其交点即得定点。 【变式7-1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【变式7-2】（25-26高二上·湖南常德·期末）直线：恒过定点______． 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 2．(多选)（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则______． 4．若方程表示一条直线，则实数满足_________． 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 6．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 7．（多选）（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 8．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 9．（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 10．（25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1.2讲 直线的方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 直线的点斜式方程 题型2 直线的斜截式方程 题型3 直线的两点式方程 题型4 直线的截距式方程 题型5 直线的一般式方程 题型6 直线方程综合辨析 题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型8 直线过定点问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1. 直线的点斜式方程 已知一点和斜率可直接写出方程；注意斜率不存在时（直线竖直）不能用点斜式，需单独写出直线方程。常考根据条件求点斜式，再转化为其他形式。 2. 直线的斜截式方程 已知斜率和纵截距可直接写出；纵截距是直线与y轴交点的纵坐标，易与横截距混淆。常考判断截距的正负，或由斜截式求斜率与截距。 3. 直线的两点式方程 已知两点坐标（横坐标不相等且纵坐标不相等）时使用；若两点横坐标相同或纵坐标相同，两点式分母为零，需单独处理（直线竖直或水平）。 4. 直线的截距式方程 已知横截距和纵截距（均不为零）时使用；注意截距是坐标值，可正可负可为零，但截距式不能表示过原点或平行于坐标轴的直线。常考求截距或由截距式求面积。 5. 直线的一般式方程 所有直线均可写为一般式；常考点：已知一般式求斜率、截距、方向向量、法向量；含参数时需考虑系数是否为零。 6. 直线方程综合辨析 给出多种形式的方程，判断表示何种直线（如斜截式与一次函数的区别）；或判断点与直线位置关系；或根据条件选择最合适的方程形式。 7. 直线与坐标轴围成图形的面积问题 常考直线与两坐标轴围成的三角形面积（截距式直接得面积公式）；或求过定点且与坐标轴围成面积最小（或定值）的直线方程；注意截距为零时面积为零的特殊情况。 8. 直线过定点问题 含参数的直线方程，将参数整理，令参数系数为零，解方程组得定点坐标。常考证明直线过定点，或由过定点求参数值。 学习重点：掌握五种直线方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）的适用条件与基本形式；能根据已知条件灵活选择方程形式并熟练互化；理解截距的含义（可正可负可为零）；会求直线过定点、直线与坐标轴围成图形面积等问题。 学习难点：注意斜率不存在（竖直线）不能用点斜式、斜截式；两点坐标相等时不能直接用两点式；截距式不能表示过原点或平行于坐标轴的直线；由一般式含参数判断直线位置关系时，容易遗漏系数为零的情况；过定点问题中参数整理与方程组的求解易错。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直线的点斜式与斜截式方程 1、直线的点斜式方程 设直线l经过一点，斜率为，则方程叫作直线l的点斜式方程. 使用范围：斜率存在的情况 2、直线的斜截式方程 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. 使用范围：斜率存在的情况 即时即练（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程求解. 【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为3，而直线过点， 所以直线的方程是. 故选：D 【易错提醒】 当直线的斜率不存在时，其直线方程不能用点斜式与斜截式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于，所以直线方程可以写为 知识点02 直线的两点式与截距式方程 1、直线的两点式方程 设直线l经过两点， ，则方程叫作直线l的两点式方程. 注意：①当时，直线方程为 （或）. ②当时，直线方程为 （或）. 2、直线的截距式方程 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. 注意：当直线在x轴上的截距、y轴上的截距都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程. 即时即练（2026·江西宜春·一模）已知直线的斜率为，，直线在两坐标轴上的截距相等，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】分析充分性： 已知，设直线的方程为：， 当时，，在轴上的截距为， 当时，，在轴上的截距为， 所以直线在两坐标轴上的截距相等，即充分性成立； 分析必要性： 已知直线在两坐标轴上的截距相等，分两种情况： （1）截距不为0时，设两截距均为，则直线方程为，即，此时斜率； （2）截距为0时，直线过原点，此时斜率不一定为. 所以必要性不成立. 【易错提醒】 1、两点式方程适用于不垂直于x轴和y轴的直线，截距式方程适用于不含垂直于坐标轴和过原点的直线。 2、截距不同于距离，截距是个数值，可正可负可为0. 知识点03 直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于的二元一次方程（其中不同时为0）叫作直线的一般式方程. 注意：对于方程（不全为0）， 当时，方程可以写成，它表示斜率为，在y轴上的截距为的直线.特别地，当时，它表示垂直于y轴的直线. 当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线. 即时即练（多选）（25-26高二上·辽宁大连·期末）下列命题正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．与直线关于轴对称的直线方程是 C．若点在直线上，则直线方程还可以写成 D．若直线方程为，则直线倾斜角为 【答案】BC 【分析】对A，由直线方程求出斜率进而判断；对B，由对称性求得直线斜率，再根据点斜式求出直线方程；对C，由题可得，进而得，化简得解；对D，由直线方程求得斜率，进而求得倾斜角得解. 【详解】对于A，直线的斜率，而方向向量对应直线的斜率为，故A错误； 对于B，直线的斜率为，与轴交于点，所以关于轴对称的直线斜率为，且过点， 所以直线方程为，即，故B正确； 对于C，由点在直线上，得， 所以，即，故C正确； 对于D，直线的斜率为，所以倾斜角为，故D错误. 故选：BC. 【易错提醒】 对于一般式方程，它适用于任意直线，但是在给出条件求直线的过程中，利用一般式方程并不方便，通常选择其他的四种形式，最后用一般式表达。 知识点04 求直线方程 名称 方程 适用范围 点斜式 不垂直于x轴 斜截式 不垂直于x轴 两点式 不垂直于x轴和y轴 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 任意直线都适用 反设式：圆锥曲线中经常用到 （直线不与x轴平行） 求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，在待定系数法中，可以考虑下面情况 （1）已知直线的斜率，常用点斜式或斜截式。 （2）已知直线的横竖截距，可考虑截距式。 （3）已知直线过某点，可用点斜式，但是要讨论斜率是否存在 （4）已知两点可考虑两点式。 即时即练（多选）（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 【易错提醒】 1、平行于x轴的直线：（为常数）； 平行于y轴的直线：（为常数）； 2、方程与方程是有区别的，前者不包含点 题型1 直线的点斜式方程 【例1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且过点，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】根据点斜式求得直线的方程. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，斜率为， 所以直线的方程为， 即. 故答案为： 【例2】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为__________. 【答案】 【分析】易知直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程可求得结果. 【详解】显然直线的斜率为，所以可知其倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，其斜率为， 又直线过点，所以的方程为, 即. 故答案为：. 【技巧归纳】 已知直线上一点和斜率，直接写出方程；注意斜率不存在时直线竖直，不能用点斜式，需单独处理。常用于求直线方程或转化为其他形式。 【变式1-1】（25-26高二上·河南郑州·期末）已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【答案】 【分析】利用垂直平分线的性质求出直线的斜率和直线上的点，进而利用点斜式求解． 【详解】线段的垂直平分线，垂直于直线，且过直线的中点， 设的中点为，则， 设直线的斜率为，则，解得， 直线方程为，一般形式为． 【变式1-2】（25-26高二上·贵州毕节·期末）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为_____． 【答案】 【分析】先根据题意得出入射光线的方程，求出入射光线与x轴的交点，结合反射的性质得出反射光线的斜率，即可得出答案. 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 则入射光线方程为，化简整理可得， 则入射光线和轴交点为， 由对称性知反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 化简整理可得. 故答案为： 题型2 直线的斜截式方程 【例1】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线的斜截式公式求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，， 故选：B. 【例2】（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 【答案】 【分析】 由直线的平移变换可得平移后的直线方程，比较系数可得． 【详解】易知直线的斜率存在，设方程为，① 所以直线沿轴向右平移3个单位后得到的方程为， 再沿轴向上平移2个单位后得到的方程为，② 因为回到原来的位置，所以方程①②应为同一个， 比较系数可得，解得 故答案为：． 【技巧归纳】 已知直线的斜率和纵截距，直接写出斜截式方程。纵截距是直线与y轴交点的纵坐标（可正可负可零）。适用于斜率存在的情形，斜率不存在时无法使用。 【变式3-1】（25-26高二上·山东临沂·期中）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】把点代入求得化直线方程为，求各轴上的截距，运算求解即可. 【详解】因为直线经过点， 则可得， 直线方程为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，可知， 令，得；令，得； 则，化为，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选： 【变式3-2】（25-26高二上·广东汕头·期中）如图所示，直线与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据直线的斜截式方程的各项系数的几何意义，逐一判断各选项即得. 【详解】对于A，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故A不合题意； 对于B，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故B不合题意； 对于C，由直线的图象可得，由的图象可得，产生矛盾，故C不合题意； 对于D，由直线的图象可得，由的图象可得，两者一致，故D符合题意. 故选：D. 题型3 直线的两点式方程 【例1】（多选）（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 【例2】（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 【详解】∵， ∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 【技巧归纳】 已知直线上两点（且横纵坐标均不相等），可直接写出两点式方程。若两点横坐标相等，直线竖直；纵坐标相等，直线水平，此时两点式分母为零，需单独处理。适用于求直线方程或转化为其他形式。 【变式2-1】（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 题型4 直线的截距式方程 【例1】（25-26高二上·重庆·期末）已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 为坐标原点，若 ， 则 内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线方程求两点的坐标，进而得到的长度，再根据内切圆半径公式得到关于的表达式，最后结合已知条件求出的最大值. 【详解】已知直线 与坐标轴分别交于 两点， 令，得，则，则； 令，得，则，则， 根据距离公式可得， 设 内切圆半径为，则， 又，，即， 又，，即， 令，，当且仅当时等号成立， 又，，则， 将代入中，得， 又在上单调递增，当时，. 故选：A. 【例2】（多选）（25-26高二上·河北·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据截距式直线方程的定义进行求解即可. 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得，所以或， 解得或，所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确. 故选：ACD. 【技巧归纳】 已知直线在x轴和y轴上的截距（均不为零），可直接写出截距式方程。截距是坐标值，可正可负，但截距式不能表示过原点、平行于坐标轴或截距为零的直线。常用于与坐标轴围成三角形面积的问题。 【变式3-1】（25-26高二·全国·暑假作业）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 【变式3-2】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 题型5 直线的一般式方程 【例1】（多选）（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线在轴和轴上的截距相等 B．直线的截距式方程为 C．直线的斜率为1 D．是直线的一个方向向量 【答案】AD 【分析】求出直线在轴和轴上的截距，可判断A；直线的方程化为截距式方程，可判断B；化直线的方程为斜截式方程，求得斜率可判断C；由直线的斜率可知直线的方向向量，可判断D． 【详解】直线，令，得；令，得， 即直线在轴和轴上的截距相等，均为1，故A正确； 由，可得直线的截距式方程为，故B错误； 由，得，直线的斜率为，故C错误； 直线的斜率为，可知是直线的一个方向向量，故D正确， 故选：AD． 【例2】（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 【技巧归纳】 一般式方程可表示所有直线（包括水平、竖直），是直线方程的统一形式。求斜率需将方程化为斜截式（系数B不为零时，斜率为负A除以B），求截距分别令或。注意参数讨论时系数为零的情形。 【变式4-1】（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）已知直线，则下列结论正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．直线过点 C．直线的一个方向向量为 D．直线的斜率为 【答案】D 【分析】根据给定的直线方程，求出斜率及倾斜角判断AD；验证判断B；求出方向向量判断C. 【详解】对于A，直线的斜率，其倾斜角为，A错误，正确； 对于B，，直线不过点，B错误； 对于C，直线的一个方向向量为，C错误. 故选： 【变式4-2】（25-26高二上·河北承德·阶段检测）设直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．-2 【答案】C 【分析】由直线的一般方程可得斜率，由可得倾斜角，从而可得答案. 【详解】因为直线，所以斜率为． 因为该直线的倾斜角为，，所以． 又因为直线的斜率为， 所以． 故选：C． 题型6 直线方程综合辨析 【例1】（25-26高二上·湖北·阶段检测）关于直线的方程下列说法错误的是（    ） A．经过定点且方向向量为的直线都可以用方程表示 B．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 C．方程（、不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线 D．不经过原点的直线都可以用方程来表示 【答案】D 【分析】根据点斜式判断A，根据两点式判断B，根据一般式判断C，举反例判断D. 【详解】对于A：由直线方向向量为，可得该直线的斜率为， 又由直线过定点，可得直线方程为，故A正确； 对于B：设是该直线上的任意一点，则，， 由，可得， 即经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示，故B正确； 对于C：直线的一般式方程（、不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线，故C正确； 对于D：不过原点但在轴或轴上无截距的直线（）或（）不能用方程表示，故D错误. 故选：D. 【例2】（多选）（25-26高二上·福建龙岩·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．过两点的直线的倾斜角为 B．经过点的所有直线都可以用方程表示 C．直线在轴上的截距为 D．点在同一条直线上 【答案】AD 【分析】借助斜率与倾斜角的关系计算可得A；考虑斜率不存在的情况可得B；由截距定义可得C；借助斜率公式计算可得D. 【详解】对于A：过两点的直线的斜率， 所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：过点斜率不存在时，方程为，故B错误； 对于C：直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D：因为，， 则，所以三点共线，故D正确. 故选：AD 【技巧归纳】 综合辨析时需根据条件选择最合适的方程形式（如已知点斜用点斜式，已知截距用截距式），注意各种形式的局限性（斜率不存在、截距为零等）。常考不同形式的互化，以及判断方程是否表示直线或需要附加条件。 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·甘肃武威·阶段检测）以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线恒过定点 B．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 C．“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D．过两点的直线方程为 【答案】AC 【分析】对于A，对直线方程进行化简，即可确定直线所过定点坐标；对于B，漏掉了过原点的直线的情况；对于C，两条直线垂直求出的值有2个；对于D，根据两点式直线方程的条件即可判断． 【详解】对于A： 化简直线方程得， 直线恒过与的交点，解得，恒过定点，A正确； 对于B： 直线过点，在轴上截距相等，当截距不为0时为， 截距为0时为，故B错误； 对于C： 由题意，“直线与直线垂直” 则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，C正确； 对于D： 两点式直线方程的条件需满足且，所以D错误. 故选：AC 【变式5-2】（25-26高二上·全国·课后作业）下列说法一定正确的是（    ） A．过点的直线方程为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线的倾斜角为 D．过，两点的直线方程为 【答案】D 【分析】根据直线方程的不同形式以及直线的相关性质，结合倾斜角、截距等概念，需要对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对A，当直线斜率不存在时，直线方程为，故A错误． 对B，令，，则直线在轴上的截距为，故B错误． 对C，直线,其斜率(为倾斜角)，但是倾斜角，而的取值范围是，若，则直线的倾斜角不是，故C错误． 对D，当过点，的直线斜率存在且不为零时， 该直线的两点式方程为，可化为； 当直线与轴垂直时，方程为，满足； 当直线与轴垂直时，方程为，满足． 综上所述，过，两点的直线方程为，故D正确. 故选：D 题型7 直线与坐标轴围成图形的面积问题 【例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【分析】由题意，求出点A的横坐标、B的纵坐标，根据三角形的面积公式建立关于b的方程，解之即可. 【详解】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得. 故选：B. 【例2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 【技巧归纳】 已知直线方程，求与两坐标轴围成的三角形面积时，常用截距式（面积等于|横截距×纵截距|的一半）。若直线过定点，可设点斜式，表示出截距后转化为函数或利用基本不等式求面积最值。注意截距为零时面积为0，且截距的正负不影响面积取绝对值。 【变式6-1】（25-26高二上·山东菏泽·期末）过点的直线分别与轴､轴交于两点，为坐标原点.若使得的面积为的直线有且只有2条，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由直线的点斜式方程设出直线的方程，并求出点坐标及三角形面积，再按直线斜率的正负分类，结合一元二次方程根的情况求出范围. 【详解】直线不垂直于坐标轴，设直线方程为， 则点，的面积， 于是，即，， 当，即时，，整理得， 此方程有两个负根，则，又，解得； 当，即时，，整理得， 此方程有两个正根，则，又，解得， 因此当时，有两解；当时，有三解； 当时，有四解， 由使得的面积为的直线有且只有2条，得有两解，则， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 题型8 直线过定点问题 【例1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 【例2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 【技巧归纳】 将含参数的直线方程按参数整理，令参数系数为零，同时令常数项为零，解方程组得到定点坐标。也可取两个特殊参数值求出两条直线，求其交点即得定点。 【变式7-1】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 【变式7-2】（25-26高二上·湖南常德·期末）直线：恒过定点______． 【答案】 【分析】原方程整理为，解方程组得解. 【详解】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 1．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 2．(多选)（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则______． 【答案】2 【分析】根据点以及方向向量分别求解出，的方程，再得到截距即可得出结果. 【详解】因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距． 因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距， 所以． 故答案为：2. 4．若方程表示一条直线，则实数满足_________． 【答案】 【分析】根据直线的一般式方程，，不全为0的条件，求值判断即可. 【详解】解：当时，或； 当时，或． 要使方程表示一条直线， 则，不能同时为0，所以． 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 6．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．过点的直线方程都可以表示为 B．若直线在轴，轴的截距分别为，则该直线方程为 C．方程表示过两点的一条直线 D．若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程的含义判断A；根据直线的截距式方程的含义判断B；根据直线的两点式方程的含义判断C；直线经过第一、二、四象限，确定的符号，即可判断D. 【详解】对于A，过点的直线斜率不存在时，表示为， 当直线的斜率存在时，方程才可以表示为，A错误； 对于B，直线在轴，轴的截距分别为， 当均不为0时，则该直线方程才可写为，B错误； 对于C，当时，直线的两点式方程为， 则可化为， 当或时，直线方程为或，依然满足上式，C正确； 对于D，若直线经过第一、二、四象限，则， 则点在第二象限，D错误， 故选：C 7．（多选）（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过、两点的所有直线的方程为 D．设直线的方程为，则直线倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【分析】根据斜率和倾斜角的关系可以判断A；根据截距是否为0进行分类讨论求解直线方程可以判断B；根据两点式的使用条件可以判断C；根据斜率和倾斜角的关系，结合余弦函数的值域求解范围可以判断D. 【详解】对于A，直线可得，则斜率， 所以直线倾斜角满足，且，即，故正确； 对于B，当截距不为0时，由直线截距式可设直线方程为，代入 得，解得； 当截距为0时，可设直线方程为，代入得，即，故错误； 对于C，根据直线方程两点式可知，且，故错误； 对于D，由直线的方程为可得，斜率， 由得，设倾斜角为，则， 由，得,故正确， 故选：AD. 8．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 9．（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 10．（25-26高二上·江苏常州·期中）平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. (1)若直线在轴上的截距为5，求的值； (2)若时，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【详解】（1）依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； （2）设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $