24.2（第1课时）方差（大单元分层作业）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 本练习以“离差平方和-方差计算-综合应用”为逻辑主线，分层设计梯度清晰，从基础概念到综合问题，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |类型一|离差平方和计算|基础选择填空，巩固概念理解，培养抽象能力| |类型二|离差平方和应用|结合实际情境（如成绩稳定性），培养数据意识| |类型三|方差计算与性质|包含数据变换对方差影响，强化运算能力| |类型四|利用方差求未知数据|通过公式反推未知量，提升推理意识与应用能力|

24.2（第1课时）方差（原卷版） 目 录 类型一、求离差平方和 1 类型二、离差平方和的应用 2 类型三、求方差 4 类型四、利用方差求未知数据的值 9 类型一、求离差平方和 1．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 2．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9．这组数据的离差平方和为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 4．某校生物小组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：，，，，，则下列说法中不正确的是（    ） A．种子发芽数的平均数是 B．种子发芽数的中位数是 C．种子发芽数的众数是 D．种子发芽数的离差平方和为 5．求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 6．在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 7．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 8．已知一组数据7，2，5，x，8，2的平均数是5，则这组数据的离差平方和为_____． 9．某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 10．将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是_______. 11．已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 12．数据组，的组内离差平方和为_______． 13．已知数据6，7，8，则这组数据的离差平方和为______． 14．下表是某商店 5 天的日销售额数据： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 销售额 / 元 1200 1500 1800 2100 2400 将这些销售额按从低到高排列后，计算按第2个间隔分组时的组内离差平方和． 15．已知一组数据6，3，4，7，6，3，5，6，求： (1)这组数据的平均数、众数、中位数． (2)这组数据的离差平方和与方差． 类型二、离差平方和的应用 16．八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 17．下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 18．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 19．下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 20．如果组内离差平方和很大，说明（    ） A．组间差异大 B．组内差异大 C．总差异小 D．均值相等 21．小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 22．若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 23．某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 24．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 25．已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 类型三、求方差 26．设是，，，的方差，是，，，的方差，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 27．某人为了考察月季、玫瑰两种花的苗高，分别从中抽取5株苗，测得花苗的高（单位：cm）如下：甲：2，4，6，8，10；乙：1，3，5，7，9．用和分别表示这两个样本的方差，那么（     ） A． B． C． D．不确定 28．某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 29．若将一组数据中的每个数都减，则所得的这组新数据与原数据相比（     ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变 30．小明在处理一组数据“12，12，28，35，20，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 31．某组同学的跳绳成绩（单位：次）为：199，148，242，224，170，148，141．小明在记录该组同学的跳绳成绩时，把某同学的跳绳次数242错记成224，则该组跳绳成绩的以下统计量不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 32．若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（     ） A．平均数为，方差为 B．平均数为，方差为 C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为 33．某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（      ） A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环 C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7 34．评委给段豫剧片段打分：、、、、、、、，下列说法正确的是（     ）． A．平均数为 B．众数为 C．中位数为 D．方差为 35．近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头．贵阳某果农公司为了解几种新推广的富硒枇杷的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的枇杷树中各采摘了10棵，产量的平均数（单位：千克）和方差如表： 甲 乙 丙 丁 已知乙品种产量最稳定，且乙的棵果树的产量都不一样，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 36．九（1）班一个小组有6名同学，老师对一次排球垫球个数进行了统计分析．由于小明没有参加本次集体测试，因此计算其他5名同学的平均个数为38个，方差．后来小明进行了重考，成绩为38个，关于该小组垫球个数分析，下列说法正确的是（     ） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数和方差都不变 D．平均数和方差都改变 37．某同学对数据12，12，18，，25进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则计算结果与被涂污数字无关的是（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 38．小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：，关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是3.5；③众数是5；④样本容量是5．正确的是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 39．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 40．下表记录了甲、乙两名射击爱好者连续5次射击的成绩（单位：环）．比较两人的成绩波动情况，成绩波动较大的是________． 选手 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 8 8 9 8 7 乙 7 10 9 8 6 41．甲、乙两运动队学生身高如下（单位：）：甲：160，159，161，158，162，163，160，157；乙：157，158，159，160，161，161，162，162．则两队身高的平均数________，________，样本方差是________，________．由方差可知，两队队员的身高________队更均匀些． 42．一组数据：0，1，2的平均数是1，则这组数据的方差是____________ 43．一组数据为7，8，9，将7改成8，改动前后的方差分别记为，，则______（填“”或“”或“”）． 44．如图是丹丹连续两周健康检测记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，则______（选填“”、“”或“”）． 45．下面三幅图分别表示甲、乙、丙三名队员的射击成绩，你认为_____（填“甲”“乙”或“丙”）的发挥最稳定． 46．某学校为选拔优秀运动员参加县中学生运动会，组织了多次百米跑测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在10次百米跑测试中的成绩（单位：s）如下表所示： 单位：s 甲 11.8 11.9 12.0 11.7 12.2 12.1 11.8 12.0 11.7 11.9 乙 11.9 11.9 11.8 11.8 12.0 11.9 11.8 12.1 11.9 11.8 如果根据这10次成绩选拔一人参加比赛，你认为哪一位比较合适？ 47．新星公司到某大学从应届毕业生中招聘公司职员，对应聘者的专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项进行测试或成果认定，三项的得分满分都为100分，三项的分数分别按的比例计入每人的最后总分，有4位应聘者的得分如下表所示． 应聘者 专业知识 英语水平 参加社会实践与社团活动等 (1)写出4位应聘者的总分； (2)就表中专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项的得分，分别求出三项中4人所得分数的方差； (3)由（1）和（2），你对应聘者有何建议？ 48．星期天上午，动物园熊猫馆来了甲、乙两队游客，两队游客的年龄如下表所示： 甲队： 年龄 13 14 15 16 17 人数 2 1 4 1 2 乙队： 年龄 3 4 5 6 54 57 人数 1 2 2 3 1 1 (1)根据上述数据完成下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲队游客年龄 15 15 乙队游客年龄 15 411.4 (2)根据前面的统计分析，回答下列问题： ①能代表甲队游客年龄的统计量是________； ②平均数能很好地反映乙队游客的年龄特征吗？为什么？ 49．某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 d 177 b 0.89 (1)表中_____，_____，_____． (2)请计算甲队的方差，并判断哪队队员身高更整齐． 50．已知张明与李华在学校的五次数学竞赛培训的测试成绩（单位：分）如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 张明的成绩 75 80 85 85 100 李华的成绩 70 100 100 75 80 (1)计算出下表中a，b，c的值． 平均数／分 中位数／分 众数／分 方差／分 张明的成绩 a 85 b 李华的成绩 85 c 100 160 (2)结合两个人成绩的平均数和中位数进行分析，哪个人的成绩较好？ (3)计算张明成绩的方差，并判断哪个人的成绩较为稳定． 类型四、利用方差求未知数据的值 51．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 52．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 53．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 54．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有，根据该公式，下列说法错误的是（    ） A．中位数是3 B．众数是2 C．的值是7 D．平均数是 55．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 56．小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 57．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 58．若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 59．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 60．已知一组数据的方差为：，则____． 61．小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 62．已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是_____________． 63．若一组数据的方差为，则这组数据的众数为_________． 64．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是________． 65．嘉嘉用公式计算一组数据的方差，那么这组数据的平均数是_____． 1．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 2．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产，两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，4，6，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 5 4 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________． (2)从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． (3)在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，则________．（填“”“”或“”） 3．某品牌手机研发部门在研发一新款手机时，针对摄像头功能，设计了两种影像技术方案，为了确定最终上市的方案，研发部门分别使用搭载两种影像方案的样机拍摄了测试样片（样片内容一样），并邀请10位专家对测试样片进行打分（满分10分），结果如下： a.得分情况统计表： 专家编号 A种方案得分 B种方案得分 b.得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 A种方案得分 B种方案得分 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：____________，________________________（填“>”“＜”或“＝”）． (2)为减少极端值对数据的影响，该部门将两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是____________（填写序号）． ①A种方案得分的平均数大于B种方案得分的平均数； ②两种方案得分的中位数均没有变化； ③两种方案得分的众数均没有变化； ④A种方案得分的方差大于B种方案得分的方差． (3)两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，根据所得到的数据，请你帮该部门作决策，应选择哪种方案，并说明理由． 1．某学校举办“强国有我”主题演讲比赛，分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10位教师评委和40位学生评委给每位选手打分（百分制）．对各位评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．教师评委打分 86  88  89  90  91  92  92  92  94  96 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（分为5组：第1组；第2组；第3组；第4组；第5组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 m n 学生评委 p 90 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出m，n的值：________；________； ②p的值位于学生打分的第________组； (2)决赛由5位专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5位评委给其打分的平均数和方差，平均数大的选手排名靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．5位专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 94 94 94 94 乙 95 92 94 95 94 丙 92 96 93 95 q 若丙在三位选手中排名居中，则三位选手中________排名靠前，表中q（q为整数）的值为________． 2．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2（第1课时）方差（解析版） 目 录 类型一、求离差平方和 1 类型二、离差平方和的应用 7 类型三、求方差 11 类型四、利用方差求未知数据的值 26 类型一、求离差平方和 1．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题根据组内离差平方和的定义求解，分别计算两组的组内离差平方和，再相加即可得到结果． 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 2．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9．这组数据的离差平方和为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据离差平方和的公式计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数， ∴这组数据的离差平方和． 3．校运动队统计男、女各5名队员的一周训练达标次数，数据整理如下，分析两组队员的达标情况，说法正确的是（    ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．男、女生训练达标次数平均数相同，女生达标情况更稳定 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、中位数和方差（或观察波动情况），逐一判断选项即可． 【详解】由图可知， 男生数据为：； 女生数据为：. ，， 男、女生训练达标次数的平均数相同， 故A错误； 将男生数据从小到大排列为：，中位数为； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为， 男、女生训练达标次数的中位数均为， 故C错误； 男生离差平方和为：， 女生离差平方和为：， 男、女生训练达标次数的离差平方和不相等， 故B错误； ，， ， 女生达标情况更稳定， 故D正确． 故选：D． 4．某校生物小组的名同学各用粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数（单位：粒）分别为：，，，，，则下列说法中不正确的是（    ） A．种子发芽数的平均数是 B．种子发芽数的中位数是 C．种子发芽数的众数是 D．种子发芽数的离差平方和为 【答案】B 【分析】计算这组数据的平均数，判断A；将数据从小到大排序确定中位数，判断B；找出出现次数最多的数得到众数，判断C；计算各数据与平均数差的平方和得到离差平方和，判断D． 【详解】解：A、平均数，故A选项正确，该选项不符合题意； B、先将数据从小到大排序：，，，，， 个数据的中位数是第个数据，即，不是，故B选项错误，该选项符合题意； C、众数是一组数据中出现次数最多的数，出现了次，其余数各出现次，故众数是，C选项正确，该选项不符合题意； D、离差平方和= ， 故D选项正确，该选项不符合题意． 5．求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（   ） A．n的值为5 B．平均数是7 C．离差平方和是5 D．方差是 【答案】C 【分析】先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有5个平方项， ∴， ∴A选项说法正确，不符合题意； 原数据为6，8，8，6，7计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 将平均数代入： ； ∴离差平方和为4，不是5 ∴C选项说法错误，符合题意． ， ∴D选项说法正确，不符合题意； 6．在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、离差平方和、方差的意义即可判断结果； 【详解】解：∵9个互不相等的数从小到大排序后，中位数是排在中间位置的第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余7个分数重新排序，中位数仍是原数据中的第5个数， ∴中位数一定不会发生改变， 平均数受极端值影响，去掉两端分数后会改变，离差平方和与方差反映数据波动程度，数值也会发生改变． 7．数据的平均数和离差平方和分别为（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查平均数的定义和离差平方和的定义，首先根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方和，进而得出答案． 【详解】解：∵这组数据为，共个数据， ∴平均数为， ∴离差平方和为： ， ， ， ， ∴这组数据的平均数和离差平方和分别为和． 故选：． 8．已知一组数据7，2，5，x，8，2的平均数是5，则这组数据的离差平方和为_____． 【答案】 【分析】先根据算术平均数的定义求出的值，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方和，即可得到结果． 【详解】解：这组数据，，，，，的平均数是，数据个数为， ， 解得， 则离差平方和为 ． 9．某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【答案】 【分析】先求出平均数，再运用公式直接求出离差平方和和方差，注意带单位，计算方差时，注意人数从5个变成了6个． 【详解】平均数为：， 离差平方和为：； 当新增一人的身高为时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是； 方差为：． 10．将一组数据1，2，3，4，5，6分成前3个一组，后3个一组，则这组数据的组内离差平方和是_______. 【答案】4 【分析】先按题目要求分组，再分别计算每组的平均数与每组的组内离差平方和，将两组的组内离差平方和相加即可得到结果． 【详解】解：由题意得，前个数据为第一组：，，，后个数据为第二组：，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的组内离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的组内离差平方和：， 则总的组内离差平方和为． 11．已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 【答案】10 【分析】按照组内离差平方和的定义，先分别计算每组的组平均数，再计算每组内数据的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：第一组： 该组的平均数为， 则第一组离差平方和为； 第二组： 该组的平均数为， 则第二组离差平方和为， 因此，总组内离差平方和为：． 12．数据组，的组内离差平方和为_______． 【答案】7 【分析】先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：对于第一组数据，其平均数为 ， 第一组离差平方和为 ； 对于第二组数据，其平均数为 ， 第二组离差平方和为 ； 总的组内离差平方和为． 13．已知数据6，7，8，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】2 【分析】根据离差平方和定义进行计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数为 这组数据的离差平方和为． 14．下表是某商店 5 天的日销售额数据： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 销售额 / 元 1200 1500 1800 2100 2400 将这些销售额按从低到高排列后，计算按第2个间隔分组时的组内离差平方和． 【答案】组内离差平方和为． 【分析】先按照按2个间隔分组，然后分别计算第一组离差平方和和第二组离差平方和，然后相加即可得出答案． 【详解】解：步骤1：销售额已按从低到高排列：1200，1500，1800，2100，2400． 步骤2：按第2个间隔分组，两组为和． 步骤3：计算第一组的离差平方和： 第一组平均数：， 离差平方和：． 步骤4：计算第二组的离差平方和：第二组平均数：， 离差平方和：． 步骤5：组内离差平方和：． 15．已知一组数据6，3，4，7，6，3，5，6，求： (1)这组数据的平均数、众数、中位数． (2)这组数据的离差平方和与方差． 【答案】(1)平均数：；众数：6；中位数： (2)离差平方和：；方差： 【详解】（1）解：按从小到大的顺序排列数据：3，3，4，5，6，6，6，7． 平均数 ， 众数是6，中位数是； （2）解：离差平方和 ， 方差 ． 类型二、离差平方和的应用 16．八年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟200个，离差平方和分别是,，你认为哪一位同学的成绩最稳定（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查方差的意义，方差越小数据越稳定，由于四位同学测试次数相同，方差与离差平方和成正比，只需比较离差平方和的大小即可判断稳定性． 【详解】解：∵四位同学平均成绩相同，测试次数均为3次，方差公式为，其中n为测试次数， ∴n相同，方差大小与离差平方和的大小一致. 又∵ ， ∴乙的方差最小， ∴乙的成绩最稳定． 17．下列哪种情况适合离差平方和最小的原理（   ） A．比较两种药物的疗效 B．将学生按成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气变化 【答案】D 【分析】离差平方和最小是最小二乘法的核心原理，用于拟合数据模型，进而对未知情况进行预测． 【详解】解：A．比较两种药物疗效，属于效果对比，不适用该原理； B．将学生按成绩分组，属于分类分组问题，不适用该原理； C．分析股票价格波动，仅需通过离差平方和衡量波动程度，不需要使用离差平方和最小化的原理； D．预测天气变化，需要根据已有气象数据拟合变化规律，需要通过离差平方和最小得到最优拟合模型，再完成预测，故符合要求． 18．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 19．下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 20．如果组内离差平方和很大，说明（    ） A．组间差异大 B．组内差异大 C．总差异小 D．均值相等 【答案】B 【分析】组内离差平方和是衡量组内数据与组均值偏离程度的指标，值越大表示组内数据越分散． 本题主要考查了离差平方和的实际应用，解题的关键是掌握离差平方和的意义． 【详解】解：∵组内离差平方和表示组内各数据与组均值的偏差平方和， ∴当组内离差平方和很大时，说明组内数据波动大，即组内差异大． 故选：B． 21．小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（   ） A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5 【答案】D 【分析】离差平方和的计算公式为每个数据与样本平均数的差的平方之和． 从给定的列式可知，每个数据均减去后平方，因此样本平均数为；列式中共有个平方项，因此样本容量为． 本题考查了样本容量和平均数，通过离差平方和公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是离差平方和计算中统一减去的数值． 【详解】解：∵ 离差平方和公式为，其中为样本平均数，为样本容量． 给定列式为， ∴ 每个数据与的差，故． 列式中有个平方项，故． ∴ 这组样本的平均数为，样本容量为， 故选：D． 22．若一组数据的离差平方和，则这组数据的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了离差和方差，根据方差定义为离差平方和的平均数，给定数据个数为，直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和，数据个数， ∴方差， 故选：． 23．某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【答案】B 【分析】分组对比时，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，只需比较三个方案的组内离差平方和大小即可得到结果． 【详解】解：比较三种方案的组内离差平方和可得：， ∴方案B的组内离差平方和最小，分组最为合理． 24．学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是___________． 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 【答案】③ 【分析】本题要求得到使同组株高尽量接近的最优分组，根据组内离差平方和的意义，最优分组对应组内离差平方和最小，只需比较表格中三组的组内离差平方和大小即可求解. 【详解】解：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 25．已知一组数据：3，5，7，9，11，其离差平方和是40，则这组数据的方差是_________． 【答案】 8 【分析】本题考查了方差的求解，解决本题的关键是熟练掌握方差与离差平方和的关系． 方差是离差平方和除以数据个数，根据给定条件直接计算即可． 【详解】解：数据个数，离差平方和， ∴方差． 故答案为：8． 类型三、求方差 26．设是，，，的方差，是，，，的方差，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平均数和方差的定义表示出数据，，，的平均数和方差，进而表示出数据，，，的平均数和方差，即可推导出两组数据方差的数量关系． 【详解】设数据，，，的平均数为，数据，，，的平均数为， ， ； ， 即． 27．某人为了考察月季、玫瑰两种花的苗高，分别从中抽取5株苗，测得花苗的高（单位：cm）如下：甲：2，4，6，8，10；乙：1，3，5，7，9．用和分别表示这两个样本的方差，那么（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查方差的计算，解题思路为先分别求出两组数据的平均数，再代入方差公式计算方差，最后比较方差的大小． 【详解】首先计算甲组数据的平均数： ， 根据方差公式 得 ， 再计算乙组数据的平均数： ， 则 ， ． 28．某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 【答案】C 【分析】先通过总身高和判断平均数的变化，再根据方差的定义计算判断方差的变化即可． 【详解】解：∵换下队员的身高和为，换上队员的身高和为， ∴总身高和不变，队员人数不变，因此平均数不变． 计算原数据的平均数得， 原数据的方差为： ； 换人后数据为172，176，178，178，180，184，平均数仍为， 方差为： ； ， 综上所述，平均数不变，方差变小． 29．若将一组数据中的每个数都减，则所得的这组新数据与原数据相比（     ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．方差不变 【答案】D 【分析】先按要求写出新数据，再分别计算原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，对比即可得出结论． 【详解】解：原数据为，每个数减后得到的新数据为， A、，，，选项说法错误； B、原数据排序，中位数为，新数据排序，中位数为，，选项说法错误； C、原数据的众数为，新数据众数为，，选项说法错误； D、原数据方差为，新数据方差为 ，，方差不变，选项说法正确． 30．小明在处理一组数据“12，12，28，35，20，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30~40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（     ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的定义，判断哪个统计量不随被污染数据在之间变化而改变即可． 【详解】解：设被污染的数据为，原数据除外从小到大排序为，这组数据共有个， 因此中位数为排序后第个和第个数的平均数， 在之间， 无论取何值，排序后第个数恒为，第个数恒为， 中位数恒为，不发生变化，C正确； 平均数随改变，总和发生变化，因此平均数改变，A错误； 若，众数变为和，发生改变，B错误； 方差随数据和平均数改变，因此方差改变，D错误． 31．某组同学的跳绳成绩（单位：次）为：199，148，242，224，170，148，141．小明在记录该组同学的跳绳成绩时，把某同学的跳绳次数242错记成224，则该组跳绳成绩的以下统计量不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义，对比修改成绩前后各统计量的值，判断是否发生变化即可． 【详解】解：首先将原数据从小到大排序得：，共7个数据． 将242错记为224后，错记数据从小到大排序得：． ∵原数据总和为，错记后总和为，总和改变，因此平均数改变，排除A． ∵7个数据的中位数是排序后第4个数据，原中位数是170，错记后第4个数据仍是170， ∴中位数不受影响，B符合． ∵原众数仅为148（仅148出现2次，次数最多），错记后148和224都出现2次，众数变为两个，与原统计量不同， ∴众数改变，排除C． ∵方差反映数据的波动程度，平均数和数据都发生改变， ∴方差改变，排除D． 32．若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（     ） A．平均数为，方差为 B．平均数为，方差为 C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的性质，一组数据中每个数据同时加上同一个常数，平均数增加该常数，方差不变，根据平均数和方差的定义推导即可得到结果． 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， 整理得，即， 则样本，，…，的平均数为：； 又∵样本，，…，的方差为6， ∴，整理得， 则样本，，…，的方差为：． 33．某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（      ） A．最高成绩是9.4环 B．平均成绩是9环 C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7 【答案】D 【详解】解：A、由统计图得，最高成绩是9.4环，选项说法正确，不符合题意； B、平均成绩为，选项说法正确，符合题意； C、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，故众数是9环，选项说法正确，不符合题意； D、这组成绩的方差是，选项说法错误，符合题意． 34．评委给段豫剧片段打分：、、、、、、、，下列说法正确的是（     ）． A．平均数为 B．众数为 C．中位数为 D．方差为 【答案】B 【分析】本题考查平均数、众数、中位数、方差的计算，根据对应定义分别计算各统计量，即可判断正确选项． 【详解】首先将打分从小到大排列为， 选项A：∵，∴A不符合题意； 选项B：∵出现次数最多，为次，即众数为，∴B符合题意； 选项C：∵共个数据，中位数为第个和第个数据的平均数， ∴中位数为，C不符合题意； 选项D：∵数据不全部相等，因此方差不为，∴D不符合题意． 35．近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头．贵阳某果农公司为了解几种新推广的富硒枇杷的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的枇杷树中各采摘了10棵，产量的平均数（单位：千克）和方差如表： 甲 乙 丙 丁 已知乙品种产量最稳定，且乙的棵果树的产量都不一样，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乙产量最稳定确定乙的方差最小，结合产量都不一样得方差大于，进而得到的取值范围，判断选项即可． 【详解】解：∵乙品种产量最稳定， ∴乙的方差是四个品种中方差最小的， ∴， ∵乙的棵果树的产量都不一样， ∴， 综上，，只有选项D符合题意． 36．九（1）班一个小组有6名同学，老师对一次排球垫球个数进行了统计分析．由于小明没有参加本次集体测试，因此计算其他5名同学的平均个数为38个，方差．后来小明进行了重考，成绩为38个，关于该小组垫球个数分析，下列说法正确的是（     ） A．平均数不变，方差变小 B．平均数不变，方差变大 C．平均数和方差都不变 D．平均数和方差都改变 【答案】A 【分析】根据平均数和方差的定义，计算加入小明成绩后的平均数和方差，判断二者的变化情况即可． 【详解】解：∵小明的垫球个数和原5名同学的平均个数相同，都是个， ∴该小组人的平均个数为， ∴平均数不变； 原方差，可得原名同学的成绩与平均分的差的平方和为， 加入小明成绩后，小明的成绩与平均分的差为， ∴新方差为：， ∴方差变小． 37．某同学对数据12，12，18，，25进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则计算结果与被涂污数字无关的是（     ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 【答案】B 【分析】根据被涂污数字所在数的十位为2，可确定该数的范围，再分别判断各统计量是否与被涂污数字有关即可． 【详解】解：∵被涂污数字是两位数的个位，十位为2， ∴可得 ，即 ． 这组数据共5个，从小到大排序后，中位数为第3个数，无论在之间取何值，排序后前两个数为12，12，第三个数恒为18，因此中位数恒为18，与被涂污数字无关． 对其余选项分析如下： 对于A，若，则这组数据众数为12和25，若，众数仅为12，结果与被涂污数字有关，A错误； 对于C，平均数计算包含，改变时总和改变，平均数随之改变，C错误； 对于D，方差计算依赖各数据和平均数，改变时平均数改变，方差随之改变，D错误． 38．小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：，关于这组数据，下列说法：①平均数是4；②中位数是3.5；③众数是5；④样本容量是5．正确的是（     ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】先得到这组数据的所有数值和样本容量，再根据平均数、中位数、众数的定义逐一判断各个说法即可． 【详解】解：由方差公式可得，这组数据为2，4，5，5，样本容量为4． ①计算平均数： ，故①正确． ②将数据从小到大排列为2，4，5，5，中位数为，故②错误． ③5出现的次数最多，因此众数是5，故③正确． ④样本容量为4，不是5，故④错误． 综上，正确的是①③． 39．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】B 【分析】从给出的方差公式中可直接得到数据个数和这组数据的平均数，依次计算，中位数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：∵方差公式为， ∴这组数据共5个，平均数为3，可得，C结论正确，不符合题意； 由平均数的定义得， 解得，A结论正确，不符合题意； 将这组数据从小到大排列为，共5个数，中位数为第3个数，即中位数为， ∴B结论错误，符合题意； 计算方差得：， ∴D结论正确，不符合题意． 40．下表记录了甲、乙两名射击爱好者连续5次射击的成绩（单位：环）．比较两人的成绩波动情况，成绩波动较大的是________． 选手 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 8 8 9 8 7 乙 7 10 9 8 6 【答案】乙 【分析】判断成绩波动大小需计算两人成绩的方差，方差越大数据波动越大，计算并比较甲乙的方差大小即可得到结论。 【详解】解：首先计算甲的平均成绩：， 计算甲的方差：， 再计算乙的平均成绩：， 计算乙的方差：， ， 乙的成绩波动更大． 41．甲、乙两运动队学生身高如下（单位：）：甲：160，159，161，158，162，163，160，157；乙：157，158，159，160，161，161，162，162．则两队身高的平均数________，________，样本方差是________，________．由方差可知，两队队员的身高________队更均匀些． 【答案】 乙 【分析】根据平均数公式和方差公式分别计算甲、乙两队身高的平均数、样本方差，再利用方差的意义判断即可． 【详解】； ； ； ； ，方差越小，数据波动越小，身高越均匀， 乙队队员的身高更均匀些． 42．一组数据：0，1，2的平均数是1，则这组数据的方差是____________ 【答案】 【分析】根据方差的计算公式，将已知数据代入公式计算即可． 【详解】解：方差计算公式 为， ∵，， ∴ ． 43．一组数据为7，8，9，将7改成8，改动前后的方差分别记为，，则______（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先分别计算改动前后两组数据的平均数，再根据方差公式计算两组数据的方差，最后比较方差的大小即可． 【详解】解：改动前数据为，，，改动前平均数：， ； 改动后数据为，，，改动后平均数：， ， ． 44．如图是丹丹连续两周健康检测记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，则______（选填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据折线统计图的波动情况即可判断． 【详解】解：根据折线统计图的波动情况，可知． 45．下面三幅图分别表示甲、乙、丙三名队员的射击成绩，你认为_____（填“甲”“乙”或“丙”）的发挥最稳定． 【答案】乙 【分析】先求出甲、乙、丙射击成绩的平均数，然后求出各自的方差，最后根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 则， ， 乙的发挥更稳定． 46．某学校为选拔优秀运动员参加县中学生运动会，组织了多次百米跑测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在10次百米跑测试中的成绩（单位：s）如下表所示： 单位：s 甲 11.8 11.9 12.0 11.7 12.2 12.1 11.8 12.0 11.7 11.9 乙 11.9 11.9 11.8 11.8 12.0 11.9 11.8 12.1 11.9 11.8 如果根据这10次成绩选拔一人参加比赛，你认为哪一位比较合适？ 【答案】选乙参加比赛比较合适． 【详解】解：计算甲、乙两人的平均成绩 因为，所以乙的百米跑测试平均成绩比甲好． 计算甲、乙两人的方差 将甲、乙两名运动员的10次成绩分别按从小到大的顺序排列： 甲：11.7，11.7，11.8，11.8，11.9，11.9，12.0，12.0，12.1，12.2； 乙：11.8，11.8，11.8，11.8，11.9，11.9，11.9，11.9，12.0，12.1． 甲的中位数为；乙的中位数为． 因为甲、乙的中位数相等，，，且，这说明乙的百米跑测试成绩比甲更稳定． 所以选乙参加比赛比较合适． 47．新星公司到某大学从应届毕业生中招聘公司职员，对应聘者的专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项进行测试或成果认定，三项的得分满分都为100分，三项的分数分别按的比例计入每人的最后总分，有4位应聘者的得分如下表所示． 应聘者 专业知识 英语水平 参加社会实践与社团活动等 (1)写出4位应聘者的总分； (2)就表中专业知识、英语水平、参加社会实践与社团活动等三项的得分，分别求出三项中4人所得分数的方差； (3)由（1）和（2），你对应聘者有何建议？ 【答案】(1)应聘者总分为86分；应聘者总分为82分；应聘者总分为81分；应聘者总分为82分 (2)专业知识分数的方差为；英语水平的方差为，参加社会实践与社团活动的方差为 (3)应聘者的专业知识、英语水平的差距不大，但参加社会实践与社团活动等方面的差距较大，影响学生的最后成绩，将影响学生就业．学生不仅要注重自己的文化知识的学习，更应注重社会实践与社团活动的开展，从而促进学生综合素质的提升．（合理即可） 【分析】（1）根据加权平均数的方法计算即可求解； （2）根据方差的定义，进行计算即可求解； （3）应聘者的专业知识、英语水平的差距不大，但参加社会实践与社团活动等方面的差距较大，给出建议，合理即可． 【详解】（1）解：应聘者总分为， 应聘者总分为 应聘者总分为 应聘者总分为 （2）解：4位应聘者的专业知识测试的平均分数， 方差： 位应聘者的英语水平测试的平均分数， 方差：； 4位应聘者参加社会实践与社团活动等的平均分数为， 方差： （3）略 48．星期天上午，动物园熊猫馆来了甲、乙两队游客，两队游客的年龄如下表所示： 甲队： 年龄 13 14 15 16 17 人数 2 1 4 1 2 乙队： 年龄 3 4 5 6 54 57 人数 1 2 2 3 1 1 (1)根据上述数据完成下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲队游客年龄 15 15 乙队游客年龄 15 411.4 (2)根据前面的统计分析，回答下列问题： ①能代表甲队游客年龄的统计量是________； ②平均数能很好地反映乙队游客的年龄特征吗？为什么？ 【答案】(1)15，，，6 (2)①平均数或中位数或众数；②不能，理由如下： 乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，导致乙队游客年龄方差较大，平均数高于大部分成员的年龄，故平均数不能较好地反映乙队游客的年龄特征 【分析】（1）按照平均数、众数、中位数和方差的定义求解； （2）①根据平均数、众数、中位数的意义求解； ②根据平均数的意义求解． 【详解】（1）解：甲队游客年龄的平均数； 方差为； 乙队游客共10人，第5、6人的年龄为5、6岁， ∴中位数为； ∵乙队游客的年龄为6的最多，故众数为6； （2）解：①甲队游客的数据，其分布比较均匀，无极端值， ∴能代表甲队游客年龄的统计量是平均数或中位数或众数； ②略 49．某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 d 177 b 0.89 (1)表中_____，_____，_____． (2)请计算甲队的方差，并判断哪队队员身高更整齐． 【答案】(1)178，177，177.1 (2)0.6，甲 【分析】（1）根据中位数，众数和平均数的计算方法求得答案． （2）根据方差的定义可直接求得甲队的方差，方差越小，数据的波动越小，即可判断哪队队员身高更整齐． 【详解】（1）解：将甲队身高数据按从小到大的顺序排列，且数据个数为偶数，则中间两个数和的平均数为这组数据的中位数，即中位数． 乙队身高数据中，出现次数最多的数据为，所以这组数据的众数． ． （2）解： 又∵， ∴， ∴甲队队员身高更整齐． 50．已知张明与李华在学校的五次数学竞赛培训的测试成绩（单位：分）如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 张明的成绩 75 80 85 85 100 李华的成绩 70 100 100 75 80 (1)计算出下表中a，b，c的值． 平均数／分 中位数／分 众数／分 方差／分 张明的成绩 a 85 b 李华的成绩 85 c 100 160 (2)结合两个人成绩的平均数和中位数进行分析，哪个人的成绩较好？ (3)计算张明成绩的方差，并判断哪个人的成绩较为稳定． 【答案】(1) (2) 张明的成绩较好； (3) 张明成绩的方差为70，张明的成绩较为稳定． 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义即可解答； （2）由（1）中结论即可解答； （3）先求出张明成绩的方差，再根据方差的意义即可解答． 【详解】（1）解：， 张明的五次成绩中，分出现的次数最多，则众数， 将李华的五次成绩从小到大排列为，则中位数； （2）解：张明的成绩较好， 理由：由（1）知张明和李华的平均成绩都为分，而张明成绩的中位数大于李华成绩的中位数，则张明的成绩较好； （3）解：张明成绩的方差， ∵， ∴张明的成绩较为稳定， 答：张明成绩的方差为70，张明的成绩较为稳定． 类型四、利用方差求未知数据的值 51．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 52．数据分析是从数据中获取有效信息的重要手段．请根据如下某组数据的方差计算式：得到以下结论，则下列结论不正确的是（    ） A．这组数据的中位数是3 B． C．这组数据的众数是3 D．这组数据的方差是3 【答案】D 【分析】根据方差计算公式确定原数据和数据个数，再结合中位数、众数定义判断各选项即可． 【详解】解：∵方差计算公式为， ∴这组数据为，，，，，数据个数，故B正确； ∵这个数的第个数据是， ∴中位数为，故A正确； ∵数据中出现次，次数最多， ∴众数为，故C正确； 计算平均数得， 代入方差公式得， ∴D不正确． 53．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 54．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有，根据该公式，下列说法错误的是（    ） A．中位数是3 B．众数是2 C．的值是7 D．平均数是 【答案】D 【分析】根据方差公式得到每个数的出现次数，整理出这组数据，再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴数据2出现3次，数据3出现2次，数据4出现2次， ∴数据总个数，将这组数据从小到大排列为， A、数据一共有7个数，中位数为第4个数3，故选项正确，不符合题意； B、数据中2出现次数最多，则众数为2，故选项正确，不符合题意； C、，故选项正确，不符合题意； D、计算平均数得，故选项错误，符合题意． 55．已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为（    ） A．24 B．20 C．18 D．6 【答案】A 【分析】根据方差公式可从给出的方差表达式中得到数据个数与这组数据的平均数，再计算数据总和即可． 【详解】解：， ， 这组数据的总和为 ． 56．小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的定义．由题意知这组数据为2、4、5、5，再根据平均数、中位数、众数及样本容量的概念求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、4、5、5， 所以这组数据的平均数为，①正确； 中位数为，②错误； 众数为5，③正确； 样本容量为4，④错误； 故选：B． 57．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 58．若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【答案】或/或 【分析】根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同，可得另一组数据也为相邻的整数，即可作答． 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 59．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 60．已知一组数据的方差为：，则____． 【答案】14 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义． 由可知平均数和数据数量，从而得出答案． 【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10． 数据包括11，13，4，m，8，共5个数据． 根据平均数的定义，有： 解得 故答案为：14． 61．小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 【答案】 3 【分析】本题考查了方差的定义及平均数的计算，解题的关键是从方差公式中识别数据点并计算平均数． 由方差公式可知式子中的数据点为、、、，然后通过算术平均数公式计算即可． 【详解】解：由方差公式可得数据点为、、、，则平均数 故答案为：． 62．已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是_____________． 【答案】 15 【分析】利用方差乘以数据个数即可求出离差平方和．本题主要考查离差平方和的计算，熟练掌握方差是离差平方和的算术平均数是解题的关键． 【详解】解：∵数据个数，方差， 则离差平方和为． 故答案为： 15． 63．若一组数据的方差为，则这组数据的众数为_________． 【答案】 【分析】本题考查了方差、众数，熟练掌握方差公式是解题的关键．根据方差公式中的系数，确定每个数据出现的次数，从而得到原数据为：，，，，，，，再根据众数的定义即可解答． 【详解】解：由方差可知， 数据点出现次，出现次，出现次，出现次， 因此原数据为：，，，，，，， 其中出现次，次数最多，则众数为， 故答案为：． 64．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：，则这组数据的总和是________． 【答案】30 【分析】本题主要考查了一组数据的方差计算公式，如果一组数据的平均数为，表示这组数据，那么这组数据的方差为．根据方差的计算公式即可得出答案． 【详解】解：∵一组数据的方差计算公式为， ∴这组数据的个数为10，平均数是3， ∴这组数据的总和是． 故答案为：30． 65．嘉嘉用公式计算一组数据的方差，那么这组数据的平均数是_____． 【答案】2 【分析】方差的计算公式中，各数据与平均数的差的平方的平均值即为方差，在给定的公式中，各数据均减去2后进行平方运算，表明平均数为2. 【详解】由方差定义公式 可知，公式中减去的值 即为数据的平均数. 本题中公式为 ，因此平均数 . 故答案为：2． 1．某学校组织“数学传统文化知识”竞赛，分为团体赛和个人赛．九年级组建了A，B两个各20人的集训团队，经过阶段性训练后进行预赛，对选手成绩（百分制）进行整理分析，给出如下部分信息： a．A队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）： 其中组的数据是：80，82，82，84，85，88． b．B队成绩如下： 61，67，72，72，74，76，78，80，81，81， 83，83，83，83，85，85，87，92，93，95． c．A，B两队成绩的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 A队 81.55 76 m B队 80.55 n 82 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)若团队成绩按去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后B队的平均分______（填“增大”“不变”“减小”），方差______（填“增大”“不变”“减小”）； (3)为选拔个人赛种子选手，年级对本次预赛得分90分及以上的甲、乙、丙三名选手进行了5次附加测试，测试成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 96 93 96 90 乙 93 94 94 94 95 丙 95 91 93 92 t 排名规则为：5次测试成绩的平均数高的选手排名靠前；若平均数相同，方差小的选手排名靠前． 若丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，则表中整数t的最小值为______，最大值为______． 【答案】(1)81，83 (2)增大，减小 (3)94，99 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的定义求解即可； （3）分别求出甲、乙、丙的平均数，甲和乙的方差然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：B队成绩中的数据出现的次数最多，故众数； A队中，两组的人数分别为2和7，而20个数据的中位数是第10，11个数据的平均数，那么第10，11个数据在这一组，是80，82， 因此中位数； （2）解：B队原来平均分为 则去掉一个最高分95和一个最低分61后平均数为，故平均数增大； 而方差反映的是数据波动程度，当去掉最高分和最低分两个极端值之后，数据更加集中，波动减小，故方差减小； （3）解：，； ，； ， ∴， 丙在甲、乙、丙三名选手中的排名居中，即丙排第2名， ∴①，， 解得 ∵为整数， ∴可取； ②， 则，解得 此时， 故符合题意； ③， 则，解得， 则， 故符合题意， 综上：的取值为， 故最小值为，最大值为． 2．情绪机器人是能够与人类互动提供情绪价值的一种迷你机器人，某公司生产，两款情绪机器人，技术部门对两款机器人样品各进行了6轮情绪测试（满分10分）． 款情绪机器人样品的测试结果为3，4，4，4，6，9． 两款情绪机器人样品的测试结果数据分析如下： 款式 平均数 中位数 众数 方差 5 4 5 5 5 0.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________． (2)从平均数和方差角度分析哪款情绪机器人的表现更优秀． (3)在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，则________．（填“”“”或“”） 【答案】(1)4；4 (2)B款情绪机器人的表现更优秀 (3) 【分析】本题考查了中位数，众数，方差等知识． （1）根据中位数、方差的定义求解即可； （2）分别从平均数和方差角度分析即可； （2）根据平均数的定义判断出，根据中位数的定义判断出比较即可． 【详解】（1）∵3，4，4，4，6，9， ∴； ． 故答案为：4；4； （2）∵平均数都是5， ∴从平均数角度两款机器人情绪价值一样． ∵， ∴从方差角度B款机器人的情绪价值比A款机器人的情绪价值更稳定， ∴B款情绪机器人的表现更优秀； （3）∵在款机器人的测试中，分数不低于其平均分的次数记为，分数不低于其平均分的次数共6，9两次， ∴， ∵B的中位数是5， ∴B的数据从小到大排列后至少从第4个数据大于或等于5， ∴， ∴． 故答案为：． 3．某品牌手机研发部门在研发一新款手机时，针对摄像头功能，设计了两种影像技术方案，为了确定最终上市的方案，研发部门分别使用搭载两种影像方案的样机拍摄了测试样片（样片内容一样），并邀请10位专家对测试样片进行打分（满分10分），结果如下： a.得分情况统计表： 专家编号 A种方案得分 B种方案得分 b.得分情况数据分析表： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 A种方案得分 B种方案得分 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：____________，________________________（填“>”“＜”或“＝”）． (2)为减少极端值对数据的影响，该部门将两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分．下列对去掉一个最低分和一个最高分后的数据的描述正确的是____________（填写序号）． ①A种方案得分的平均数大于B种方案得分的平均数； ②两种方案得分的中位数均没有变化； ③两种方案得分的众数均没有变化； ④A种方案得分的方差大于B种方案得分的方差． (3)两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，根据所得到的数据，请你帮该部门作决策，应选择哪种方案，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)②③ (3)答案一：应选择A种方案．         理由：A，B两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，，平均数差别不大，且A种方案得分数据的波动程度小于B种方案，故A种方案的数据较稳定，应选择A种方案．       答案二：应选择B种方案．         理由：由（2）可知，A，B两种方案的得分均去掉一个最低分和一个最高分后，B种方案得分的中位数、众数均高于A种方案，故应选择B种方案． 【分析】本题考查了求中位数， 众数，平均数，方差，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据中位数， 众数，方差的定义，进行分析，即可求解； （2）根据题意，从中位数， 众数，平均数，方差分析，即可求解； （3）答案不唯一，从中位数， 众数，平均数，方差分析，即可求解． 【详解】（1）解：B种方案得分从小到大排列为： ∴中位数， A种方案得分中出现次数最多，则众数， A种方案得分在到之间，B种方案得分在到之间，则B种方案得分的波动大， ∴ 故答案为：；；． （2）①依题意，去掉一个最低分和一个最高分之前，两种方案平均分相同， 去掉一个最低分和一个最高分之后，，，则A种方案得分的平均数小于B种方案得分的平均数； ②两种方案得分的中位数均没有变化； ③两种方案得分的众数均没有变化； ④A种方案得分在到之间，B种方案得分在到之间，则B种方案得分的波动大，A种方案得分的方差仍然小于B种方案得分的方差． 故答案为：②③ （3）略 1．某学校举办“强国有我”主题演讲比赛，分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10位教师评委和40位学生评委给每位选手打分（百分制）．对各位评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．教师评委打分 86  88  89  90  91  92  92  92  94  96 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（分为5组：第1组；第2组；第3组；第4组；第5组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 m n 学生评委 p 90 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出m，n的值：________；________； ②p的值位于学生打分的第________组； (2)决赛由5位专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5位评委给其打分的平均数和方差，平均数大的选手排名靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．5位专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 94 94 94 94 乙 95 92 94 95 94 丙 92 96 93 95 q 若丙在三位选手中排名居中，则三位选手中________排名靠前，表中q（q为整数）的值为________． 【答案】(1)①91；92；②3 (2)乙，94 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）分别求出甲和乙的方差和平均数，再根据丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，得到丙的平均数大于等于甲的平均数小于等于乙的平均数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得； ∵教师评委打分中，打分为92分的人数最多， ∴教师评委打分的众数为92分，即； ②把学生打分的数据按照从低到高的顺序排列，中位数为第20名和第21名这两个数据的平均数， ∵， ∴学生打分的中位数位于第3组，即p的值位于学生打分的第3组； （2）解：甲的平均数为， 乙的平均数为分， 甲的方差为， 乙的方差为， ∵丙在三位选手中排名居中， ∴， ∴， ∵q为整数， ∴当时，丙的平均数为， 丙的方差为， ∵，， ∴此时乙的成绩最好，丙的成绩最差，不符合题意； ∴当时，丙的平均数为， 丙的方差为， ∵，， ∴此时乙的成绩最好，丙的成绩居中，甲的成绩最差，符合题意； 综上所述，三位选手中乙排名靠前，． 2．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数 中位数 众数 方差 甲组 165 2.8 乙组 165 164 164 请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)甲组 【分析】此题考查了方差、中位数等知识，熟练掌握方差计算和利用方差做决策是关键． （1）根据方差计算过程分别进行求解即可； （2）计算乙组的方差，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ∴， 设阴影部分为， ∴ 解得， ∴甲组数据为， ∴中位数； 故答案为： （2）甲组舞台呈现效果更好，理由如下： ∴， ∴甲组舞蹈成员的身高比较整齐，则甲组舞台呈现效果更好． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $