24.2数据的离散程度 课时分层训练2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 本同步练以“基础-能力-拓展”三层递进设计，聚焦“数据的离散程度”，通过概念理解、综合应用到跨情境探究，夯实离差平方和与方差知识，培养数据意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|离差平方和计算、方差概念|选择填空直接考查公式应用，如第3题结合平均数求离差平方和，强化概念理解| |能力综合练|方差比较、实际问题分析|结合折线图、表格数据（如第11题配送时间稳定性），培养数据分析与决策能力| |拓展探究练|跨情境综合应用|股票收益分析（第17题）、刻漏实验（第18题），体现模型观念与创新意识，深化知识迁移|

24.2数据的离散程度 基础过关练 夯基础 知识点1：离差平方和 1．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题根据组内离差平方和的定义求解，分别计算两组的组内离差平方和，再相加即可得到结果． 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 2．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【答案】B 【分析】根据第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的组内离差平方和求解即可． 【详解】解：观察上表最后一列 “组内离差平方和”，可以发现第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的． 3．已知一组数据7，2，5，x，8，2的平均数是5，则这组数据的离差平方和为_____． 【答案】 【分析】先根据算术平均数的定义求出的值，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方和，即可得到结果． 【详解】解：这组数据，，，，，的平均数是，数据个数为， ， 解得， 则离差平方和为 ． 知识点2：方差 4．为从甲、乙两名同学中选出一人参加学校的篮球比赛，体育老师让这两名同学进行了5轮投篮比赛，每轮每人投10个．如图是这两名同学5轮投篮比赛投中数量的折线统计图，则这两名同学投篮比赛投中数量的方差和的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】利用方差的意义求解即可． 【详解】解：由折线图可知：甲的投篮投中数量分别为：8，9，8，7，8， 乙的投篮投中数量分别为：6，7，10，8，9， 由于甲的投中数量波动小， 则甲的方差较小，即． 5．某人为了考察月季、玫瑰两种花的苗高，分别从中抽取5株苗，测得花苗的高（单位：cm）如下：甲：2，4，6，8，10；乙：1，3，5，7，9．用和分别表示这两个样本的方差，那么（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查方差的计算，解题思路为先分别求出两组数据的平均数，再代入方差公式计算方差，最后比较方差的大小． 【详解】首先计算甲组数据的平均数： ， 根据方差公式 得 ， 再计算乙组数据的平均数： ， 则 ， ． 6．数据，，，，，，，，，的方差是__________． 【答案】 【分析】按照方差计算步骤，先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵数据为，，，，，，，，，， ∴， ∴ ． 7．已知第一组数据：12，14，16，18的方差为；第二组数据：32，34，36，38的方差为；第三组数据：2020，2019，2018，2017的方差为，则，，的大小关系是____________（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】根据方差的意义，方差反映数据波动的大小，一组数据同时加上同一个常数不改变数据的波动程度，据此分析三组数据的波动情况即可比较方差大小. 【详解】解：第一组数据，，，中每个数据同时加上，即可得到第二组数据，，，， 又∵一组数据同时加上同一个常数，方差不变， ， 第三组数据，，，中相邻数据的差的绝对值为，第一组和第二组中相邻数据的差为， ∴第三组数据波动更小，方差更小， . 8．某学校为选拔优秀运动员参加县中学生运动会，组织了多次百米跑测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在10次百米跑测试中的成绩（单位：s）如下表所示： 单位：s 甲 11.8 11.9 12.0 11.7 12.2 12.1 11.8 12.0 11.7 11.9 乙 11.9 11.9 11.8 11.8 12.0 11.9 11.8 12.1 11.9 11.8 如果根据这10次成绩选拔一人参加比赛，你认为哪一位比较合适？ 【答案】选乙参加比赛比较合适． 【详解】解：计算甲、乙两人的平均成绩 因为，所以乙的百米跑测试平均成绩比甲好． 计算甲、乙两人的方差 将甲、乙两名运动员的10次成绩分别按从小到大的顺序排列： 甲：11.7，11.7，11.8，11.8，11.9，11.9，12.0，12.0，12.1，12.2； 乙：11.8，11.8，11.8，11.8，11.9，11.9，11.9，11.9，12.0，12.1． 甲的中位数为；乙的中位数为． 因为甲、乙的中位数相等，，，且，这说明乙的百米跑测试成绩比甲更稳定． 所以选乙参加比赛比较合适． 能力综合练 练思维 9．下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 10．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】B 【分析】从给出的方差公式中可直接得到数据个数和这组数据的平均数，依次计算，中位数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：∵方差公式为， ∴这组数据共5个，平均数为3，可得，C结论正确，不符合题意； 由平均数的定义得， 解得，A结论正确，不符合题意； 将这组数据从小到大排列为，共5个数，中位数为第3个数，即中位数为， ∴B结论错误，符合题意； 计算方差得：， ∴D结论正确，不符合题意． 11．小美计划为其经营的咖啡店增设外卖配送服务，现有A、B两家配送平台可供选择．为选择更合适的合作平台，小美对两家平台的配送稳定性展开调研．她随机记录了同一天内，两家平台分别完成同一地点5单外卖的送达时间（从顾客下单到送达的时间）．具体数据如下： 单位：分钟 平台 单号 1 2 3 4 5 A 28 30 32 29 31 B 15 20 45 38 32 若从中选择配送时间比较稳定的外卖平台，则选择的是（     ） A．平台A B．平台B C．两家都一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】判断配送时间稳定性需要比较两组数据的方差，方差越小，数据波动越小，配送越稳定，先计算两组数据的平均数与方差，再比较方差大小得出结论． 【详解】解： ， ， ， ， ， 平台A的配送时间波动更小，更稳定． 12．太原某农科站，从1号、2号、3号、4号四个晋祠大米试验品种中随机抽取10块试验田，统计了每块田的亩产量（单位：），其平均数及方差如下表所示： 品种 1号 2号 3号 4号 平均数 520 520 660 660 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 打算选取一种产量既高产又稳定的品种在晋祠灌区推广种植，应选取的品种是（     ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】C 【分析】本题根据平均数和方差的意义解题，高产要求平均亩产量更大，稳定要求方差更小，依次对比四个品种的对应数据即可得到结论． 【详解】解：∵要选取产量既高产又稳定的品种，高产需要平均亩产量更大，稳定需要方差更小，方差越小产量波动越小，越稳定， 又∵由表格得，号、号的平均亩产量为，大于号、号的， ∴号、号产量更高， ∵号的方差为，小于号的方差， ∴号产量更稳定，因此应选取号． 13．某班甲、乙、丙3名同学参加实心球测试，每人投掷实心球5次成绩的平均数（单位：米）及方差如下表： 项目 甲 乙 丙 9.56 10.25 10.25 0.15 0.36 0.15 根据表中信息，选择1名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是________． 【答案】 丙 【分析】要选择成绩好且发挥稳定的同学参赛，需结合平均数和方差的意义判断，平均数越大平均成绩越好，方差越小波动越小发挥越稳定，先比较平均数，再比较方差得到结果． 【详解】解：由表格数据可得：，，， 因此乙和丙的平均成绩优于甲 又，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 因此丙的发挥比乙更稳定 综上，丙的成绩好且发挥稳定． 14．某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】先分别计算甲、乙两队身高的平均数，再根据方差计算公式计算两队方差，比较方差大小，方差越小身高越整齐，即可得到结果． 【详解】解：甲的平均数， ， 乙的平均数，， ∵， ∴， ∴甲队学生身高的方差更小，甲队学生身高更整齐． 15．某工程队有名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 工种 人数 每人每月工资/元 电工 木工 瓦工 现该工程队进行了人员调整：减少木工名，增加电工、瓦工各名，与调整前相比，该工程队员工月工资的平均数__________，方差__________．（填“变小”“不变”或“变大”） 【答案】 不变 变大 【分析】先计算调整前后员工月工资的平均数，判断平均数的变化，再根据方差的定义，比较调整前后方差的变化情况． 【详解】解：调整前总工资为元， 调整前平均数为元， 调整后电工人数为，木工人数为，瓦工人数为，总人数仍为， 调整后总工资为元， 调整后平均数为元， ∴平均数不变， 调整前的方差 调整后的方差 ∴方差变大． 16．近年来，我国科技发展势头强劲，科技硬实力稳步跃升．在航天、前沿技术及能源等领域取得多项突破性成就．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，实验中学开展了以“科创筑梦，强国有我”为主题的模型设计活动．活动结束后，从八、九年级参赛学生的模型成绩（单位；分，满分100分）中用科学的抽样方法各随机抽取了10名学生的模型成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 中位数 众数 方差 八年级 79 九年级 83.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表中_______，_______，_______（填“>”“<”或“=”）； (2)求九年级这10名学生的平均成绩； (3)若该校八年级的100名学生和九年级的120名学生参加了该活动，估计这些学生所设计的模型成绩在90分及以上的有多少人？ 【答案】(1)83，82，> (2)九年级这10名学生的平均成绩为85分 (3)估计这些学生所设计的模型成绩在90分及以上的有66人 【分析】（1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可； （2）根据平均数的公式求解即可； （3）分别用各年级的总人数乘以相应样本中90分及以上人数所占比值，然后相加即可． 【详解】（1）解：将八年级10名学生成绩由小到大排列，第5名和第6名学生成绩分别为81分和85分， ∴中位数； 九年级10名学生成绩中82分出现次数最多为3次， ∴； 由折线图可看出八年级学生成绩波动较大， ∴； （2）解：（分）， 答：九年级这10名学生的平均成绩为85分； （3）解：（人）， 答：估计这些学生所设计的模型成绩在90分及以上的有66人． 拓展探究练 提素养 17．有甲、乙两位股票投资者，投入股市的资金都是5万元左右．如图所示是他们去年在6只股票上的投资收益情况，收益正值为盈利，负值为亏损．甲每只股票的平均收益为元，乙每只股票的平均收益为元．乙认为自己以微弱的优势战胜了甲，但是甲不这么认为．你认为甲可以有哪些理由说明自己去年的收益不一定输给了乙？ 【答案】甲在收益的中间水平、稳定性和风险控制上均优于乙，因此甲有理由认为自己去年的收益不一定输给乙． 【分析】分别从中位数、方差、最大亏损角度分析解答即可． 【详解】解：因为甲、乙两位投资者在6只股票上的投资收益情况如下： 甲的收益（单位：元）：； 乙的收益（单位：元）：． 所以甲可以从以下角度说明自己去年的收益不一定输给乙： 1．从中位数角度： 将甲、乙的收益分别从小到大排序： 甲：； 乙：． 甲的中位数为（元）， 乙的中位数为（元）． 因为， 所以甲的收益中位数高于乙，说明甲至少有一半的股票收益优于乙的＂中间水平＂． 2．从方差角度： 甲的平均收益元，乙的平均收益元． 甲的方差； 乙的方差． 因为，所以甲的收益波动更小，投资更稳健． 3．从最大亏损角度： 甲亏损最多的股票收益为-291.86元，乙亏损最多的股票收益为-320.48元． 因为， 所以甲在最差的股票上亏损更少，抗风险能力更强． 综上，尽管乙的平均收益略高于甲，但甲在收益的中间水平、稳定性和风险控制上均优于乙，因此甲有理由认为自己去年的收益不一定输给乙． 18．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】(1) (2) (3) (4)准确性较高，原因见解析 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （3）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； （4）解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 19．小新、小蔷在学习了“估计心脏的跳动次数”后，想了解谁的心跳次数更好一些．她们一起找李老师来做评价，李老师建议两名同学在正常休息时各测量心跳6次．每次测得每分钟的心跳次数情况见下表： 姓名 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 小新 84 88 85 88 90 93 小蔷 88 87 89 87 90 87 (1)请你根据图中的数据填写下表（除不尽的保留两位小数）： 姓名 平均数 众数 中位数 方差 小新 88 88 9 小蔷 88 87.5 (2)假设你是李老师，请从不同的角度分析谁的心脏更好些？ 【答案】(1)见解析 (2)小蔷的心脏更好些，理由见解析 【分析】（1）根据平均数，众数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案； （2）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案． 【详解】（1）解：小新的平均数是：（次）； ∵87出现了3次，出现的次数最多， ∴小蔷的众数是87次； 小蔷的方差是：； 故填表如下： 姓名 平均数 众数 中位数 方差 小新 88 88 88 9 小蔷 88 87 87.5 1.33 （2）解：两人的平均心跳次数相同，但从稳定性角度看，小蔷的方差更小，心跳更稳定；从中位数和众数来看，小蔷的数据（中位数87.5，众数87）比小新（中位数88，众数88）更低，说明通常情况下心跳次数更少．综合来看，小蔷的心脏更好． 20．某学校组织数学竞赛，对A、B两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息． （ⅰ）A班测试成绩的频数分布直方图如图： （数据分成4组：） （ⅱ）B班测试成绩如下： 69，69，70，70，71，73，77，78，80，81， 82，82，82，82，83，83，83，86，91，96． （ⅲ）A班、B班测试成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 A班 79.6 77 p B班 79.4 m q 根据以上信息，回答下列问题： (1)m的值为______，p______q（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，那么下列判断正确的是______； A．两个班测试成绩的方差都增大； B．两个班测试成绩的方差都减小； C．A班测试成绩的方差增大，B班测试成绩的方差减小； D．A班测试成绩的方差减小，B班测试成绩的方差增大． (3)为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 方差 甲 93 90 92 93 92 1.2 乙 91 92 92 92 92 0.16 丙 94 90 90 94 k 如果丙的排序居中，那么表中k（k为整数）的值为______，______． 【答案】(1)82， (2)B (3)92，3.2 【分析】（1）根据众数、中位数的定义分析即可； （2）根据方差的意义求解即可； （3）根据平均数、方差的定义求解即可． 【详解】（1）解：由B班的数据可得，众数，中位数 由A班的频数分布直方图可得，第10，11个数据在这一组，因此中位数 故； （2）解：如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，相当于将波动最大的两个数据去掉了， 由方差的意义可得，两个班测试成绩的方差都减小； （3）解：由题意得，， ∵平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前 ∴或 ∴ 解得， 当时，， 则，不成立； 当时，， 则，成立， ∴表中k（k为整数）的值为，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2数据的离散程度 基础过关练 夯基础 知识点1：离差平方和 1．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 2．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 3．已知一组数据7，2，5，x，8，2的平均数是5，则这组数据的离差平方和为_____． 知识点2：方差 4．为从甲、乙两名同学中选出一人参加学校的篮球比赛，体育老师让这两名同学进行了5轮投篮比赛，每轮每人投10个．如图是这两名同学5轮投篮比赛投中数量的折线统计图，则这两名同学投篮比赛投中数量的方差和的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 5．某人为了考察月季、玫瑰两种花的苗高，分别从中抽取5株苗，测得花苗的高（单位：cm）如下：甲：2，4，6，8，10；乙：1，3，5，7，9．用和分别表示这两个样本的方差，那么（     ） A． B． C． D．不确定 6．数据，，，，，，，，，的方差是__________． 7．已知第一组数据：12，14，16，18的方差为；第二组数据：32，34，36，38的方差为；第三组数据：2020，2019，2018，2017的方差为，则，，的大小关系是____________（填“＞”，“＝”或“＜”） 8．某学校为选拔优秀运动员参加县中学生运动会，组织了多次百米跑测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在10次百米跑测试中的成绩（单位：s）如下表所示： 单位：s 甲 11.8 11.9 12.0 11.7 12.2 12.1 11.8 12.0 11.7 11.9 乙 11.9 11.9 11.8 11.8 12.0 11.9 11.8 12.1 11.9 11.8 如果根据这10次成绩选拔一人参加比赛，你认为哪一位比较合适？ 能力综合练 练思维 9．下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 10．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 11．小美计划为其经营的咖啡店增设外卖配送服务，现有A、B两家配送平台可供选择．为选择更合适的合作平台，小美对两家平台的配送稳定性展开调研．她随机记录了同一天内，两家平台分别完成同一地点5单外卖的送达时间（从顾客下单到送达的时间）．具体数据如下： 单位：分钟 平台 单号 1 2 3 4 5 A 28 30 32 29 31 B 15 20 45 38 32 若从中选择配送时间比较稳定的外卖平台，则选择的是（     ） A．平台A B．平台B C．两家都一样 D．无法判断 12．太原某农科站，从1号、2号、3号、4号四个晋祠大米试验品种中随机抽取10块试验田，统计了每块田的亩产量（单位：），其平均数及方差如下表所示： 品种 1号 2号 3号 4号 平均数 520 520 660 660 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 打算选取一种产量既高产又稳定的品种在晋祠灌区推广种植，应选取的品种是（     ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 13．某班甲、乙、丙3名同学参加实心球测试，每人投掷实心球5次成绩的平均数（单位：米）及方差如下表： 项目 甲 乙 丙 9.56 10.25 10.25 0.15 0.36 0.15 根据表中信息，选择1名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是________． 14．某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 15．某工程队有名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 工种 人数 每人每月工资/元 电工 木工 瓦工 现该工程队进行了人员调整：减少木工名，增加电工、瓦工各名，与调整前相比，该工程队员工月工资的平均数__________，方差__________．（填“变小”“不变”或“变大”） 16．近年来，我国科技发展势头强劲，科技硬实力稳步跃升．在航天、前沿技术及能源等领域取得多项突破性成就．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，实验中学开展了以“科创筑梦，强国有我”为主题的模型设计活动．活动结束后，从八、九年级参赛学生的模型成绩（单位；分，满分100分）中用科学的抽样方法各随机抽取了10名学生的模型成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 中位数 众数 方差 八年级 79 九年级 83.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表中_______，_______，_______（填“>”“<”或“=”）； (2)求九年级这10名学生的平均成绩； (3)若该校八年级的100名学生和九年级的120名学生参加了该活动，估计这些学生所设计的模型成绩在90分及以上的有多少人？ 拓展探究练 提素养 17．有甲、乙两位股票投资者，投入股市的资金都是5万元左右．如图所示是他们去年在6只股票上的投资收益情况，收益正值为盈利，负值为亏损．甲每只股票的平均收益为元，乙每只股票的平均收益为元．乙认为自己以微弱的优势战胜了甲，但是甲不这么认为．你认为甲可以有哪些理由说明自己去年的收益不一定输给了乙？ 18．综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． (1)任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： (2)计算任务1得到的函数表达式的值； (3)写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： (4)小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 19．小新、小蔷在学习了“估计心脏的跳动次数”后，想了解谁的心跳次数更好一些．她们一起找李老师来做评价，李老师建议两名同学在正常休息时各测量心跳6次．每次测得每分钟的心跳次数情况见下表： 姓名 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 小新 84 88 85 88 90 93 小蔷 88 87 89 87 90 87 (1)请你根据图中的数据填写下表（除不尽的保留两位小数）： 姓名 平均数 众数 中位数 方差 小新 88 88 9 小蔷 88 87.5 (2)假设你是李老师，请从不同的角度分析谁的心脏更好些？ 20．某学校组织数学竞赛，对A、B两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息． （ⅰ）A班测试成绩的频数分布直方图如图： （数据分成4组：） （ⅱ）B班测试成绩如下： 69，69，70，70，71，73，77，78，80，81， 82，82，82，82，83，83，83，86，91，96． （ⅲ）A班、B班测试成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 A班 79.6 77 p B班 79.4 m q 根据以上信息，回答下列问题： (1)m的值为______，p______q（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，那么下列判断正确的是______； A．两个班测试成绩的方差都增大； B．两个班测试成绩的方差都减小； C．A班测试成绩的方差增大，B班测试成绩的方差减小； D．A班测试成绩的方差减小，B班测试成绩的方差增大． (3)为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 方差 甲 93 90 92 93 92 1.2 乙 91 92 92 92 92 0.16 丙 94 90 90 94 k 如果丙的排序居中，那么表中k（k为整数）的值为______，______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $