2025-2026学年七年级下册期末复习压轴题：不等式与不等式组

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组的含参问题及实际应用，通过新定义题型与情境应用题系统训练参数分析、整数解处理及数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |含参不等式|10+题|新定义（等值整数组、麦斯值等）、参数范围、整数解分析|从新概念生成到参数推理，体现抽象能力与推理意识| |不等式组应用题|10+题|采购方案、利润最大化、资源分配等情境问题|从实际问题抽象不等式组模型，发展模型意识与应用意识|

2025—2026人教版七年级下册期末复习压轴题： 不等式与不等式组 【含参不等式】 1. （25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式 （组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． (1)下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． (2)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； (3)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 2. （25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时， 如果，则．反之，当为非负整数时，如果，则，例如：，，，． 试解决下列问题： (1)填空：_________；如果，则实数的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围； (3)求满足的所有的值． 3. （25-26八年级下·广东梅州·期中）我们规定：不等式组，，，的“长度” 均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”d＝______；“整点”为______； (2)若关于x的不等式组的“长度”，求a的值； (3)若关于x的不等式组恰有3个“整点”，求a的取值范围． 4. （25-26七年级下·吉林长春·期中）若一个不等式（组）解集中有最大（最小）整数值，则称最大（最小）整 数值为的“麦斯值”，若不等式（组）的“麦斯值”都是不等式组的解，则称不等式组对于不等式（组）“麦斯覆盖”，即不等式（组）被不等式组“麦斯覆盖”． 例如：①不等式的“麦斯值”为5，它被不等式组“麦斯覆盖”， ②不等式组的“麦斯值”为1和3，它被不等式组“麦斯覆盖”，却不被不等式组“麦斯覆盖” (1)已知关于的不等式，不等式的“麦斯值”为___________，判断不等式组是否对于不等式“麦斯覆盖”．___________（填“是”或者“否”）； (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式和不等式组，以及不等式组，且不等式和不等式组中有且只有一个被不等式组“麦斯覆盖”，请直接写出的取值范围． 5. （25-26七年级下·湖南永州·期中）定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称 一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 6. （24-25八年级下·全国·阶段检测）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即：当n为非负整数时，如 果，则．反之，当n为非负整数时，如果，则，例如：，，． 试解决下列问题： (1)填空：①___________（π为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为___________． (2)①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是___________． ②若关于x的方程有正整数解，求m的取值范围． (3) 求满足的所有非负整数x的值． 7. （24-25七年级下·湖北武汉·期末）请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. (1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； (2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； (3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 8. （24-25七年级下·山东日照·期末）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组） 为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解． 9. （25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则 称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（只填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ①当时，求的取值范围； ②当时，求的取值范围． (4) 若关于的方程是关于的不等式组的关联方程，且所有符合要求的整数之和为14，求的取值范围． 10. （25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 (2) 已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 11. （25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若一个不等式组A有解且解集为（），则称为A的解集中 点值，若A的解集中点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于的不等式组A：，以及不等式组B：， ①不等式组A的解集中点值为_____． ②不等式组B对于不等式组A______（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数之和最大，求的取值范围． 12. （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距 离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【不等式组应用题】 13. （25-26七年级下·重庆·期中）某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型 布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 14. （25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）请根据素材，解决任务1与任务2、任务3． 背景 为落实省教育厅“双减”政策，丰富学校课后服务内容，彰显学校体育特色． 素材1 实验初中为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元． 素材2 已知A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元， 问题解决： (1)任务1：求两种品牌排球的单价 (2)任务2：根据需要，学校决定再次购进两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？ (3)任务3：商场搞促销，A种品牌排球每个优惠元（为整数），B种品牌价格不变．学校仍计划购买A、B两种排球共50个，且总花费不超过3100元，购买的A种品牌排球不少于20个．若要求购买方案恰好有5种，求整数的值． 15. （25-26七年级下·重庆·期中）5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个， 用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 16. （25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 17. （21-22七年级下·四川眉山·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2 倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 18. （2026·湖北鄂州·模拟预测）近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技 梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费270元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费140元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折． ①若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ ②若购买A款机器人玩具的数量不少于B款机器人玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 19. （23-24七年级下·广西北海·期末）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课 题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 20. （24-25七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服 装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 21. （24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行 了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 22. （25-26七年级下·重庆·阶段检测）某超市推出甲、乙、丙三种糖果礼盒，每种礼盒均装有A、B、C三种糖果．其 中，甲礼盒装有4个A糖果，4个B糖果，9个C糖果；乙礼盒装有7个A糖果，7个B糖果，5个C糖果；丙礼盒装有若干个A糖果，6个B糖果，4个C糖果，且每种礼盒的售价等于其所装糖果的售价之和．每个甲礼盒的售价为86元，每个乙礼盒的售价不低于80元，不高于95元，每个丙礼盒的售价为88元．已知每种糖果的售价均为整数，且每个A糖果的售价高于3元，不超过8元，求每个丙礼盒中A糖果的个数． 23. （25-26九年级下·山东烟台·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 24. （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个 出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度=温水体积温水升高的温度． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为多少秒； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026人教版七年级下册期末复习压轴题： 不等式与不等式组 【含参不等式】 1. （25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）定义：若两个不等式（组）存在整数解且完全一致，则称这两个不等式 （组）“互为等值整数组”． 例：不等式组的解集为，其整数解为大于等于的整数；不等式的解集为， 其整数解也为大于等于的整数．因此，不等式组与不等式“互为等值整数组”． (1)下列不等式（组）中与“互为等值整数组”的是 （填写正确结论的序号）； ①，②，③． (2)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，且是整数，请求出的值； (3)已知关于的不等式组与“互为等值整数组”，请求出的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（）分别求出几个不等式（组）的整数解，按照定义要求判断即可； （）分别求出两个不等式组的解集，因为两个不等式组有相同的整数解，所以根据第一个不等式组的整数解，得到，解不等式即可； （）分别求出两个不等式组的解集，可分析得两不等式组有相同整数解时，整数解只可能为0，据此求出的范围． 【详解】（1）解∶解原不等式得； ∴整数解为：； ①解得， ∴整数解为：，与原不等式不同； 解得， 整数解为，与原不等式相同； ③解得， 解得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为与原不等式不同； （2）解：解第一个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 整数解为； 解第二个不等式组 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵整数解需为， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴； （3）解：解第一个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； 解第二个不等式组， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为； ∵两不等式组整数解相同且存在整数解， 若整数解为： 则，解得； 若整数解为， 则，解得，此不等式组无解； 同理可得若原题中两个不等式组的相同整数解包括小于的其他整数解时，都没有使之成立； ∴两不等式组相同的整数解只有0，此时． 2. （25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时， 如果，则．反之，当为非负整数时，如果，则，例如：，，，． 试解决下列问题： (1)填空：_________；如果，则实数的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围； (3)求满足的所有的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)，，，． 【分析】根据新定义即可求解； 先求出不等式组的解集为，又因为关于的不等式组的整数解恰有个，所以，则，解得； 设（为非负整数），所以，因为，所以，则，故有，解得，从而求得或或或，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴实数的取值范围为， 故答案为：，， （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的整数解恰有个，即，， ∴， ∴， ∴， 即的取值范围是； （3）解：设（为非负整数）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵为非负整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为，，，． 3. （25-26八年级下·广东梅州·期中）我们规定：不等式组，，，的“长度” 均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”d＝______；“整点”为______； (2)若关于x的不等式组的“长度”，求a的值； (3)若关于x的不等式组恰有3个“整点”，求a的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】（1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1； （2）解：， 由不等式， 当时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当时，， 不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 4. （25-26七年级下·吉林长春·期中）若一个不等式（组）解集中有最大（最小）整数值，则称最大（最小）整 数值为的“麦斯值”，若不等式（组）的“麦斯值”都是不等式组的解，则称不等式组对于不等式（组）“麦斯覆盖”，即不等式（组）被不等式组“麦斯覆盖”． 例如：①不等式的“麦斯值”为5，它被不等式组“麦斯覆盖”， ②不等式组的“麦斯值”为1和3，它被不等式组“麦斯覆盖”，却不被不等式组“麦斯覆盖” (1)已知关于的不等式，不等式的“麦斯值”为___________，判断不等式组是否对于不等式“麦斯覆盖”．___________（填“是”或者“否”）； (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式和不等式组，以及不等式组，且不等式和不等式组中有且只有一个被不等式组“麦斯覆盖”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，是 (2) (3)或 【分析】（1）求得不等式的整数解，确定其最大整数解即可；已知关于的不等式根据定义判定求解即可； （2）先求出不等式组的解集，确定的“麦斯值”；求出不等式组的解集，根据不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”，建立不等式求的取值范围即可； （3）先求出各个不等式或不等式组的解集，确定不等式或不等式组的“麦斯值”， 根据不等式（组）中有且只有一个被不等式组“麦斯覆盖”，建立新不等式组求解即可； 【详解】（1）解：不等式，解得，故不等式的“麦斯值”为2，它被不等式组 “麦斯覆盖”，故答案为：是． （2）解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 不等式组的“麦斯值”为和4， ∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 不等式组对于不等式组“麦斯覆盖”， 故 解不等式①，得，解不等式②，得， 故的取值范围为； （3）解：，解得，故不等式的最小整数解为， 故不等式的“麦斯值”为1； ∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，其整数解为3,4，故不等式的麦斯值”为3和4； ∵， ∴解不等式①，得，解不等式②，得， 不等式有解集满足的条件是， ∴不等式组的解集为， 当被不等式组“麦斯覆盖”时，根据题意，得， 被不等式组“麦斯覆盖”时，， 不被不等式组“麦斯覆盖”的条件为，或， 故只有且仅有被不等式组“麦斯覆盖”的条件为； 被不等式组“麦斯覆盖”时，，不被不等式组“麦斯覆盖”的条件为，或， 故只有且仅有被不等式组“麦斯覆盖”的条件为； 综上所述，的取值范围为：或 ． 5. （25-26七年级下·湖南永州·期中）定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称 一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 6. （24-25八年级下·全国·阶段检测）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为．即：当n为非负整数时，如 果，则．反之，当n为非负整数时，如果，则，例如：，，． 试解决下列问题： (1)填空：①___________（π为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为___________． (2)①若关于x的不等式组的整数解恰有3个，则a的取值范围是___________． ②若关于x的方程有正整数解，求m的取值范围． (3)求满足的所有非负整数x的值． 【答案】(1)①3，② (2)①；② (3)3 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，新定义，根据题意正确理解的意义是解题关键． （1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围； （2）①首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；②先解方程，得出，再根据是整数，x是正整数，得到或2，进而得出或1，则或，即得； （3）根据，得，解得，3，4，由是正整数即得． 【详解】（1）解：①由题意可得：； 故答案为：3， ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①解不等式组得：， 由不等式组整数解恰有3个得，， 故； 故答案为：； ②解方程得， ∵是整数，x是正整数， ∴或1， ∴或1， ∴，或， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，3，4， ∵x为整数， ∴满足的所有非负整数x的值为3． 7. （24-25七年级下·湖北武汉·期末）请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分. (1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ； (2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围； (3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)或. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次不等式组的解法；不等式组的整数解问题； （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据新定义的含义即可得答案； （2）不等式组的“青一距离”，可得不等式组的解集为：，再分，，讨论即可得答案； （3）根据不等式组的“青一距离” ，得出值，得出不等式组，再表示不等式组的解集，根据恰有2个“求真点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的“青一距离”；“求真点”为，，. （2）解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴， 解得：， 由③得：， ∵不等式组的“青一距离”， ∴不等式组的解集为：， ∴当，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， 解得：， 此时， 当时，即时，不等式③成立， 当时，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 此时：， 综上：. （3）解：∵不等式组的“青一距离” ， ∴， 解得：， ∴化为， 由①得：， 由②得：， ∵关于y的不等式组恰有2个“求真点”， ∴不等式组的解集为：，且有2个整数解， 则存在这样的整数满足： ， 由③得：， 由④得：， 当时，可得：， 此时， 当时，可得：， 此时， 当时，符合题意， 当为另外的整数时，不等式组无解； 综上：或. 8. （24-25七年级下·山东日照·期末）如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组） 为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． (1)方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； (2)已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解． 【答案】(1)②③ (2) (3)整数解一共有6个，分别是 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先求出不等式组的解集为，再结合“偏解方程”的定义，可得b得取值范围为，从而得到当b取得最大值1时，的值最大，的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ①当时，，则不能使成立， ∴方程不是不等式的“偏解方程”； ②当时，，则能使成立， ∴方程是不等式的“偏解方程”； ③当时，，则能使成立， ∴方程是不等式组的“偏解方程”； 故答案为：②③ （2）解： 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， ∵不等式组有解， ∴，且， ∴， ∵关于的方程是不等式组的“偏解方程”， ∴， 解得：， 综上，b得取值范围为， ∵不等式组的解集为， 当时，， ∴当b取得最大值1时，的值最大，的值最小， 此时不等式组的解集为，含有最少整数解． 此时整数解一共有6个，分别是． 9. （25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则 称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______；（只填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”， ①当时，求的取值范围； ②当时，求的取值范围． (3)若关于的方程是关于的不等式组的关联方程，且所有符合要求的整数之和为14，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)①3；② (3)或 【分析】（1）求出方程的解，不等式组的解集，根据新定义进行判断即可； （2）①把代入方程和不等式组，求出方程的解，不等式组的解集，根据新定义，得到关于的不等式组，即可得出结果；②把代入方程和不等式组，求出方程的解，不等式组的解集，根据新定义，得到关于的不等式组，即可得出结果； （3）求出方程的解，不等式组的解集，根据不等式组的解集的情况，进行求解即可. 【详解】（1）解：解，得； 解，得； 解，得； 解不等式组，得， ∵和在的范围内，不在的范围内， 故不等式组的“关联方程”是①③； （2）解：①当时，方程化为，解得， 不等式组化为，解得， 由题意，， 解得3， ②当时，方程化为，解得， 解不等式组得， 由题意，， 解得； （3）解：解方程，得， 解不等式组，得， 由题意，， ∴， ∵所有符合要求的整数之和为14， 又或， ∴或. 10. （25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值；由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，再求出，从而得到关于，的方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴，即， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 11. （25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若一个不等式组A有解且解集为（），则称为A的解集中 点值，若A的解集中点值是不等式组B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于的不等式组A：，以及不等式组B：， ①不等式组A的解集中点值为_____． ②不等式组B对于不等式组A______（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求的取值范围． (3)关于x的不等式组E：（）和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数之和最大，求的取值范围． 【答案】(1)①5；②是 (2) (3) 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （3）求出不等式组和的解集，进而可得，由于所有符合要求的整数之和最大，则可取或可取，据此即可求解． 【详解】（1）解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含； （2）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； （3）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之和最大， ∴可取或可取， ∴． 12. （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距 离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 【不等式组应用题】 13. （25-26七年级下·重庆·期中）某服装厂购进A型、B型两种尺寸的布料加工成T恤和长裤出售．已知一匹A型 布料的进价比一匹B型布料多20元，且购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元． (1)每匹A型布料与B型布料的进价各是多少元？ (2)根据生产计划，该厂决定用不超过3800元购进A型、B型布料共100匹，（两种布料购进的匹数均为整数）．已知一匹A型布料可制成3件T恤和2条长裤，一匹B型布料可制成2件T恤和3条长裤，且生产出来的T恤数量不少于长裤数量的．则该服装厂有几种进货方案？ (3)某服装店从该厂购进一批足量的T恤和长裤进行销售．为提升购物体验，商家推出礼盒包装服务：每个礼盒仅能包装一件T恤或一条长裤，顾客可自主选择是否使用礼盒包装．已知每件T恤零售价65元，每条长裤零售价80元，每个礼盒售价15元．小罗用4280元购买了一批T恤和长裤，其中不用礼盒包装的T恤件数占总购买件数的．则用礼盒包装的长裤买了多少条？ 【答案】(1)每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； (2)该服装厂有3种进货方案； (3)用礼盒包装的长裤买了14条． 【分析】（1）设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元，根据购买3匹A型布料和2匹B型布料共花费210元列出方程并解方程即可； （2）设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，根据题意列出不等式组并解不等式组，求出整数解即可； （3）设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，由题意得到，由题意可得， ，解得，进一步求出即可得到答案． 【详解】（1）解：设每匹B型布料的进价是元，则A型布料的进价是元， 则， 解得， ∴， 答：每匹A型布料的进价是元，每匹B型布料的进价是元； （2）解：设购进A型布料匹，则购进B型布料匹，由题意可得， ， 解得， ∵两种布料购进的匹数均为整数， ∴或或， 答：该服装厂有3种进货方案； （3）解：设购买商品件数为则不用礼盒包装的T恤为件，设包装的T恤为件，包装的长裤为条，不用礼盒包装的长裤为条，其中为正整数，均为非负数，根据题意可得， ， 即， 由题意可得， 把代入并整理得到，， 即， 解得， 由及,可得， 代入得到， 由得到，解得， ∴， 代入，符合题意， 答：用礼盒包装的长裤买了14条． 14. （25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）请根据素材，解决任务1与任务2、任务3． 背景 为落实省教育厅“双减”政策，丰富学校课后服务内容，彰显学校体育特色． 素材1 实验初中为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元． 素材2 已知A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元， 问题解决： (1)任务1：求两种品牌排球的单价 (2)任务2：根据需要，学校决定再次购进两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？ (3)任务3：商场搞促销，A种品牌排球每个优惠元（为整数），B种品牌价格不变．学校仍计划购买A、B两种排球共50个，且总花费不超过3100元，购买的A种品牌排球不少于20个．若要求购买方案恰好有5种，求整数的值． 【答案】(1)A：80元/个；B：50元/个 (2)共有3种购买方案：①A排球23个，B排球27个；②A排球24个，B排球26个；③A排球25个，B排球25个 (3) 【分析】（1）设两种品牌排球的单价为元和元，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）设购买A品牌排球个，则购买B品牌排球个，列出不等式组进行求解即可； （3）设购买A品牌排球个，则购买B品牌排球个，列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）解：设两种品牌排球的单价为元和元， 由题意，，解得； 答：两种品牌排球的单价为元和元； （2）解：设购买A品牌排球个，则购买B品牌排球个， 由题意，，解得； ∵为整数， ∴； ∴； 故总共有3种购买方案：①A排球23个，B排球27个；②A排球24个，B排球26个；③A排球25个，B排球25个； （3）解：设购买A品牌排球个，则购买B品牌排球个， 由题意，，整理，得， ∵要求购买方案恰好有5种，即， ∴， ∴， ∵为整数， ∴. 15. （25-26七年级下·重庆·期中）5月4日“快乐读书吧”开业大酬宾，店家计划从商场购进笔筒和马克杯共50个， 用于赠送到店消费的顾客．已知购买2个笔筒和3个马克杯共需79元，购买3个笔筒和2个马克杯共需81元． (1)求笔筒和马克杯的单价分别为多少元？ (2)店家计划购进笔筒个，购进马克杯的数量不超过笔筒数量的，并且预算总费用不超过810元，请通过计算说明店家共有几种采购方案？ (3)店家在采购时恰逢商场促销，有以下两种优惠方式： 方式一：购买任意产品每满十件赠送一个马克杯； 方式二：全场商品享受九折优惠． 在（2）问的所有采购方案中，如果店家想要购进笔筒最多的方案，请通过计算说明选取哪种优惠方式使得采购总价更低？ 【答案】(1)笔筒单价为17元，马克杯单价为15元，见详解 (2)店家共有4种采购方案，见详解 (3)选择方式二采购总价更低 【分析】（1）根据“2个笔筒+3个马克杯=79元、3个笔筒+2个马克杯=81元”列二元一次方程组求解即可； （2）根据“马克杯数量笔筒数量的、总费用元”列一元一次不等式组，求整数解即可确定采购方案数； （3）分别计算方式一、方式二的总价，比较大小即可． 【详解】（1）解：设笔筒的单价为元，马克杯的单价为元，根据题意，得 解得 笔筒单价为17元，马克杯单价为15元； （2）解：根据由题意，得 解得． 为正整数， ，，，， 店家共有4种采购方案； （3）解：由（2）可知店家想要购进笔筒最多的方案为：笔筒30个，马克杯20个． 方式一：设实际需购买马克杯个，则购买商品总数为件． 当时，总购买数为45件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），不满足要求； 当时，总购买数为46件，可获赠（个）马克杯，共获得（个），满足要求； 所以采购总价为（元）； 方式二： 采购总价为（元）． ， 选择方式二采购总价更低． 16. （25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆； (2)辆；共有种租车方案，详见解析，最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【分析】（）设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆，根据题意得，然后解方程组即可； （）设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆，由题意得，，然后解不等式即可； 由题意得，解得，所以，再结合为整数，则有或或，再分别计算三种方案的租车费用并比较即可． 【详解】（1）解：设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆， 根据题意得， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴至少要租用辆甲型客车； 由题意得，， 解得， 由得， ∴， ∵为整数， ∴或或， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车， 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 17. （21-22七年级下·四川眉山·期中）某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2 倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)赠甲书包1个，乙书包3个 【分析】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据数量＝总价÷单价结合“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元”列出方程组并解答； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； （3）先假设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意：总利润=总销售额-总成本，其中赠送的书包不产生销售收入，但其成本已包含在总成本中，则可列出方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得． 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得． 解得． ∵， ∴． ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110． ∴该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：分三种情况： ①购进甲种书包88个，乙种书包112个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立； ②购进甲种书包89个，乙种书包111个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得，， 故甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． ③购进甲种书包90个，乙种书包110个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立． 综上，甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 18. （2026·湖北鄂州·模拟预测）近年来，我国人形机器人不断取得新的突破，许多中学生也在心中种下了一个科技 梦．某玩具店有A，B两款热销的机器人玩具，若购买1个A款机器人玩具和2个B款机器人玩具共花费270元，购买2个A款机器人玩具比购买1个B款机器人玩具多花费140元． (1)求A，B两款机器人玩具的单价； (2)某机器人社团计划购买A，B两款机器人玩具共14个（两款都购买），恰逢该玩具店周年店庆，A款机器人玩具打八折，B款机器人玩具打九折． ①若预算不超过1200元，则最多购买A款机器人玩具多少个？ ②若购买A款机器人玩具的数量不少于B款机器人玩具的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)A款机器人玩具的单价为110元，B款机器人玩具的单价为80元． (2)①最多购买A款机器人玩具12个；②当购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个最省钱． 【分析】（1）设A款机器人玩具的单价为x元，B款机器人玩具的单价为y元，根据题中的等量关系列方程组求解即可； （2）①设购买A款机器人玩具m个，则B款机器人玩具个，再根据“预算不超过1200元”列不等式解题即可；②设购买A款机器人玩具n个，则B款机器人玩具个，列不等式求出n的取值范围，然后取整数设计方案即可． 【详解】（1）解：设A款机器人玩具的单价为x元，B款机器人玩具的单价为y元， 由题意得：，解得：， 答：A款机器人玩具的单价为110元，B款机器人玩具的单价为80元． （2）解：①设购买A款机器人玩具m个，则B款机器人玩具个， 由题意得：， 解得：， ∵m取正整数， ∴m的最大值为12， 答：最多购买A款机器人玩具12个． ②设购买A款机器人玩具n个，则B款机器人玩具个， 由题意得：，解得：， ∴， ∵n取正整数， ∴n可取的值为11，12，13， 方案一：购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个； 总费用：元； 方案二：购买A款机器人玩具12个，则购买B款机器人玩具2个； 总费用：元， 方案三：购买A款机器人玩具13个，则购买B款机器人玩具1个； 总费用：元， ∵， ∴当购买A款机器人玩具11个，则购买B款机器人玩具3个最省钱． 19. （23-24七年级下·广西北海·期末）某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项关于“低碳生活”的课 题活动，具体是对“新能源汽车充电难”问题进行调查，并写出相关活动报告．请你帮他们完成下面的活动报告． 活动课题 了解“新能源汽车充电难”问题 活动目的 运用方程与一元一次不等式解决新能源汽车充电问题，提倡“低碳生活，绿色出行”． 活动素材 某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 3 1 已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． 问题一 该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元． 问题二 若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，则最多可以建多少个地下充电桩？ 问题三 考虑到充电设备对小区居住环境的影响，在问题二的条件下，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？请列出所有方案．哪种方案占地面积最小． 【答案】问题一：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元； 问题二：最多可以建个地下充电桩； 问题三：共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩；方案占地面积最小 【分析】问题一：找准等量关系，设未知数后列出二元一次方程组求解，得到单个地上和地下充电桩的建造费用； 问题二：设地下充电桩数量，根据总资金限制列出一元一次不等式，求解得出地下充电桩的最大数量； 问题三：结合资金限制和地下充电桩数量的下限，列出一元一次不等式组，找出整数解得到所有建造方案，再计算各方案的占地面积并比较大小，确定占地面积最小的方案． 【详解】解：问题一：设该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 根据题意得： 解得： 答：该小区新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元 问题二：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 化简得： 解得： 答：最多可以建43个地下充电桩 问题三：设建造个地下充电桩，则建造个地上充电桩 根据题意得： 解不等式组得： 又∵为正整数 可以为，，， 共有种建造方案，方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩方案：建造个地下充电桩，个地上充电桩 方案1的占地面积为（平方米） 方案2的占地面积为（平方米） 方案3的占地面积为（平方米） 方案4的占地面积为（平方米） ∵ ∴方案占地面积最小 答：共有种建造方案，分别为上述方案，方案占地面积最小 20. （24-25七年级下·湖南衡阳·期末）某中学因运动会开幕式演出需要，向某服装厂定制A，B两种不同款式的服 装．已知该厂用相同的布料生产这两款服装，且生产相同款式的服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料，3套A款服装和1套B款服装需用布料． (1)每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米？ (2)该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？ (3)在（2）的条件下，若每套A款服装的利润为25元，每套B款服装的利润为20元，则该厂生产这100套服装能否实现盈利不低于2190元的目标？若能，请你给出相应的生产方案；若不能，说明理由． 【答案】(1)每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； (2)60套； (3)三种生产方案：①生产40套A款服装，60套B款服装；②生产39套A款服装，61套B款服装；③生产38套A款服装，62套B款服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式以及方程组是解题的关键． （1）每套款服装用布料米，每套款服装需用布料米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设服装厂需要生产套款服装，则生产套款服装，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装．根据该厂这100套服装能否实现盈利不低于元列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米． 根据题意，得， 解得 答：每套A款服装需用布料米，每套B款服装需用布料米； （2）解：设该服装厂需要生产m套B款服装，则需生产套A款服装． 根据题意，得 解得． 答：该服装厂最少需要生产60套B款装； （3）解：该厂生产这100套服装能实现盈利不低于2190元的目标， 根据题意，得， 解得， 又因为，且为正整数， 所以或61或62． 故共有如下三种生产方案： ①生产40套A款服装，60套B款服装； ②生产39套A款服装，61套B款服装； ③生产38套A款服装，62套B款服装． 21. （24-25九年级上·福建厦门·阶段检测）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行 了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．      如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键． （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放时长， 故答案为：． （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列， 因此由（1）可得， 解得， （辆） 答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车． （3）解：有3种方案， 设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，4，5， 共有3种运输方案： ①扶手电梯运3次，直立电梯运2次； ②扶手电梯运4次，直立电梯运1次； ③扶手电梯运5次． 22. （25-26七年级下·重庆·阶段检测）某超市推出甲、乙、丙三种糖果礼盒，每种礼盒均装有A、B、C三种糖果．其 中，甲礼盒装有4个A糖果，4个B糖果，9个C糖果；乙礼盒装有7个A糖果，7个B糖果，5个C糖果；丙礼盒装有若干个A糖果，6个B糖果，4个C糖果，且每种礼盒的售价等于其所装糖果的售价之和．每个甲礼盒的售价为86元，每个乙礼盒的售价不低于80元，不高于95元，每个丙礼盒的售价为88元．已知每种糖果的售价均为整数，且每个A糖果的售价高于3元，不超过8元，求每个丙礼盒中A糖果的个数． 【答案】 【分析】先设未知数表示各糖果单价和丙中A糖果个数，根据甲礼盒售价得到各量关系，结合乙礼盒售价范围确定C糖果单价和A、B单价的和，再利用A单价的范围和丙礼盒售价的等式，结合整数性质求出丙中A糖果的个数． 【详解】解：设每个A糖果售价为x元，每个B糖果售价为y元，每个C糖果售价为z元，丙礼盒中A糖果的个数为a，x、y、z、a均为正整数， 根据题意得：， 设，则，得，且， ∵x、y均为正整数， ∴s是正整数，，，即， ∴是4的倍数，即， ∴，且z除以4余2， ∴或， 当时，， 计算乙的售价得，，不符合要求，舍去。 当时，， 计算乙的售价得，满足，符合要求； ∴，，即， 由，可得：，即， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵a为正整数， ∴可以为10或者9， 当时，，不为整数，舍去， 当时，，符合题意． 23. （25-26九年级下·山东烟台·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒 (2)当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确找出等量关系，列出相对应的方程组和不等式组是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得，，解之得：， 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒． （2）设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元， 水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒， ，解之得：， 由题意可得，， ， 随的减小而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元． 24. （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个 出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度=温水体积温水升高的温度． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为多少秒； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 (3)当时，方案一的水温更高；当时，方案一、二的水温一样高；当时，方案二的水温更高． 【分析】（1）根据接水时间×速度＝体积，得到接温水的时间． （2）设乙同学接温水所用的时间为，根据接水的总体积列方程，得到接温水和开水的时间． （3）根据每个方案分别列出温水和开水的接水体积，设两种方案最终的温度值和，根据热量守恒列方程，得到和的值，分，，三种情况解得的取值范围． 【详解】（1）解：∵他先接开水秒， ∴他接开水的体积为：， ∴他接温水的体积为：， ∴他再接温水的时间为：； （2）解：设乙同学接温水所用的时间为，则他接开水所用的时间为， 根据题意可列方程：，解得：， ∴， ∴乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； （3）解：方案一：丙同学接的温水体积为，则他接的开水体积为， 设接好后的水温为，则根据题意有：， 解得：， 方案二：丙同学接的开水体积为，则他接的温水体积为， 设接好后的水温为，则根据题意有：， 解得：， ∴当时，即时，解得：， 当时，即时，解得：， 当时，即时，解得：， 又∵，解得：， ∴当时，方案一的水温更高；当时，方案一、二的水温一样高；当时，方案二的水温更高． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $