期末复习压轴题：四边形2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦四边形综合应用，以各地期末压轴题构建从基础性质到动态探究的梯度训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊四边形|多题3问结构|性质判定证明、中点相关计算|从平行四边形到正方形，层层递进性质应用| |折叠与对称|含“忧乐四边形”新定义|折叠重合判定、对称性质应用|以轴对称为核心，联结全等与图形变换| |旋转与动态|动点与旋转综合题|动线最值、动态数量关系|结合运动变化，培养空间观念与转化思想| |新定义探究|“垂美四边形”等概念|概念理解、性质推导、拓展应用|从概念生成到原理应用，提升创新意识|

2025—2026人教版八年级下册期末复习压轴题： 四边形 1. （24-25八年级下·广东广州·期中）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把 这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 2. （25-26八年级下·江苏泰州·期中）解答下列问题： (1)在等腰梯形中，，． ①如图1，求证：； ②如图2，点、分别为、中点，若，，求的长度； (2) 如图3，在直角梯形中，，，，，，若点从点沿着射线、点从点沿着射线以相同的速度运动，在、运动的过程中，求线段的长度的最小值． 3. （25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点 为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 4. （25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别 与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 5. （25-26八年级上·吉林白山·期末）已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接， ，的两边分别交直线、于点E、F． (1)如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； (2)如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 6. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在四边形中，，． (1)求证：平分； (2)在边上，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，，交于，在边上，，交于，过作于，若，，求线段的长． 7. （25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）综合与实践：探究“中线长定理”． 【问题提出】小杭想探究三角形三边长与其一边中线长度的关系，如左图，是的中线，小杭通过作边的高线得出了结论． (1)【初步解决】请你根据小杭的想法，推测小杭的结论，即著名的“中线长定理”是什么； (2)【感知应用】已知在中，，，直接写出两条对角线，和的取值范围； (3)【深入探究】如右图，在正方形中，，在边，上，沿翻折四边形，使点的对应点落在上．设点的对应点为点，的中点为，连接，，，若，，试运用中线长定理求的长． 8. （25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）在正方形中，点，点分别在边，上，满足， 点是对角线的中点．   (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，直接写出的长为________． (3)如图3，连接，，，求的长． 9. （25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运 动，运动到点时，停止运动；同时，点从点出发向点运动，运动到点时，停止运动．点，的速度都是，连接，，，设点，运动的时间为（单位：）． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？ (3)当是以为一条腰的等腰三角形时，请直接写出此时的值． 10. （25-26八年级下·辽宁大连·期中）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 11. （25-26八年级下·北京西城·期中）如图，正方形中，点E为线段边上一动点（，E不与D 重合），其中，点B关于直线的对称点为F，连接，连接交直线于点G，连接． (1)补全图形，求的度数（用含α的式子表示） (2)猜想和的数量关系，并证明． (3)若直接写出的取值范围． 12. （2026·甘肃白银·模拟预测）已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】如图1，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)【问题探究】将绕点逆时针旋转（如图2），连接，，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，再将绕点顺时针旋转至，连接，探究线段与线段的数量关系及位置关系，并说明理由． 13. （25-26八年级下·贵州遵义·期中）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为 点，过点作，垂足为点．直线，交于点．过点作，垂足为点． (1)如图1，当为锐角时，猜想线段，，的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 (2)如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 (3) 当，且时，若，，直接写出的长． 14. （25-26八年级下·福建厦门·期中）已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将 沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2) 如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 15. （25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 综合与实践 定义：将宽与长的比值为 (n为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形． (1)概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图1，这就是我们在数学活动中认识过的黄金矩形，它的宽（）与长（）的比值是 ． (2)操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图2）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点D的对应点为点 H，展开，折痕为 第三步：过点 G折叠纸片，使得点A、B分别落在边、上，展开，折痕为 试说明：矩形 是黄金矩形． (3)迁移探究： 小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图3，点E为正方形 边 上(不与端点重合)任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 16. （25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 17. （25-26八年级下·广西南宁·期中）在菱形中，（），点在对角线上运动（点 不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 18. （25-26八年级下·河北邢台·期中）在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D 的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 19. （25-26八年级下·广东珠海·期中）如图1，正方形中，点在线段上，连接交于点，过作 于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，当是的中点时，线段（点在点的左边）在直线上运动．连接、，若，，求出的最小值． 20. （25-26八年级下·江苏南京·期中）课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 (1)①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 (2)如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 (3)如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 21. （25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，在矩形中，，，点P从点B出发，沿 向点D运动，作关于直线的对称（点C、D的对称点分别为、）． (1)如图2，当点在的延长线上时，则的长为______； (2)如图3，当点P与点C重合时，连，、交分别于点E、F． ①求证：； ②求的长． (3)当直线经过点B时，求的长． 22. （25-26八年级下·广东东莞·期中）【教材呈现】下面是人教版八年级下册的部分内容： 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点．求证：（提示：取的中点，连接）． (1)请你思考教科书中的“提示”，这样添加辅助线的意图是创造新的条件，可证明____________，从而可得，请写出证明过程． 【类比探究】 (2)如图（1），若点是边上任意一点（不与重合），其他条件不变．求证：； 【拓展探究】 (3)如图（2），四边形是正方形，点是直线上一点，，交正方形外角的平分线于点．若，，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026人教版八年级下册期末复习压轴题： 四边形 1. （24-25八年级下·广东广州·期中）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把 这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”． (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_________． A．平行四边形  B．菱形  C．矩形  D．正方形 (2)如图2，在平行四边形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．①求证：四边形是“忧乐四边形”．②若；当是直角三角形时，请求出线段的长． (3)如图1，在四边形中，，线段、之间存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)B、D (2)①见解析；②或 (3)． 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）①连接、，根据折叠的性质、平行四边形的性质证明，即可解答；②分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． （3）由四边形沿对折重合，得、，且平分、．结合，证得、均为等边三角形，进而得到，判定四边形为菱形．由菱形对角线互相垂直平分，得，且．在中，利用角对边是斜边一半，结合勾股定理，算出，最终推出． 【详解】（1）解：①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； ∴一定是“忧乐四边形”的有②④； （2）①证明：如图：连接、， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，且， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”． ②解：∵， ∴四边形是平行四边形， 若，连接，则四边形是矩形， ， 由题意及①知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由题意得，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵ ， ，， ∴平分，即； ，即， ， ， ， 设，则，， ∵， ∴， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． （3）解：连接，交于点O， ∵凸四边形沿对角线对折完全重合， ，，平分，平分， ∵，， 为等边三角形，为等边三角形，，， ，， ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理得： ， ， ． 2. （25-26八年级下·江苏泰州·期中）解答下列问题： (1)在等腰梯形中，，． ①如图1，求证：； ②如图2，点、分别为、中点，若，，求的长度； (2)如图3，在直角梯形中，，，，，，若点从点沿着射线、点从点沿着射线以相同的速度运动，在、运动的过程中，求线段的长度的最小值． 【答案】(1)①见解析；②3 (2)9 【分析】（1）①如图：作平行于交于点，易证四边形是平行四边形；再利用平行四边形的性质以及等边对等角即可证明结论； ②如图：过点作，分别交，于点，，易证，可得，进而证明是平行四边形、是平行四边形，再利用平行四边形的性质、等量代换以及线段的和差即可解答； （2）如图：延长，相交于点，以为圆心，，长为半径作圆，分别交，于点，．取，中点，，易证，是等边三角形，进而得到，如图：过点作平行四边形，交于点，过点作，交于点；再证明四边形是平行四边形，进而得到是直角三角形，最后运用平行四边形的性质以及两点之间线段最短即可解答． 【详解】（1）①证明：如图：作平行于交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②解：如图：过点作，分别交，直线于点，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，由①可证， ∴， ∴， ∵，为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理∶四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：如图：延长，相交于点，以为圆心，，长为半径作圆，分别交，于点，．取，中点，， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∵，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， 由（1）②， 如图：过点作平行四边形，交于点，过点作，交于点， 由①可得， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，是，中点，， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的长度最小值为9． 3. （25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点 为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长； (3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证． （）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的中点，最后证明为的中位线即可． （）过作交于，先证出四边形是平行四边形，再结合，得到，最后证出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴∠， ∴． （2）解：延长交于, 由（）知，点为中点，， ∴， ∴, ∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴，， ∴∠，， ∴，， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴； 同理可证, ∴是的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）解：如图， 过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴,,， 由（）知， ∴， ∴， ∵, ∴， 由（）可知，，,， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，中点的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 4. （25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别 与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 5. （25-26八年级上·吉林白山·期末）已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接， ，的两边分别交直线、于点E、F． (1)如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； (2)如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再证明，，即可证明，即可证明结论； （2）用类似于（1）的方法证明即可； （3）设，证明，得到，则，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：是边的中点，G是边的中点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：；理由如下： 由（1）知，， ， 由（1）知，， ，， ， 又由（1）知，， ， ； （3）解：设，则， 由（2）知，，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 解得， ． 6. （25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在四边形中，，． (1)求证：平分； (2)在边上，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，，交于，在边上，，交于，过作于，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长，过点C作，，证，得到，即可得到平分． （2）延长至点N，连接，通过角度转化，得到，由得到，则，得到． （3）连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，，先证是等边三角形，得到，证，得到，，再证，得到，再证，得到 ，根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长，过点C作，， ， ， 又， ， ， 平分． （2）如图，延长至点N，连接， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）如图，连接，延长、交于点T，过点F作CD的平行线交的延长线于点Q，设，则，，， 由（1）可知，由（2）可知， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是的中位线， ， ， ，解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，掌握相关知识点的应用和添加辅助线构造全等是解题的关键． 7. （25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）综合与实践：探究“中线长定理”． 【问题提出】小杭想探究三角形三边长与其一边中线长度的关系，如左图，是的中线，小杭通过作边的高线得出了结论． (1)【初步解决】请你根据小杭的想法，推测小杭的结论，即著名的“中线长定理”是什么； (2)【感知应用】已知在中，，，直接写出两条对角线，和的取值范围； (3)【深入探究】如右图，在正方形中，，在边，上，沿翻折四边形，使点的对应点落在上．设点的对应点为点，的中点为，连接，，，若，，试运用中线长定理求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理可得，，，把两式相加进一步求解即可； （2）证明，，结合，可得，结合（1）可得：，进一步求解即可. （3）过点作，交于点，交于点，则，求解，记，交点为，则由折叠，证明，连接，，则由折叠，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由勾股定理可得， ，① ，② ①②得：， ， ， 是的中线， ， . （2）解：如图，中，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 结合（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：. （3）解：过点作，交于点，交于点，则， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 记，交点为，则由折叠， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， 连接，，则由折叠， ， ， ，为中点， ， ， . 8. （25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）在正方形中，点，点分别在边，上，满足， 点是对角线的中点．   (1)如图1，求证：． (2)如图2，若，，直接写出的长为________． (3)如图3，连接，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴； (2) (3) 【分析】（1）利用证明即可． （2）如图，连接交于，证明是等边三角形，再进一步求解即可． （3）延长交分别于点，作于点，进一步证明，可得，进一步证明，结合全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，延长交分别于点，作于点，如图， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. （25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运 动，运动到点时，停止运动；同时，点从点出发向点运动，运动到点时，停止运动．点，的速度都是，连接，，，设点，运动的时间为（单位：）． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，四边形是菱形？此时菱形的面积是多少？ (3)当是以为一条腰的等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)当时，四边形是矩形； (2)当时，四边形是菱形，此时菱形的面积是； (3)当或时，是以为一腰的等腰三角形． 【分析】（1）根据矩形的判定得出当时，四边形是矩形，然后列出关于t的方程求解即可； （2）先证明四边形AQCP为平行四边形，然后根据菱形的判定得出时，四边形为菱形，后列出关于t的方程求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：若使四边形是矩形， ，， 当时，四边形是矩形，即：， 解得． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：，， ，即 ， 四边形为平行四边形， 在矩形中， 当即时，可得，四边形为菱形． 解得：， 当时，，面积为：； （3）解：①当即时，可得，为等腰三角形， 解得：； ②当时，如图，过点作交于点， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ， 解得； 综上所述，当或时，是以为一腰的等腰三角形． 10. （25-26八年级下·辽宁大连·期中）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 11. （25-26八年级下·北京西城·期中）如图，正方形中，点E为线段边上一动点（，E不与D 重合），其中，点B关于直线的对称点为F，连接，连接交直线于点G，连接． (1)补全图形，求的度数（用含α的式子表示） (2)猜想和的数量关系，并证明． (3)若直接写出的取值范围． 【答案】(1)补图如图 (2)， 证明：如图， 在正方形中，， 作于点M，交于N， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 根据（1）可得， 根据对称可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 在中，，即，则， ∴； (3) 【分析】（1）先画出图形，再根据对称的性质得，然后根据得出答案； （2）在正方形中，，作于点M，交于N，证明，得出．根据（1）可得，根据对称可得，则，证明，则，得出，即可得，．在中，，即可得； （3）连接，取中点，连接，根据，得出，则，证明，得出，求出当点在点时，当点在中点时，的值即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； ∵点B关于直线的对称点为F， ∴， ∴； （2）略 （3）解：连接，取中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 为中点， ∴， ∵，， ∴当点三点共线，即点在点时，最大，此时， ∵，为定值， ∴当最小时，最小，此时点在中点， 过点作，过点作， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ∴的取值范围为． 12. （2026·甘肃白银·模拟预测）已知正方形和等腰直角，，连接，． (1)【问题发现】如图1，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)【问题探究】将绕点逆时针旋转（如图2），连接，，判断线段与的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，在（2）的条件下，再将绕点顺时针旋转至，连接，探究线段与线段的数量关系及位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，．理由如下： 延长交于点，如图所示： 为等腰直角三角形，四边形为正方形， ，，， ， ，， ， ， ， ； (2)，．理由如下： 延长交于点，交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ，， 又， ，即； (3)，．理由如下： 延长交于点，如图所示： 由（2）知，， ，， ，， ， 四边形为平行四边形， ，． 【分析】（1）延长交于点，由等腰直角三角形、正方形性质得到相关边和角度关系，进而判定，进而由全等性质、直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可； （2）延长交于点，交于点，由等腰直角三角形、正方形性质得到相关边和角度关系，进而判定，进而由全等性质求解即可； （3）由（2）求得的相关边及相关角度等量关系，得出，且，最后由平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 13. （25-26八年级下·贵州遵义·期中）在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为 点，过点作，垂足为点．直线，交于点．过点作，垂足为点． (1)如图1，当为锐角时，猜想线段，，的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 (2)如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． 【拓展应用】 (3)当，且时，若，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)不成立，，证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）过点作于点，利用角平分线的性质证明，得到，证明四边形是矩形，得到，即可解答； （2）过点作于点，利用角平分线的性质证明，得到，证明四边形是矩形，得到，即可解答； （3）分类讨论的大小，由，设，，再利用勾股定理列式运算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作于点，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：由题意作图可得： （1）中的结论不成立，，理由如下： 过点作于点，如图所示： ∵平分，，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴（1）中的结论不成立； （3）①当时，如图所示： ∵，， ∴设，， 由（1）可得：， ∴在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴； ②当时，如图所示： ∵，， ∴设，， 由（2）可得：， ∴在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴； 综上，的长为或． 14. （25-26八年级下·福建厦门·期中）已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将 沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②为等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）①设正方形的边长为a，利用折叠性质可知，从而求出的长度，接着在中，利用勾股定理建立关于a的方程解出a即可求出； ②设正方形的边长为b，利用折叠的性质得到，，，，且垂直平分，因此点H为的中点，通过三角形中位线定理可推出，，由此可得，确定是直角三角形，接着，在中，利用勾股定理求出的长度，再利用面积法求出的长度，进而得出的长度，最后，在中，用勾股定理求出的长度，发现，结合从而最终判定为等腰直角三角形； （2）设，则，利用折叠的性质可得，，，利用勾股定理求出的长度，从而计算出的比值． 【详解】（1）解：①设正方形的边长为a，则， 由折叠可知：，，， 在中，， ， 在中，， 即， ， ； ②是等腰直角三角形，理由如下： 设正方形的边长为b， 点是中点， ， 由折叠可知：，，，， 则垂直平分，即点H为的中点， ，，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 是等腰直角三角形； （2）解：设，则，， 由折叠可知：，，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】该题的题眼在于“折叠”二字，不论图形如何变化，折叠前后的对应边、对应角相等是解题的关键，同时，通过建立平面直角坐标系将几何位置关系转化为代数关系，是解决动点和参数问题的通法． 15. （25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 综合与实践 定义：将宽与长的比值为 (n为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形． (1)概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图1，这就是我们在数学活动中认识过的黄金矩形，它的宽（）与长（）的比值是 ． (2)操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图2）： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点D的对应点为点 H，展开，折痕为 第三步：过点 G折叠纸片，使得点A、B分别落在边、上，展开，折痕为 试说明：矩形 是黄金矩形． (3)迁移探究： 小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图3，点E为正方形 边 上(不与端点重合)任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）将代入，即可求解． （2）设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）根据（2）的方法，分别求得四边形的周长与矩形的周长，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， （2）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴矩形是黄金矩形． （3）解：如图，连接，设正方形的边长为1，设，则， 设，则 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中， ∴ 整理得， ∴四边形的周长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值. 16. （25-26八年级下·北京海淀·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，在四边形中，如果，，那么四边形______“垂美四边形”（填“是”或“不是”）． (2)如图2，探究“垂美四边形”的两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． (3)直接运用（2）中“垂美四边形”的性质完成如下问题： ①如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形．连接；与交于点O，已知，，则的中线______． ②如图4，在中，，点P是外一点，连接，，已知，若以A、B、C、P为顶点的四边形为“垂美四边形”，请直接写出的长． 【答案】(1)是 (2)，理由见解析 (3)①；②或 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理得出，，即可证明结论； （3）①连接、，设，交于点M，证明，得出，证明，根据解析式（2）得出，根据勾股定理求出，根据，求出，最后根据直角三角形的性质求出结果即可； ②当时，对中，由勾股定理求得，，过点P作延长线的垂线，垂足为点D，可证明，则，，在中，由勾股定理得；当时，同理可得． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下： ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； （2）解：猜想：． 理由：∵， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴． （3）解：连接、，设，交于点M，如图所示： ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 过点P作延长线的垂线，垂足为点D， 由题意得，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 当时， 同上可求此时， 过点P作于点D， 同上可证：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理求得， 综上：或． 17. （25-26八年级下·广西南宁·期中）在菱形中，（），点在对角线上运动（点 不与点、点重合），，以点为顶点作，在绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点． (1)如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； (2)如图2，菱形的边长为，，求的值（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先由判定菱形为正方形，根据得为中点，连接，通过等角推导证得，再利用线段和代换得出； （2）先由得为等边三角形，求出；作、，由角平分线性质得，证得；再由直角三角形性质得，分两种位置情况推导，得出恒为； （3）先作，利用等边三角形性质求出、的长度；设，在中用勾股定理列方程解得或；代入（2）的结论，结合已知，计算出的两个值，检验均符合题意． 【详解】（1）解：， 如图，连接， 当时，菱形为正方形， ∴，平分，， ∵，即， ∴为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵菱形边长为，， ∴为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 如图，过作于点，于点， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，同理得， 分两种情况： ①当点在、之间时，点在、之间， ； ②当点在、之间时，点在、之间， ； 综上，； （3）解：如图，过点作于点， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， 设，则， 在中， ∵，， ∴， 解得或， 由（2）知， ∵， ∴当时，； 当时，； 经检验，两种情况均符合题意， ∴的长为或． 【点睛】本题是菱形中“定角夹定角”的经典定值与动点综合题，其核心是角平分线上的动点定角截两边的通用模型，菱形对角线天然是角平分线，在对角线上任取一点作与菱形内角相等的定角，该角与菱形两边相交形成的两条动线段之和为定值，解题的核心通法是过动点作角两边的双垂线，利用角平分线性质得等距，再证全等，实现动线段向定线段的转化． 18. （25-26八年级下·河北邢台·期中）在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D 的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为24，，即， ∴ ，则， ∴． 19. （25-26八年级下·广东珠海·期中）如图1，正方形中，点在线段上，连接交于点，过作 于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，当是的中点时，线段（点在点的左边）在直线上运动．连接、，若，，求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先得出，再证出，则，由此即可得证； （2）连接，作，交于点，先证出，则，，进而可得，再得出，由此即可得证； （3）先得出，，再取的中点，连接，且与交于点，则，证出四边形是平行四边形，则，进而可得，然后根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （2）证明：如图，连接，作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）已证：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴． （3）解：∵在正方形中，， ∴，，垂直平分，， ∴，， 如图，取的中点，连接，且与交于点， ∴， ∴， ∵是的中点，点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和平行四边形． 20. （25-26八年级下·江苏南京·期中）课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 (1)①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 (2)如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 (3)如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)①证明见解析； ②； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】（1）①结合正方形性质推得，，利用角边角即可证明； ②结合全等三角形性质得，再结合正方形性质推得，由勾股定理得，即可推得； （2）连接，延长交于点，结合矩形性质，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，最后结合勾股定理即可证明； （3）过点作，延长交于点，连接、，利用角边角证明，由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，设，则，利用勾股定理得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①正方形中，，， 正方形中，， ，， ， 即， 在和中， ， ； ②解：，理由如下： ， ， 正方形中，，， ， 即， 中，， ； （2）解：，理由如下： 连接，延长交于点， 点是矩形的中心， ， 矩形中，，， ， 在和中， ， ， ，， 矩形中，， 垂直平分， ， 中，， ； （3）解：如下图：，， ， 过点作，延长交于点，连接、， ， 点是边的中点，，，， ，， 在和中， ， ， ，， 又， 即垂直平分， ， 中，， 中，， ， 设，则， 有， 解得， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、构造合适的辅助线． 21. （25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，在矩形中，，，点P从点B出发，沿 向点D运动，作关于直线的对称（点C、D的对称点分别为、）． (1)如图2，当点在的延长线上时，则的长为______； (2)如图3，当点P与点C重合时，连，、交分别于点E、F． ①求证：； ②求的长． (3)当直线经过点B时，求的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3)当直线经过点B时，的长或． 【分析】（1）由对称结合勾股定理可得，可得； （2）①由对称，得，，，，进而得 ，，即； ②在矩形中，由，得，进而得，，，设，则，用勾股定理建立方程即可求解； （3）分点在边上，点在边上，直线经过点B时两种情况，用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， 、关于直线对称， ， . （2）解：①如图， 、关于直线对称， ，，，， ， ， ， ，即； ②如图， 在矩形中，∵， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得，， 即的长是. （3）解：①当在边上时，如下图所示： 连接， 、关于直线对称， ，，，，，， ， ，即，当直线经过点B时， 在中，，， 在中，， 即，， ； ②当在边上时，如下图所示： 、关于直线对称， ，，， ， ， 当直线经过点B时， 在中，， 在矩形中，∵， ， ， ， 在和中， ， ， ； 综上所述，当直线经过点B时，的长或． 22. （25-26八年级下·广东东莞·期中）【教材呈现】下面是人教版八年级下册的部分内容： 如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点．求证：（提示：取的中点，连接）． (1)请你思考教科书中的“提示”，这样添加辅助线的意图是创造新的条件，可证明____________，从而可得，请写出证明过程． 【类比探究】 (2)如图（1），若点是边上任意一点（不与重合），其他条件不变．求证：； 【拓展探究】 (3)如图（2），四边形是正方形，点是直线上一点，，交正方形外角的平分线于点．若，，直接写出的长． 【答案】(1)；，见解析 (2)见解析 (3)的长为5或 【分析】（1）取的中点，连接，证明，即可得证； （2）在的中点，使，连接，证明，即可得证； （3）分两种情况：当点在边上时，当点是线段上的一点时，根据（2）问的结论，当在边延长线上的任意一点，连接，过点作，交延长于，在上截取，连接，证明，得即可．利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ，， 分别是的中点， ，， ，， ， ， 是的外角的平分线，且， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，在上取点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， 是的外角的平分线，且， ， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： 当点在边上时，如图， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， 由（2）知，， 当点是直线上的一点时，如图， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， 连接，过点作，交延长于，在上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 是正方形的外角平分线， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， 综上，的长为5或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $