复习专题05 函数y=Asin(wx+φ)的图像与正切函数的图像和性质（6重点+15题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

复习专题05 函数y=Asin(wx+φ)的图像与正切函数的图像和性质 知识点1 函数y=Asin(wx十φ)的有关概念 函数 中，、、的物理意义 设物体做简谐运动时，位移 和时间 的关系为 ． （1） 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称 为振幅． （2） 决定了 时的函数值，通常称 为初始相位， 为相位． （3） 决定了函数的周期， ．定义在单位时间内振动的次数 称 为 振 动 的 频率 （其中 称为圆频率）． 知识点2 参数对函数图像的影响 在函数中， 对函数图像的影响：影响函数的最值；影响函数的周期；影响函数图像的左右平移.即、决定“形变”,决定“位变”. 知识点3 函数图像的变换 函数的图像经变换得到的图像的两种途径： ①先平移后伸缩、②先伸缩后平移 知识点4 用＂五点法＂作 的一个周期内的简图 用“五点法”作的一个周期内的简图时,要找五个关键点，如下表所示： 知识点5 正切函数的图像 1．正切函数 由正切的定义可知，对于任意一个给定的实数 ，只要 ，都有唯一确定的正切值 与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正切函数，表示为 ．正切函数的定义域是 且 ． 2．正切函数的图像 可选 的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正弦函数图像的画法作出正切函数的图像. 根据 ，把上述图像向左、右平移，得到正切函数 ，且 的图像，称 ＂正切曲线＂，如图： 3．＂三点两线法＂画正切函数的简图 （1）先描 三点． （2）再画 两条平行线． （3）最后用光滑的曲线顺次连接这三点画出图像． 知识点6 正切函数的性质 函数 定义域 值域 R 周期性 周期函数，最小正周期为π 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 单调性 在每一个开区间上都是增函数 对称性 图象是中心对称图形，对称中心的坐标为 题型一、相位变换及解析式特征 例1（23-24高一下·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 1-1（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为 . 1-2（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 题型二、周期变换及解析式特征 例2（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2-1（24-25高一下·上海·期中）函数的频率为 ． 2-2（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的频率与初始相位之差为 题型三、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 例3（24-25高一下·上海·期中）对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 3-1（24-25高一下·上海·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 3-2（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 题型四、求图象变化前（后）的解析式 例4（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 4-1（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 4-2（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 根据表格，直接写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得． 题型五、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 例5（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 5-1（22-23高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 5-2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数在R上的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 题型六、由图象确定正（余）弦型函数解析式 例6（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则 6-1（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示: (1)求函数的表达式； (2)写出函数所有的对称轴的方程和对称中心的坐标； (3)当时，求方程的所有根的和. 6-2（24-25高一下·上海黄浦·阶段练习）已知函数的图象如图所示，点为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值. (1)求参数的值； (2)若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围. 题型七、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 例7（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为 ． 7-1（24-25高一下·上海·期中）函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为 . 7-2（24-25高一下·上海黄浦·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表： 时刻 水深值 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离） (1)求函数的表达式； (2)求该船一天内能够进入港口的时刻； (3)该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长. 题型八、正、余弦型三角函数图象的应用 例8（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 8-1（23-24高一下·上海·期中）设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 . 8-2（23-24高一下·上海·期中）定义有序实数对的“跟随函数”为． (1)记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； (3)记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 题型九、求含tanx的函数的单调性 例9（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 9-1（23-24高一下·上海·期中）已知，且，则的最大值为 . 9-2（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为对于函数给出以下4个结论： ；函数在为减函数； ；的图象关于直线对称． 其中正确结论的序号为 . 题型十、求正切型三角函数的单调性 例10（23-24高一下·上海·期中）函数包含的一个严格增区间是 ． 10-1（23-24高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 10-2（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列几个命题： （1）第一象限的角是锐角； （2）函数在定义域内是增函数； （3）函数的零点是， 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十一、利用正切函数的单调性求参数 例11（2023·上海普陀·一模）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 . 11-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 11-2（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 题型十二、求正切]（型）函数的周期 例12（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是 . 12-1（24-25高一下·上海松江·阶段练习）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 12-2（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为 12-3（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）设常数，已知函数的最小正周期为2，则的值为 ． 题型十三、求正切（型）函数的对称中心 例13（24-25高一下·上海·期中）点 正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 13-1（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 13-2（22-23高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是 .（只填写正确说法的序号） 题型十四、求正切（型）函数的定义域 例14（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）命题：的充要条件为 14-1（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 14-2（22-23高一下·上海静安·期中）函数的定义域是 ． 题型十五、求正切（型）函数的值域及最值 例15（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 15-1（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 15-2（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（    ） A．1组； B．2组； C．4组； D．无数组． 2．（22-23高一下·上海长宁·期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 4．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 5．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 6．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 7．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 8．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 1．（24-25高一下·上海·期中）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 2．（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数且，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）当且仅当时，； （3）对任意，恒成立. 上述命题中正确的序号是 4．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 试卷第1页，共3页 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题05 函数y=Asin(wx+φ)的图像与正切函数的图像和性质 知识点1 函数y=Asin(wx十φ)的有关概念 函数 中，、、的物理意义 设物体做简谐运动时，位移 和时间 的关系为 ． （1） 决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称 为振幅． （2） 决定了 时的函数值，通常称 为初始相位， 为相位． （3） 决定了函数的周期， ．定义在单位时间内振动的次数 称 为 振 动 的 频率 （其中 称为圆频率）． 知识点2 参数对函数图像的影响 在函数中， 对函数图像的影响：影响函数的最值；影响函数的周期；影响函数图像的左右平移.即、决定“形变”,决定“位变”. 知识点3 函数图像的变换 函数的图像经变换得到的图像的两种途径： ①先平移后伸缩、②先伸缩后平移 知识点4 用＂五点法＂作 的一个周期内的简图 用“五点法”作的一个周期内的简图时,要找五个关键点，如下表所示： 知识点5 正切函数的图像 1．正切函数 由正切的定义可知，对于任意一个给定的实数 ，只要 ，都有唯一确定的正切值 与之对应．按照这个对应关系所建立的函数叫做正切函数，表示为 ．正切函数的定义域是 且 ． 2．正切函数的图像 可选 的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正弦函数图像的画法作出正切函数的图像. 根据 ，把上述图像向左、右平移，得到正切函数 ，且 的图像，称 ＂正切曲线＂，如图： 3．＂三点两线法＂画正切函数的简图 （1）先描 三点． （2）再画 两条平行线． （3）最后用光滑的曲线顺次连接这三点画出图像． 知识点6 正切函数的性质 函数 定义域 值域 R 周期性 周期函数，最小正周期为π 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 单调性 在每一个开区间上都是增函数 对称性 图象是中心对称图形，对称中心的坐标为 题型一、相位变换及解析式特征 例1（23-24高一下·上海·期中）要得到的图象，只要把函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【分析】先将变形为，再结合平移变换的左加右减原则即可得解. 【详解】因为， 所以只要把函数的图象向左移个单位即可得到的图象. 故选：C. 1-1（24-25高一下·上海·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 1-2（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的初始相位为. 故答案为：. 题型二、周期变换及解析式特征 例2（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）将函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图像伸缩变化和平移变化的规律，求函数解析式. 【详解】函数图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得函数的图像， 再将所得图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则. 故选：D 2-1（24-25高一下·上海·期中）函数的频率为 ． 【答案】 【分析】利用三角函数频率的定义，即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故答案为：. 2-2（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的频率与初始相位之差为 【答案】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的周期，初相为， 所以频率为，故频率与初始相位之差为. 故答案为：. 题型三、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 例3（24-25高一下·上海·期中）对于函数，的图像（ ）得到． A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】A 【分析】根据题意利用平移规则可知向右平移即可满足题意. 【详解】易知将向右平移个单位可得. 故选：A 3-1（24-25高一下·上海·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向左平移 【答案】B 【分析】根据条件，利用图象的变换，即可求解. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移个单位得到， 故选：B. 3-2（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】B 【分析】根据题意，由三角函数的平移变换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移得到的. 故选：B 题型四、求图象变化前（后）的解析式 例4（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，，则下列结论中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为1 C．将的图象向左平移单位后得的图象 D．将的图象向左平移单位后得的图象 【答案】D 【分析】先根据诱导公式化简，再结合三角函数的性质，对四个选项逐个分析可选出答案. 【详解】由诱导公式，，， 所以， 对于A，最小正周期为，故A错误； 对于B，的最大值为，故B错误； 对于C，将的图象向左平移单位后得，故C错误； 对于D，将的图象向左平移单位后得，故D正确. 故选：D. 4-1（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用三角函数的图象变换求出平移后所得函数的解析式，结合诱导公式可得出关于的表达式，即可解出正实数的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 因为， 由题意可知，函数的图象与函数的图象重合， 所以，可得， 因为，故当时，取最小值. 故答案为：. 4-2（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 根据表格，直接写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据表格数据，建立方程组，即可补全表格数据，并求函数的解析式； （2）首先利用三角函数恒等变换求得函数的解析式，再根据平移规律求函数的解析式，再求函数的零点； （3）根据（2）的结果，不等式转化为，根据不等式的解集，即可证明. 【详解】（1）由表格数据可知，，得， 由时，，可知， 所以； （2） 将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像， 由，可得，所以或， 或则函数的零点所组成的集合为或； （3）若，即， 则可得， 因为， 所以对任意的，都存在正整数，使得， 即存在无穷多个互不相等的正整数，使得． 题型五、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 例5（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象， 根据所得函数为奇函数，可得 ，即，因为，令，可得， 故答案为： 5-1（22-23高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位可得：， 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得， 令，， 解得，， 则的单调递减区间为，， 故答案为：， 5-2．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数在R上的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）解：将函数的图形向左平移个单位长度， 得到， 再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得， 由实数满足，则为函数的最值， 不妨设， 则， 解得， 则， 当或时，此时. 题型六、由图象确定正（余）弦型函数解析式 例6（24-25高一下·上海长宁·期中）函数，，，，在一个周期内的图像如图所示，则 【答案】 【分析】由“五点法”， 结合图象分别求出即可求解. 【详解】由图象知，，，即， 由图象过点，代入函数， 即，因为，则， 所以. 故答案为：. 6-1（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示: (1)求函数的表达式； (2)写出函数所有的对称轴的方程和对称中心的坐标； (3)当时，求方程的所有根的和. 【答案】(1)； (2)对称轴方程为，对称中心为； (3). 【分析】（1）由函数的图象，得到，求得，再由，求得，即可求解； （2）根据正弦函数的对称轴公式和对称中心公式整体代入计算即可； （3）由，求得或，结合，分类讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以， 因为，即， 可得，即， 又因为，可得，所以. （2）因为，则令， 解得，则其对称轴方程为， 令，解得，则其对称中心为. （3）由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述，方程的所有根的和为. 6-2（24-25高一下·上海黄浦·阶段练习）已知函数的图象如图所示，点为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值. (1)求参数的值； (2)若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数在处取得最小值和这两个条件求出的值. （2）首先根据函数解析式求出点的坐标，进而可求得向量的表达式，然后判断函数的最小值，让其最小值大于等于1，即可使得原不等式恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得在处取得最小值，则，， 所以，， ，则. （2）因为，所以最小正周期，因为在处取得最小值， 所以，，，， 是上之间的一个动点，设， 则，，                      ， 易知，在或处有最小值， 在或处有最大值， 当或时，有最小值， 要使得恒成立，则需的最小值大于等于1即可，此时或， 若，则，，， 又，解得， 若，则，，， 又，解得， 综上可得. 题型七、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 例7（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得函数，的解析式，然后将方程的根转化为函数的交点，结合图象，代入计算，即可得到结果. 【详解】 依题意，函数的图象对称中心为且过点， 所以，解得，所以. 由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1， 且为函数的一个极大值点， 所以，则， 由于， ，所以， 所以，，关于对称， 对于区间，有， 由于和的图象都关于对称， 所以和的交点也关于对称， 由于方程在上的所有根之和等于2028， 所以方程在上一共有个根， 也即和的图象有个交点， 则当时，和的图象有个交点， 通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点， 所以或， 解得或，所以整数的值构成的集合为. 故答案为：. 7-1（24-25高一下·上海·期中）函数，，，，对任意实数，，当时，都有成立，将函数的图像向左平移个单位得到函数，若函数的最大值为10，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式得，根据题意知的周期相同，得，由图像变换得到，再由函数的最大值为10，知同时取最大值，得到，从而求得的最小值. 【详解】， 对任意实数，，当时，都有成立，则有相同的周期，故， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取最大值. 所以，,所以的最小值为. 故答案为：. 7-2（24-25高一下·上海黄浦·期中）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表： 时刻 水深值 已知港口的水的深度随时间（例如“”表示时刻为“”）变化符合函数，其中，，，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离） (1)求函数的表达式； (2)求该船一天内能够进入港口的时刻； (3)该船计划进港口后马上开始卸货，且卸货时其吃水深度以每小时的速度减小，若货物小时可卸完，求进港后该船最多可在港内停留的时长. 【答案】(1) (2)凌晨时至时和下午时至时期间的任意时刻进港都安全. (3)小时 【分析】（1）根据表格可得函数最值与周期，进而可得函数解析式； （2）由已知可得，解不等式即可. （3）根据题意小时卸完货物后的吃水深度为，又货船能安全在港的水深为，可得，解得，，，，，可知货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为小时. 【详解】（1）根据表中数据得，， 且最小正周期，，即， 所以， 又当时取得最大值，则，， 因，则， 所以函数. （2）根据题意，货船能够安全进港必需港口水深， 即， 而，则，所以或， 解得或， 所以货船能够安全进港的时刻是凌晨时至时和下午时至时期间的任意时刻进港都安全. （3）由（2）知，每次货船进港后若不卸货，则最多在港口内停留小时， 若货船进港后马上卸货且在港口内停留时间要最长，则只能是凌晨时或下午时进港， 由于货物小时可卸完，根据题意小时卸完货物后的吃水深度为， 此时货船能安全在港的水深为，由，则，而， 则，所以，，，，.即，，，，， 因为货船只能在凌晨时或下午时进港才能在港内停留时间最长，且每次进港卸完货后，货船最多只能再停留小时，货船进港即卸货的条件下最多可在港内停留的时长为小时. 题型八、正、余弦型三角函数图象的应用 例8（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 【答案】或 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 8-1（23-24高一下·上海·期中）设（其中），若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，可得①；或且②，分别解①②，求得的范围. 【详解】（其中）既没有最大值，也没有最小值， 且，可得；或且，可得； 结合正弦函数的性质，易知其它区间不符合. 故答案为：. 8-2（23-24高一下·上海·期中）定义有序实数对的“跟随函数”为． (1)记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； (3)记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3)；. 【分析】(1)由题意整理，再由偶函数的定义列出等式计算即可； (2)根据自变量的不同范围解出函数的解析式，利用辅助角公式对函数进行化简，结合函数的图像和与直线有且仅有四个不同的交点，求得实数的取值范围； (3)根据题意整理出，分别讨论：显然不成立；时，通过，推出，画出的图象，根据图象即可得出所求. 【详解】（1）由题意有序数对的“跟随函数”为， 若为偶函数，有， 故， 整理得，故； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，   在和上递增，在和上递减， ，，由图象可知，时， 函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）因为有序实数对的“跟随函数”为， 所以有序数对的“跟随函数”， 故， 时，显然不成立； 时，， 即，的定义域为， 设，则， 在上单调递增，且， 函数在上单调递减，所以在上单调递减； 同理，在和上单调递增；在上单调递减； ，，的周期为， 所以的函数图象如图所示，    在上，直线与的图象恰有奇数个交点， 结合图象，可得时，. 综上，，在上有个零点. 题型九、求含tanx的函数的单调性 例9（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为定义域为，其在上是严格减函数，A错误； 对于B，定义域为，，为偶函数；B错误； 对于C，定义域为，， 为奇函数，由正切函数性质知在上是严格增函数，C正确； 对于D，定义域为，，为偶函数；D错误. 故选：C. 9-1（23-24高一下·上海·期中）已知，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据商数关系将整理成，借助诱导公式和函数的单调性可得，设，则可将转化为二次函数求最值问题，根据函数的单调性即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因，故， 则， 因函数，均在上单调递增， 则函数在上单调递增， 故有：， 设，其中， 则 当且仅当时取等号， 则此时，故， 又函数在时单调递减，在时单调递增， 而， 故当时，取到最大值，此时，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用同角三角函数基本关系式和三角函数的单调性，将求的最大值问题转化成求函数在的最大值. 9-2（23-24高一下·上海嘉定·期末）如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为对于函数给出以下4个结论： ；函数在为减函数； ；的图象关于直线对称． 其中正确结论的序号为 . 【答案】①③ 【分析】由题意，分段整理函数的解析式，根据正切函数的性质，逐项计算并检验，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 对于①，显然，则，故①正确； 对于②，由，函数为增函数， 当时，，则函数在该范围上单调递增， 当时，，则函数在该范围上单调递增， 并且， 综上可得：函数在上单调递增，故②错误； 对于③，当时，则，可得， 同理可得当取其他值时，等式都成立，故③正确； 对于④，由，则函数的图象关于成中心对称. 故答案为：①③. 题型十、求正切型三角函数的单调性 例10（23-24高一下·上海·期中）函数包含的一个严格增区间是 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的单调性求的单调区间，进而可得结果. 【详解】令，解得， 可知函数严格增区间是， 又因为包含， 可知，所以函数包含的一个严格增区间是. 故答案为：. 10-1（23-24高一下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据正切型函数的单调性可得，即可求解. 【详解】在上为严格增函数，则， 由于，则,故， 因此，解得， 故答案为： 10-2（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列几个命题： （1）第一象限的角是锐角； （2）函数在定义域内是增函数； （3）函数的零点是， 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据象限角的定义可知（1）错误；正切函数只在同一个周期内是增函数，在定义域内不是增函数；易知函数的零点是或，可得结论. 【详解】对于（1），第一象限的角不一定是锐角，例如，即（1）错误； 对于（2），函数的定义域为，在同一个周期内是增函数，在定义域内不是增函数，所以（2）错误； 对于（3），令，可得，即或，可知（3）错误； 所以真命题的个数只有0个. 故选：A 题型十一、利用正切函数的单调性求参数 例11（2023·上海普陀·一模）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围. 【详解】令，，解得，， 令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为， 故答案为：. 11-1（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 11-2（22-23高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 题型十二、求正切]（型）函数的周期 例12（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】利用正切函数的周期公式直接求解. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 12-1（24-25高一下·上海松江·阶段练习）直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是 ． 【答案】/ 【分析】根据正切型函数的图象与性质，求得函数的最小正周期为，结合周期，即可得到答案. 【详解】由正切型函数的图象与性质，可得函数的最小正周期为， 所以直线与函数的图像的相邻两个交点的距离是. 故答案为：. 12-2（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为 【答案】 【分析】利用正切型函数的最小正周期公式即可求得. 【详解】的最小正周期为, 故答案为：. 12-3（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）设常数，已知函数的最小正周期为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正切型函数的最小正周期及其周期求法，即可得. 【详解】由题设及正切函数的性质，有且，则. 故答案为： 题型十三、求正切（型）函数的对称中心 例13（24-25高一下·上海·期中）点 正切函数图象的对称中心（填写“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】先求出正切函数的对称中心，再判断即可. 【详解】的对称中心为， 所以是正切函数图象的对称中心. 故答案为：是 13-1（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【分析】由正切和正弦函数的性质可知两函数的交点关于对称，作出图象，结合图象即可得出答案. 【详解】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 13-2（22-23高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是 .（只填写正确说法的序号） 【答案】①③ 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断. 【详解】对于①，令，解得， 当时，，所以函数在区间上为严格增函数，①正确； 对于②，函数的最小正周期为，②错误； 对于③，令，解得， 所以函数图象的对称中心为，③正确. 故答案为：①③ 题型十四、求正切（型）函数的定义域 例14（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）命题：的充要条件为 【答案】{} 【分析】使、有意义以及分母不为0即可. 【详解】欲使有意义， 则，且，且即， 则且，其中 则的取值范围为{} 故答案为：{} 14-1（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【详解】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 14-2（22-23高一下·上海静安·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的定义域，列不等式求解，可得答案. 【详解】由于正切函数的定义域为， 故令， 解得， 即函数的定义域是， 故答案为： 题型十五、求正切（型）函数的值域及最值 例15（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，则函数的最小值为 . 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最小值. 【详解】在上单调递增， 故当时，函数取得最小值为. 故答案为： 15-1（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为 . 【答案】 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，，， 则，因为对称轴为， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 函数的最大值与最小值之和为. 故答案为：. 15-2（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 【答案】 【分析】求得的周期和奇偶性，结合题意，只需求在的值域即可；再根据的单调性即可求得结果. 【详解】因为，定义域为，故为偶函数； 又，故的一个周期为； 根据题意可得：的值域，也就是在的值域，也就是上的值域； 当，，又在上均为单调增函数，故在单调递增， 又，当趋近于时，趋近于，故的值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求得的周期以及判断其是偶函数，同时要注意已知条件的利用，属中档题. 1．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）设a，，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数组的组数为（    ） A．1组； B．2组； C．4组； D．无数组． 【答案】C 【分析】由题意得出，，然后对、的取值进行分类讨论，结合题中等式求出的值，即可得出正确选项. 【详解】由题意知，函数与函数的最大值相等，最小值也相等，则， 函数与函数的最小正周期相等，则， 当，时，由于，则， 由于，此时，； 当，时，， 则，得，，此时，； 当，时，， 则，得，，则； 当，时，， 则，得，，则. 因此，满足条件的有序实数组的组数为组. 故选：C． 2．（22-23高一下·上海长宁·期末）下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个分析各个函数的周期和单调性即可 【详解】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误， 对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确， 对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误， 对于D，的最小正周期为，所以D错误， 故选：B 3．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据三角函数图像及性质，可求得其解析式，进而可判断A、B选项错误，再结合三角函数的对称性即可判断C选项正确，D选项错误. 【详解】设的周期为，根据函数图像可得，解得，故B错误； 又，解得， 因为当时，取得最小值，且，所以， 所以，即， 所以，解得， 又，取，得，所以，故A错误； 对于C，当时，，可得， 所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D，当时，，取不到最大值或最小值， 所以直线不是图象的对称轴，故D错误． 故选：C. 4．（23-24高一下·上海·期中）函数，的最大值为 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，由单调性求出函数的最大值. 【详解】当时，所以在上单调递增， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 5．（2024高一下·上海·专题练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】． 【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可. 【详解】令，， 解得， 故函数的单调递减区间是:． 故答案为:． 6．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 7．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）由振幅、初始相位定义以及最小正周期公式即可得解. （2）由（1）即可得解. 【详解】（1）由题得，即. （2）由（1）得函数的表达式为. 8．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 1．（24-25高一下·上海·期中）设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 则 满足和是有限集， 从而和是互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 2．（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知函数在区间上有且仅有一个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数零点情况及方程可得，进而确定函数解析式及函数性质，即可得解. 【详解】由， 得， 令， 即， 整理得， 即， 所以或， 即，或，， 即，或，， 又当时，， 函数有且仅有一个零点，得，即， 当，时，，，， 此时或，使得，不符合要求； 当，时，，或，， 当时，，函数在上无零点， 当时，，当且仅当时，，符合要求， 因此，， ， ， ， ， ， ， 所以 ， 故选：A. 3．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数且，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）当且仅当时，； （3）对任意，恒成立. 上述命题中正确的序号是 【答案】（2）（3） 【分析】根据解析式可得且，进而画出其一个周期内的图象，数形结合及其周期性判断各项的正误即可. 【详解】由，即， 所以， 由，即， 所以， 综上，且， 则在一个周期的图象如下： 由图知：值域为，该周期内的区间为， 故恒有，（1）错，（2）对； 当，时，； 当时，； 当时，； 综上，任意，恒成立，（3）对. 故答案为：（2）（3） 4．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）解：当，，时，则， 可得，则， 其中且，于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以. 试卷第1页，共3页 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$