广东东莞市众美中学2025-2026学年度第二学期高二数学第16周周测题

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，融合科技（智能助手、AI学习工具）、文化（河北名窑）与社会热点（绿色低碳、企业研发）情境，梯度设计考查数学眼光（散点图分析）、思维（导数应用）与语言（概率建模）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|18/90|导数（切线倾斜角）、排列组合（名窑安排）、概率（环保抽奖）|结合图书馆志愿者、智能助手数据等真实情境| |多选|3/18|二项式定理、统计案例|考查二项式系数性质与独立性检验辨析| |填空|3/15|方差计算、回归直线、正态分布|基础与中档结合，如方差性质应用| |解答|2/27|独立性检验（AI与思考能力）、导数证明（函数单调性）|综合题融合统计建模与逻辑推理，匹配高考命题趋势|

2025～2026学年度第二学期高二数学周测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （试卷满分：150分 考试时间：6月14日晚20:10-10:10） 一、单项选择题：本题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过函数图象上一动点作函数图象的切线，则切线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（    ） A．27 B．66 C．105 D．180 3．的展开式中，的系数为（    ） A．12 B．26 C．30 D．40 4．某智能助手回答问题数据统计如下：理学类占总提问的40%，回答正确率为90%；文史类占总提问的60%，回答正确率为80%，用频率估计概率，则该助手回答问题正确的概率为（    ） A．0.72 B．0.8 C．0.84 D．0.9 5．某社区开展“绿色低碳”主题公益活动，活动设置了单次抽奖环节：在不透明的抽奖箱中装有4个小球，其中3个标有“环保达人”，1个标有“继续努力”；参与者从箱中随机抽取1个小球，抽到“环保达人”即可获得环保袋，抽到“继续努力”则无奖品．定义随机变量X：参与者获得环保袋时，未获得时，则（   ） A． B． C． D． 6．若随机变量满足，且，则（     ） A． B． C． D． 7．小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知随机变量，则（    ） A．0.12 B．0.16 C．0.22 D．0.26 9．根据如下样本数据： 得到的回归方程为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 10．下列说法错误的是（    ） A．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 B．随机变量，，且，，则 C．一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 D．根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5% 11．若，则（    ） A．1 B．-1 C．6078 D．-6078 12．从、、、、中按从小到大的顺序取三个不同的数组成数列，则数列是等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 13．已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 14．下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的散点图．定义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温．若最低气温和最高气温的线性相关系数为，最低气温和温差的线性相关系数为，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 15．为了更好地适应市场需求，某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 参考公式：，．则下列选项不正确的是（ ） A． B．由散点图知变量和正相关 C．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 D．如果研发投入亿元，估计产品收益为亿元 16．某工厂为研究新、旧两条产线与产品质量的关系，随机抽取200件产品进行检验，得到如下列联表，则下列说法正确的是（　　） 优质品 非优质品 合计 新产线 75 25 100 旧产线 60 40 100 合计 135 65 200 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异 B．有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异 C．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量没有差异 D．根据小概率值的独立性检验，我们认为新、旧两条产线的产品质量有差异，该推断犯错误的概率不超过0.001 17．河北四大名窑：邢窑、定窑、磁州窑、井陉窑．现从中任选3个名窑，安排到周一、周二、周三三天进行非遗研学直播，要求邢窑不安排在周一，则不同的直播安排方法有（     ） A．12种 B．18种 C．20种 D．24种 18．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 19．下列说法正确的是（   ） A．5名同学排成一排，甲乙相邻，则不同的排法有24种 B．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案 C．6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 D．5名同学站成一排，甲在乙的左边，丙在乙的右边（可以不相邻），则不同的站队方法种数为40 20．下列命题正确的是（    ） A．已知，则 B．若，，且，则A，B相互独立 C．若随机变量，则 D．二项展开式的所有项的系数和为 21．关于的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式共有6项 B．展开式的二项式系数之和为64 C．展开式各项的系数之和为1 D．展开式中第4项的二项式系数最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 22．一组数据的方差为2，则的方差为________． 23．已知与的成对数据如下表： 若关于的回归直线方程为，则___________． 24．已知随机变量服从正态分布，若，则________． 四、解答题：本题共2小题，第25小题13分，第26小题14分，共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效。 25．为研究大学生使用学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用学习工具的情况是否与自主思考能力有关． (2)小余之前从未使用过学习工具，他计划开始尝试使用学习工具进行学习，他在第天使用学习工具的概率为，设每天是否使用学习工具进行学习相互独立．设小余前3天中使用学习工具进行学习的天数为，求的分布列与期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 26．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当，时，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025～2026学年度第二学期高二数学周测题（6月14日）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C A C A B B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D C D D C A B A BC BC 题号 21 答案 BCD 1．B 【分析】利用导数求得切线的斜率的范围，进而求得倾斜角的范围. 【详解】依题意，，则， 即切线的斜率的取值范围是， 所以倾斜角的取值范围是. 故选：B 2．D 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据分步乘法计数原理可得不同的搭档组合种数为． 3．B 【分析】 由题意依次求出中，项的系数，求和即可 【详解】本题考查二项式定理．因为，所以的系数为26． 故选B. 4．C 【详解】设“理学类提问”为事件，“文史类提问”为事件，“回答正确”为事件， 则， 所以. 5．A 【详解】由题可知仅有两个取值0，1，且，， 所以服从两点分布，. 6．C 【分析】根据二项分布的数学期望公式计算求解. 【详解】随机变量满足，则，则. 7．A 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 8．B 【详解】随机变量， ． 9．B 【详解】，， 因为回归方程过样本中心点， 所以， 由样本数据可知，的值随值的增大而大致呈减小趋势，可判断为负相关， 所以，，要使等式成立，必须． 10．B 【分析】分别结合线性回归方程性质、正态分布与二项分布的期望公式、百分位数计算规则、独立性检验的意义逐一判断各选项正误. 【详解】对于A选项，线性回归方程必过样本点中心，将样本中心代入，得，解得，故A表述正确； 对于B选项，正态分布关于对称，故， 由得，即，二项分布的期望为，因为，所以， 由得，解得，所以B表述错误； 对于C选项，该组数据共8个，上四分位数即分位数，， 所以上四分位数为排序后第6个和第7个数据的平均值，即，所以C表述正确； 对于D选项，独立性检验中，当时，对应， 因此拒绝“两个分类变量独立”的原假设，该推断犯错误的概率不超过，所以D表述正确. 11．D 【分析】先求导，再令即可求解. 【详解】由， 两边同时求导得， 令，则. 12．C 【分析】设取出的个不同的数分别为、、，结合等差数列的性质分析可知故、同为奇数或同为偶数，与确定后，随之而定，利用古典概型的概率公式求解可得答案. 【详解】设取出的个不同的数分别为、、，不同的取法共有种， 若、、构成等差数列，则有. 故、同为奇数或同为偶数，且与确定后，随之而定. 从而所求概率为. 故选：C. 13．D 【分析】分别赋值以及，可推得，然后将展开即可得出答案. 【详解】令，由已知可得，， 令，可得， 所以. 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0， 故选：D. 14．D 【分析】根据线性相关系数的性质与线性相关程度判断即可. 【详解】由散点图可得，随着最低气温的升高，最高气温也升高，所以最低气温和最高气温成正相关，故. 因温差最高气温最低气温，由图知，随着最低气温不断升高，最高气温升高幅度相对较小， 故温差逐渐减小，即最低气温和温差成负相关，故. 由散点图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱， 根据线性相关系数的性质，值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱.由上分析，可得. 15．C 【分析】根据条件求出，，即可求解判断选项A；画出散点图即可判断选项B；根据公式求出回归方程即可判断选项C；结合选项C，将代入计算即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得，，故A正确； 对于B，由图表可得散点图如下，由散点图知变量和正相关，故B正确；    对于C，由，，，，所以，故C错误； 对于D，结合选项C，当时，，故D正确． 16．A 【详解】零假设新、旧两条产线的产品质量没有差异， 由题意可得， 则有的把握认为新、旧两条产线的产品质量有差异． 17．B 【详解】第一步：安排周一的直播窗口，邢窑不能在周一，因此从除邢窑外的其余3大名窑中选1个安排在周一，共3种选择； 第二步：安排周二、周三的直播窗口，从剩余的3个名窑中任选2个进行全排列，排列数为种； 总安排方法数为：种 18．A 【分析】转化为恒成立问题，然后参变分离，构造函数，利用导数即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 因为，所以必有，故转化为在区间上恒成立， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，即. 19．BC 【详解】A：因为甲乙相邻， 所以将甲乙两人看成一人，因此不同的排法有种，所以本选项说法不正确； B：因为将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班， 所以有两种分组形式，一种，另一种， 因此不同的分配方案有种，所以本选项说法正确； C：因为6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额， 所以有以下几种分配方式： 第一种；平均分配，这样只有一种分配方法； 第二种：按照的方式进行分配，有种分配方法； 第三种：按照的方式进行分配，有种分配方法， 所以一共有种方法，因此本选项说法正确； D：因为甲在乙的左边，丙在乙的右边，等价于甲、乙、丙顺序固定， 所以不同的站队方法种数为，因此本选项说法不正确. 20．BC 【分析】对于A，由组合数性质或即可求得的值，对于B，使用条件概率公式后可得，即A，B相互独立，对于C，由题意得，根据二项分布概率公式即可求解，对于D，令即可求二项展开式所有系数和. 【详解】对于A，由得或， 解得或，故A错误； 对于B，由题意得， 即，A，B相互独立，故B正确； 对于C，由题意得， 则，故C正确； 对于D，令则有二项展开式的所有项的系数和为，故D错误. 故选：BC. 21．BCD 【分析】根据二项式定理以及性质逐一求出. 【详解】展开式共项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 令，则，则展开式各项的系数之和为1，故C正确； 共项，则展开式中第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BCD 22．8 【详解】记的方差为， 由方差的性质知的方差为． 23．/ 【详解】由已知数据得：，， 将样本中心点代入回归直线方程得，解得. 24．0.2/ 【详解】可知，即， 由，可得， 所以. 25．(1)依据小概率值的独立性检验，认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关. (2)的分布列为： 0 1 2 3 期望. 【分析】（1）根据独立性检验计算值，再判断即可； （2）由题可知的可能取值为，再利用独立事件乘法公式得到对应概率，列出分布列求出期望即可. 【详解】（1）零假设为：大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力有关. （2）由题意，的可能取值为， ， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 . 26．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性， （2）根据函数的单调性求解端点值以及极值即可求证. 【详解】（1）， 当时，，，单调递增；，，单调递减． 当时，当或，，单调递增； 当，，单调递减， 当时，，所以在R上单调递增． 当时，当或，，单调递增； ，，单调递减． （2）， 由可得，或，，单调递增； ，，单调递减． 又因为，， 所以恒成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $