精品解析：广东东莞市众美中学2025-2026学年度第二学期高二4月考试数学试卷

2025～2026学年度第二学期高二数学4月检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据瞬时变化率的定义计算可得； 【详解】解：因为， 所以 故选：D 2. 设函数f（x）在（﹣∞，+∞）内的导函数为f'（x），若，则 A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】可令lnx＝t，从而得出x＝et，代入原函数即可求出，求导函数，即可求出f（0），f′（0）的值，从而得出的值． 【详解】令lnx＝t，则x＝et，代入得，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，对数式和指数式的互化，基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题． 3. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 90种 D. 100种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案. 【详解】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有种不同的选法； 若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有种不同的选法； 则一共有种选法. 故选：B. 4. 若，则的值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用排列数公式和组合数公式计算即可. 【详解】，∴即， ∴或（舍）.故选C. 【点睛】本题考查组合数和排列数的计算，属于基础题. 5. 壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各1张，从中任选2张，则一共可以组成不同的币值种数是（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出所有的组合数，然后列举验证即可. 【详解】从4张人民币中任选2张，有种选法， 所有选法的组合及对应的币值分别为： 壹元伍元6元；壹元拾元11元；壹元贰拾元21元； 伍元拾元15元；伍元贰拾元25元；拾元贰拾元30元； 所有组合的总和均不重复， 所以不同的币值有6种. 故选：A 6. 函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造新函数并研究其单调性即可. 【详解】令则 由 所以函数在上单调递增 所以 令则 由 所以函数在上单调递减 所以 故选：D 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合的展开式通项，分别令和即可求得所求系数. 【详解】展开式通项为：； 令，即，则；令，即，则； 的系数为. 故选：A. 8. 对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意求对称中心，再利用对称性求值. 【详解】，，得， 又，所以函数关于点对称， 即，则， 且， . 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 10. 的展开式中的有理项有（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接由二项式的展开式的通项公式计算可得. 【详解】的展开式通项为， 由可得， 所以展开式中的有理项有：． 故选：ABD． 11. 设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据导函数推得单调性比较大小、导数几何意义判断各个选项. 【详解】对于A，由，知得在递增，因为，所以，选项A正确； 对于B，因为在上是“上凸”函数，由导数的几何意义知， 随着的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小， 所以，，选项B错误； 对于C，D，设，， 由切线的几何意义知，， 即， 即.选项C错误D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_________ 【答案】 【解析】 【分析】结合全排列的概念即可. 【详解】由题意，对6盏不同的花灯进行取下， 先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种方法， 因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取， 所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序， 故共有取法总数为：. 故答案为： 13. 已知 ，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用多项式乘法法则将，分别与的展开式中项相乘即可计算作答. 【详解】因为 ， 则是中的一次项，常数项分别与的展开式中的项相乘积的和的系数， 所以. 故答案为：16 14. 的图象在点处的切线斜率为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得可得，f′(x0)＝−+ ＝， 整理可求tanx0，由二倍角公式tan2x0＝可求. 【详解】对函数求导可得，f′(x)＝−+sinx ∴f′(x0)＝−+＝ ∴sinx0−cosx0＝0 ∴tanx0＝ ∴tan2x0＝= = 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 求下列已知函数的导函数： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）． （4） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的基本公式和加法法则求解即可． （2）根据导函数的基本公式和复合函数求导法则求解即可. （3）方法一：根据乘法法则求解即可；方法二：先化简函数，再根据导数运算法则求解即可. （4）结合导数运算法则，根据复合函数求导法则求解即可. 【小问1详解】 由得． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 方法一： ． 方法二：因为， 所以． 【小问4详解】 令， 则， 所以． 16. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）有多少种放法？ （2）每盒至多一球，有多少种放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8；（5）12. 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解. （2）利用排列数即可求解. （3）利用组合数以及分步乘法计数原理即可求解. （4）利用组合数以及分步乘法计数原理即可求解. （5）首先在4个盒子中选出1个，放入2个小球，再在剩下的3个盒子中，任选2个，分别放入1个小球，根据组合数以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】（1）根据题意，每个小球有4种放法，则4个小球有44＝256种放法， （2）根据题意，每盒至多一球，即每个盒子都只能放1个球，有＝24种放法， （3）根据题意，分2步进行分析：在4个球中任选2个， 放入1个盒子中，有＝24种放法， 在剩下的3个盒子中，任选2个， 放入剩下2个两个小球，有＝6种放法，则有6×24＝144种放法； （4）根据题意，分2步进行分析：在4个小球中任选1个， 放入编号相同的盒子中，有＝4种放法， 剩下3个小球放入编号不同的盒子中， 有2种放法，则有4×2＝8种不同的放法， （5）根据题意，在4个盒子中选出1个，放入2个小球，有4种选法， 在剩下的3个盒子中，任选2个，分别放入1个小球，有＝3中选法， 则有4×3＝12种不同的放法． 17. 将一个边长为米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒. （1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； （2）多大时，盒子的容积最大? 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）求出盒子的高与底面积，即可得到盒子的容积； （2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解. 【小问1详解】 如图，易得，，，则盒子的高， 所以盒子的底面积， 所以盒子的容积，. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以，令，解得，（舍去）， 所以当时，则单调递增， 当时，则单调递减， 所以当时取得极大值，即最大值， 所以当米时，盒子的容积最大. 18. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）1； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）应用赋值法，令即求值； （2）先令求得，结合（1）结果作差，即可求值； （3）问题化为求的系数和，再应用赋值法求值； （4）对已知等式两边求导，再应用赋值法求值. 【小问1详解】 令，得①． 【小问2详解】 令，得②， 由①②，得， . 【小问3详解】 相当于求展开式的系数和，令，得． 【小问4详解】 ， 两边分别求导，得， 令，得． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，且，对实数分情况讨论，得出单调性； （2）将所求的转化为，结合函数的单调性求最值即可求解 【小问1详解】 函数，定义域为， 求导， ①若，，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ②若，令，得，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增. ③若，，在上单调递增. ④若，令，得，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递增，故， ，解得，； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故 ，即，，解得，； 综上所述，的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期高二数学4月检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 设函数f（x）在（﹣∞，+∞）内的导函数为f'（x），若，则 A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. 3. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 90种 D. 100种 4. 若，则的值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各1张，从中任选2张，则一共可以组成不同的币值种数是（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 6. 函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 对于三次函数，给出定义：是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 10. 的展开式中的有理项有（ ） A. 1 B. C. D. 11. 设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有，则称在上是上凸函数.已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应位置上. 12. 花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_________ 13. 已知 ，则 ____． 14. 的图象在点处的切线斜率为，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 求下列已知函数的导函数： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中． （1）有多少种放法？ （2）每盒至多一球，有多少种放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种放法？ （4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ （5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 17. 将一个边长为米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒. （1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数； （2）多大时，盒子的容积最大? 18. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $