（复习篇）专题04 三角形、平行四边形和梯形【思维导图+知识卡片+知识梳理+十七大考点讲练+真题强化 共54题】-2026-2027学年苏教版数学四升五年级暑假衔接金牌讲义

2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题04三角形、平行四边形和梯形 思维导图+知识回顾+十七大考点讲练+真题强化（供54题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 四年级/下册 教 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 ①三角形的橛念】 由3条缓段首尾相连图成的图形 (1)锐角三角形：三个角都是锐角（小于90”）。 (每相两条线段的转点相连)叫微三角形。 三每 ①按角分类 (2)直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 ②三角形的组成三角形有3条边，3个角和3个项点 一、三角形 (3)纯角三角形：有-个角是纯角（大于90°且小于180°）， 顶点 其余两个角为锐角。 角三角 角三角 边 、边 二、三角形的分类 不等边三角形 角入 顶点 项点 ②按边分类 等里三角形（两边粉等） 了三角形的表示方法)()顶点麦示注：用三个大写辛串泰示三角影的面 等腰三角形等边三角形（三边进 (等边三角形 注意：等边三角形是特殊的等膜三角形。 知：∠A.∠B和∠C,骏a.B和7 (1)三角形的内角和是180。 小接示 3三角形的内角和 (2)在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数， 三角形的性质)三角形具有定性不 用180°减去这两个角的度数， 可以得到一个平角(180 如：三架、扇聚加。斜钉木条国定短等 专题04 三角形、平行四边形 (3)四边彩的内角和是360°， 、⑤三角形的高) 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线 和桃形 烫点和番足之间的线登纠量三角形的离 (苏教版四年级下留】 (1)定义：在同一平面内有两组对边分别平行的西边形叫做平行四边形。 ①平行四边形 (2)对边平行且相等，四个角和和是360°， (3)高：从平行西边形一秦边上的一点到对边作一条垂战， 这点和经足之同的城懒叫做平行昌边形片真，重足所在的边叫做平行因动形的底 (1)定义：只有一组对边平行的四边形叫做锈形。 ☑梯形 (2)丙要相等的形叫做等膜形，等霞形两膜相算，两底角 (3)梯形内角和是360°，夹在两底之间的线段叫做梯形的高 ①面底 ②作高 ③注线成三角彩 个 国平行四边形与梯形的关系 (1)再个突全一样的佛彩可似排成一个平行图边彩， A+■ 复习小口读 Q学习建议 (2)两个完金一样的直角梯形可以赫成-个长方形。 ★三角形，真稳定，三边三角三顶点：作高从质到底，垂线段俊是关键， /多观察围形特征，动手画一面 ★分角看，有三类，锐角直角纯角全；分边看，有三类，等边等腰和不等 ★平行四边形，对边平行又相等：作高要率记，垂足底边别搞错。 /多动手菊熊螳证，理棉更深刻 ★梯形只有一组平行边，等丽摇形腰相等：内角和是360”，高在两应之闻。 /多做篮习题，巩固知识点 知识梳理 温故知新 知识点一三角形的概念与表示 1.三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角 形。 2.三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 第2页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 顶点 △ 边 顶点人角 角△顶点 边 3.三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法 和角度表示法。 (1)顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的 顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 (2)边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角 形ABC的三条边分别为AB、BC和AC,可以用a、b和c表示。 (3)角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三 角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用a、B和Y表示。 知识点二三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三三角形的高 1.三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫 做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 底 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这 条高所对应的底。 2.三角形高的画法 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以 作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 第3页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 高 高 高 高 高 C 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 ￥ 3条高都在三角形 :1条高在三角形的内部，另外2条 条高在三角形的内部，“另外 的内部。 高是三角形的两条真角边。 2条高在三角形的外部。 知识点四两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六三角形的分类 1.三角形按角分类 (1)锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 (2)直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 (3)钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°)，其余两个角为锐角。 2.三角形按边分类 不等边三角形 三角形按边分类 等腰三角形 等腰三角形（两边相李】 等边三角形（三边相等）】 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七三角形和多边形的内角和 1.三角形的内角和是180°。 2.在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的 度数或用180°减去这两个角的度数和。 3.四边形的内角和是360°。 4.多边形的内角和公式 (1)多边形的内角和是180°×（边数一2)。 第4页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 (2)通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 四边形 五边形 边开形 分割 分割 分割 知识点八认识平行四边形 1.平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形 的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 高 底 知识点九认识梯形 1.梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2.两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3.梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 上底 下底 知识点十平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 优选题型考点讲练 考点一三角形的概念及表示方法 【典例精讲】(25-26四年级上·河北保定·期末)观察下图，图中有（)个三角形。 第5页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 A.10 B.15 C.20 【变式训练】(25-26四年级上·甘肃张掖·期末)数一数。 有( )个三角形，( )个梯形，（ )个平行四边形。 考点二三角形的高及画法 【典例精讲】(23-24四年级下·河南信阳·期末)从A城到C城间有两条公路，A城距B城有200 千米，B城距C城有160千米，A城直达c城有350千米，李叔叔开车从A城出发经过B城到C城去办 事，共用了6小时。办完事后李叔叔从C城回到A城，返回时他每小时多行10千米，至少要多长时间？ 现在计划新修一条公路，使B城与道路AC段要连通，怎么样设计路程最短？请在图中画出来，并说明 为什么？ B城 A城 C城 【变式训练】(23-24四年级下·河北承德·期末)下面每个小方格都代表边长1厘米的正方形，请 按要求画一画，填一填。 (1)根据图A的对称轴画出轴对称图形的另一半。 (2)画出图B向下平移4格后的图形。 (3)图C的面积是()平方厘米。 (4)在图中画一个等腰三角形，并画出它的一条高。 第6页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点三三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·河南郑州·期末)如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可 以最快从A地到达B地。运用所学的（)知识可以解释原因。 ① 。B地 A地 ② ③ ①三角形任意两边的和大于第三边 ②两点间所有连线中线段最短 ③三角形具有稳定性 A.只有① B.只有② C.只有③ D.①② 【变式训练】(24-25四年级下·辽宁鞍山·期末)六一儿童节，爸爸给明明买了一辆自行车。如图 (单位：米) 3 0.84 .05 2 0.34 1.10 0.34 (1)按要求回答问题。 自行车架的设计利用了三角形的；∠1=90°，∠2=60°，则∠3=°；按角分类，这个 三角形是 三角形。 (2)自行车的车身长多少米？ (3)明明想把车座调高到离地面1米，要往上调多少米？ 考点四三角形三边关系 【典例精讲】(25-26四年级下·陕西西安·期中)一个等腰三角形的两条边长分别是5厘米和2厘 米，这个三角形的周长是( )厘米。 第7页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(25-26四年级下·福建福州·期中)等腰三角形的两条边是48厘米和96厘米这个三 角形的周长是（）厘米。 A.144厘米 B.192厘米或240厘米 C.192厘米D.240厘米 考点五三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级上·山东烟台·期末)小军用9根同样长的小棒拼成了如图所示的图形， 每根小棒长5厘米。这个图形中一共有( )个三角形，其中最大的三角形的周长是( )厘米， 内角和是( )度 【变式训练】(24-25四年级下·安徽宿州·期末)在一个三角形中，∠1=a°，∠2=b°，剩下一 个角的度数用含有字母的式子表示是( ）。 考点六三角形的分类 【典例精讲】(24-25四年级下·江西赣州·期末)下面的说法中，错误的有()个。 ①125×24=125×20+125×4。 ②6.05和6.0499保留一位小数都是6.1。 ③锐角三角形任意两个锐角的和一定大于第三个锐角。 ④在小数0.83的末尾添上一个0，小数的大小和计数单位都不变。 ⑤7.390扩大到原来的10倍后与7390缩小到原来的0，结果相等。 A.2 B.3 C.4 D.5 【变式训练】(24-25四年级下·云南昆明·期末)下面说法中，正确的有（)。 这个物体，从左面和右面看到的图形是一样的。 ②3.08和3.8的大小相等，计数单位不同。 ③等边三角形一定是锐角三角形。 ④按“四舍五入法”，近似数为4.7的最大两位小数是4.69。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第8页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点七等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】(24-25四年级下·湖北十堰·期末)下面的说法中，错误的是（)。 A.等腰三角形不一定是锐角三角形。 B.小数部分相邻两个计数单位之间的进率与整数一样，都是10。 Q给色泰上一个小正方体，使其从上面看到的图形不变，有3种不同的漆裙 D.典典所在班级的同学平均每人捐款15元，说明典典一定捐了15元。 【变式训练】(24-25四年级下·湖南永州·期末)一个等腰三角形的周长是24厘米，已知底边长比 腰长多3厘米。这个等腰三角形的腰长和底边长各是多少厘米？ 考点八画三角形 【典例精讲】分别画出面积是10平方厘米的平行四边形、三角形和梯形。（每个小方格表示1平方 厘米) 【变式训练】(24-25四年级下·山东淄博·期中)在下面的方格纸上分别画出一个和平行四边形面 积相等的三角形和梯形。 第9页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点九平行四边形的概念及特点 【典例精讲】(25-26四年级上·陕西西安·期未)一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形 的下底缩短8厘米，就变成了一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( 厘米。 【变式训练】(25-26四年级下·山东潍坊·期中)王伯伯有一块等腰梯形的菜地，这块菜地上底的 长度和一条腰的长度相等，下底的长度是上底的2倍。如果将梯形的上底延长16米，那么这个梯形就 变成了一个平行四边形。王伯伯想在菜地的四周围上篱笆，至少需要多长的篱笆？（先画草图分析， 再列式解答) 考点十平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】(23-24四年级下·山东德州·期中)用4根硬纸条钉成一个长5cm宽4cm的长方形。 用两手捏住长方形的两个对角拉成不同的平行四边形。在这个过程中，不变的是()。 A.高 B.周长 C.每一个内角的度数 【变式训练】(24-25四年级上·贵州黔东南·期末)小王和小张都分别用两根长10厘米和两根长6 厘米的小棒摆一个平行四边形，他们摆的图形的( )不一定相等，但( )一定相等。（填 “周长”或“面积”) 考点十一平行四边形的高及画法 【典例精讲】(25-26四年级上·浙江台州·期末)如图，两条平行线之间有一个平行四边形和一个 长方形。比较它们的周长，下列说法正确的是（)。 3cm -3cm A.平行四边形的周长大于长方形的周长 B.平行四边形的周长等于长方形的周长 C.平行四边形的周长小于长方形的周长 D.无法比较它们的周长 第10页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(25-26四年级上·福建三明·期末)图中，平行四边形的周长是( )厘米，BC 边上的高是( )厘米。 y D 20cm 15cm 18cm B 24cm 考点十二画平行四边形 【典例精讲】按要求画一画。 （1)把三角形先向上平移4格，再向左平移3格。 （2)把梯形绕点A顺时针旋转90°。 (3)在方格中画一个与梯形面积相等的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） A 【变式训练】(25-26四年级上·陕西西安·期末)在方格纸上按要求画出下面的图形。（每个小方 格的边长是1厘米) (1)底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。 (2)上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米的等腰梯形。 第11页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点十三梯形的概念及特点 【典例精讲】(25-26四年级上·陕西安康·期末未)先画出下面图形指定底边上的高，再在里面画一 条线段，把它分成一个梯形和一个三角形。 底 【变式训练】(25-26四年级上·浙江温州·期末)如图，小明将一张长方形卡纸的一角进行折叠。 (1)如果∠1=18°，那么∠2=( )°。 (2)小明将这张长方形卡纸沿着折痕剪开，得到的两个图形是( )形和( )形。 考点十四梯形的高及画法 【典例精讲】(25-26四年级上·山东临沂·期末)下面说法正确的是（)。 A.直线比线段长，也比射线长。 B.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，这个角就变成了150°。 C.平行四边形和梯形的高都有无数条。 D.将一个长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长变长了。 【变式训练】(24-25四年级上·河南信阳·期末)实践活动。 (1)在下边的等腰梯形内画一条线段，将梯形分成一个最大的平行四边形和一个三角形。 (2)画出平行四边形的一条高。 (3)根据图中数据计算这个平行四边形的周长。 第12页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点十五直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】(25-26四年级上·浙江台州·期未)如图，将一个平行四边形分割成两个完全相等的 等腰梯形，每个等腰梯形的周长是(）厘米。 22厘米 50厘米 A.144厘米 B.94厘米 C.72厘米 D.无法确定 【变式训练】(25-26四年级上·湖北随州·期末)如图是由一张长方形纸折叠而成的等腰梯形（单 位：厘米)，这个梯形的高是( )厘米，下底是( )厘米。 ● 考点十六画梯形 【典例精讲】(23-24四年级下·山东淄博·期未)学习了梯形面积之后，同学们继续深入研究。他 们借助上底是2厘米，下底是7厘米，高是4厘米的梯形进行研究。如图所示（每个小方格的边长为1 厘米)。 （1)这个梯形的面积是多少平方厘米？ (2)如果把这个梯形的上底增加1厘米，下底减少1厘米，高不变，得到新的图形①，请将梯形①画 出来，梯形①的面积是()平方厘米。 (3)观察猜想：在梯形高不变的情况下，上底和下底怎样变化，梯形的面积不变？把你的发现写下来： ()。 第13页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(23-24四年级下·山东淄博·期未)学习了梯形面积之后，咱们再进行一次深入探究 吧！下图是一个上底是4厘米，下底是6厘米，高是4厘米的梯形（每个小方格的边长表示1厘米）。 (1)这个梯形的面积是多少平方厘米？ (2)将这个梯形的上底减少1厘米，下底增加1厘米，高不变，得到的新梯形可能是什么样子呢？请 你在上面方格纸的右侧画出来，并算一算新梯形的面积是多少平方厘米。 (3)如果继续按照上底减少1厘米，下底增加1厘米，高不变的方法进行操作，这个梯形会经过怎样 的变化？最终变成了什么图形？面积怎样？你有什么发现？请你画一画、写一写，将你的研究成果记 录下来。 我的研究： 我的发现： 考点十七多边形的内角和 【典例精讲】(25-26四年级下·山东潍坊·期中)探究五边形的内角和时，下图分别是小明、小玲、 小利三名同学的方法，小明使用的方法用算式表示为180°×4-180°，图（)是小明的方法。 B 第14页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(24-25四年级下·河北保定·期末)一个多边形的内角和是900°，这是个（)边 形。 A.五边形 B.六边形 C.七边形 真题汇编能力强化 1.(25-26四年级下·四川成都·阶段检测)如图所示，把一张顶角是130°的等腰三角形纸对折，可 以得到两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（)。 A.25°和50°B.65°和65° C.45°和45° D.25°和65° 2.(25-26四年级上·陕西安康·期末)下图中的a∥b,下面描述错误的是（)。 F B E A.线段AB和线段DC的长度一样 B.四边形CDFE是等腰梯形 C.四边形ABCD是一个特殊的平行四边形 3.（25-26四年级下·河南周口·阶段检测)如下图，把一个平行四边形和一个三角形依次拼起来。 当所用图形个数是10个时，拼出图形的周长是()。 2 2 A.26 B.27 C.31 4.(22-23四年级上·浙江宁波·期未)下图中，∠1和∠2不相等的是（)。 409 A. B 第15页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 5.（24-25四年级下·陕西安康·期末)用一根24cm长的铁丝恰好折成一个等边三角形铁框，铁框的 边长是( )cm,若恰好折成一个腰长是7cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是( )cmo 6.(2026四年级下·河北·专题练习)有两根长度分别是3厘米和7厘米的小棒，如果再找一根小棒 把它们围成一个三角形，那么这根小棒最长是( )厘米，如果围成一个等腰三角形，那么这个 等腰三角形的周长是( )厘米。（填整厘米数） 7.(25-26四年级上·陕西安康·期末)在数学课堂上，王老师在如图所示的4个图形中选择了一个， 并请一位同学通过提问的方式来猜这个图形的形状，王老师只需回答“是”或“不是”。下面是王老 师和明明的对话，请帮明明猜出王老师选择的图形是什么形状。 明明：“这个图形是四边形吗？” 王老师：“是。” 明明：“这个图形有钝角吗？” 王老师：“是。” 明明：“这个图形有两组对边互相平行吗？” 王老师：“不是。” 王老师选择的这个图形可能是 8.(25-26四年级下·河北邯郸·期中)小伟将一张长方形纸折成一个梯形，如图（单位：cm)，折 叠成的梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米，高是( )厘米。 9. （23-24四年级下·四川达州·期末)找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？ 直角三角形有( )个，平行四边形有( )个，长方形有( )个，梯形有( )个。 10.(23-24四年级下·山东烟台·期末)求出阴影部分的面积。 8分米 10分米 14分米 第16页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 11.(23-24四年级下·辽宁·暑假作业)如图，三角形ABC是一个直角三角形。已知∠1=70°，∠2 =∠4，求∠3的度数。 27 C 12.(25-26四年级下·贵州毕节·阶段检测)一个等腰三角形花圃，底边长15米，腰长12米，这个 花圃的周长是多少米？ 13.(25-26四年级下·河南周口·阶段检测)2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日。红 星小学的志愿者们制作了一块等腰梯形安全宣传牌，它的周长为20dm,上、下底分别长5dm和7dm, 它的一条腰长多少分米？ 14.（25-26四年级下·广东深圳·期中)有一块等腰三角形的试验田，周长是600米，其中一条边长 270米，剩下的两条边分别长多少米？请写出你的思考过程。（两种情况都要算出来） 第17页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 15.（25-26四年级下·甘肃张掖·期中)数学活动课上，同学们正在进行“剪小棒围三角形”的探索 活动。他们首先尝试 把长度为12cm的小棒剪成三段（三段的长度均为整厘米数)，再把这三段首尾相接 ▣12cm 围一个三角形。 1cm 可可围的三角形其中一条边长是4cm,另外两条边分别长多少厘米？ 16.(25-26四年级下·山东枣庄·期中)四年级木工创作社团准备制作一个三角形的木架，已知两边 分别长18分米，12分米。你帮忙算一算，这个三角形木架的周长最长是多少？最短是多少？（第三条 边长取整分米数) 17.(25-26四年级上·陕西安康·期末)如图，每个小方格边长都为1厘米，按要求完成下面各题。 (共5分) A B (1)∠1是()角。 (2)以AB、BC作为梯形的两条边，找到点D,在方格图中画一个等腰梯形ABCD。 (3)过点B画梯形CD边上的高BE,并标出垂足E。 (4)在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分成一个平行四边形和一个三角形。以AB为底这个平行 四边形的一条高是(）厘米。 第18页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 18.（25-26四年级上·陕西安康·期末)某花卉博览会中的郁金香展区被设计成平行四边形。（共5 分) (1)已知平行四边形ABCD的点A、点B、点C（如图)，请你从下图中作出点D,并画出这个平行四 边形。 (2)从点E出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 (3)设计师将这个平行四边形分割成两个梯形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的， 请你在图中画出来。 B E 19.(25-26四年级上·山东烟台·期末)画一画，写一写。 分成一个锐角三角形和分成两个直角三角形分成一个直角三角形和 一个钝角三角形 一个钝角三角形 (1)在上面的图形中各画一条线段，按要求分一分。 (2)观察这三种分法，请你提出一个值得思考的数学问题。（不用解答） 第19页共20页 2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 20.（25-26四年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末)四巧板起源于我国，是一种古老的智力游戏，至今已 有数百年的历史。四巧板由一块长方形分解而成，其中④号板是等腰直角三角形，①号和③号板是直 角梯形，它只有4块拼板，却可以拼出成千上万种形象生动的图形。以下是四巧板图样。（单位：m) 69 106 37 37 ④ ① ② 37 37 ③ 2入 106 53 53 (1)②号板是一块不规则的图形，其中∠1=（ )°。 (2)用四巧板可以拼出平行四边形ABCD,如下图。已知BC=106m,BC边上的高为74mm,请思考下图 是如何用一副四巧板拼出来的，用虚线把你的想法在图中表示出来。 74 106 C 第20页共20页2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题04 三角形、平行四边形和梯形 思维导图+知识回顾+十七大考点讲练+真题强化 （共54题） 【原卷版】 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八 认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九 认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十 平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 考点一 三角形的概念及表示方法 【典例精讲】（25-26四年级上·河北保定·期末）观察下图，图中有（    ）个三角形。 A．10 B．15 C．20 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃张掖·期末）数一数。 有( )个三角形，( )个梯形，( )个平行四边形。 考点二 三角形的高及画法 【典例精讲】（23-24四年级下·河南信阳·期末）从A城到C城间有两条公路，A城距B城有200千米，B城距C城有160千米，A城直达C城有350千米，李叔叔开车从A城出发经过B城到C城去办事，共用了6小时。办完事后李叔叔从C城回到A城，返回时他每小时多行10千米，至少要多长时间？现在计划新修一条公路，使B城与道路AC段要连通，怎么样设计路程最短？请在图中画出来，并说明为什么？ 【变式训练】（23-24四年级下·河北承德·期末）下面每个小方格都代表边长1厘米的正方形，请按要求画一画，填一填。 （1）根据图A的对称轴画出轴对称图形的另一半。 （2）画出图B向下平移4格后的图形。 （3）图C的面积是（    ）平方厘米。 （4）在图中画一个等腰三角形，并画出它的一条高。 考点三 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·河南郑州·期末）如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可以最快从A地到达B地。运用所学的（    ）知识可以解释原因。 ①三角形任意两边的和大于第三边    ②两点间所有连线中线段最短 ③三角形具有稳定性 A．只有① B．只有② C．只有③ D．①② 【变式训练】（24-25四年级下·辽宁鞍山·期末）六一儿童节，爸爸给明明买了一辆自行车。如图（单位：米） （1）按要求回答问题。 自行车架的设计利用了三角形的______；∠1＝90°，∠2＝60°，则∠3＝______°；按角分类，这个三角形是______三角形。 （2）自行车的车身长多少米？ （3）明明想把车座调高到离地面1米，要往上调多少米？ 考点四 三角形三边关系 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西西安·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是5厘米和2厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 【变式训练】（25-26四年级下·福建福州·期中）等腰三角形的两条边是48厘米和96厘米这个三角形的周长是（    ）厘米。 A．144厘米 B．192厘米或240厘米 C．192厘米 D．240厘米 考点五 三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级上·山东烟台·期末）小军用9根同样长的小棒拼成了如图所示的图形，每根小棒长5厘米。这个图形中一共有( )个三角形，其中最大的三角形的周长是( )厘米，内角和是( )度。 【变式训练】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）在一个三角形中，，，剩下一个角的度数用含有字母的式子表示是( )。 考点六 三角形的分类 【典例精讲】（24-25四年级下·江西赣州·期末）下面的说法中，错误的有（    ）个。 ①125×24＝125×20＋125×4。 ②6.05和6.0499保留一位小数都是6.1。 ③锐角三角形任意两个锐角的和一定大于第三个锐角。 ④在小数0.83的末尾添上一个0，小数的大小和计数单位都不变。 ⑤7.390扩大到原来的10倍后与7390缩小到原来的，结果相等。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】（24-25四年级下·云南昆明·期末）下面说法中，正确的有（    ）。 ①这个物体，从左面和右面看到的图形是一样的。 ②3.08和3.8的大小相等，计数单位不同。 ③等边三角形一定是锐角三角形。 ④按“四舍五入法”，近似数为4.7的最大两位小数是4.69。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北十堰·期末）下面的说法中，错误的是（    ）。 A．等腰三角形不一定是锐角三角形。 B．小数部分相邻两个计数单位之间的进率与整数一样，都是10。 C．给添上一个小正方体，使其从上面看到的图形不变，有3种不同的添法。 D．典典所在班级的同学平均每人捐款15元，说明典典一定捐了15元。 【变式训练】（24-25四年级下·湖南永州·期末）一个等腰三角形的周长是24厘米，已知底边长比腰长多3厘米。这个等腰三角形的腰长和底边长各是多少厘米？ 考点八 画三角形 【典例精讲】分别画出面积是10平方厘米的平行四边形、三角形和梯形。（每个小方格表示1平方厘米） 【变式训练】（24-25四年级下·山东淄博·期中）在下面的方格纸上分别画出一个和平行四边形面积相等的三角形和梯形。 考点九 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西西安·期末）一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形的下底缩短8厘米，就变成了一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【变式训练】（25-26四年级下·山东潍坊·期中）王伯伯有一块等腰梯形的菜地，这块菜地上底的长度和一条腰的长度相等，下底的长度是上底的2倍。如果将梯形的上底延长16米，那么这个梯形就变成了一个平行四边形。王伯伯想在菜地的四周围上篱笆，至少需要多长的篱笆？（先画草图分析，再列式解答） 考点十 平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（23-24四年级下·山东德州·期中）用4根硬纸条钉成一个长5cm宽4cm的长方形。用两手捏住长方形的两个对角拉成不同的平行四边形。在这个过程中，不变的是（    ）。 A．高 B．周长 C．每一个内角的度数 【变式训练】（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）小王和小张都分别用两根长10厘米和两根长6厘米的小棒摆一个平行四边形，他们摆的图形的( )不一定相等，但( )一定相等。（填“周长”或“面积”） 考点十一 平行四边形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江台州·期末）如图，两条平行线之间有一个平行四边形和一个长方形。比较它们的周长，下列说法正确的是（    ）。 A．平行四边形的周长大于长方形的周长 B．平行四边形的周长等于长方形的周长 C．平行四边形的周长小于长方形的周长 D．无法比较它们的周长 【变式训练】（25-26四年级上·福建三明·期末）图中，平行四边形的周长是( )厘米，BC边上的高是( )厘米。 考点十二 画平行四边形 【典例精讲】按要求画一画。 （1）把三角形先向上平移4格，再向左平移3格。 （2）把梯形绕点A顺时针旋转90°。 （3）在方格中画一个与梯形面积相等的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 【变式训练】（25-26四年级上·陕西西安·期末）在方格纸上按要求画出下面的图形。（每个小方格的边长是1厘米） （1）底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。 （2）上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米的等腰梯形。 考点十三 梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西安康·期末）先画出下面图形指定底边上的高，再在里面画一条线段，把它分成一个梯形和一个三角形。 【变式训练】（25-26四年级上·浙江温州·期末）如图，小明将一张长方形卡纸的一角进行折叠。 (1)如果，那么( )°。 (2)小明将这张长方形卡纸沿着折痕剪开，得到的两个图形是( )形和( )形。 考点十四 梯形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·山东临沂·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．直线比线段长，也比射线长。 B．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，这个角就变成了150°。 C．平行四边形和梯形的高都有无数条。 D．将一个长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长变长了。 【变式训练】（24-25四年级上·河南信阳·期末）实践活动。 （1）在下边的等腰梯形内画一条线段，将梯形分成一个最大的平行四边形和一个三角形。 （2）画出平行四边形的一条高。 （3）根据图中数据计算这个平行四边形的周长。 考点十五 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江台州·期末）如图，将一个平行四边形分割成两个完全相等的等腰梯形，每个等腰梯形的周长是（    ）厘米。 A．144厘米 B．94厘米 C．72厘米 D．无法确定 【变式训练】（25-26四年级上·湖北随州·期末）如图是由一张长方形纸折叠而成的等腰梯形（单位：厘米），这个梯形的高是( )厘米，下底是( )厘米。 考点十六 画梯形 【典例精讲】（23-24四年级下·山东淄博·期末）学习了梯形面积之后，同学们继续深入研究。他们借助上底是2厘米，下底是7厘米，高是4厘米的梯形进行研究。如图所示（每个小方格的边长为1厘米）。 （1）这个梯形的面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个梯形的上底增加1厘米，下底减少1厘米，高不变，得到新的图形①，请将梯形①画出来，梯形①的面积是（    ）平方厘米。 （3）观察猜想：在梯形高不变的情况下，上底和下底怎样变化，梯形的面积不变？把你的发现写下来：（    ）。 【变式训练】（23-24四年级下·山东淄博·期末）学习了梯形面积之后，咱们再进行一次深入探究吧！下图是一个上底是4厘米，下底是6厘米，高是4厘米的梯形（每个小方格的边长表示1厘米）。 （1）这个梯形的面积是多少平方厘米？ （2）将这个梯形的上底减少1厘米，下底增加1厘米，高不变，得到的新梯形可能是什么样子呢？请你在上面方格纸的右侧画出来，并算一算新梯形的面积是多少平方厘米。 （3）如果继续按照上底减少1厘米，下底增加1厘米，高不变的方法进行操作，这个梯形会经过怎样的变化？最终变成了什么图形？面积怎样？你有什么发现？请你画一画、写一写，将你的研究成果记录下来。 我的研究： 我的发现： 考点十七 多边形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·山东潍坊·期中）探究五边形的内角和时，下图分别是小明、小玲、小利三名同学的方法，小明使用的方法用算式表示为，图（    ）是小明的方法。 A． B． C． 【变式训练】（24-25四年级下·河北保定·期末）一个多边形的内角和是900°，这是个（    ）边形。 A．五边形 B．六边形 C．七边形 1．（25-26四年级下·四川成都·阶段检测）如图所示，把一张顶角是的等腰三角形纸对折，可以得到两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（    ）。 A．25°和50° B．65°和65° C．45°和45° D．25°和65° 2．（25-26四年级上·陕西安康·期末）下图中的a∥b，下面描述错误的是（    ）。 A．线段AB和线段DC的长度一样 B．四边形CDFE是等腰梯形 C．四边形ABCD是一个特殊的平行四边形 3．（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）如下图，把一个平行四边形和一个三角形依次拼起来。当所用图形个数是10个时，拼出图形的周长是（    ）。 A．26 B．27 C．31 4．（22-23四年级上·浙江宁波·期末）下图中，∠1和∠2不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 5．（24-25四年级下·陕西安康·期末）用一根24cm长的铁丝恰好折成一个等边三角形铁框，铁框的边长是( )cm，若恰好折成一个腰长是7cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是( )cm。 6．（2026四年级下·河北·专题练习）有两根长度分别是3厘米和7厘米的小棒，如果再找一根小棒把它们围成一个三角形，那么这根小棒最长是( )厘米，如果围成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长是( )厘米。（填整厘米数） 7．（25-26四年级上·陕西安康·期末）在数学课堂上，王老师在如图所示的4个图形中选择了一个，并请一位同学通过提问的方式来猜这个图形的形状，王老师只需回答“是”或“不是”。下面是王老师和明明的对话，请帮明明猜出王老师选择的图形是什么形状。 明明：“这个图形是四边形吗？”        王老师：“是。” 明明：“这个图形有钝角吗？”        王老师：“是。” 明明：“这个图形有两组对边互相平行吗？”        王老师：“不是。” 王老师选择的这个图形可能是________。 8．（25-26四年级下·河北邯郸·期中）小伟将一张长方形纸折成一个梯形，如图（单位：cm），折叠成的梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米，高是( )厘米。 9．（23-24四年级下·四川达州·期末）找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？ 直角三角形有( )个，平行四边形有( )个，长方形有( )个，梯形有( )个。 10．（23-24四年级下·山东烟台·期末）求出阴影部分的面积。 11．（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）如图，三角形ABC是一个直角三角形。已知∠1＝70°，∠2＝∠4，求∠3的度数。 12．（25-26四年级下·贵州毕节·阶段检测）一个等腰三角形花圃，底边长15米，腰长12米，这个花圃的周长是多少米？ 13．（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日。红星小学的志愿者们制作了一块等腰梯形安全宣传牌，它的周长为20dm，上、下底分别长5dm和7dm，它的一条腰长多少分米？ 14．（25-26四年级下·广东深圳·期中）有一块等腰三角形的试验田，周长是600米，其中一条边长270米，剩下的两条边分别长多少米？请写出你的思考过程。（两种情况都要算出来） 15．（25-26四年级下·甘肃张掖·期中）数学活动课上，同学们正在进行“剪小棒围三角形”的探索活动。他们首先尝试 把长度为12cm的小棒剪成三段（三段的长度均为整厘米数），再把这三段首尾相接 围一个三角形。 可可围的三角形其中一条边长是4cm，另外两条边分别长多少厘米？ 16．（25-26四年级下·山东枣庄·期中）四年级木工创作社团准备制作一个三角形的木架，已知两边分别长18分米，12分米。你帮忙算一算，这个三角形木架的周长最长是多少？最短是多少？（第三条边长取整分米数） 17．（25-26四年级上·陕西安康·期末）如图，每个小方格边长都为1厘米，按要求完成下面各题。（共5分） （1）∠1是（    ）角。 （2）以AB、BC作为梯形的两条边，找到点D，在方格图中画一个等腰梯形ABCD。 （3）过点B画梯形CD边上的高BE，并标出垂足E。 （4）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分成一个平行四边形和一个三角形。以AB为底这个平行四边形的一条高是（    ）厘米。 18．（25-26四年级上·陕西安康·期末）某花卉博览会中的郁金香展区被设计成平行四边形。（共5分） （1）已知平行四边形ABCD的点A、点B、点C（如图），请你从下图中作出点D，并画出这个平行四边形。 （2）从点E出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 （3）设计师将这个平行四边形分割成两个梯形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的，请你在图中画出来。 19．（25-26四年级上·山东烟台·期末）画一画，写一写。 (1)在上面的图形中各画一条线段，按要求分一分。 (2)观察这三种分法，请你提出一个值得思考的数学问题。（不用解答） _____________________________________________________ 20．（25-26四年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）四巧板起源于我国，是一种古老的智力游戏，至今已有数百年的历史。四巧板由一块长方形分解而成，其中④号板是等腰直角三角形，①号和③号板是直角梯形，它只有4块拼板，却可以拼出成千上万种形象生动的图形。以下是四巧板图样。（单位：mm） (1)②号板是一块不规则的图形，其中∠1＝( )°。 (2)用四巧板可以拼出平行四边形ABCD，如下图。已知BC＝106mm，BC边上的高为74mm，请思考下图是如何用一副四巧板拼出来的，用虚线把你的想法在图中表示出来。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏教版数学四升五年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学四升五年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 四年级/下册 小学数学 专题04 三角形、平行四边形和梯形 思维导图+知识回顾+十七大考点讲练+真题强化 （共54题） 【解析版】 苏教版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习四年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 三角形的概念与表示 1. 三角形的定义：由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成：三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法：三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法：顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法：边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法：角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二 三角形的性质 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三 三角形的高 1. 三角形的高和底：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四 两点间线段最短与两点间的距离 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五 三角形三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六 三角形的分类 1. 三角形按角分类 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七 三角形和多边形的内角和 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八 认识平行四边形 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九 认识梯形 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十 平行四边形与梯形的关系 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 考点一 三角形的概念及表示方法 【典例精讲】（25-26四年级上·河北保定·期末）观察下图，图中有（    ）个三角形。 A．10 B．15 C．20 【答案】A 【思路引导】数三角形个数时，可以按底边上线段的数量来数。底边被分成了4个小线段，从左到右，单个的小线段对应4个三角形，由2个小线段组成的线段对应3个三角形，由3个小线段组成的线段对应2个三角形，由4个小线段组成的线段对应1个三角形，把这些数量相加就是三角形的总个数。 【规范解答】4＋3＋2＋1 ＝7＋3 ＝10（个） 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃张掖·期末）数一数。 有( )个三角形，( )个梯形，( )个平行四边形。 【答案】 3 9 6 【思路引导】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。由3条线段围成的封闭图形叫三角形。两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 按照一定的顺序，三角形一个个的数有1个，由1个小三角形和梯形组成的三角形有2个；梯形一个个的数有2个，由平行四边形和三角形组成的梯形有3个，由2个梯形组成的有3个，由一个平行四边形和一个梯形组成的梯形有1个；平行四边形一个个的数有3个，由2个平行四边形组成的有2个，由3个平行四边形组成的大平行四边形有1个。 【规范解答】三角形：1＋2＝3（个）； 梯形：2＋3＋3＋1＝9（个）； 平行四边形：3＋2＋1＝6（个）； 所以，有3个三角形，9个梯形，6个平行四边形。 考点二 三角形的高及画法 【典例精讲】（23-24四年级下·河南信阳·期末）从A城到C城间有两条公路，A城距B城有200千米，B城距C城有160千米，A城直达C城有350千米，李叔叔开车从A城出发经过B城到C城去办事，共用了6小时。办完事后李叔叔从C城回到A城，返回时他每小时多行10千米，至少要多长时间？现在计划新修一条公路，使B城与道路AC段要连通，怎么样设计路程最短？请在图中画出来，并说明为什么？ 【答案】5小时 从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短 图见详解 因为直线外一点到直线的距离，垂线最短 【思路引导】（1）根据题意，从A城到B城再到C城，路程为200＋160＝360（千米），用路程除以时间即可算得去时的速度，然后因为回来时每小时比去多行10千米，那么就用去时的速度加上10，即为回来的速度，再用回来的路程除以回来的速度，即可算得回来至少需要用多少时间； （2）根据题意A、B、C三城围城了一个三角形，B城为三角形的一个顶点，AC城之间的距离为B城所对的一条底边，从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短，因为直线外一点到直线的距离，垂线最短，图见详解； 【规范解答】根据分析可得： （1）200＋160＝360（千米） 360÷6＝60（千米小时） 60＋10＝70（千米小时） 350÷70＝5（小时） 答：返回时至少需要5小时。 （2）从B城修垂直于公路AC的公路，这样设计最短，见下图 因为直线外一点到直线的距离，垂线最短。 【变式训练】（23-24四年级下·河北承德·期末）下面每个小方格都代表边长1厘米的正方形，请按要求画一画，填一填。 （1）根据图A的对称轴画出轴对称图形的另一半。 （2）画出图B向下平移4格后的图形。 （3）图C的面积是（    ）平方厘米。 （4）在图中画一个等腰三角形，并画出它的一条高。 【答案】（1）（2）（4）见详解 （3）6 【思路引导】（1）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 （2）作平移后的图形步骤：找点（找出构成图形的关键点）；定方向、距离（确定平移方向和平移距离）；画线（过关键点沿平移方向画出平行线）；定点（由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置）；连点（连接对应点）。 （3）由题意得，每个小方格的边长都是1厘米，那么每个小方格的面积为1平方厘米。图形内部有几个小方格，那么它的面积就为几平方厘米。图形C是一个不规则图形，可以将它右边凸出来的部分切下来并平移到左边补全，那么图形C就变为了一个长方形，直接数出这个长方形内部有几个小方格即可。 （4）有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 【规范解答】（1）（2）（4） （3）由分析得，图形C转化后得到的长方形内部有6个小方格，所以图C的面积是6平方厘米。 考点三 三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级下·河南郑州·期末）如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可以最快从A地到达B地。运用所学的（    ）知识可以解释原因。 ①三角形任意两边的和大于第三边    ②两点间所有连线中线段最短 ③三角形具有稳定性 A．只有① B．只有② C．只有③ D．①② 【答案】D 【思路引导】根据三角形三边关系“三角形任意两边的和大于第三边”，可以解释为什么②号路线比①号路线和③号路线组成的路径更短，所以①号路线和③号路线的组合路径不是最短的，而②号路线是最短的路径，这里运用了“三角形任意两条边的和大于第三边”的知识。 从A地到B地有三条路线，②号路线是连接A地和B地的线段。根据“两点之间所有连线中，线段最短”的性质，可知在所有连接A地和B地的路线中，线段②号路线是最短的，所以沿②号路线可以最快从A地到达B地，这里运用了“两点之间的连线中，线段最短”的知识。 “三角形具有稳定性”是指三角形的形状和大小在边长确定的情况下不会改变，与本题中从A地到B地选择最短路线的问题无关。 所以①②知识能解答为什么沿②号路线可以最快从A地到达B地。 【规范解答】根据分析可知： 如图，从A地到B地有三条路线，沿②号路线可以最快从A地到达B地。运用所学的①三角形任意两边的和大于第三边和②两点间所有连线中线段最短的知识可以解释原因。 故答案为：D 【变式训练】（24-25四年级下·辽宁鞍山·期末）六一儿童节，爸爸给明明买了一辆自行车。如图（单位：米） （1）按要求回答问题。 自行车架的设计利用了三角形的______；∠1＝90°，∠2＝60°，则∠3＝______°；按角分类，这个三角形是______三角形。 （2）自行车的车身长多少米？ （3）明明想把车座调高到离地面1米，要往上调多少米？ 【答案】（1）稳定性（或不易变形）；30；直角； （2）1.78米 （3）0.16米 【思路引导】（1）三角形具有稳定性，不容易变形。三角形的内角和是180°，用180°减去∠1的度数，减去∠2的度数，就是∠3的度数。有一个角是直角的三角形是直角三角形。 （2）自行车的车身长度为从前轮的最前边边缘到后轮的最后边边缘，将0.34、1.10和0.34相加即可。 （3）由图可知，目前车座离地面0.84米，求还需要往上调多少米，用减法计算，用1米减去0.84米即可。 【规范解答】（1）180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° 90°是一个直角。所以，自行车架的设计利用了三角形的稳定性（或不容易变形）；∠1＝90°，∠2＝60°，则∠3＝30°；按角分类，这个三角形是直角三角形。 （2）0.34＋1.10＋0.34 ＝1.44＋0.34 ＝1.78（米） 答：自行车的车身长1.78米。 （3）1－0.84＝0.16（米） 答：要往上调0.16米。 考点四 三角形三边关系 【典例精讲】（25-26四年级下·陕西西安·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是5厘米和2厘米，这个三角形的周长是( )厘米。 【答案】12 【思路引导】等腰三角形有两条边相等，已知两条边分别是5厘米和2厘米，需要分两种情况讨论：一种是腰长为5厘米，另一种是腰长为2厘米。然后根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”来验证这两种情况是否能组成三角形，最后计算能组成三角形的周长。 【规范解答】情况1：腰长为2厘米，底边长5厘米。此时2＋2＝4＜5，不满足三边关系，无法围成三角形，排除。 情况2：腰长为5厘米，底边长2厘米。此时5＋2＞5，满足三边关系，可以围成三角形。 计算周长：5＋5＋2 ＝10＋2 ＝12（厘米） 一个等腰三角形的两条边长分别是5厘米和2厘米，这个三角形的周长是12厘米。 【变式训练】（25-26四年级下·福建福州·期中）等腰三角形的两条边是48厘米和96厘米这个三角形的周长是（    ）厘米。 A．144厘米 B．192厘米或240厘米 C．192厘米 D．240厘米 【答案】D 【思路引导】根据“三角形任意两边的和大于第三边”分析等腰三角形的腰是48厘米还是96厘米。最后把这个三角形的三条边相加就得到它的周长。 【规范解答】如果长48厘米的边是等腰三角形的腰，则三角形的三边长分别为48厘米、48厘米、96厘米，48＋48＝96（厘米），长48厘米的边不是等腰三角形的腰。 若长96厘米的边是等腰三角形的腰则这个三角形的三边长分别为48厘米、96厘米、96厘米，且48＋96＞96，96＋96＞48，符合“三角形任意两边的和大于第三边”的性质。 这个三角形的周长：48＋96＋96＝240（厘米） 考点五 三角形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级上·山东烟台·期末）小军用9根同样长的小棒拼成了如图所示的图形，每根小棒长5厘米。这个图形中一共有( )个三角形，其中最大的三角形的周长是( )厘米，内角和是( )度。 【答案】 5 30 180 【思路引导】一个一个的数有4个三角形，4个4个的数有1个三角形，加一起即为三角形的总个数；最大的三角形就是由4个小三角形组成的，计算出三角形边长后，将三角形三条边加一起即为周长；三角形的内角和是180°。 【规范解答】三角形个数：4＋1＝5（个） 其中最大的三角形的边长：5×2＝10（厘米） 其中最大的三角形的周长：10×3＝30（厘米） 三角形内角和是180度。 【变式训练】（24-25四年级下·安徽宿州·期末）在一个三角形中，，，剩下一个角的度数用含有字母的式子表示是( )。 【答案】180°－a°－b° 【思路引导】根据三角形内角和为180°，求剩下一个角的度数等于180°依次减去∠1和∠2即可。 【规范解答】180°－∠1－∠2＝180°－a°－b° 所以剩下一个角的度数用含有字母的式子表示是180°－a°－b°。 考点六 三角形的分类 【典例精讲】（24-25四年级下·江西赣州·期末）下面的说法中，错误的有（    ）个。 ①125×24＝125×20＋125×4。 ②6.05和6.0499保留一位小数都是6.1。 ③锐角三角形任意两个锐角的和一定大于第三个锐角。 ④在小数0.83的末尾添上一个0，小数的大小和计数单位都不变。 ⑤7.390扩大到原来的10倍后与7390缩小到原来的，结果相等。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】（1）根据乘法分配律可知，125×24＝125×（20＋4）＝125×20＋125×4。 （2）保留一位小数，即小数精确到十分位，要看百分位上的数字。根据四舍五入法的原则，若百分位上的数字大于等于5，就向十分位进1；若百分位上的数字小于5，就舍去百分位及其后面数位上的数。 （3）三角形的内角和为180°，假如第三个角是直角，可知其余两个锐角的和应等于第三个角。而锐角三角形中，第三个角的度数小于90°，那么其余两个锐角的和一定大于第三个角。 （4）根据小数的性质可知，在小数0.83的末尾添上一个0，得到0.830，0.83＝0.830。而0.83的计数单位是0.01，0.830的计数单位是0.001，计数单位不同。 （5）根据小数点位置的移动引起小数大小的变化规律可知，7.390扩大到原来的10倍，就是小数点向右移动一位，得到73.90。7390缩小到原来的，就是小数点向左移动两位，得到73.90，结果相同。 【规范解答】①125×24＝125×（20＋4）＝125×20＋125×4，算式正确。 ②6.05≈6.1，6.0499≈6.0，二者保留一位小数不都是6.1。说法错误。 ③锐角三角形任意两个锐角的和一定大于第三个锐角。说法正确。 ④在小数0.83的末尾添上一个0，小数的大小不变，计数单位不同。说法错误。 ⑤7.390扩大到原来的10倍后与7390缩小到原来的，结果相等，都等于73.90。说法正确。 错误的有②、④，共2个。 故答案为：A 【变式训练】（24-25四年级下·云南昆明·期末）下面说法中，正确的有（    ）。 ①这个物体，从左面和右面看到的图形是一样的。 ②3.08和3.8的大小相等，计数单位不同。 ③等边三角形一定是锐角三角形。 ④按“四舍五入法”，近似数为4.7的最大两位小数是4.69。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】 ①从左面看时，可以看见两排正方形。上面一排，只有一个正方形（靠左）。下面一排，有两个正方形，即从左面看到的图形是；从右面看时，可以看见两排正方形。上面一排，只有一个正方形（靠右）。下面一排，有两个正方形，即从右面看到的图形是。 ②小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大……一位小数的计数单位是0.1，两位小数的计数单位是0.01，三位小数的计数单位是0.001。 ③三条边都相等的三角形叫作等边三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。 ④一个小数，保留一位小数时，需要看百分位上数的大小，用“四舍五入”法求它的近似数。 【规范解答】 ①由分析得，从左面看到的图形是，从右面看到的图形是，即从左面和右面看到的图形是不一样的。该选项说法错误。 ②3.08和3.8比较大小，整数部分相同，十分位上0＜8，所以3.08＜3.8。3.08是两位小数，它的计数单位是0.01。3.8是一位小数，它的计数单位是0.1。所以3.08和3.8的大小不相等，计数单位也不一样。该选项说法错误。 ③根据题意作图如下： 由图可知，等边三角形一定是锐角三角形。 ④一个小数，它的近似数是4.7。要使这个小数最大，说明原数“四舍”后得到4.7，这个小数百分位上的数必须小于5，百分位上最大是4，这个小数最大是4.74。该选项说法错误。 综上所述，正确的说法有1个。 故答案为：A 考点七 等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【典例精讲】（24-25四年级下·湖北十堰·期末）下面的说法中，错误的是（    ）。 A．等腰三角形不一定是锐角三角形。 B．小数部分相邻两个计数单位之间的进率与整数一样，都是10。 C．给添上一个小正方体，使其从上面看到的图形不变，有3种不同的添法。 D．典典所在班级的同学平均每人捐款15元，说明典典一定捐了15元。 【答案】D 【思路引导】有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相等的三角形叫作等边三角形。三角形按角来分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 小数的计数单位有十分之一、百分之一、千分之一…… 观察给出的立体图形，要使其从上面看到的图形不变，只能在已有的正方体的上方添加。 平均数是一组数据的总和除以这组数据的个数得到的值，它反映的是这组数据的一般水平，并不能代表每个个体的数据。据此解答即可。 【规范解答】A．等腰三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形。所以，该说法正确。 B．小数部分相邻两个计数单位，如十分位和百分位之间的进率是10；整数部分相邻两个计数单位，如个位和十位之间的进率也是10。所以，该说法正确。 C．从上面观察给出的立体图形，有3个小正方形。要使其添上一个小正方体后，从上面看到的图形不变，就只需在这3个小正方形的正上方添，有3种不同的添法。所以，该说法正确。 D．典典所在班级的同学平均每人捐款15元，那么典典捐的钱可能比15元少，也有可能比15元多，还有可能正好等于15元。所以，该说法错误。 故答案为：D 【变式训练】（24-25四年级下·湖南永州·期末）一个等腰三角形的周长是24厘米，已知底边长比腰长多3厘米。这个等腰三角形的腰长和底边长各是多少厘米？ 【答案】 腰长是7厘米，底边长是10厘米 【思路引导】三角形的周长是三条边相加的和，等腰三角形的两条腰相等。底边长比腰长多3厘米，把腰长看作1份，则底边长为1份加上3厘米，三条边一共是3份加上3厘米，即24厘米里面包括3份腰长加上3厘米，用24先减去3厘米，再除以3即可求出腰长，再用腰长加上3厘米即可求出底边长。 【规范解答】腰长： （厘米） 底边长：（厘米） 答：这个等腰三角形的腰长是7厘米，底边长是10厘米。 考点八 画三角形 【典例精讲】分别画出面积是10平方厘米的平行四边形、三角形和梯形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【思路引导】平行四边形面积＝三角形面积＝梯形面积＝10平方厘米，根据平行四边形面积公式：面积＝底×高；三角形面积公式：面积＝底×高÷2；梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，确定出平行四边形的底和高；三角形面积的底和高；梯形面积的上底、下底和高，据此画出图形。 【规范解答】平行四边形面积＝10平方厘米；底是5厘米；高是2厘米； 三角形面积＝10平方厘米；底是5厘米，高是4厘米； 梯形面积＝10平方厘米；上底是1厘米，下底是4厘米，高是4厘米；图形如下： （答案不唯一） 【考点剖析】熟练掌握和灵活运算平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式是解答本题的关键。 【变式训练】（24-25四年级下·山东淄博·期中）在下面的方格纸上分别画出一个和平行四边形面积相等的三角形和梯形。 【答案】见详解 【思路引导】由图可知，假设小方格的边长为1，平行四边形的底为4，高为2，根据平行四边形的面积＝底×高，它的面积是4×2＝8，则三角形和梯形的面积也是8。根据三角形的面积＝底×高÷2，如果画三角形的底是4，那么求出高即可画三角形；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，上底是3，下底是5，求出高，即可画梯形。 【规范解答】根据分析可知： 4×2＝8 三角形的底是4，高是： 8×2÷4 ＝16÷4 ＝4 梯形上底是3，下底是5，高是： 8×2÷（3＋5） ＝16÷8 ＝2 画图如下： （画法不唯一） 考点九 平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西西安·期末）一个梯形的下底是上底的3倍，如果将这个梯形的下底缩短8厘米，就变成了一个平行四边形。这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】 4 12 【思路引导】根据平行四边形的特征，对边相等。梯形下底缩短8厘米后变成平行四边形，说明此时下底长度等于上底长度。因此，缩短的8厘米即为原梯形下底与上底的差。因为下底是上底的3倍，所以下底比上底多（3－1）倍。上底的长度列式为8÷（3－1），计算即可。再用上底的长度乘3即可得下底的长度。 【规范解答】8÷（3－1） ＝8÷2 ＝4（厘米） 4×3＝12（厘米） 【变式训练】（25-26四年级下·山东潍坊·期中）王伯伯有一块等腰梯形的菜地，这块菜地上底的长度和一条腰的长度相等，下底的长度是上底的2倍。如果将梯形的上底延长16米，那么这个梯形就变成了一个平行四边形。王伯伯想在菜地的四周围上篱笆，至少需要多长的篱笆？（先画草图分析，再列式解答） 【答案】80米 【思路引导】由平行四边形对边相等可知，下底比上底长16米。因为下底的长度是上底的2倍，所以下底比上底多的长度相当于上底的1倍，而这1倍刚好是16米，所以上底长度为16米。因为是等腰梯形，且上底长度和一条腰的长度相等，所以腰的长度为16米。 【规范解答】 下底的长度：16×2＝32（米） 篱笆的总长度： 16＋32＋16＋16 ＝48＋16＋16 ＝64＋16 ＝80（米） 答：至少需要80米长的篱笆。 考点十 平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（23-24四年级下·山东德州·期中）用4根硬纸条钉成一个长5cm宽4cm的长方形。用两手捏住长方形的两个对角拉成不同的平行四边形。在这个过程中，不变的是（    ）。 A．高 B．周长 C．每一个内角的度数 【答案】B 【思路引导】用两手捏住长方形的两个对角拉成不同的平行四边形，纸条额长度不变，周长不变。长方形拉成平行四边形，平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽；长方形的四个角都是直角，又因为长方形是特殊的平行四边形，因此长方形拉成平行四边形每一个内角的度数也发生了变化。据此解答。 【规范解答】如下图： 用4根硬纸条钉成一个长5cm宽4cm的长方形。用两手捏住长方形的两个对角拉成不同的平行四边形。在这个过程中，不变的是高。 故答案为：B 【变式训练】（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）小王和小张都分别用两根长10厘米和两根长6厘米的小棒摆一个平行四边形，他们摆的图形的( )不一定相等，但( )一定相等。（填“周长”或“面积”） 【答案】 面积 周长 【思路引导】由题意可知：小王和小张都用两根长10厘米和两根长6厘米的小棒摆一个平行四边形，根据周长的定义：围绕封闭图形一周的长度，小王和小张摆的这两个平行四边形的周长都等于这四根小棒的长度之和，所以他们摆的平行四边形的周长一定相等；平行四边形具有不稳定性，小王和小张摆的平行四边形的形状可能不同，因此面积可能不同，据此即可解答。 【规范解答】10×2＋6×2 ＝20＋6×2 ＝20＋12 ＝32（厘米） 小王和小张摆的平行四边形的周长都等于32厘米；而平行四边形具有不稳定性，小王和小张用同样的小棒摆的平行四边形的形状可能不同，面积也就不同。 小王和小张都分别用两根长10厘米和两根长6厘米的小棒摆一个平行四边形，他们摆的图形的面积不一定相等，但周长一定相等。 考点十一 平行四边形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江台州·期末）如图，两条平行线之间有一个平行四边形和一个长方形。比较它们的周长，下列说法正确的是（    ）。 A．平行四边形的周长大于长方形的周长 B．平行四边形的周长等于长方形的周长 C．平行四边形的周长小于长方形的周长 D．无法比较它们的周长 【答案】A 【思路引导】封闭图形一周的长度是周长，平行四边形的底和长方形的底相等，那么只要比较平行四边形的另一条边和长方形的另一边即可。 【规范解答】 如图： 平行四边形的底和长方形的宽相等，都是3厘米；平行线间的距离处处相等，所以平行四边形的高和长方形的长相等，两条直线之间的距离垂线段最短，平行四边形的左右两条边是斜线，长方形的长是垂线段，所以平行四边形的另一组对边长度大于平行四边形的高，即平行四边形的另一组对边长度大于长方形的长。 说法正确的是平行四边形的周长大于长方形的周长。 【变式训练】（25-26四年级上·福建三明·期末）图中，平行四边形的周长是( )厘米，BC边上的高是( )厘米。 【答案】 84 15 【思路引导】平行四边形的两组对边分别平行且相等，用BC的长度24厘米加上DC的长度18厘米，算出一组邻边的长度之和，再乘2，即可算出这个平行四边形的周长是多少；读图可知BC边对应的高是15厘米。 【规范解答】（24＋18）×2 ＝42×2 ＝84（厘米） 图中，平行四边形的周长是84厘米，BC边上的高是15厘米。 考点十二 画平行四边形 【典例精讲】按要求画一画。 （1）把三角形先向上平移4格，再向左平移3格。 （2）把梯形绕点A顺时针旋转90°。 （3）在方格中画一个与梯形面积相等的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【思路引导】（1）平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动。平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变。把三角形先向上平移4格，再向左平移3格，平移后得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同，对应点之间的距离等于平移的距离； （2）旋转是图形上的每一个点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，对应点到旋转中心的距离相等。旋转前、后图形的大小和形状没有改变，旋转中心是唯一不动的点。把这个图形绕A点顺时针旋转90°，A点的位置不动，其余各部分均绕A点按相同的方向旋转相同的角度即可； （3）每个小方格表示1平方厘米，可知小方格为正方形，正方形的边长为1厘米。梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，高是2厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，（3＋5）×2÷2＝8厘米，求出梯形的面积；再根据平行四边形的面积＝底×高，8厘米＝4×2，取平行四形的2条对边为4厘米，平行四形对边平行且相等，在格子图中画平行四边形时，先画平行四边形上下对应的两条边，要注意平行四边形的上下两条边所占的格子数是相同的，再把上下两条边对应的端点连接起来，即可画出梯形面积相等的平行四边形。 【规范解答】（3＋5）×2÷2 ＝8×2÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 8厘米＝4×2 【变式训练】（25-26四年级上·陕西西安·期末）在方格纸上按要求画出下面的图形。（每个小方格的边长是1厘米） （1）底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。 （2）上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米的等腰梯形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）画一条水平线段，长度为3个小方格边长，即3厘米，作为平行四边形的底。在底的一个端点，向上垂直数2个小方格，确定一个点。从这个点出发，画一条与底平行且长度为3个小方格边长（3厘米）的线段。连接两条3厘米线段的另外两个端点，这样就画出了底是3厘米，高是2厘米的平行四边形。 （2）梯形的上底与下底是互相平行的，在等腰梯形中，两腰长度相等，两底相互平行。画一条水平线段，长度为4个小方格边长，即4厘米，作为等腰梯形的下底。从下底两端点分别向上垂直数3格，并在水平方向向内移动1格确定上底两个端点。连接这两个点，使这条线段长度为2个小方格边长，即2厘米，作为等腰梯形的上底。分别连接上底的两个端点和下底两端点，使左右两条腰长度相等，这样就画出了上底是2厘米，下底是4厘米，高是3厘米的等腰梯形。 【规范解答】根据分析，如图： 考点十三 梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·陕西安康·期末）先画出下面图形指定底边上的高，再在里面画一条线段，把它分成一个梯形和一个三角形。 【答案】见详解 【思路引导】从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高。本题指定画左边斜边上的高，应该从平行四边形右边斜边的端点开始，向指定底边画高； 根据梯形的定义，只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形和三角形的定义：由三条线段围成的图形每相邻两条线段的端点相连或重合，叫做三角形，进行分割； 【规范解答】根据分析，画图如下： 【变式训练】（25-26四年级上·浙江温州·期末）如图，小明将一张长方形卡纸的一角进行折叠。 (1)如果，那么( )°。 (2)小明将这张长方形卡纸沿着折痕剪开，得到的两个图形是( )形和( )形。 【答案】(1)36 (2) 三角； 直角梯 【思路引导】长方形的四个角都是直角，即90°。 （1）折叠后，∠1、∠2以及与∠2重合的角组成了一个直角，即∠1＋2∠2＝90°，即可求出∠2的度数。 （2）沿着折痕剪开，剪下后的部分是三角形，剩下的部分有一组对边平行，且含有直角，是直角梯形。 【规范解答】（1）∠1＋2∠2＝90° ∠1＝18° 2∠2＝90°－18°＝72° ∠2＝72°÷2＝36° （2）小明将这张长方形卡纸沿着折痕剪开，得到的两个图形是三角形和直角梯形。 考点十四 梯形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·山东临沂·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．直线比线段长，也比射线长。 B．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，这个角就变成了150°。 C．平行四边形和梯形的高都有无数条。 D．将一个长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的周长变长了。 【答案】C 【思路引导】A．根据直线、射线、线段的定义和特征分析判断，直线没有端点，向两端无限延伸；射线有一个端点，向一端无限延伸；线段有两个端点，长度是固定的。 B．角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长短无关。 C．根据平行四边形和梯形的高的定义分析判断，平行四边形的高是从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高，梯形的高是指上底和下底之间的垂线段的长度。 D．根据周长的定义分析判断，周长是封闭图形一周的长度。 【规范解答】A．由分析可知，直线和射线都能无限延伸，无法度量长度，所以不能比较直线、射线和线段的长短。原说法错误。 B．用放大镜看角，只是放大了角的边的长度，而角两边张开的程度并没有改变，所以角的度数不变。原说法错误。 C．由分析可知，平行四边形的对边平行且无限延伸，因此在底边上的每一个点都可以作出一条垂直于对边的线段，这些线段长度均相等，但位置不同，故有无数条高；同理，在上底的任意一点向下底（或其延长线）作垂线，所得线段均为梯形的高。由于上底是线段，其上点有无限多个，因此可作无数条高。原说法正确。 D．把长方形框架拉成平行四边形，围成图形的四条边的长度并没有发生变化。由周长的定义可知这个平行四边形的周长和原来长方形的周长是相等的，并没有变长，原说法错误。 【变式训练】（24-25四年级上·河南信阳·期末）实践活动。 （1）在下边的等腰梯形内画一条线段，将梯形分成一个最大的平行四边形和一个三角形。 （2）画出平行四边形的一条高。 （3）根据图中数据计算这个平行四边形的周长。 【答案】（1）（2）图见详解； （3）10cm 【思路引导】（1）从梯形上底的一个端点作另一腰的平行线段即可将梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 （2）从上底某一点作下底的垂线段即为梯形的高。 （3）用直尺测量出平行四边形的四条边的长度，再相加，得到的就是平行四边形的周长。 【规范解答】（1）（2）画图如下： （3）2＋2＋3＋3＝10（cm） 所以这个平行四边形的周长是10cm。 考点十五 直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（25-26四年级上·浙江台州·期末）如图，将一个平行四边形分割成两个完全相等的等腰梯形，每个等腰梯形的周长是（    ）厘米。 A．144厘米 B．94厘米 C．72厘米 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】梯形四条边的长度和是它的周长，分割成两个完全相等的等腰梯形，则此时每个等腰梯形的上底＋下底的长度和是原来平行四边形的底边长度，即50厘米，腰是原来平行四边形的斜边长度，即22厘米，等腰梯形两条腰长相等，将所有边的长度相加即可求出每个等腰梯形的周长是多少厘米。 【规范解答】50＋22＋22＝94（厘米） 每个等腰梯形的周长是94厘米。 【变式训练】（25-26四年级上·湖北随州·期末）如图是由一张长方形纸折叠而成的等腰梯形（单位：厘米），这个梯形的高是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】 9 19 【思路引导】因为这个等腰梯形是由长方形纸折叠而成的，所以梯形的高就是原来长方形的宽，也就是9厘米；梯形的下底就等于长方形的长。由图可知长方形的长是由三部分组成的，一部分是11厘米，另外还有两个4厘米的部分，将它们加总在一起即可。 【规范解答】11＋4＋4 ＝15＋4 ＝19（厘米） 这个梯形的高是9厘米，下底是19厘米。 考点十六 画梯形 【典例精讲】（23-24四年级下·山东淄博·期末）学习了梯形面积之后，同学们继续深入研究。他们借助上底是2厘米，下底是7厘米，高是4厘米的梯形进行研究。如图所示（每个小方格的边长为1厘米）。 （1）这个梯形的面积是多少平方厘米？ （2）如果把这个梯形的上底增加1厘米，下底减少1厘米，高不变，得到新的图形①，请将梯形①画出来，梯形①的面积是（    ）平方厘米。 （3）观察猜想：在梯形高不变的情况下，上底和下底怎样变化，梯形的面积不变？把你的发现写下来：（    ）。 【答案】（1）18平方厘米 （2）作图见详解；18 （3）上底增加几厘米，下底就减少几厘米，即上底和下底的和不变，梯形的面积就不变 【思路引导】（1）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，直接将数据代入并求解即可。 （2）如果把这个梯形的上底增加1厘米，下底减少1厘米，高不变。可以先算出新的梯形的上底和下底的长度，然后再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2求解即可。 （3）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。由题意得，梯形的高不变，那么只要上底＋下底的和不变，那么梯形的面积也不变。 【规范解答】（1）（2＋7）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 答：这个梯形的面积是18平方厘米。 （2）上底：2＋1＝3（厘米） 下底：5＋1＝6（厘米） （3＋6）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 答：梯形①的面积是18平方厘米。 （3）答：在梯形高不变的情况下，上底增加几厘米，下底减少几厘米，即上底和下底的和不变，梯形的面积就不变。 【变式训练】（23-24四年级下·山东淄博·期末）学习了梯形面积之后，咱们再进行一次深入探究吧！下图是一个上底是4厘米，下底是6厘米，高是4厘米的梯形（每个小方格的边长表示1厘米）。 （1）这个梯形的面积是多少平方厘米？ （2）将这个梯形的上底减少1厘米，下底增加1厘米，高不变，得到的新梯形可能是什么样子呢？请你在上面方格纸的右侧画出来，并算一算新梯形的面积是多少平方厘米。 （3）如果继续按照上底减少1厘米，下底增加1厘米，高不变的方法进行操作，这个梯形会经过怎样的变化？最终变成了什么图形？面积怎样？你有什么发现？请你画一画、写一写，将你的研究成果记录下来。 我的研究： 我的发现： 【答案】（1）20平方厘米 （2）作图见详解；20平方厘米 （3）作图见详解；梯形上底逐渐变短，下底逐渐变长，最终会变成一个三角形。整个过程中，梯形的面积始终不变，当它变化成了一个三角形，它的面积还是不变 【思路引导】（1）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，直接将数据代入求解即可。 （2）将梯形的上底减少1厘米，下底增加1厘米，高不变，可以先算出梯形的上底和下底，然后再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2求出新的梯形的面积。 （3）梯形上底继续减少，下底继续增加，最终会变成一个三角形；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，可以分别算出它们的面积然后比较大小。 【规范解答】（1）（4＋6）×4÷2 ＝10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 答：这个梯形的面积是20平方厘米。 （2）上底：4－1＝3（厘米） 下底：6＋1＝7（厘米） （3＋7）×4÷2 ＝10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 答：新梯形的面积是20平方厘米。 （3）3－1＝2（厘米） 7＋1＝8（厘米） （2＋8）×4÷2 ＝10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 2－1＝1（厘米） 8＋1＝9（厘米） （1＋9）×4÷2 ＝10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 变为三角形后，三角形的底为10厘米，高为4厘米。 10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 答：梯形上底逐渐变短，下底逐渐变长，最终会变成一个三角形。整个过程中，梯形的面积始终不变，当它变化成了一个三角形，它的面积还是不变。 考点十七 多边形的内角和 【典例精讲】（25-26四年级下·山东潍坊·期中）探究五边形的内角和时，下图分别是小明、小玲、小利三名同学的方法，小明使用的方法用算式表示为，图（    ）是小明的方法。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】小明的算式是：，这个算式的意思是：先算出4个三角形的内角和，再减去一个平角（180°），得到五边形的内角和。据此逐项分析。 【规范解答】A．图片是从五边形的一个顶点出发连线，分成了3个三角形，内角和为：，不符合题意； B．图片是从五边形的一条边上（非顶点）取一点，和其他顶点连线，分成了4个三角形。但边上那个点处形成了一个平角，这部分不属于五边形的内角，需要减去，所以列式为：，符合题意； C．图片是在五边形内部取一点，和所有顶点连线，分成了5个三角形，但内部那个点处形成了一个周角，这部分不属于五边形的内角，需要减去，内角和为 ，不符合题意。 【变式训练】（24-25四年级下·河北保定·期末）一个多边形的内角和是900°，这是个（    ）边形。 A．五边形 B．六边形 C．七边形 【答案】C 【思路引导】计算多边形的内角和度数时，可将多边形分成几个三角形，由于一个三角形的内角和是180°，则这个多边形能被分成几个三角形，它的内角和就是几个180°，一个多边形可被分成（它的边数－2）个三角形，即多边形的内角和度数＝（多边形的边数－2）×180°，因此边数＝内角和度数÷180＋2，依此解答。 【规范解答】由分析可得： 900÷180＋2 ＝5＋2 ＝7 因此内角和是900°的多边形是7边形。 故答案为：C 1．（25-26四年级下·四川成都·阶段检测）如图所示，把一张顶角是的等腰三角形纸对折，可以得到两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是（    ）。 A．25°和50° B．65°和65° C．45°和45° D．25°和65° 【答案】D 【思路引导】根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形的两个底角度数相等，顶角已知是130°，根据三角形内角和是180°，可以计算出底角的度数。将这个等腰三角形的纸对折，得到两个完全相同的直角三角形，其中一个角就是等腰三角形的底角，另一个锐角的度数是等腰三角形顶角度数的一半，据此解答即可。 【规范解答】（180°－130°）÷2＝50°÷2＝25°，130°÷2＝65°， 把一张顶角是130°的等腰三角形纸对折，可以得到两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是25°和65°。D选项正确。 2．（25-26四年级上·陕西安康·期末）下图中的a∥b，下面描述错误的是（    ）。 A．线段AB和线段DC的长度一样 B．四边形CDFE是等腰梯形 C．四边形ABCD是一个特殊的平行四边形 【答案】B 【思路引导】两条平行线之间的距离处处相等；等腰梯形是一组对边平行（上底和下底），另一组对边不平行但相等（两腰）的四边形，属于特殊的梯形；长方形是有一个角是直角的平行四边形。 【规范解答】A．因为a∥b，且AB⊥a，DC⊥a，平行线间的距离处处相等，所以线段AB和线段DC的长度一样，说法正确。 B．四边形CDFE中，DF在b上，CE在a上，因为a∥b，所以DF∥CE，满足梯形“一组对边平行”的条件，又CD是平行线间的垂线段，EF是连接两底的另一条腰，从图中看出CD和EF长度不相等，即两腰CD、EF不相等，所以它不是等腰梯形，说法错误。 C．四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，且∠ABC＝90°，所以它是一个长方形，属于特殊的平行四边形，说法正确。 3．（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）如下图，把一个平行四边形和一个三角形依次拼起来。当所用图形个数是10个时，拼出图形的周长是（    ）。 A．26 B．27 C．31 【答案】B 【思路引导】通过观察图形，找出拼出图形周长的变化规律，进而根据规律计算不同图形个数时拼出图形的周长。 【规范解答】当图形个数为1的情况 当图形个数为1时，是一个平行四边形，其周长为6。 当图形个数为2的情况 当图形个数为2时，拼出的图形周长为7，比图形个数为1时多1。 当图形个数为3的情况 当图形个数为3时，拼出的图形周长比图形个数为2时多了4，所以周长为7＋4＝11。 当图形个数为4的情况 当图形个数为4时，拼出图形的周长比图形个数为3时多了1，所以周长为11＋1＝12。 当图形个数为5的情况 当图形个数为5时，拼出图形的周长比图形个数为4时多了4，所以周长为12＋4＝16。 进一步分析可得，每增加2个图形（一个平行四边形和一个三角形），周长增加5。 因此图形个数为6时，用图形个数为4的周长加5，则周长为12＋5＝17；图形个数为7时，用图形个数为5的周长加5，则周长为16＋5＝21；图形个数为8时，用图形个数为6的周长加5，则周长为17＋5＝22；图形个数为9时，用图形个数为7的周长加5，则21＋5＝26；图形个数为10时，用图形个数为8的周长加5，则周长为22＋5＝27。 4．（22-23四年级上·浙江宁波·期末）下图中，∠1和∠2不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】选项A中，∠1和∠2它们所对的圆弧是同一个弧，所以∠1＝∠2。 选项B中，∠1＝90°－40°，∠2＝90°－∠1，∠1不一定是40°，所以无法确定∠1和∠2的大小。 选项C中，如图： ∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠3，则∠1＝∠2。 选项D中，如图： ∠1＝90°－∠3，∠2＝90°－∠3，所以∠1＝∠2。 【规范解答】由分析得： A．∠1＝∠2 B．因为∠1不一定是40°，所以∠1和∠2不一定相等。 C．∠1＝∠2。 D．∠1＝∠2。 故答案为：B 【考点剖析】解决此类问题时，要善于利用图中隐藏的特殊角（直角、平角、周角），以及它与各角之间的关系，利用已知角，求出未知角。 5．（24-25四年级下·陕西安康·期末）用一根24cm长的铁丝恰好折成一个等边三角形铁框，铁框的边长是( )cm，若恰好折成一个腰长是7cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是( )cm。 【答案】 8 10 【思路引导】等边三角形，是指三边相等的三角形，铁丝的长度就是等边三角形的周长，用铁丝的长度除以3，即可求出铁框的边长；等腰三角形的两条腰的长度相等，用铁丝的长度减去两条腰的长度，即可求出铁框底边长。 【规范解答】24÷3＝8（cm） 24－7×2 ＝24－14 ＝10（cm） 用一根24cm长的铁丝恰好折成一个等边三角形铁框，铁框的边长是8cm，若恰好折成一个腰长是7cm的等腰三角形铁框，铁框底边长是10cm。 6．（2026四年级下·河北·专题练习）有两根长度分别是3厘米和7厘米的小棒，如果再找一根小棒把它们围成一个三角形，那么这根小棒最长是( )厘米，如果围成一个等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长是( )厘米。（填整厘米数） 【答案】 9 17 【思路引导】根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此即可求出这根小棒最长是多少厘米；等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，据此求出等腰三角形的腰长，然后计算出等腰三角形的周长即可。 【规范解答】7厘米－3厘米＜第三边＜3厘米＋7厘米 4厘米＜第三边＜10厘米 即第三条边最短是4＋1＝5（厘米），最长是10－1＝9（厘米）。 若腰长为3厘米，底边长为7厘米，3厘米＋3厘米＜7厘米，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 若腰长为7厘米，底边长为3厘米，7厘米＋3厘米＞7厘米，满足三角形三边关系，能构成三角形； 等腰三角形的周长：7＋7＋3＝17（厘米）。 7．（25-26四年级上·陕西安康·期末）在数学课堂上，王老师在如图所示的4个图形中选择了一个，并请一位同学通过提问的方式来猜这个图形的形状，王老师只需回答“是”或“不是”。下面是王老师和明明的对话，请帮明明猜出王老师选择的图形是什么形状。 明明：“这个图形是四边形吗？”        王老师：“是。” 明明：“这个图形有钝角吗？”        王老师：“是。” 明明：“这个图形有两组对边互相平行吗？”        王老师：“不是。” 王老师选择的这个图形可能是________。 【答案】梯形 【思路引导】只有一组对边平行的四边形是梯形；两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；四个角都是直角的平行四边形是长方形；三条边首尾连接成的图形是三角形；钝角比直角大，比平角小。据此解答。 【规范解答】这个图形是四边形，排除了三角形； 这个图形有钝角，排除了长方形； 这个图形没有两组对边互相平行，排除了平行四边形； 梯形是只有一组对边平行的四边形，且其中有钝角，符合题意。 所以王老师选择的这个图形可能是梯形。 8．（25-26四年级下·河北邯郸·期中）小伟将一张长方形纸折成一个梯形，如图（单位：cm），折叠成的梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 6 12 5 【思路引导】这道题考查的是图形折叠后的边长关系，关键在于理解“折叠前后对应边长度不变”。长方形纸折成梯形后，梯形的高就是原长方形的宽（5厘米）；上底是图中标注的6厘米；下底由上底加上左右两侧折叠部分的长度（各3厘米）组成，即6＋3＋3＝12厘米。通过观察图形和折叠的性质，就能轻松求出梯形的上底、下底和高。 【规范解答】图中直接标注了上底的长度为6厘米；由于是长方形折叠而成，左右两侧折叠部分的长度都是3厘米，因此下底长度＝上底长度＋左侧折叠部分长度＋右侧折叠部分长度，即6＋3＋3＝12厘米；梯形的高是上下底之间的垂直距离，从图中可知，这个距离就是原长方形的宽，为5厘米。 9．（23-24四年级下·四川达州·期末）找出下面图中我们已经学过的图形，每种图形有几个？ 直角三角形有( )个，平行四边形有( )个，长方形有( )个，梯形有( )个。 【答案】 6 2 3 9 【思路引导】根据学过的图形的特点，依次数出各个图形的个数。有一个角是直角的三角形是直角三角形；两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形；长方形的两组对边互相平行，且两组对边分别相等，4个角都是直角；只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 【规范解答】 如图：，直角三角形有6个，分别是图形①、②、③、④、⑤、⑥。平行四边形有2个，分别是①和②、⑤和⑥拼成的平行四边形。 长方形有3个，分别是②和③、④和⑤、②③④⑤拼成的长方形。 梯形有9个，分别是：①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、①②③④、③④⑤⑥、①②③④⑤、②③④⑤⑥以及①②③④⑤⑥拼成的梯形。 直角三角形有6个，平行四边形有2个，长方形有3个，梯形有9个。 【考点剖析】熟记三角形、长方形、平行四边形和梯形的特征是解题关键。 10．（23-24四年级下·山东烟台·期末）求出阴影部分的面积。 【答案】30平方分米 【思路引导】根据题目可知，一个梯形分成了一个三角形和一个平行四边形，先用14－8求出该三角形的底边长度，三角形和梯形的高一样都是10分米，三角形面积＝底×高÷2，据此代入数据求出阴影部分的面积即可。 【规范解答】（14－8）×10÷2 ＝6×10÷2 ＝60÷2 ＝30（平方分米） 所以阴影部分的面积为30平方分米。 11．（23-24四年级下·辽宁·暑假作业）如图，三角形ABC是一个直角三角形。已知∠1＝70°，∠2＝∠4，求∠3的度数。 【答案】140° 【思路引导】在直角三角形ABC中，已知∠1＝70°，B角＝90°，根据三角形内角和等于180°，用180°－90°－70°，求出∠2的度数，因为∠2＝∠4，用180°减去∠2和∠4的度数，即可求出∠3的度数。 【规范解答】180°－90°－70° ＝90°－70° ＝20° ∠2＝∠4＝20° 180°－20°－20° ＝160°－20° ＝140° ∠3是140°。 12．（25-26四年级下·贵州毕节·阶段检测）一个等腰三角形花圃，底边长15米，腰长12米，这个花圃的周长是多少米？ 【答案】39米 【思路引导】等腰三角形的两条腰长度相等，所以等腰三角形两条腰长都是12米，封闭图形一周的长度叫做周长，据此即可求出这个花圃的周长是多少米。 【规范解答】12×2＋15 ＝24＋15 ＝39（米） 答：这个花圃的周长是39米。 13．（25-26四年级下·河南周口·阶段检测）2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日。红星小学的志愿者们制作了一块等腰梯形安全宣传牌，它的周长为20dm，上、下底分别长5dm和7dm，它的一条腰长多少分米？ 【答案】4分米 【思路引导】等腰梯形的两腰相等，用等腰梯形的周长减去上下底的长度，再除以2，就能求出一条腰的长度。 【规范解答】20－5－7＝8（分米） 8÷2＝4（分米） 答：它的一条腰长4分米。 14．（25-26四年级下·广东深圳·期中）有一块等腰三角形的试验田，周长是600米，其中一条边长270米，剩下的两条边分别长多少米？请写出你的思考过程。（两种情况都要算出来） 【答案】情况一：270米和60米 情况二：165米和165米 【思路引导】等腰三角形有两条边相等，这两条相等的边叫做腰，另一条边叫做底。已知周长和其中一条边长，这条边可能是腰，也可能是底，因此需要分两种情况思考，计算出三条边的长度后，再根据“三角形任意两边之和大于第三边”进行验证，确保能围成三角形，据此解答即可。 【规范解答】情况一：当长270米的边为腰长时，另一条腰长也为270米， 底边长为： 600－270－270 ＝330－270 ＝60（米） 验证：270＋60＝330，330＞270，符合三角形三边关系。 情况二：当长270米的边为底边时，两条腰的长度相等。 腰长为： （600－270）÷2 ＝330÷2 ＝165（米） 验证：165＋165＝330，330＞270，符合三角形三边关系。 答：剩下的两条边长分别为270米和60米。或剩下的两条边长分别为165米和165米。 15．（25-26四年级下·甘肃张掖·期中）数学活动课上，同学们正在进行“剪小棒围三角形”的探索活动。他们首先尝试 把长度为12cm的小棒剪成三段（三段的长度均为整厘米数），再把这三段首尾相接 围一个三角形。 可可围的三角形其中一条边长是4cm，另外两条边分别长多少厘米？ 【答案】3厘米、5厘米或4厘米、4厘米 【思路引导】题干中给出了三角形其中一条边的长是4厘米，三角形的周长为12厘米，根据三角形的基本性质“任意两边之和大于第三边”计算推理出另外两边的长度。 【规范解答】根据题意可知三角形的周长为12厘米（三段的长度均为整厘米数），已知一条边长为4厘米，则另外两条边长的和为12−4＝8（厘米）。另外两边的边长情况只有以下几种：1厘米和7厘米、2厘米和6厘米、3厘米和5厘米、4厘米和4厘米。 当另外两边中有一条边长为1厘米时，第三条边长为8－1＝7（厘米），4＋1＝5厘米＜7厘米，所以另外两边长1厘米、7厘米不符合要求； 当另外两边中有一条边长为2厘米时，第三条边长为8－2＝6（厘米），4＋2＝6厘米＝6厘米，所以另外两边长2厘米、2厘米不符合要求； 当另外两边中有一条边长为3厘米时，第三条边长为8－3＝5（厘米），4＋3＝7厘米＞5厘米，4＋5＝9厘米＞3厘米，5＋3＝8厘米＞4厘米所以另外两边长3厘米、5厘米符合要求。 当另外两边中有一条边长为4厘米时，第三条边长为8－4＝4（厘米），这时三角形是等边三角形，所以另外两边长4厘米、4厘米符合要求。 综上所述，三角形另外两条边长可能是为3厘米、5厘米或者4厘米、4厘米。 答：另外两条边分别长3厘米、5厘米或者4厘米、4厘米。 16．（25-26四年级下·山东枣庄·期中）四年级木工创作社团准备制作一个三角形的木架，已知两边分别长18分米，12分米。你帮忙算一算，这个三角形木架的周长最长是多少？最短是多少？（第三条边长取整分米数） 【答案】 59分米；37分米 【思路引导】根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。确定出第三边的范围，再求三角形的周长，据此解答。 【规范解答】两边之和：（分米） 两边之差：（分米） 第三条边最长：（分米） 第三条边最短：（分米） 周长最长：（分米） 周长最短：（分米） 答：这个三角形木架的周长最长是59分米，最短是37分米。 17．（25-26四年级上·陕西安康·期末）如图，每个小方格边长都为1厘米，按要求完成下面各题。（共5分） （1）∠1是（    ）角。 （2）以AB、BC作为梯形的两条边，找到点D，在方格图中画一个等腰梯形ABCD。 （3）过点B画梯形CD边上的高BE，并标出垂足E。 （4）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分成一个平行四边形和一个三角形。以AB为底这个平行四边形的一条高是（    ）厘米。 【答案】（1）钝 （2）见详解 （3）见详解 （4）见详解；3 【思路引导】（1）根据角的定义判断，∠1大于90°小于180°，是钝角。 （2）等腰梯形特征是一组对边平行、两腰相等，以AB、BC为边，在网格里找对称的点D，使AD＝BC且AB∥DC，连接成梯形ABCD。 （3）梯形的高是从一个顶点向对边作的垂线，过点B向CD边画垂直的线段BE，标上垂足E。 （4）要分成平行四边形和三角形，过点A作BC的平行线，交CD于一点；因为每个方格边长1厘米，从AB到CD的垂直距离是3格，所以平行四边形的高是3厘米。 【规范解答】（1）∠1是（钝）角。 （2） （3）（4）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分成一个平行四边形和一个三角形。以AB为底的这个平行四边形的一条高是（3）厘米。 18．（25-26四年级上·陕西安康·期末）某花卉博览会中的郁金香展区被设计成平行四边形。（共5分） （1）已知平行四边形ABCD的点A、点B、点C（如图），请你从下图中作出点D，并画出这个平行四边形。 （2）从点E出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 （3）设计师将这个平行四边形分割成两个梯形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的，请你在图中画出来。 【答案】答案见详解 【思路引导】（1）根据平行四边形的两组对边平行且相等的性质及图中已画出的图形可知，C点在B点偏左方向1格处，所以D点在A点偏左方向1格处，且与C点在同一条直线上，确定D点位置后，连接AD和DC，即可画出平行四边形。 （2）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。 过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；据此把展区靠近点E这条边看作一条直线，由点E向直线画垂直线段即可。 （3）只有一组对边平行的四边形叫做梯形；如果梯形的两腰相等，这样的梯形叫做等腰梯形；据此从平行四边形AB边找一点向对边画线段把它分成两个梯形。据此画图。 【规范解答】如图： （第（3）题答案不唯一） 19．（25-26四年级上·山东烟台·期末）画一画，写一写。 (1)在上面的图形中各画一条线段，按要求分一分。 (2)观察这三种分法，请你提出一个值得思考的数学问题。（不用解答） _____________________________________________________ 【答案】(1)见详解 (2)钝角三角形能用一条线段分成两个锐角三角形吗？ 【思路引导】锐角三角形：三个内角都为锐角（大于0°且小于90°的角）的三角形，叫做锐角三角形。 直角三角形：有一个内角为直角（等于90°的角）的三角形，叫做直角三角形。 钝角三角形：有一个内角为钝角（大于90°且小于180°的角）的三角形，叫做钝角三角形。 据此定义按题目要求画一画即可。 提问为开放性要求，只要围绕本题内容、具备数学思考价值都符合要求。 【规范解答】（1） （答案不唯一） （2）钝角三角形能用一条线段分成两个锐角三角形吗？ （答案不唯一） 20．（25-26四年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）四巧板起源于我国，是一种古老的智力游戏，至今已有数百年的历史。四巧板由一块长方形分解而成，其中④号板是等腰直角三角形，①号和③号板是直角梯形，它只有4块拼板，却可以拼出成千上万种形象生动的图形。以下是四巧板图样。（单位：mm） (1)②号板是一块不规则的图形，其中∠1＝( )°。 (2)用四巧板可以拼出平行四边形ABCD，如下图。已知BC＝106mm，BC边上的高为74mm，请思考下图是如何用一副四巧板拼出来的，用虚线把你的想法在图中表示出来。 【答案】(1)45 (2)图见详解（答案不唯一） 【思路引导】（1）根据题意可知，③号板是直角梯形，则有两个直角，④号板有一个角是直角且有两条边相等，则是一个等腰直角三角形，两个底角是45°，∠1和直角梯形其中一个直角以及等腰三角形其中一个45°的角组成平角，平角等于180°，直角等于90°，用180°减90°再减去45°即可求出∠1的度数； （2）根据题意可知，平行四边形底边的长度是106毫米，则可以将①号板放在最下层，④号板是一个等腰直角三角形，腰长37毫米，可以放在最下层①号板的左边，组成一个平行四边形，②号板和③号板组成一个大平行四边形，放在最上层，即可得到这个平行四边形，据此作图即可。 【规范解答】（1）∠1度数为： （2）根据图形长度、形状作图即可，如图： （答案不唯一） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull