广东江门市鹤山市鹤华中学2025-2026学年高二下学期第二次阶段性测试数学试题

鹤华中学2025-2026学年第二学期第二次阶段性测试 数学 出题人：刘子灵审题人： 一、单选题（每题5分，共40分） 1.已知数列{an}是等差数列，且a1+42+a3=-3,a3+a4+4,=9,则S=（) A.1 B.2 C.3 D.5 2.下列说法中正确的是() A.回归直线y=bx+a至少经过一个样本点 B、在回归分析模型中，决定系数2越小，模型的拟合效果越好 C.残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D.当样本相关系数r>O时，成对样本数据正相关 3.若随机变量X~N(3,o2),且P(3≤X≤4)=0.41，则P(X-3>1)=() A0.18 B.0.22 C.0.09 D.0.27 4.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率( ) A号 B D司 5.若曲线y=xnx在点(e,e)处的切线与直线ax-y-1=0平行，则实数a的值为() 1 A.-2 B. C. D.2 6.已+2x士 的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含x项的系数为() A.-120 B.120 C.-240 D.240 7.如图，洛书（古称龟书)，是阴阳五行术数之源在古代传说中有神 龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二 000000000 四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数 若从四个阴数和五个阳数中各随机选取2个数，组成无重复数字的 四位偶数，这样的偶数有（)个 A.360 B.540 C.720 D.1440 8.若函数f(=(a+alnx+分-(a+)x不单调，则实数a 的取值范围是() A.(0,+∞) B.（-1,0) c.（-o,-1)U(0,+o∞) D.（-1,too) 试卷第1页，共4页 二、多选题（每题6分，共18分） 9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为9，若S3=7,a4=4a3-4a2,则( A.9=2 B.45=16 C.log2a4+l0g245+l0g2a6=12 D. 1+1+1+1=15 a az as as 16 10.已知(（1-2x)8=a+4x+a2x2+…+ax3,则() A.a0=1 B.a+4+a+a6+a,= 2 C.a.H+laH+laz+…+as=38D.3a+3'a,+3a2+…+a=1 11.已知函数f(x)=(2x2-3x)e,则下列结论正确的是() A.函数f(x)的最小值为e B.函数f(x)有2个极值点 c.若数a在(3 上是减函数，则实数a的取值范围是 33 24 D.函数y=3[f(x)]+2f(x)-1有5个零点 三、填空题（每题5分，共15分） 12。若随机变量X~日公》， 且DX)=15,则P(X=3)=一 13.给定变量x与y相对应的一组数据(L,2),(3,5),(4,m),(8,n),m,n∈R,若通过该组数据 求得的回归直线方程为)=1.65x+0.4,则m+n的值为 2.1=2.给 14,已知8，为数列{a,}的前m项和，记工=SS9,…S.(n=1,2,且满足。+元 出下列四个结论： ①{a,}的第1项等于 3 ②数列{T}为等差数列： ③{an}为递减数列： Ny ④当m≥2时，存在- 200 <am<0. 其中所有正确结论的序号是 试卷第2而.北4而 四、解答题（共77分） 15。台灯是夜晚学习的好搭档，台灯照射的光通常为两类：白 光和黄光.白光的亮度通常高于黄光，而黄光能够有效地保护视 白光 黄光 力某校对学生的近视情况与夜晚台灯光照的颜色进行问卷调 查，得到右表： 近视 80 60 (1)根据小概率值=0.01的独立性检验，分析学生的近视情况 不近视 40 60. 是否与夜晚台灯光照的颜色有关： (2)用缬率估计概率，从使用发出白光的台灯的学生中抽取3名，求他们中近视人数为2的概 率 n(ad-be)2 0.05 0.01 0.001 附：t-a+bc+aa+ob+d' 3.841 6.635 10.828 16.已知{an}满足n∈N,an+1-an=1,{bn}为等比数列，4==1，b=4(b4-b). (1)求{an}和{bn}的通项公式： (2)设tn=anbn,求数列{tn}的前n项和Tn. 17.某网络购物平台专营店统计了2026年5月19日至23日这5天在该店购物的人数y的 数据如下表： 日期 5月19日 5月20日 5月21日 5月22日 5月23日 日期代号x 1 2 3 4 5 购物人数y 77 84 3 96 100 (1)根据表中数据，建立y关于x的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年5月25 日在该店购物的人数； (2)该店统计发现，购物人数越多，顾客平均消费意愿越高；当单日购物人数不超过90人时， 每位顾客消费超过30元的概率为0.5；当单日购物人数超过90人时，每位顾客消费超过30 元的概率为0.7 （1)从这5天中随机选择一天，然后从当天的购物顾客中随机抽取一人，求该顾客消费超 过30元的概率； (ⅱ)若从某天购物顾客中随机抽取一人，其消费超过30元，求该天购物人数超过90人的 概率. 2x-0y-列 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6= 6- a=-标 试卷第3页，共4页 18.某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25 个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件M为小华取到黄色外观的五具，事件N为 小华取到红色内饰的玩具，求P(MM,P(W)和P(MUN)； (②)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖 方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800 元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅 外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动每次抽奖若拿到的两款玩具外现和内饰均为同色，获得奖金 500元，否则汉有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元请写出X的分布 列及求出X,Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高。 19.已知函数f(x)=-nx+(2+a)x-2,a∈R. (1)若1是f(x)的极值点，求实数a的值： (2)若a=0,求证：f(x)≥x-1; )归知函数了在（合，+烟上无平点，求a的取位范租 试卷第4页，共4页 鹤华中学2025-2026学年第二学期第二次阶段性测试数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D A A D D C D ABC ACD ABD 1.D【详解】数列{an}是等差数列，且a+42+4=3a2=-3,4+a4+4=3a4=9,所以a2=-1,a4=3, 则8，=5a+a_5+a-=5. 2 2 2.D【详解】A:回归直线y=bx+a过样本中心点，每个样本点不一定都在回归直线方程上，所以本选 项说法不正确： B:因为在回归分析模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好，所以本选项说法不正确； C:因为残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高， 所以本选项说法不正确， D:当样本相关系数>0时，成对样本数据正相关，因此本选项说法正确， 3.A【详解】因为X~N3,o2),且P(3≤X≤4)=0.41，所以P(X>4)=0.5-0.41=0.09,则 P(X<2)=P(X>4)=0.09,故P(X-3>1)=P（X<2或X>4)=0.09×2=0.18 4.A【详解】首先计算所有基本事件总数：四名同学排成一排的全排列数为A4=4!=24种。 再计算甲与乙相邻的符合条件的事件数：采用捆绑法，将甲、乙看作一个整体，此时相当于对3个元素（甲 乙整体、丙、丁)进行全排列.排列数为A=3!=6种；同时甲、乙二人内部存在顺序差异，排列数为 A=2!=2种，因此符合条件的事件总数为A2·A=2×6=12种。 根据古典概型概率公式，所求概率P=2={」 242 5.D【详解】对y=xhx求导：y=(yInx+xmxy=nx+x.L=nx+l, 将切点横坐标x=e代入， 得切线斜率k=y川=ne+1=1+1=2.直线am-y-1=0整理为y=-1,斜率为a,由于两直线平行， 则斜率相等，因此a=k=2. 6。D【详解】由题意，x=1时+o2-)少=1+a=2a=1,所以二项式为+2x, 共中(2x-的展开式道项为=C2四(-(y2C,=0k-6, 所以6-2r=2,则r=2,此时父=(2rC×-240,6-2r=-3,则7=不是整数，故该项不存在， 综上，展开式中含x2项的系数为1×240=240. 7.C【详解】因为五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，所以阳数有1、3、5、7、9，阴数有2、4、6、8， 因为从四个阴数和五个阳数中各随机选取2个数，所以选法有CC?=6×10=60种， 因为要组成无重复数字的四位偶数，所以只需要个位是偶数，而十位、百位、千位没有限制，所以排法 有C2A号=2×3×2×1=12种，故满足条件的偶数共有60×12=720个. 8.D【详解】函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f=+a+x-(2a+0=-(2a+x+aa+D_-x-a-D,令f0=0,解得：5=a,5=a+1, 且a+1>a恒成立，因为函数f()-(a2+a)inx+x2-(2a+1)x不单调，则f(在(0，+o)上有变号零点， 则两个根x=a和x=a+1至少有一个在(0，+∞)，由于a+1>a,则a+1必在区间(0，+∞)内，故a+1>0, 解得：a>-1 9.ABC【详解】设等比数列{an}的公比为9，由a4=4a-4a2,得ag3=4ag2-4ag,又g≠0，则 g2-4g+4=0,所以g=2,A项正确；又因S,=4+a2+4=7,则4+24+44=7，进而4=1， 所以a,=马9=16，B项正确：1og24,+log24+log2a6=log2(a,4,as)=1og24=1og2163=log222=12,C 答案第1页，共4页 项正确； 上+L+上+上=1+5+2+g- 4a4a42488,D项错误. 10.ACD【详解】选项A:令展开式中x=0,可得I-0)=a,即a=1,A正确： 选项B:分别令x=1和x=-1:x=1时，1-2)°=a+a+42+…+a=1①， x=-1时，1+2)°=-4+42-+a=38②，①+②得2(a+42+a+a6+a)=1+38, 38+138 即a,+4+a+a%+a,=2* ,B错误：选项C:展开式通项为4=C(-2,故当k=3,57,4<0, 当k=0,246,8时，4>0，所以学a=4-4+凸-马+a4-4+a6-4+4=3,C正确； 选项D:带所求式子安形为+4+)++周】令x=代入原式 -2x-周-a+4+a得， 两边同乘38得33a,+3’4+…+a=1,D正确。 11.ABD【详解】由题目可知f'(x)=(4x-3)e+(2x2-3x)e*=(2x2+x-3)e, 令f因=0，因为e>0,则2x+-3=0,即马=山%=-2当x<-时，f儿)>0，因单调递增， 当x(,)时，f()<0,f()单调递减，当x>1时，f()>0,f()单调递增，可得当x=1时，f(因 为极小值，f()=e,故A选项正确；f(x)有两个零点，故f()有2个极值点，故B选项正确： 减区间为，故实数口的取值范强是（别，故C选项错误：对于D选现。令y-0,则 3[/(a+2f)-1=0,f)-(倒+=0，解得f)=号或 f(x)=-1, 由A知f)短=f引-e立>1，作出f倒的图象和直线 y=f(x) -1.5O 时=-小，由图可知有5个文点，则函数y=3[/e+2-1有 y=- 5个零点，故D选项正确 2.【详解】因为X》且20灯-所以-总解得=5，即X~4》 所以x=到=c)-品 13.21【详解】由于z=1+3+4+8=4,万=2+5+m+n.7+m+”,由于回归直线方程为0=1.65x+0.4, 4 4 4 则7+m+”=1.65x4+0.4,解得：m+n=21 14.000【详解1由买=8-8a=2小是+7-2可得，当m=-1时，买==4，所以号2， S -8号故@正确：当m22时，S元，代入81 径+=2，可得2+行=2，所以，=无+分 所以亿)是首项为，公差为的等差数列，故@正确：得，=+a-小片-”生子，由8~完（≥刃， 2 n+2 是品号当a=1时，8=地满足上式当n=1时，4=，当m之2时， 可得Sn= 五=2=+2 2 1 1 1 e,=8,-San卡-"=na+n,a-a,a+m+2干na+lma+a+2≥0， 答案第2页，·共4页 所以当22时，数列a}单调滋地，故③腊误当n=14时，au=150满足2<0<0， 所以当m≥2时，存在2<a<0,故国正确， 15.【详解】（1)零假设H。:学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色无关， x=80+60+40+60080×60-60x402.240x2409 (80+60)(40+60)(80+40)(60+60)140×100×120×120 ≈6.857>6.635=x001, 根据小概率值“=0.01的独立性检验，推断H。不成立，即认为学生的近视情况与夜晚台灯光照颜色有关. (2)使用发射白光的台灯的学生患近视的概率为P= 0十0号，记近视人数为X,显然该类学生近视 80=2, 情况服从二项分布B3, 2 可得P(X=2)=C引 引号 16.【详解】(1)由a1-an=1对任意正整数n成立，可知{an}是首项a,=1、公差d=1的等差数列，由等 差数列通项公式得：an=4+(n-1)d=1+(n-1)×1=n;设等比数列公比为9，已知么=1，故bn=g,代 入b=4(6,-6)得：g=4(g-g2)等比数列公比9≠0，两边同除以g2,可得q2-49+4=0, 即(g-2)2=0,解得9=2，因此bn=2. (2)由题意得n=anb,=n2-, Tn=12°+22+322+…+n2①. 2T,=12+222+…+(n-1)2+n…2"② ②-①得：Tn=-1-(2+22+..+2-)+n…2”=-1-(2”-2)+n…2"=(n-102”+1. 17.【详解】（1)不妨设日期代号x的取值依次为X,x2,为，x4,； 购物人数少的取值依次为%为，为必为：则云=等”了=空 =90 5 且2---52=10，立4-a04-列-元-5万=58，从6=2-90m=58, 2,4-2 a=)-b元=72.6.所以y关于x的一元线性回归方程为=5.8x+72.6, 从而当x=7时，)=113.2≈113，即根据此模型预测当年5月25日在该店购物的人数约为113人. (2)设事件A为“选取的单日购物人数不超过90人”，事件A2为“选取的单日购物人数超过90人”， 事件B为“抽取的顾客消费超过30元”.由表格数据可知： 聪物人数不超过90人共2天，放P(4)-子，购物人数超过90人共3天，故P(4)号 并且P(B4)=0.5,P(B42)=0.7 (i)P(B)=P(B(A+A))=P(B4+BA2)=P(BA)+P(BA)=P(4)P(B4)+P()P(B4) ×0.5+x0.7=0.62,所以该顾客消费超过30元的概率 D由条件概率公式知P4BB,其中P(4®)=P(4)P4)=0.4 所以P4例-8治-引放该天购物人益超过0人的振车为引。 1【洋精】0Pr心)-号Pm=芸=P0m0=吕=Pa)=P-P-号名-子 PMUM=PM+PW-P(MM=号+专-号=若 （2)）方案-中，X可取80,50,30则P0=80)=餐4-官PX=50)== PX=300)=ciacciocitcicocc 50 C克 251 X的分布列： 答案第3页，共4页 X 800 500 300 名 47 150 器 BCW=800×+500×0+300×号=46， 25 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为5，因为每次抽奖条件相同且独立，所以5服从二项分布 设一次抽奖的获奖概率为P,则即=S+=岛所以5~B(3,) 吃5 可得中奖次数的期望为E()=3×品=铝根据题设，Y=505,则E0)=B(50)=500(约=500× 47 铝=470.(K)<E),故方案二获奖金额更高。 19.【详解】(D函数f(的定义域为0，+@，f()-士+2+a, 因为1是f(x)的极值点，所以f'()=-1+2+a=a+1=0,即a=-1, 当a=-1时，f=,当xe0)时，了(<0，f(在(0，上单调遮减，当xe+)时，()>0， f()在(，+)上单调递增，所以x=1是f(x)的极小值点，符合题意，所以a=-l. (2)当a=0时，f(x)=-x+2x-2,记g()=(x-1)-f(x)=x-x+1. 8倒=-1-令g)=0,有x=1, 当x∈(0，)时，g(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增， 当x∈(，+∞)时，g'(x)<0,g(x)在(，+o)上单调递减， 从而g(x)=g(0)=0,所以g()≤0，即x-1≤f(x) 3)因为r)=-士+2+a-2+x-,x60,o, 当2+a≤0，即a≤-2时，<0，所以f(在日+上单调遥减， 因为f()=2++)-2≤0，所以f(倒在已+上无零点，符合题意。 当a>-2时，令f()=0,则x=,L>0, 2+a 当ea时.r倒<0：当2a时，f间>o, 所以f(倒的单调递减区间是(02a)单调递增区间是(2+。网， 的最小为a。 当-白。1>0，即a>8-2时，倒无g点，符合题意， 当=e-2时，因有-个g点3a-日 ,不符合题意； 当2a<8-2瑞立品>宁，的® 因为1得)-+哈>0，所以3（传24a), 使得f(x)=0,不符合题意： 综上，ae(-o,-2]U(e-2,+o∞). 答案第4页，共4页