精品解析：广东珠海市实验中学2025-2026学年第二学期第二阶段考试高二数学

珠海市实验中学2025-2026学年第二学期第二阶段考试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色字的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂，不按要求填涂的，答卷无效. 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题:本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 记函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 49 C. D. 5. 已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 若直线与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子”，事件B是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（     ） A. B. C. D. 8. 若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题:本题共3题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部分选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为 D. 若关于的方程恰有三个不等的实数根，则的取值范围是 10. 一个不透明的袋子中装有6个球，其中有个白球，其他均为黑球，这些球除颜色外动.大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ） A. B. C. D. 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行白圈的个数为，其前n项和为，黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知数据的方差为，那么数据的方差为______． 13. 在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为______． 14. 已知直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为______． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）求的值. 16. 学生甲每天都会去体育馆锻炼，若当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为，选择篮球的概率为；若当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一项运动进行锻炼． （1）求甲第2天选择羽毛球锻炼的概率； （2）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系． 17. 景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名.假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有15件青花瓷，其中6件由工匠甲烧制，5件由工匠乙烧制，4件由工匠丙烧制.已知甲､乙､丙三人烧制青花瓷的成品率依次为. （1）从这15件青花瓷中任取1件，求取出的青花瓷是成品的概率； （2）若每件青花瓷成品的收入为800元，废品收入为0元，记随机变量为甲､乙两人烧制的青花瓷的总收入之和，求的期望. （3）已知这15件青花瓷中有件成品，现从中无放回随机抽取3件，若使抽到的青花瓷中恰有2件成品的概率大于恰有1件成品的概率，求的最小值. 18. 已知函数 （1）函数在处取得极小值，求的值； （2）证明：当时，恒成立； （3）若函数有一个零点，求的取值范围. 19. 已知函数 ． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：当时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市实验中学2025-2026学年第二学期第二阶段考试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色字的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂，不按要求填涂的，答卷无效. 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题:本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，代入计算即可求解. 【详解】由题意可知，故第9项为． 故选：B 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二项分布的期望公式求出的值，再根据二项分布的概率公式计算. 【详解】已知随机变量，根据二项分布的期望公式， ，可得.解得. 由，，根据二项分布的概率公式，可得. 故选：A. 3. 记函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，再由即可计算得解. 【详解】由函数得导函数， 所以. 故选：A 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 49 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在的展开式中，含的项为， 所以所求系数为49. 5. 已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出公比和首项后得通项，再判断数列的单调性后可得最大值. 【详解】因为，故，而， 故，故，故，故， 故，故. 而， 故当时，；当时，； 当时，；故， 故. 6. 若直线与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义（切线斜率）和切点同时在直线与曲线上列方程求解即可． 【详解】设切点为，曲线在切点处的斜率为，直线在切点处的斜率为1，切点处两者斜率相等， 所以，得，即切点横坐标， 又因为切点同时在直线与曲线上，纵坐标相等，所以，也即． 故选：D． 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子”，事件B是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由对立事件求出，再结合条件概率公式求出，进而求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 8. 若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先利用导数确定函数的单调性，从而确定，然后再利用导数确定的最大值. 【详解】因为，所以的定义域为，， 当时，恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足题意； 当时，令得，此时单调递减， 令得，此时单调递增， 所以当时，取得最小值，即， ， 令得，此时单调递增，令得，此时单调递减， 所以当时，取得最大值，即. 故选：A. 二、多选题:本题共3题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部分选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 的单调递增区间为 C. 的极小值为 D. 若关于的方程恰有三个不等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，结合奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确；求得，求得的单调区间，可判定B错误；由的单调性，结合极值的定义，求得函数的极值，进而可判定C、D都正确. 【详解】对于A，由函数，可得，其定义域为， 且，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B，由函数，可得， 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，由B项知：函数在处取得极小值，极小值为，故C正确； 对于D，由B项知：函数极大值为，极小值为， 且当时，；当时，； 要使得方程恰有三个不等的实数根， 即与的图象有三个不同的交点，则满足， 所以实数的取值范围是，所以D正确. 10. 一个不透明的袋子中装有6个球，其中有个白球，其他均为黑球，这些球除颜色外动.大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望和方差的定义即可计算. 【详解】由题可知，，解得，A正确； X的可能取值为， ，，，，B错误； ∴，C正确； ∴,D错误. 故选：AC 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第行白圈的个数为，其前n项和为，黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意得，再利用裂项相消法可求出，，然后逐个分析判断，即可求解. 【详解】由于每一个白圈产生下一行的1白1黑两个圈，一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈， 第n行白圈的个数为，黑圈的个数为，所以，所以B错误， 所以由，得，，，所以A正确， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以，所以，所以D正确， 因为，所以， 因为，，所以， 所以，所以C错误. 三、填空题:本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知数据的方差为，那么数据的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定原数据的方差，再根据方差的性质计算新数据的方差. 【详解】已知数据的方差为，即， 对于数据（），根据方差的性质 因此新数据的方差为. 故答案为：. 13. 在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据独立事件以及对立、互斥事件的概率计算得出恰有两人投篮命中的概率以及三人均命中的概率，相加即可得出答案. 【详解】由已知可得，一次投球中，三人中恰有两人投篮命中的概率； 一次投球中，三人投篮均命中的概率. 所以，在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率. 故答案为：. 14. 已知直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程求得，，设，将，，代入，得到，设函数，求导判断其单调性求其最小值即可. 【详解】由题意联立方程：，化简得：， 同理联立方程：，化简得：， 所以，令，因，则， ，，则， 令，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 又因 ， 则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即的最小值为. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用等差中项的性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消法即可得证. 【小问1详解】 设，，，， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即， 而满足上式，故， ， 则. 16. 学生甲每天都会去体育馆锻炼，若当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为，选择篮球的概率为；若当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目．已知甲第一天等可能地选择一项运动进行锻炼． （1）求甲第2天选择羽毛球锻炼的概率； （2）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【小问1详解】 设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球， 第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得： . 【小问2详解】 设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选择乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而甲第天选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 17. 景德镇瓷器是中国传统的手工艺品之一，因产于江西省景德镇而得名.假设景德镇的青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有15件青花瓷，其中6件由工匠甲烧制，5件由工匠乙烧制，4件由工匠丙烧制.已知甲､乙､丙三人烧制青花瓷的成品率依次为. （1）从这15件青花瓷中任取1件，求取出的青花瓷是成品的概率； （2）若每件青花瓷成品的收入为800元，废品收入为0元，记随机变量为甲､乙两人烧制的青花瓷的总收入之和，求的期望. （3）已知这15件青花瓷中有件成品，现从中无放回随机抽取3件，若使抽到的青花瓷中恰有2件成品的概率大于恰有1件成品的概率，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助全概率公式计算即可得； （2）借助二项分布定义与二项分布期望公式计算即可得； （3）计算出抽到的青花瓷中恰有2件成品的概率与恰有1件成品的概率后列出不等式计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设甲烧制的青花瓷中成品件数为，乙烧制的青花瓷中成品件数为， 则由题意可得，， 则，， 则元； 【小问3详解】 设抽到的青花瓷中恰有件成品， 则，， 由题意可得， 即， 由，则，即， 又，故的最小值为. 18. 已知函数 （1）函数在处取得极小值，求的值； （2）证明：当时，恒成立； （3）若函数有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，对和进行分类讨论函数的单调性即可求解； （2）由（1）易知：当时，在时，取得最小值，即可得证； （3）由函数零点与方程根的关系可将问题转化为方程在有一个根，进一步转化为直线与函数的图象在上有一个交点.构造函数，对求导研究其单调性、最值与图象变化趋势即可求解. 【小问1详解】 ， 的定义域为，. 当时，在上恒成立， 在上单调递减，无极值，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得极小值. 又∵函数在处取得极小值，，即. 【小问2详解】 由（1）可知：当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取得最小值， . ∴当时，恒成立 【小问3详解】 函数在有一个零点，等价于方程在有一个根， 即方程在有一个根， 即直线与函数的图象在上有一个交点. 令，则. 令，即，解得；令，即为，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 又因为，当时，， 且时，，当时，， 所以当或时，函数有一个零点， 即的取值范围为. 【点睛】本题第（3）小问的解题关键方法是根据函数零点与方程根的关系将问题转化为图象交点的问题，然后构造函数研究其单调性、最值与图象变化趋势即可求解. 19. 已知函数 ． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在定义域内恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：当时， ． 【答案】（1）当时， 在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导得到，再对分类讨论即可； （2）在定义域内恒成立只需要在定义域内满足，由（1）知当时，，故只需考虑的情况即可求解； （3）取时，然后将待证不等式的左边取对数，让左边的式子结构能和产生联系； 【小问1详解】 函数定义域为 ，； 当时，恒成立，因此在单调递增； 当时，令，得到， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 综上所述，当时， 在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，不满足题设， 当时，在单调递增，在单调递减， 因为函数在定义域内恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）得，当时，当且仅当时等号成立， 所以对任意整数，，结合对数的运算法则可得 所以， 故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $