精品解析：广东江门市鹤山市鹤华中学2025-2026学年第二学期高二第一次阶段性测试数学试题

鹤华中学2025-2026学年第二学期高二第一次阶段性测试 数学科 一､单选题（共40分） 1. 观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是首项为1的等差数列，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知实数，a，b，c，成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 4. 下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8 6. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 8. 《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，底面每边果子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图，给出了5层三角锥垛俯视图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层三角锥垛的果子数分别为共有44层，则该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为（ ） （参考公式：） A. 225个 B. 220个 C. 230个 D. 250个 二､多选题（共18分） 9. （多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 已知数列是等比数列，则下列说法一定正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等差数列 11. 下列结论正确的是（ ） A. B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 三､填空题（共15分） 12. 已知直线与曲线相切，则实数_______． 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 14. 已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________. 四､解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）试判断函数的单调性并写出单调区间； 16. 人工智能大模型在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景．某公司为了提高人工智能应用能力，拟组织、两部门的员工参加培训． （1）已知该公司、两部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 17. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若，数列的前n项和为，求证： 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性. 19. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤华中学2025-2026学年第二学期高二第一次阶段性测试 数学科 一､单选题（共40分） 1. 观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【详解】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A 2. 已知数列是首项为1的等差数列，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设出数列的公差为，根据及列出方程，解得，再根据等差数列下标和的性质解决即可. 【详解】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 3. 已知实数，a，b，c，成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质可得. 【详解】由题意得,，， 又奇数项的符号相同，所以，则， 故. 故选：A 4. 下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据初等函数的导数公式依次计算各选项即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B 5. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用计算即可. 【详解】 . 故选：A. 6. 设等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可； 解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可. 【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，， 则公比，否则，，，不符题意； 所以，解得， 所以． 所以． 解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列， 则，即， 求得，故，所以． 7. 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，若函数是的导函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分与两种情况,根据导数与单调性的关系观察求解即可. 【详解】当时,若则,此时函数单调递减,故. 当时,若则,此时函数单调递增,故. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与分段求解不等式的方法,属于基础题. 8. 《算学启蒙》是中国最早的科普著作．该书中有名的“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子，底面每边果子四十四个，问共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图，给出了5层三角锥垛俯视图），底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每层三角锥垛的果子数分别为共有44层，则该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为（ ） （参考公式：） A. 225个 B. 220个 C. 230个 D. 250个 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意推出第n层果子数的递推关系，再由累加法求出即可计算求解. 【详解】设第n层果子数为，则由题可得第层果子数与前一层的关系为， 所以， 所以 ， 所以. 所以该三角锥垛从顶层向下数前10层的果子总数为 . 故选：B 二､多选题（共18分） 9. （多选）首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，可得，结合条件，分析可得，即可得答案. 【详解】，, 故，又， 所以， 则当时，， 当时，． 故当或6时，最大． 故选：BC 10. 已知数列是等比数列，则下列说法一定正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等差数列 【答案】AB 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，然后利用等比数列和等差数列概念逐项判断，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，是等比数列，，，故A正确； 因为，所以数列是等比数列，故B正确； 设，则，，， 此时数列不是等比数列，故C错误； 不为常数，故D错误. 故选：AB. 11. 下列结论正确的是（ ） A. B. 设函数，且，则 C. 若，则 D. 设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的运算规则可判断AC的正误，对于B，求出函数的导数后结合导数值可求自变量的值，对于D，求出函数的导数后利用赋值法可求. 【详解】对于A，，故A错误； 对于C，若，则，故C错误； 对于B，若，故，故，故B正确； 对于D，，故， 故，故D正确； 故选：BD. 三､填空题（共15分） 12. 已知直线与曲线相切，则实数_______． 【答案】4 【解析】 【分析】设切点坐标为，利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义，解方程组即可求出. 【详解】由题意，定义域为，， 设切点坐标为，又切点既在曲线上又在切线上，， 解得或（舍掉），则. 故答案为：4. 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 14. 已知在R上是减函数，则a的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得导函数，由函数在R上是减函数可得一元二次不等式；由一元二次不等式恒成立问题，即可求得a的取值范围. 【详解】函数在R上是减函数， 则 当时，在上不能恒成立，所以不成立； 当时，在上恒成立， 需，解得 即a的取值范围为 故答案为：. 【点睛】本题考查了导函数与函数单调性关系，一元二次不等式恒成立问题的解法，属于基础题. 四､解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）试判断函数的单调性并写出单调区间； 【答案】（1） （2）单调增区间是，单调减区间是． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出； （2）根据导函数值的正负即可判断其单调性及单调区间. 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为， ， 所以，，∴曲线在点处的切线方程为：，即． 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， 令，得；令，得， 因此函数的单调增区间是，单调减区间是． 16. 人工智能大模型在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景．某公司为了提高人工智能应用能力，拟组织、两部门的员工参加培训． （1）已知该公司、两部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解； （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. 【小问2详解】 记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 17. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． （3）若，数列的前n项和为，求证： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案 （2）由（1）得，根据分组求和法，结合等差、等比数列的前n项和公式，即可得答案. （3）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则①， 又成等比数列，所以，则， 整理得②， 联立①②，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 【小问3详解】 由（1）得， 则 18. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减 【解析】 【分析】（1）求在处的切线斜率以及点坐标，写出切线方程即可； （2）计算，分类讨论法讨论取不同值时的正负，得出函数的单调性. 【小问1详解】 由，得， 则切线斜率为，又，即切点为， 所以切线方程为. 【小问2详解】 由， 得， 当时，， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，， 当，即时，，则函数在上单调递增； 当，即时，令得，或， 令得，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，令得，或， 令得，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 19. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）要证明为等差数列，可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数来判断； （2）①先根据(1)求出的通项公式后，进而可得到的通项公式，求出的表达式，然后利用错位相减法求出， ②由恒成立，可将m分离出来，通过求数列的最大值来确定m的取值范围. 【小问1详解】 由． 则数列是以为首项，2为公差的等差数列. 【小问2详解】 ， 所以数列的通项公式为； ①由（1）得; 则． 于是， 以上两式相减得： 所以 ②由，得．令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $