20.4 .1四分位数和箱线图（第1课时）（教学课件）数学新教材沪科版八年级下册

该初中数学课件聚焦“四分位数”核心知识点，通过甲、乙两县竞赛成绩的实际情境导入，先回顾中位数、平均数等数据特征数，再类比中位数的排序与定位方法，引导学生推理归纳四分位数的计算规则，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过问题链引导类比推理与分类讨论（数据个数奇偶不同取法）发展数学思维，规范术语与步骤训练数学语言。如竞赛成绩分析、典例与巩固练习中的数据处理，助力学生形成严谨思维，教师使用可清晰把握教学逻辑与重难点。

20.4 四分位数和箱线图 第一课时 四分位数 第二十章 数据的初步分析 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 用数学眼光观察：能从实际用水、成绩、薪资等生活统计情境中，发现单组数据分布不均匀的问题，感知中位数单一指标无法完整刻画数据分布，直观认识四分位数的现实意义。 用数学思维思考：类比中位数的排序、定位求解方法，推理归纳第 25、50、75 百分位数（四分位数）的计算规则；能区分数据总数奇偶时四分位数的不同取法，建立分位数定位逻辑。 用数学语言表达：规范说出、、的统计含义；准确书写四分位数计算步骤，能口述箱线图五个关键点（最小值、、中位数、、最大值）的意义。 知识回顾 数据的初步分析 平均数 中位数 众数 离差平方和 方差 加权平均数 数据平均水平特征数 数据稳定性特征数 刻画一组数据集中趋势的统计量 3 知识回顾 1. 什么是中位数？ 将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，位于中间位置的数值。 2. 计算步骤 数据个数 n 为奇数 中位数是最中间的那个数，位置为 直接取中间项。 数据个数 n 为偶数 中位数是中间两个数的平均值，即第 和（ +1 ）个数的平均数 中位数是位于一组由小到大排列的数据里50%位置上的数据，优点是计算简单，受极端值影响较小. 但仅有中位数，还不能完整地反映数据的分布. 新知导入 某市举办“中华优秀传统文化知识”竞赛，甲、乙两县各选派15名选手参赛。两组选手的最终成绩如下，你能直观判断出哪个县的选手表现更出色吗？ 甲 69，70，70，71，72，75，78，80，82，83，87，88，88，93，97 乙 70，72，73，75，77，79，79，80，80，81，83，83，85，92，94. 中位数相同 考虑把数据分成四等份，看更细致分布 ——四分位数 探究新知 探究点1 百分位数与四分位数定义 议一议 某市举办“中华优秀传统文化知识”竞赛，来自甲、乙两个县的各15名选手竞赛成绩（单位：分）按照从低到高排序如下： （1）分别指出甲、乙两个县选手竞赛成绩的中位数； 中位数 甲：69，70，70，71，72，75，78，80，82，83，87，88，88，93，97； 乙：70，72，73，75，77，79，79，80，80，81，83，83，85，92，94. ∴甲县选手竞赛成绩的中位数是80. 乙县选手竞赛成绩的中位数是80. ∵每个队都是15名选手， ∴n=15为奇数，中位数为第8个数。 探究新知 探究点1 百分位数与四分位数定义 议一议 某市举办“中华优秀传统文化知识”竞赛，来自甲、乙两个县的各15名选手竞赛成绩（单位：分）按照从低到高排序如下： 甲：69，70，70，71，72，75，78，80，82，83，87，88，88，93，97； 乙：70，72，73，75，77，79，79，80，80，81，83，83，85，92，94. （2）如何进一步分析这两个县选手成绩的平均水平？ 比较平均数 从平均水平来看，两个县选手水平相当. 探究新知 探究点1 百分位数与四分位数定义 议一议 某市举办“中华优秀传统文化知识”竞赛，来自甲、乙两个县的各15名选手竞赛成绩（单位：分）按照从低到高排序如下： 甲：69，70，70，71，72，75，78，80，82，83，87，88，88，93，97； 乙：70，72，73，75，77，79，79，80，80，81，83，83，85，92，94. （3）中位数和平均数能否反映两个县选手成绩的差异？ 但看不清差距，不能反映两个县选手成绩的分布差异. 平均数也接近，中位数都是 80 分，说明整体水平相当， （4）两个县各自选手成绩大于80 分的情况如何？ 小于80 分的呢？ 甲县选手大于80 分的成绩普遍比乙县的高， 甲县小于80 分的成绩普遍比乙县的低. 议一议 某市举办“中华优秀传统文化知识”竞赛，来自甲、乙两个县的各15名选手竞赛成绩（单位：分）按照从低到高排序如下： 甲：69，70，70，71，72，75，78，80，82，83，87，88，88，93，97； 乙：70，72，73，75，77，79，79，80，80，81，83，83，85，92，94. 探究新知 探究点1 百分位数与四分位数定义 （6）继续比较，数据需要如何再划分？ 把大于80 分的成绩分为个数相等的两部分 把小于80 分的成绩分为个数相等的两部分 至少有50%的甲县(或乙县)选手的成绩不大于80 分， 至少有50%的甲县(或乙县)选手的成绩不小于80 分. （5）如果用百分数表示，中位数能反映数据怎样的分布? 但中位数不能完整地反映数据的分布 中位数是一组由小到大排列的数据里50%位置上的数据 议一议 某市举办“中华优秀传统文化知识”竞赛，来自甲、乙两个县的各15名选手竞赛成绩（单位：分）按照从低到高排序如下： 甲：69，70，70，71，72，75，78，80，82，83，87，88，88，93，97； 乙：70，72，73，75，77，79，79，80，80，81，83，83，85，92，94. 探究新知 探究点1 百分位数与四分位数定义 （7）将一组数据从小到大排列后，类比求中位数的方法，怎样将该组数据四等分？ 数据四等分 每等份的数量占整个数据的25% 位于整个数据第一个25%处的数 第百分位数 位于整个数据第二个25%处的数 第0百分位数 位于整个数据第三个25%处的数称 第百分位数 称为 称为 称为 议一议 探究新知 探究点1 百分位数与四分位数定义 69，70，70，71，72，75，78，80，82，83，87，88，88，93，97； 甲县15名选手竞赛成绩（单位：分）按照从低到高排序如下 （8）该组数据第百分位数是多少？ 15×25%=3.75 找位置 要寻找一个数a，使不大于a分的至少占25% 取整 从小到大排序，第四位 第百分位数=71 定数据 从小到大排序，第四位数是71 （9）该组数据第百分位数是多少？ 下结论 15×75%=11.25 从小到大排序，第12位是88 ∴ 第百分位数=88 要寻找一个数a，使不小于a分的至少占75% 百分位数 归一归 探究新知 探究点1 百分位数与四分位数定义 1.百分位数的含义 (1)第百分位数表示: 一组有n个升序排列数据中，处于k%位置的数据称第k百分位数，记为 (2)第百分位数含义： 至少有n×数据≤，至少个数据≥。 2. 百分位数的确定方法 （1）将数据从小到大排列，记为x1，x2，…，xn. （2）计算指数 i = n×k%. （3）若 i 不是整数，记 j 为大于 i 的最小整数，则第 k百分位数为第 j 个据 xj ，若 i 是整数，则第 k 百分位数为第 i 个和第(i+1)个数据的平均数 . 探究新知 探究点1 百分位数与四分位数定义 议一议 （10）把这组数据四等分，需要哪三个百分位数？ 25%、50%、75% 这三个位置的数。 乙县15名选手竞赛成绩（单位：分）按照从低到高排序如下 70，72，73，75，77，79，79，80，80，81，83，83，85，92，94. 第 25 百分位数 第一四分位数 记 第 50 百分位数 第二四分位数 记 中位数80 第 75 百分位数 第三四分位数 记 将全部数据平均分成四段，每段占 25% 数据。 75 83 百分位数 四分位数 表示 数值 合称四分位数 探究新知 探究点1 百分位数与四分位数定义 归一归 整组数据 中位数 50% 第25百分位数 第75百分位数 m25，m50，m75把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2）和第三四分位数（Q3），统称四分位数. 记为m25（） 称为第一四分位数 记为m75（） 称为第三四分位数 记为m50 （） 称为第二四分位数 前半部分数据的中位数 后半部分数据的中位数 四分位数定义 14 某市举办“中华优秀传统文化知识”竞赛，来自甲、乙两个县的各15名选手竞赛成绩（单位：分）按照从低到高排序如下： 甲：69，70，70，71，72，75，78，80，82，83，87，88，88，93，97； 乙：70，72，73，75，77，79，79，80，80，81，83，83，85，92，94. 探究新知 探究点2 四分位数计算步骤 议一议 （1）计算甲、乙两个县的各15名选手竞赛成绩的四分位数 县 m25（Q1）/分 m50（Q2）/分 m75（Q3）/分 甲 乙 71 80 88 75 80 83 （2）根据四分位数比较甲、乙两个县的各15名选手竞赛成绩 甲县至少有25%的选手成绩大于或等于88分， 乙县至少有25%的选手成绩大于或等于83分. 甲县至少有25%的选手成绩小于或等于71分， 乙县至少有 25%的选手成绩小于或等于 75 分. 探究新知 归一归 求 n 个数据的四分位数的方法：取中位数法 （1）先将这组数据从小到大排列； （2）计算中位数即 50% 分位数m50： ①当n为偶数时，m50为第 个数和第( +1)个数的平均数； ②当n为奇数时，m50为第 个数. （3）计算下四分位数m25、上四分位数m75： ①当n为偶数时，中位数将这组数据分为数量相等的两组数据， 每组有 个数，m25为前个数据的中位数，m75为后 个数据的中位数； ②当n为奇数时，中位数将这组数据分为数量相等的两组数据， 每组有个数，m25为前 个数据的中位数，m75为后 个数据的中位数. 探究点2 四分位数计算步骤 探究新知 探究点2 四分位数计算步骤 归一归 求 n 个数据的四分位数的方法：计算法 （1）先将这组数据从小到大排列； （2）计算 i=n×p% （p=25，50，75 分别对应下四分位数、中位数、上四分位数） ①若 i 是整数，第 i 个数和第(i+1)个数的平均数为 p% 分位数； ②若 i 不是整数，设 i0 为大于 i 的最小整数，第 i0 个数为 p%分位数. 公式：定位值 ，位置，取单个数据 ，位置与，两数平均 小技巧 探究新知 探究点3 四分位数的统计意义 议一议 （1）代表什么？ 表示至少 25% 数据≤，至少 75% 数据≥； 表示至少 75% 数据≤，至少 25% 数据≥； 叫四分位距，反映中间 50% 数据的波动大小 （3）有什么意义： m25满足小于或等于m25的至少占25%，大于或等于m25 的至少占75%； m75满足小于或等于m75的至少占75%，大于或等于m75的至少占25%. （2） 代表什么？ 整组数据 探究新知 探究点3 四分位数的统计意义 议一议 四分位数与之前统计量对比 统计量 侧重 是否受极端值影响 平均数 整体平均水平 是 中位数() 中间位置水平 否 四分位数(、) 分段分布、中间半数波动 否 方差 全部数据波动 是 例1.求下列各组数据的四分位数. （1）11，10，12，19，13，11，6，4，17，9，13，17，15； 解 （1）将这 13 个数据从小到大排列，得 4，6，9，10，11，11，12，13，13，15，17，17，19. 因为数据的个数是奇数，所以中位数 m50 = 12. 13×25% = 3.25，13×75% = 9.75. 第 25 百分位数 m25 是第4个数10， 第 75 百分位数 m75 是第 10 个数15. 因此，该组数据的四分位数分别为 10，12，15. （2）11，10，12，19，13，11，6，4，17，9，13，17. 典例分析 例1.求下列各组数据的四分位数. （1）11，10，12，19，13，11，6，4，17，9，13，17，15； （2）11，10，12，19，13，11，6，4，17，9，13，17. （2）将这 12 个数据从小到大排列，得 4，6，9，10，11，11，12，13，13，17，17，19. 12×50% = 6，中位数 m50 是第6，7个数的平均数 . 12×25% = 3，12×75% = 9. 第 25 百分位数 m25 是第3，4个数的平均数 ， 第 75 百分位数 m75 是第 9，10 个数的平均数 . 因此，该组数据的四分位数分别为9.5，11.5，15. 典例分析 典例分析 例2.某小组8名同学的数学测试成绩如下:85，92，78，95，88，85，90，98. (1)求这组数据的平均数、中位数和众数; (2)求这组数据的第一四分位数(Q1)、第三四分位数(Q3). 解：(1) 将数据按从小到大的顺序排列: 78，85，85，88，90，92，95，98. 平均数: (78+85+85+88+90+92+95+98)÷8 =88.875. 中位数: = 89. 众数: 85. (2)第一四分位数相当于是前半部分数据的中位数， 前半部分数据为：78，85，85，88. ∴.Q1==85. 2第三四分位数相当于是后半部分数据的中位数, 后半部分数据为： 90，92，95，98 ∴.Q3==93.5. 新知巩固 1. 求下列各组数据的四分位数： （1）75，85，87，95，99，100，101，105，113，115，125； （2）96，104，112，138，93，96，107，92，93，95，100，100，96，118，115，118. 教材P155页 解 （1）将这 11 个数据从小到大排列，得 75，85，87，95，99，100，101，105，113，115，125； ∵数据的个数是奇数，∴中位数 m50 = 100. 11×25% = 2.75，11×75% = 8.25. 第 25 百分位数 m25 是第 3 个数87， 第 75 百分位数 m75 是第 9个数113. ∴，该组数据的四分位数分别为87，100，113. 新知巩固 1. 求下列各组数据的四分位数： （1）75，85，87，95，99，100，101，105，113，115，125； （2）96，104，112，138，93，96，107，92，93，95，100，100，96，118，115，118. 教材P155页 解：（2）将这 16 个数据从小到大排列，得： 92，93，93，95，96，96，96，100，100，104，107，112，115，118，118，138. 16×50% = 8，中位数 m50 是第8、9个数的平均数=100. 16×25% = 4，16×75% = 12. 第 25 百分位数 m25 是第4、5个数的平均数=95.5 ， 第 75 百分位数 m75 是第 12、13 个数的平均数=113.5 . 因此，该组数据的四分位数分别为：95.5，100，113.5. 新知巩固 教材P155页 2. 求 20.2 节问题2中该公司 25 名员工年薪的四分位数. 年薪/万元 18 15 14 12 9 7 6 5.5 5 员工人数 2 1 3 2 1 6 5 4 1 5，5.5，5.5，5.5，5.5，6，6，6，6，6，7，7，7，7，7，7，9，12，12，14，14，14，15，18，18. 解：∵2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 6 + 5 + 4 + 1 = 25 ∴将上面的25个数据从小到大排列 因为数据的个数是奇数，所以中位数 m50 = 7. 25×25% = 6.25，25×75% = 18.75. 第 25 百分位数 m25 是第7个数6，第 75 百分位数 m75 是第19个数12. 因此，该组数据的四分位数分别为6，7，12. 拓展提升 1.某社区调查了12户家庭的家庭成员人数,记录如下(未排序): 3，2，5，4，2，3，6，4，3，2，4，5 (1)计算第一四分位数、中位数和第三四分位数; (2)这组数据的分布是否对称?结合四分位数简要说明. 解：(1)将这12个数据由小到大排列: 2，2，2，3，3，3，4，4，4，5，5，6. 中位数即第50百分位数，∴m50==3.5 前一半数据的中位数为整组数据的第一四分位数， ∴m25==2.5 后一半数据的中位数为整组数据的第三四分位数， ∴m75==4.5 (2)∵4.5-3.5=1，3.5-2.5=1，差值相等 ∴说明数据分布大致对称. 2.某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（    ） A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．第三四分位数是87.5 解：首先将这组数据从小到大排列得： ，数据总数n=8 ． 对于A选项，∵数据中82出现次数最多，∴众数为82，A错误； 对于B选项，中位数为第 4个和第 5个数据的平均数， 即 ，B错误； 对于C选项，平均数 C错误； 对于D选项，8×75%=6 ，因此第三四分位数为第6 个和第 7个数据的平均数， 即 ，D正确． 拓展提升 D 真题感知 1.（25-26八年级下·湖南长沙·期末）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班 20名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.9 5.0 人数 1 2 4 5 5 3 这 名同学视力检查数据的第三四分位数是（ ） A．4.3 B． 4.5 C． 4.7 D． 4.9 解:∵共有n=20个数据，第三四分位数对应的位置为i=20x75%=15，i为整数， ∴第三四分位数为从小到大排列后，第15个和第16个数据的平均数。 按从小到大累计人数:视力4.3，累计1人; 视力4.4，累计1+2=3人； 视力4.5，累计3+4=7人； 视力4.6，累计7+5=12人； 视力4.9，累计12+5=17人， D 可知第13 个到第17个数据均为4.9， 即第15、16个数据都是4.9， ∴第三四分位数为 =4.9. 真题感知 2.（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知一组数据：76，82，88，92，93，95，则这组数据的下四分位数为_________． 82 解：将这组数据从小到大排列为： 76，82，88，92，93，95， 数据个数n=6 ，计算下四分位数的位置： i=6×25%=1.5： ， ∵ i不是整数，将其向上取整为2， ∴这组数据的下四分位数为第2个数据82． 知 识 总 结 四分位数：、、； 将数据从小到大排列后，把数据四等分的三个分割点，分别是Q₁（下四分位数）、Q₂（中位数）、Q₃（上四分位数），对应第25、50、75百分位数，把数据划分为四个部分。 2.计算三步骤： 遵循“排序→计算位置→确定数值”的三步法。 3.关键规则：若计算出的位置是整数，取该位置和下一位置数据的平均值； 若是小数，则向上取整，取对应位置的数值。 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 类比迁移思想： 由中位数二等分数据，拓展到四分位数四等分数据； 分类讨论思想： 根据n×p是否整数分两种取值方案。 在计算四分位数的过程中，我们依据位置计算结果是“整数”还是“小数”，划分了两种截然不同的取值规则。这种分类讨论的方法，让我们的计算逻辑更加严谨、全面，有效避免了因情况不同而产生的结果偏差。 易 错 提 醒 课堂小结 ①忘记排序： 乱序直接取数必错，这是最常见的错误！计算前必须确保数据已按从小到大排列，否则后续所有计算都会偏离正确结果。 ②取整规则混淆：计算结果为小数时，要向上取整；若为整数，则取该位置和下一个位置上两个数的平均值，不能只取单个数字。 课后练习 教材P159 习题20.4 1.小李调查了本班20名同学家庭的平均每季度用水量（单位：m3），收集数据如下: 计算这20名同学家庭的平均每季度用水量的四分位数 55，42，50，48，42，35，38，39，40，51， 47，52，50，42，43，47，52，48，52，38. 解：将这 20 个数据从小到大排列，得 35, 38, 38, 39, 40, 42, 42, 42, 43, 47, 47, 48, 48, 50, 50, 51, 52, 52, 52, 55. ∵20×50%=10， ∴中位数 m50是第10，11个数的平均数 = 47. ∵20×25%=5，20×75%=15， ∴第25百分位数 m25 是第5，6个数的平均数 =41， 第75百分位数 m75 是第15，16个数的平均数 =50.5 . ∴该组数据的四分位数分别为41，47，50.5 . 感谢聆听! $