20.5 数据分组 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“数据分组”核心内容，涵盖组内离差平方和与组间离差平方和概念及分组方法。通过生活分类情景导入，结合人均GDP、苹果直径等实例，衔接数据初步分析知识，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架。 其亮点是以生活实例为载体，通过合作探究计算不同分组的离差平方和，培养数学思维（推理能力）与数据意识，用公式推导和步骤归纳强化数学语言表达。学生能提升数据分析能力，教师可借助实例和演练高效教学。

20.5 数据分组 第 20 章 数据的初步分析 1.理解组内离差平方和与组间离差平方和的概念； 2.会利用使“组内离差平方和最小”的方法对数据进行分组.（重点、难点） 一、学习目标 情景导入 生活里的分类能帮我们高效做事，那杂乱的数据也可以通过“分组”变得清晰——这就是我们今天要学的《数据分组》． 通过合理分组，不仅能快速统计各类数据的数量，还能利用即将要学的“组内离差平方和”判断分组是否让数据更集中、更便于分析． 数据分组 问题1 我国 10 个省份某年人均地区生产总值(简称人均 GDP，单位:万元)的数据如下表所示: 如果把这 10 个省份依据人均 GDP 的多少分为两组，并保证人均 GDP 相差不多的省份在一个组，应该如何划分? 省份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人均GDP/万元 15.68 6.24 10.11 7.18 16.42 12.13 7.37 10.07 8.85 7.16 1 对于这个问题，为了保证人均 GDP 相差不多的省份在一个组，应该如何划分，试着讨论一下 ? 可以选择平均数接近一些的 可以用中位数分段来划分 可以从众数的角度来划分这些数据. 按照“组内离差平方和最小”的方法，就能保证人均 GDP 相差不多的省份在一个组. 自主学习 知识点：组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，假设有n个数据x1，x2，…，xn，若将其分成两组，其中前m个数据为一组（称为第一组)，后（n-m）个数据为一组（称为第二组). 记 其中， 称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度. 称为组间离差平方和，表达了两组数据之间的差异. 探究一：数据分组 合作探究 问题提出：如图为10个苹果的直径，若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分?说说你分组的理由. 概念学习 1. 组内离差平方和与组间离差平方和 一般地，假设有n 个数据x1，x2，x3，…，xn，若将其分成两组，其中前m个数据为一组(称为第一组)，后(n-m)个数据为一组(称为第二组). 这n 个数据的总体离差平方和S2 可以表示为： S2=(x1-x)2+(x2-x)2+… +(xn-x)2，其中，x =(x1+x2+… +xn). 记x1 =(x1+x2+… +xm)，x2 =(xm+1+xm+2+… +xn). 则S2=(x1-x1)2+(x2-x1)2+… +(xm-x1)2+(xm+1-x2)2+(xm+2-x2)2+… +(xn-x2)2+[m(x1 -x)2+(n-m)(x2 - x)2]=S12+S22. 其中，S12=(x1- x1)2+(x2- x1)2+… +(xm- x1)2+(xm+1- x2)2+(xm+2-x2)2+… +(xn-x2)2 称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度；S22=m(x1 -x)2+(n-m)(x2 -x)2 称为组间离差平方和，表达了两组数据之间的差异. 一个合理的分组原则是使组内离差平方和达到最小，组间离差平方和达到最大.由于总体离差平方和 S2不变，只需考虑使组内离差平方和达到最小即可. 那怎样能做到组内离差平方和最小呢? 一般地，假设有 n 个数据 x1 , x2 , x3 , … , x1 , 若将其分成两组，其中前 m 个数据为一组 ( 称为第一组 )， 后 ( n－m ) 个数据为一组 ( 称为第二组 ) 这 n 个数据的总体离差平方和 S2 可以表示为: 合作探究 探究二：一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则? 对数据分组的方法有很多，使“组内离差平方和最小”的方法是最常用的方法之一. 合作探究 问题解决： 解：按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组. 将10个数据由小到大排序：65, 69, 70, 75, 76, 76, 78, 80, 80, 81.把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69, …, 81}; 第一组2个数据{65, 69}, 第二组8个数据{70, …,81}; ……; 第一组9个数据{65, …, 80}, 第二组1个数据{81}. 省份序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人均GDP/万元 15.68 6.24 10.11 7.18 16.42 12.13 7.37 10.07 8.85 7.16 解：将表中10个数据按从小到大排列，得到6.24，7.16，7.18，7.37，8.85，10.07，10.11，12.13，15.68，16.42. 将它们分成两组共有9种情况，分别计算组内离差平方和，如下表. 分组 组内离差平方和 第一组1 个，第二组9 个 第一组2 个，第二组8 个 第一组3 个，第二组7 个 第一组4 个，第二组6 个 第一组5 个，第二组5 个 第一组6 个，第二组4 个 第一组7 个，第二组3 个 第一组8 个，第二组2 个 第一组9 个，第二组1 个 99.5456 87.0232 70.7065 50.8225 40.0501 36.2860 24.7129 28.3987 72.1953 观察组内离差平方和可以发现，当按第7个间隔(第一组7个，第二组3个)分组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为{省份2，省份3，省份4，省份7，省份8，省份9，省份10}和{省份1，省份5，省份6}. 知识要点 称为组内离差平方和 , 表达了两个组内数据的离散程度; 称为组间离差平方和,表达了两组数据之间的差异. 数据的分组一般步骤： 1. 第一步是排序； 2. 第二步是确定组数和各组内数据的个数，我们只讨论分两组的情形，如果一共有 n 个数据，要把较小的 m 个数据分为一组，把剩下的 (n - m) 个数据分为另一组； 3. 我们通过“组内离差平方和最小” 的原则来确定 m 的大小. 合作探究 同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组9个 146.889 第一组2个，第二组8个 98 第一组3个，第二组7个 48 第一组4个，第二组6个 74.25 第一组5个，第二组5个 98 第一组6个，第二组4个 107.583 第一组7个，第二组3个 136.095 第一组8个，第二组2个 182.375 第一组9个第二组1个 218 计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小。因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65, 69, 70}, {75, 76, 76, 78, 80, 80, 81}。 合作探究 对数据的分组有两步，第一步是排序，第二步是确定组数和各组内数据的个数，我们只讨论分两组的情形，如果一共有n个数据，要把较小的m个数据分为一组，把剩下的（n-m）个数据分为另一组.我们通过“组内离差平方和最小”的原则来确定m的大小.这样分组后，组内的差距可以达到最小，而组与组之间的差异可以达到最大. 归纳总结： (1)将数据由小到大排列； 数据分组的步骤： (2)从m＝1开始，分类讨论所有可能的分组情况； (3)分别计算全部数据和分组后数据的平均数； (4)计算两组的组内离差平方和(或组间离差平方和)； (5)组内离差平方和最小(或组间离差平方和最大)的分组即为最合理的分组. 归纳小结 随堂演练 1.按照“组内离差平方和达到最小”的方法,小明将一组数据分成了两组{80,82}和{87,86,90,85},计算这两组数据的组内离差平方和为　　　　.  16 2. 小红同学为了在明年中考体育考试中取得好的成绩,每天自己在家里练习做一分钟仰卧起坐,妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数:28,25,30,27,30,26.按照“组内离差平方和最小”的方法分成两组,则组内离差平方和的最小值是 （ ） A、 B、 C、 D、5 A 全品文教初中 因此，我们通过计算和比较组内离差平方和，就可以将这 10 个省份分成两组，并保证人均 GDP 相差不多的省份在一个组. 这样分组后，组内的差距可以达到最小，而组与组之间的差异可以达到最大. 用电子表格软件进行数据分组 (1) 在电子表格软件中输入省份代号和人均 GDP 的数据 , 并对数据按照人均 GDP 从小到大进行排序; 用电子表格软件计算 省份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人均GDP/万元 15.68 6.24 10.11 7.18 16.42 12.13 7.37 10.07 8.85 7.16 2 (2) 如图，将排序后的人均 GDP 的数据根据每组 个数进行分组，通过“公式”—“插入函数”—选择类别“统计”—“DEVSQ” 函数，分别计算每组的离差平方和； 课堂总结 组内离差平方和计算公式： 组间离差平方和计算公式： 课堂小结 数据分组 组内离差平方和：数值越小，组内差异越小 组间离差平方和：数值越大，不同组之间差异越明显 根据组内离差平方和最小的原则分组 总体离差平方和=组内+组间 全品文教初中 $