第13讲 函数模型及其应用·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用与性质综合，通过多情境问题构建“问题抽象-模型建立-性质应用”逻辑链条，强化数学建模与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用模型|16题（如刹车距离、生物跳跃、碳排放处理）|结合生活/科技/环境情境，构建一次、二次、指数、幂函数模型解决最值/预测问题|从实际问题抽象函数模型，运用单调性、最值等性质求解，体现模型意识| |函数性质综合|3题（如狄利克雷函数复合、函数对称性）|综合考查奇偶性、周期性、极值等性质|深化函数概念与性质的内在联系，培养推理意识与抽象能力|

第13讲 函数模型及其应用·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过. 已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ 　　） A. 甲、乙两车均超速 B. 甲车超速但乙车未超速 C. 乙车超速但甲车未超速 D. 甲、乙两车均未超速 2.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（ 　　） A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 3.（2025·江西稳派·5月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ 　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4.（2025·山东青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（ 　　）（，精确到年） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 5.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度（单位）随机给氧时间（单位: 时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数. 已知，给氧小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（ 　　）小时. （参考数据:,,,） A. B. C. D. 6.（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·浙江桐乡·检测）某款新能源汽车2025年的产量为辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（ 　　） （） A. B. C. D. 8.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的倍，则为（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·山东枣庄·一模）已知函数 ，则（ 　　） A. 为奇函数 B. 的值域是 C. 有极值 D. 存在实数，使得在上的值域为 10.（2025·山东青岛·一模）已知狄利克雷函数 设函数 ，则（ 　　） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间上的有理数零点恰有个 11.（2025·江西稳派·5月联考）已知函数 ，且 为曲线 上不同的两点，则（ 　　） A. 时，曲线在处的切线方程为 B. 时，有最小值 C. 若关于点对称，则 D. 若关于点对称，且恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车＿＿＿＿＿＿.（精确到小时） 13.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式. 已知网店每月固定的各种费用支出为万元，产品每万件进货价格为万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元. 14.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要. 则的值为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2026·安徽合肥一六八中·一模）某地区上年度天然气价格为元/，年用气量为. 本年度计划将天然气单价下调到元/至元/之间. 用户期望天然气单价为元/，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为）. 已知该地区天然气的成本价为元/. （1） 写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益（单位:元）关于实际单价（单位:元/）的函数解析式；（收益实际用气量(实际单价成本价)） （2） 设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加？ 16.（15分）（2026·安徽合肥一六八中·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位:分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. （1） 求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； （2） 若该线路每分钟的净收益为:（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 17.（15分）能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，经测算知道，如果不建隔热层，那么年间的每年的能源消耗费用为万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共年的能源消耗费用总和，求使达到最小值时，隔热层厚度的值. 18.（17分）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，求的最大值.（本题中取进行计算） 19.（17分）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长为，大扇形半径，设小扇形半径，弧度. （1） 求关于的函数关系式； （2） 若雕刻费用关于的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数模型及其应用 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C C A D D 6 7 8 9 10 C B D ABD ABD 11 12 13 14 15 BCD （1） （2） 16 17 18 19 （1） （2）， （1） （2）， （1）， （2） （1） （2） 1.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”. 刹车距离是分析交通事故的一个重要依据. 在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了. 事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过. 已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为. 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象 A. 甲、乙两车均超速 B. 甲车超速但乙车未超速 C. 乙车超速但甲车未超速 D. 甲、乙两车均未超速 【答案】C 【解析】对于甲车，令，即， 解得（舍）或，甲未超速； 对于乙车，令，即， 解得（舍）或，乙超速. 故选C. 【点拨】本题考查二次函数模型在实际生活中的应用，将实际问题转化为一元二次方程求解，注意结合限速条件进行判断. 2.下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格： 一次购买件数 5-10件 11-50件 51-100件 101-300件 300件以上 每件价格 37元 32元 30元 27元 25元 张师傅准备用元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具 A. 件 B. 件 C. 件 D. 件 【答案】C 【解析】设购买的件数为，花费为元， 则. 当时，； 当时，， 最多可购买这种产品件. 故选C. 【点拨】本题考查分段函数模型的实际应用，根据表格构建分段函数模型，通过代入临界值附近的数据进行验证即可得出结论. 3.（2025·江西稳派·5月联考）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌. 已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】由可知， ，当且仅当时等号成立. 于是该类昆虫的最大跳跃高度为米. 故选A. 【点拨】本题考查函数模型的应用，将等式变形为关于的表达式，利用基本不等式求最值是处理此类有理分式函数极值的常用手段. 4.（2025·青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（，精确到年） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】D 【解析】令，可得， 两边取自然对数得， . 故臭氧消失一半所需要的时间约为年. 故选D. 【点拨】本题考查指数函数模型的实际应用，根据题意建立指数方程，利用对数的运算法则求解未知数，注意近似计算的精度要求. 5.血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数. 正常人体的血氧饱和度一般情况下不低于，否则为供养不足. 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型:描述血氧饱和度（单位）随机给氧时间（单位: 时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数. 已知，给氧小时后，血氧饱和度为，若使血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要小时. （参考数据:,,,） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可得，，， 则，， . 则使血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时. 故选D. 【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，利用初始条件求出指数模型中的参数，再根据目标值解指数不等式，注意最后求的是“还需要”的时间. 6.（2026·嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设脱碳处理的次数为，则脱碳处理次后的碳排放浓度为. 由题意可得，则，即. 由于，所以的最小值为. 故至少需要脱碳处理的次数为. 故选C. 【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，根据每次减少的比例构建指数衰减模型，转化为解指数不等式问题. 7.（2026·桐乡·检测）某款新能源汽车2025年的产量为辆，从2026年开始每年不断扩大生产规模，计划到2030年此款汽车年产量达到辆，那么2025～2030年的年平均增长率大约为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设2025～2030年的年平均增长率为，根据题意可得，化简得. 方程两边取常用对数得，又， . 故，所以. 即2025～2030年的年平均增长率大约为. 故选B. 【点拨】本题考查指数增长模型的应用，建立指数增长模型，两边取常用对数是求解底数中未知量的有效方法. 8.异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的倍，则为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设初始状态为，则，. 又，，即. ，得，即，解得，. 故选D. 【点拨】本题考查幂函数模型的应用，利用幂函数模型，代入两组状态的数据作商，即可消去常数求出指数. 9.（2026·枣庄·一模）已知函数 ，则 A. 为奇函数 B. 的值域是 C. 有极值 D. 存在实数，使得在上的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，的定义域为，，为奇函数，故A正确； 对于B，，，，，，即的值域是，故B正确； 对于C，，在上单调递增，无极值，故C错误； 对于D，在上单调递增，若在上的值域为，则，，即是方程的两个不相等的实数根.令，则，为奇函数.又，，，，由零点存在性定理知，在上至少有一个零点，设为，由奇函数性质知也是的零点，设为，则存在实数，使得在上的值域为，故D正确. 故选ABD. 【点拨】本题考查函数的奇偶性、值域、单调性及零点存在性定理的综合应用.利用分离常数法求函数值域，通过求导判断单调性，将值域区间问题转化为方程同解问题，结合零点存在性定理进行判断. 10.（2025·青岛·一模）已知狄利克雷函数 设函数 ，则 A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间上的有理数零点恰有个 【答案】ABD 【解析】对于A，的定义域为，当为有理数时，是有理数，则；当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数.故，是奇函数，故A正确； 对于B，对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则；当为无理数时，也是无理数，则，即函数是周期函数，故B正确； 对于C，函数的值域为，当为无理数时，；当为有理数时，，由于不能取到一个周期内的所有实数（例如时无有理数解），取不到的全部，故C错误； 对于D，令，当为有理数时，，解得，在区间上有这个有理数零点，故D正确. 故选ABD. 【点拨】本题考查新定义函数（狄利克雷函数）的性质，理解狄利克雷函数的定义及奇偶性、周期性，结合三角函数的性质进行综合分析是解题关键. 11.（2025·江西稳派·5月联考）已知函数 ，且 为曲线 上不同的两点，则 A. 时，曲线在处的切线方程为 B. 时，有最小值 C. 若关于点对称，则 D. 若关于点对称，且恒成立，则 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，，，，故曲线在处的切线方程为，即，故A错误； 对于B，当时，，记，则，在上单调递增.又，在上单调递减，在上单调递增，故有最小值，故B正确； 对于C，由题意可得，由对称性不妨设，则.又，即.记，则，，，，，在区间上单调递增，，即.下面证明，，即证，有解.记，则，取，则，，使得，，故C正确； 对于D，由题意可转化为，即.记，则，，，.设，则，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，即，即，故，当且仅当时取等号.若，则，在区间上单调递减，，符合题意.若，时，，在区间上单调递增，，不符合题意.综上所述，，故D正确. 故选BCD. 【点拨】本题考查利用导数研究函数的切线、单调性与极值，处理对称性问题时转化为构造新函数，结合放缩法（如）证明不等式是解决压轴选项的有效途径. 12.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车＿＿＿＿＿＿.（精确到小时） 【答案】 【解析】当时，由得， 解得，舍去； 当时，由得，即， 解得. ，此驾驶员至少要过小时后才能开车. 【点拨】本题考查分段函数模型的应用，分段解指数不等式，利用对数的性质估算数值范围. 13.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向. 某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式. 根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式. 已知网店每月固定的各种费用支出为万元，产品每万件进货价格为万元，若每件产品的售价定为“进货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是＿＿＿＿＿＿万元. 【答案】 【解析】根据题意，得到， 月利润为， 当且仅当时，即时取等号， 即月最低利润为万元. 【点拨】本题考查函数模型的实际应用，根据题意构建利润函数，将变量统一后利用基本不等式求最值. 14.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要. 则的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意，把，，，代入中， 得，， ，解得. 【点拨】本题考查指数型函数模型的应用，将已知数据代入给定的指数衰减模型，解指数方程即可. 15.（13分）（2026·合肥一六八中·一模）某地区上年度天然气价格为元/，年用气量为. 本年度计划将天然气单价下调到元/至元/之间. 用户期望天然气单价为元/，经调查测算，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为）. 已知该地区天然气的成本价为元/. （1） 写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益（单位:元）关于实际单价（单位:元/）的函数解析式；（收益实际用气量(实际单价成本价)） （2） 设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加？ 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 设下调后的天然气单价为元/， 则燃气公司的收益； 5 分 （2） 由题意可知要同时满足以下条件： ， 10 分 解得，即天然气单价最低定为元/. 13 分 【点拨】本题考查函数模型的实际应用，关键是理清题意，根据“收益实际用气量(实际单价成本价)”列出函数关系式，并解对应的不等式组. 16.（17分）（2026·合肥一六八中·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位:分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. （1） 求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； （2） 若该线路每分钟的净收益为:（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1） （2）， 【解析】（1） 由题设，当时，令，又发车时间间隔为分钟时的载客量为人，分钟时的载客量为人， ， ； 3 分 当时，， ； 6 分 故时，， 所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； 8 分 （2） 因为， 所以由（1）可得：； 10 分 当时，， 当且仅当等号成立， 则时，（元）； 13 分 当时，在递减， 则（元）； 15 分 综上，发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 17 分 【点拨】本题考查分段函数模型的建立与最值求解.第一问利用待定系数法求出二次函数解析式；第二问将分段函数代入收益公式，利用基本不等式和单调性分别求出各段的最大值再比较. 17.（15分）能源是国家的命脉，降低能源消耗费用是重要抓手之一，为此，某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层造价成本是万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：，经测算知道，如果不建隔热层，那么年间的每年的能源消耗费用为万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共年的能源消耗费用总和，求使达到最小值时，隔热层厚度的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】（1） 由题意得，当时，，解得； 3 分 又； 7 分 （2） ； 10 分 ， 13 分 当且仅当，即时，等号成立. 所以当隔热层厚度为厘米时，总费用达到最小，最小值为万元. 15 分 【点拨】本题考查函数模型在实际生活中的应用.通过代入初始条件求出待定系数，再构建总费用函数，利用基本不等式求出最小值. 18.（15分）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，求的最大值.（本题中取进行计算） 【答案】（1）， （2） 【解析】（1） 设圆弧的半径为，根据题意可得：. . 4 分 . ，，. 8 分 （2） .令，则， 12 分 . 根据基本不等式，，当且仅当，即时取“”. ，时，. 15 分 【点拨】本题考查几何图形面积与周长的计算及基本不等式求最值.关键是正确表示出面积和周长，再通过换元法将分式转化为可利用基本不等式的形式. 19.（17分）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长为，大扇形半径，设小扇形半径，弧度. （1） 求关于的函数关系式； （2） 若雕刻费用关于的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 由题意可知，，，， 弧，，弧. 3 分 扇环周长为弧弧， 解得，. 6 分 （2） 砖雕面积即为图中环形面积，记为， 则弧弧 . 9 分 即雕刻面积与雕刻费用之比为， 则. 12 分 令，则， ， 15 分 当且仅当时（即）取等号. 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为. 17 分 【点拨】本题考查扇形弧长与面积公式的应用以及基本不等式求最值.通过换元法将分式转化为“对勾函数”形式是求最值的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $