精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第六十六中学2025-2026学年第二学期九年级中考前模拟数学试卷

乌鲁木齐市第66中25-26学年第二学期九年级三模 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共9题，每小题4分，共36分） 1. 公交车在站点停靠时，上车人记为人，那么下车人应记为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】D 【解析】 【分析】正负数表示具有相反意义的量，根据已知的正的表示方法，推导相反意义量的表示即可． 【详解】解：将上车人数记为正，上车人记为人，上车与下车是相反意义的量， 下车人数需要记为负，下车人应记为人． 2. 2026年1月16日，太原卫星发射中心成功发射天启星座4颗卫星，这是我国低轨物联网卫星组网的重要一步．其中一颗卫星的运行轨道近似为圆形，轨道半径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 关于代数式，下列选项中表述正确的是（ ） A. 表示与的和 B. 表示与的乘积 C. 表示与的和 D. 表示与的乘积 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式的意义．根据代数式意义判断即可． 【详解】解：表示与的乘积， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式加、减、乘、除运算法则逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，原选项计算正确，符合题意； B．与无法合并，，原选项计算错误，不符合题意； C．，原选项计算错误，不符合题意； D．，原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点是的中点，，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质、线段中点定义，结合勾股定理可得出，，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 6. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：一共有5种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的有2种可能， ∴“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 7. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 8. 习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（ ） A. 实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B. 实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C. 实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D. 实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据给定的分式方程，找出每一项所代表的意义是解题的关键． 设实际每天铺设管道xm，则为原计划每天铺设管道的长度，表示原计划铺设管道所需时间，表示实际铺设管道所需时间，结合所列方程，即可得出省略部分的内容． 【详解】解：∵设实际每天铺设管道xm，， ∴表示原计划每天铺设管道的长度， ∴表示原计划铺设管道所需时间， 表示实际铺设管道所需时间． ∵， ∴实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成这一任务， 故选：A． 9. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题（本题共6题，每小题4分，共24分） 10. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≤1 【解析】 【详解】分析：根据二次根式有意义的条件解答即可. 详解： ∵二次根式有意义，被开方数为非负数， ∴1 -x≥0， 解得x≤1. 故答案为x≤1. 点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数为非负数是解题的关键. 11. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 13. 已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4，则另一个根为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】设另一个根为m，则根据一元二次方程根与系数的关系可知m+4＝6，然后求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4， ∴设另一个根为m，则有m+4＝6， ∴m＝2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，灵活利用根与系数的关系成为解答本题的关键． 14. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点M，分别与，交于点D、E，若，，则k的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，表示出点、的坐标是解决问题的关键． 利用矩形的性质可得，由，点是的中点，，可得出点、的横坐标，再设出的长，表示出点、的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，可求出的长，进而确定的值． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵矩形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 点是的中点，， ， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ，， 由点、都在反比例函数的图象上， ， 解得，， 故答案为：． 15. 如图，的三个顶点分别在等边的三条边上，，，，则长度的最小值是 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，垂足为，证明，根据，得出，设，则，在，中，勾股定理求得，根据二次函数的性质得出的最小值，进而即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 的最小值为， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求特殊角的三角函数值，勾股定理，二次函数的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 三、解答题（本题共8题，共90分） 16. 计算及解不等式 （1）计算∶ （2）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴ 解得： 数轴略 17. 完成下列题目 （1）先化简，再求值：其中 （2）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？ 【答案】（1）， （2）李三公家有8间客房，来了63名房客 【解析】 【分析】（1）根据乘法公式以及单项式乘以多项式展开，再合并同类项；最后将字母的值代入，即可求解． （2）设房间间，客人人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【小问1详解】 解： 当时，原式 【小问2详解】 解：设房间间，客人人，根据题意得， 解得：． 答：李三公家有8间客房，来了63名房客． 18. 如图，在中， ，是的一个外角， （1）作的平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点 E，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （3）判断四边形的形状并加以证明． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）解：四边形 是菱形． 证明如下： ， ． 平分， ． 又， ， ∴． ∴， 垂直平分， ， ∴， ∴． 四边形是平行四边形（对角线互相平分）． 又， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据尺规作垂直平分线的方法作图即可； （3）证明，得到，进而得到四边形为平行四边形，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】（1）93.2；96.5； （2） 我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由： 七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可） （3）256人 【解析】 【分析】本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答． （1）根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答． （3）运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 把八年级的成绩从大到小排序：， 位于中间位置的数分别为， 观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人． 20. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 21. 如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． （1）求这条抛物线的表达式； （2）为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 【答案】（1） （2）安全，说明见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，涉及待定系数法确定函数关系式、利用二次函数图像与性质解决实际问题等知识，读懂题意，将实际问题转化为数学知识是解决问题的关键． （1）根据题意设该抛物线的表达式为，利用待定系数法，把代入表达式解方程即可确定函数关系式； （2）根据题意得到左侧最低点横坐标为，将其代入表达式解得左侧最低点的纵坐标为1.8，进而由题中限制条件判断即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意知，顶点，设该抛物线的表达式为， 把代入表达式得，解得， ∴这条抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵中间的灯笼正好悬挂在A处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为， ∴左侧最低点横坐标为， 由（1）知抛物线的表达式为， ∴当时，， ∴左侧最低点的纵坐标为1.8， ∵灯笼长为， ∴最低点到水面的距离为， ∵降水水面会上升， ， ∴最低点距水面， ∴现在的悬挂方式安全． 22. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 综合与探究 问题情境∶在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． （1）【观察发现】 如图1，当点D是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）【独立思考】 如图2，当点D在线段上时，连接，过点A作于点F，过点F作于点G，猜想线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 连接，过点A作于点F，连接．若请直接写出线段的长． 【答案】（1）解：四边形为正方形，理由如下： ，，点是的中点， ，， ， 由旋转知，，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形是正方形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 连接， 由（1）知，， ， ， ∵在和中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ． （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到、，由旋转的性质得到、，进而得到且，则四边形是平行四边形，利用、，得出四边形是正方形； （2）连接，易证明，则，，进而得到，进而得到，得到，得出，根据等腰三角形的性质得到，即可得出结论； （3）分情况讨论：当①点D在线段的延长线上或②点D在线段的延长线上时，连接，过点A作于点M，同（2）可证明，根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而证得为等边三角形，利用角之间的和差关系求出，在中，，利用、、间的和差关系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长度为或，理由如下： ①当点D在线段的延长线上时， 如图，连接，过点A作于点M， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ，，， ，， ，点是中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵在中，， ， ∵在中，， ， ； ②当点D在线段的延长线上时， 如图，连接，过点A作于点M， 同①证明为等边三角形， ， ， ， 由①可知，， ∵在中，， ， ． ③当点D在线段上时，，不存在， 故点D不在线段上． 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第66中25-26学年第二学期九年级三模 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共9题，每小题4分，共36分） 1. 公交车在站点停靠时，上车人记为人，那么下车人应记为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 2. 2026年1月16日，太原卫星发射中心成功发射天启星座4颗卫星，这是我国低轨物联网卫星组网的重要一步．其中一颗卫星的运行轨道近似为圆形，轨道半径约为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 关于代数式，下列选项中表述正确的是（ ） A. 表示与的和 B. 表示与的乘积 C. 表示与的和 D. 表示与的乘积 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，点是的中点，，交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 5 6. 李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ） A. B. C. D. 8. 习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，全国上下各行各业把环境保护都放在首位．某工程队现在正铺设一条全长为2000m的排污管道，为了减少白天对交通的影响…设实际每天铺设管道xm，列方程为，根据方程可知省略的部分是（ ） A. 实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果提前20天完成这一任务 B. 实际施工时每天的工效比原计划增加20%，结果推迟20天完成这一任务 C. 实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果提前20天完成这一任务 D. 实际施工时每天的工效比原计划减少20%，结果推迟20天完成这一任务 9. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6题，每小题4分，共24分） 10. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 11. 分解因式：a3－a=___________ 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 13. 已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4，则另一个根为_____． 14. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点M，分别与，交于点D、E，若，，则k的值为 _______． 15. 如图，的三个顶点分别在等边的三条边上，，，，则长度的最小值是 ______． 三、解答题（本题共8题，共90分） 16. 计算及解不等式 （1）计算∶ （2）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 17. 完成下列题目 （1）先化简，再求值：其中 （2）《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？ 18. 如图，在中， ，是的一个外角， （1）作的平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点 E，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （3）判断四边形的形状并加以证明． 19. 为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； （3）该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 20. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 21. 如图是一座拱桥，图2是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为． （1）求这条抛物线的表达式； （2）为迎接新年，管理部门在桥下悬挂了3个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，两边灯笼与最中间灯笼的水平距离为，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全． 22. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 23. 综合与探究 问题情境∶在中，，，点D是直线上的一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． （1）【观察发现】 如图1，当点D是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）【独立思考】 如图2，当点D在线段上时，连接，过点A作于点F，过点F作于点G，猜想线段与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】 连接，过点A作于点F，连接．若请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $