精品解析：新疆生产建设兵团第一师第二中学2025-2026学年九年级下学期数学模拟试卷

第一师第二中学九年级模拟试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 如果零上记作，那么零下记作（　　） A. B. C. D. 2. 基于嫦娥六号月背样品，来自中国科学院地质与地球物理研究所等单位的科研人员首次揭示，月球背面月幔的水含量小于，数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦于点E，，如果，则的半径长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 1 6. 我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值等于________． 12. 在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是________． 13. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 14. 如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______． 15. 已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算、化简求值： （1）． （2），其中、满足． 17. 按要求解答下列问题： （1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 18. 如图，的边上有一点P，过点P作． （1）请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在上截取，使，作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形． 19. 争创全国文明城市，从我做起．某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，两个年级均有400名学生，从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，整理分析如下： 七年级：98；97；97；97；95；94；92；90；90；70 八年级：98；98；98；90；95；89；92；86；90；84 整理分析上面的数据，得到如下表格： 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 94.5 a 61.3 八年级 92 b 98 23.4 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）根据统计结果，　 　年级的成绩更整齐； （3）七年级甲同学和八年级乙同学成绩均为92分，根据上面统计情况估计　 　同学（填甲或乙）的成绩在本年级的排名更靠后； （4）如果在收集八年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“86”，八年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是　 　； （5）若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有　 　人． 20. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． 图1 （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 21. 某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． （1）求函数，的解析式． （2）观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． （3）该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 22. 如图，是的直径，点为上一点，平分交于点，过作交延长线于． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． （1）求证：．并直接写出，与之间的数量关系； （2）在图①条件下，若，，求正方形的边长； （3）如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一师第二中学九年级模拟试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 如果零上记作，那么零下记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查正数与负数， 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果零上记作，那么零下记作， 故选：B． 2. 基于嫦娥六号月背样品，来自中国科学院地质与地球物理研究所等单位的科研人员首次揭示，月球背面月幔的水含量小于，数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示较小数的形式为，其中，为正整数，的值等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：数据0.000002用科学记数法表示为． 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体为： 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，本选项计算错误，不符合题意； B、，本选项计算错误，不符合题意； C、，本选项计算正确，符合题意； D、，本选项计算错误，不符合题意． 5. 如图，是的直径，弦于点E，，如果，则的半径长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，证明为等边三角形，再根据三角函数解答即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的直径，弦， ，， ， ， 为等边三角形， ， ∴， ， ， ， ， ． 6. 我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据速度和时间表示出各段路程，再抽象出直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解： 如图， 由题意可得，，，， ∴由勾股定理得，． 7. 如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 8. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题以矩形折叠为背景，先利用矩形性质与中点条件得出边长，再根据折叠性质得到点关于折痕对称，进而推出 且，通过同角的余角相等，证得，因此，最后在中计算从而得到． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， 又∵ 折叠后点落在处， ∴关于折痕对称， 可得： ∴， ∵， ∴， ∵矩形纸片沿边折叠， ∴， ∴， 在中，​， ∴． 9. 如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分、、三种情况进行讨论，得到关于的解析式，再判断即可． 【详解】解：过点作交于点，如图1． 菱形的边长为6，面积为， ． 设运动时间为秒，则． 当时，点在上运动，此时． 作交于点，如图1，则 ， ， ，即，解得， 此时， 该部分函数图象是开口向上的抛物线，故选项符合题意； 当时，如图2，此时点在上，点在上，则， 此部分的函数图象是一条线段且随的增大而增大； 当时，如图， ， ，即，解得， 此时， 该部分函数图象是开口向下的抛物线， 综上，A符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数为非负数． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴． 12. 在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 利用简单事件的概率计算公式即可得． 【详解】解：单词中字母“”有2个，单词中总共有5个字母， ∴选中字母“”的概率， 故答案为：． 13. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， 则， ∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则， ∴， 解得：， 则． 14. 如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：过点作轴于，如图： ∵矩形的面积为24， ∴， ， ，， ， 设， 则，， 与x轴负半轴的夹角为， ， ， ，即：， 解得：， ， 由图得：， 故答案为：． 15. 已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接，求得，，推出，当共线时，最小，然后用勾股定理算得即可． 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵菱形的边长为2， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是对角线上一动点，，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为， 此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算、化简求值： （1）． （2），其中、满足． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先开方，再根据，去绝对值，，进行解答，即可； （2）先根据分式运算法则化简原式，再利用平方和绝对值的非负性求出，的值，代入化简结果即可得到最终答案． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ；  ，，且，  ，  解得 ， 当，时，原式． 17. 按要求解答下列问题： （1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． （2）某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】（1）不等式组的解集为，其解集在数轴上表示如图所示： （2）车间应该分配生产螺栓的工人名，生产螺母的工人名 【解析】 【分析】（1）先解不等式组中的每一个不等式，再取两个不等式解集的公共部分作为不等式组的解集并表示在数轴上； （2）设车间应该分配生产螺栓的工人有x名，则生产螺母的工人有名，再根据“1个螺栓需要配2个螺母”的配套要求，列出一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 其解集在数轴上表示如图所示． 【小问2详解】 解：设车间应该分配生产螺栓的工人有x名，则生产螺母的工人有名． 由题意得：， 化简得：， 解得：． ∴生产螺母的工人有：（名）． 答：车间应该分配生产螺栓的工人名，生产螺母的工人名． 18. 如图，的边上有一点P，过点P作． （1）请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在上截取，使，作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示，，即为所求； （2）证明：如图所示，连接， 由作图得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段和角平分线的方法求解即可； （2）根据角平分线的概念和平行线的性质得到，推出，，然后结合和即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 争创全国文明城市，从我做起．某中学开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，两个年级均有400名学生，从七八年级各随机抽取了10名学生的测试成绩，整理分析如下： 七年级：98；97；97；97；95；94；92；90；90；70 八年级：98；98；98；90；95；89；92；86；90；84 整理分析上面的数据，得到如下表格： 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 94.5 a 61.3 八年级 92 b 98 23.4 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：a＝　 　，b＝　 　； （2）根据统计结果，　 　年级的成绩更整齐； （3）七年级甲同学和八年级乙同学成绩均为92分，根据上面统计情况估计　 　同学（填甲或乙）的成绩在本年级的排名更靠后； （4）如果在收集八年级数据的过程中将抽取的“89”误写成了“86”，八年级数据的平均数、中位数、众数中发生变化的是　 　； （5）若成绩不低于95分的可以获奖，估计两个年级获奖的共有　 　人． 【答案】（1）97，91 （2）八 （3）甲 （4）平均数 （5）360 【解析】 【分析】（1）利用众数和中位数的意义可得a与b的值； （2）比较七、八年级的方差大小，结合方差的意义即可得出答案； （3）利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可； （4）根据平均数的定义可得到平均数比原来少，根据众数和中位数的定义可判断都不变； （5）用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可． 【小问1详解】 解：七年级的众数为， 八年级成绩按由小到大排列为：84，86，90，92，98，98， 所以八年级的成绩的中位数为； 故答案为：97，91； 【小问2详解】 解：因为，即八年级的方差比七年级的方差小， 所以八年级的成绩更整齐； 故答案为：八； 【小问3详解】 解：七年级和八年级的中位数分别为94.5和91， 所以甲同学的成绩在年级的排名更靠后； 故答案为：甲； 【小问4详解】 将“89”误写成了“86”，这时八年级数据的所有数的和少了3分，众数和中位数不变； 故答案为：平均数； 【小问5详解】 估计两个年级获奖的共有， 故答案为：360． 【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，理解相关定义． 20. 小明对笔记本电脑使用角度与高度的舒适性进行了思考与研究． 已知笔记本电脑屏幕宽．笔记本电脑厚度忽略不计．（参考数据：，） （1）如图1，小明将笔记本电脑放在水平桌面上，将电脑屏幕打开使，求此时电脑屏幕上点与桌面的距离． 图1 （2）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图2所示的电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度．若小明在使用电脑支架时，电脑屏幕始终垂直于桌面，求电脑屏幕打开使分别为与时，点距离桌面的高度差． 图2 【答案】（1）此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为 （2）点距离桌面的高度差约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，从而可得，然后分别求出当时，当时，的长，从而进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 图1 ． ， 在中，， ， 此时电脑屏幕上点与桌面的距离约为； 【小问2详解】 延长交于点， 由题意得：， ， 当时， ， 在中，， ， 当时， ， 在中，， 图2 ， 点距离桌面的高度差， 点距离桌面的高度差约为． 21. 某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． （1）求函数，的解析式． （2）观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． （3）该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【答案】（1）；． （2）当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大． （3）当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）设函数的解析式为：；把点代入，求出即可；设函数的解析式为：；把，，，代入函数解析式，求出，即可； （2）根据函数图象，进行解答，即可； （3）设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，，饲养种肉羊的投资金额为万元，可得，根据二次函数的图象和性质，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设函数的解析式为：；函数经过点， ∴， ∴， ∴； 设函数的解析式为：；函数经过点，，， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：由函数图象可知；当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大． 【小问3详解】 解：设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，饲养种肉羊的投资金额为万元， ∴， 整理得：， 配方可得：； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为；此时； ∴当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元． 22. 如图，是的直径，点为上一点，平分交于点，过作交延长线于． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法； （1）连接，根据角平分线与等边对等角证明，则，结合，即可得证； （2）连接交于点，根据题意可得，勾股定理求得，证明四边形是矩形，进而求得，根据即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， 平分交于点， ， ， ， 交延长线于， ， ， 是的半径，且， 为的切线． 【小问2详解】 解：连接交于点， 是的直径，， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 的长为． 23. 如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． （1）求证：．并直接写出，与之间的数量关系； （2）在图①条件下，若，，求正方形的边长； （3）如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可得： ∴，，，， ∴， ∴点，，三点共线； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）正方形的边长为． （3）．理由如下： 将绕点顺时针旋转，点于点重合，得到，连接， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，得出点，，三点共线；根据，，推出，根据全等三角形的判定和性质，得到，则，等量代换，即可； （2）由正方形的性质，可得，，根据勾股定理求出，推出，根据线段的数量关系，可得，求出，即可； （3）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，推出，，，，由全等三角形的判定和性质，可得，根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，推出，最后根据勾股定理，求出，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴正方形的边长为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $