精品解析：2026年广东深圳市福田区红岭教育集团园岭中学中考全真模拟心态调适卷数学试题

中考全真模拟心态调适卷 数学试题 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 大汶口文化以一群特点鲜明的陶器为主要特征．如图是山东博物馆收藏的涡纹彩陶壶，关于它的三视图，说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 36 D. 48 6. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱；会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 两建筑物的水平距离为米，从A点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是__________． 10. 化简结果是_____． 11. 如图，菱形绕点A旋转得到菱形，点在上，交于点P．若，，则的长为___________． 12. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G的方向的夹角的度数为___________． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点在轴上，连接，，，组成．若，则______． 三、解答题 14. 计算：． 15. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 16. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 92 八年级 88 89 35% （1）填空：________，________，________； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 17. 端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个． （1）求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？ （2）若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 18. 如图，在中，，以为直径作分别交于两点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）求作：过点作的切线，交于点．（要求：利用圆规及无刻度直尺作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 19. 【教材再现】 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出________________，进而得到． 【类比迁移】 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图，当四边形是边长为9的菱形时，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请求出的长． 20. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． （1）函数 “减半函数”（填“是”或“不是”）； （2）求函数图象上的“减半点”； （3）若抛物线图象上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②如图，抛物线的顶点为，点是其对称轴上点下方一点，过点作轴的平行线交此抛物线于，两点（在的左侧），求的值； ③将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，点（横坐标为）在抛物线上，其纵坐标的最大值为，最小值为，若对于任意，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考全真模拟心态调适卷 数学试题 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，掌握数轴上点的特点是解题关键．观察数轴即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴数轴上点表示的数可能是， 故选：B． 2. 大汶口文化以一群特点鲜明的陶器为主要特征．如图是山东博物馆收藏的涡纹彩陶壶，关于它的三视图，说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据几何图形确定三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，均为涡纹彩陶壶的纵向剖面图，俯视图为同心圆，与左视图和主视图不相同； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项概念、单项式乘法法则、积的乘方法则以及平方差公式，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、根据平方差公式可得，计算正确，符合题意． 4. 不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用概率公式计算简单随机事件的概率，先找到所有可能出现的结果数、所求事件所有可能出现的结果数，再计算即可求解． 【详解】解：∵盒子中共有5个完全相同的小球， ∴总共有5种可能的摸球结果，并且发生的可能性都相等， 而数字为奇数的是1，3，5，共有3种符合要求的结果， ∴摸出的小球上面的数字是奇数的概率是． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，由位似图形的性质可得与相似，相似比为，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴与相似，相似比为， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为． 6. 如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 7. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱；会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵每人出7钱，会多2钱，即所有人出的总钱数比物价多2钱， ∴，整理得； ∵每人出6钱，差3钱，即所有人出的总钱数比物价少3钱， ∴，整理得； 因此可得方程组． 8. 两建筑物的水平距离为米，从A点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形——仰角、俯角问题．作于点，分别在和中，利用三角函数即可表示出与的长，根据即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 同理：． 米， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据点到轴的距离等于点的横坐标的绝对值即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离是， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于点的横坐标的绝对值是解题关键． 10. 化简结果是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先把原式变形为，再根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：2． 11. 如图，菱形绕点A旋转得到菱形，点在上，交于点P．若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，根据菱形的性质得出，，根据旋转的性质得到推出，，得出，，进而得到三点共线，则有，通过证明求出，再证明得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， 菱形， ，， ， 由旋转的性质得，，，，， ，， ，， ， 三点共线， 菱形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、旋转的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，适合有能力解决几何难题的学生． 12. 一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G的方向的夹角的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理及平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为． 由知，再根据摩擦力的方向与斜面平行，得． 【详解】解：如图所示， ∵，且重力的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， 故答案为：． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点在轴上，连接，，，组成．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与平行四边形相结合的题目，掌握反比例函数的图象和性质和平行四边形的性质是解题的关键． 设点坐标为，点坐标为，由平行四边形的性质可知，即，再由平行四边形的面积可知，两式结合即可求出值． 【详解】解：设点坐标为，点坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 14. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解：原式． 15. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，0、1、2 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的非负整数解为0、1、2． 16. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 92 八年级 88 89 35% （1）填空：________，________，________； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）87，89，40 （2）七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由如下： 由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前信息技术的了解的优秀率； （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数和优秀率的定义分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）利用样本估计总体的计算方法求解． 【小问1详解】 解：∵A组人数有3人，七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85， ∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数， 由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为，大于A，B，D组的人数所占的百分比， ∴， 七年级抽取学生的竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数有（人）， ∴七年级的优秀率； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得，（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有人． 17. 端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食，寓意幸福安康．某商店在端午节来临之前，购进咸肉粽子和豆沙粽子两种进行销售，已知每个咸肉粽子的进价是每个豆沙粽子进价的2倍，用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个． （1）求咸肉粽子和豆沙粽子每个进价分别为多少元？ （2）若某商店把咸肉粽子以6元/每个销售，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把咸肉粽子的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元 （2）当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用， （1）设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据“用1600元购进咸肉粽子的数量比用700元购进豆沙粽子的数量多50个”列出分式方程求解即可； （2）设售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设豆沙粽子的单价是元，则咸肉粽子的单价是元，根据题意，得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， （元）， 答：豆沙粽子的单价是2元，咸肉粽子的单价是4元； 【小问2详解】 解：设售价定为元，利润为元，根据题意，得 ， ， 二次函数的图象开口向下，函数有最大值， 当时，有最大值，最大值为720元， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元． 18. 如图，在中，，以为直径作分别交于两点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）求作：过点作的切线，交于点．（要求：利用圆规及无刻度直尺作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】（1） 证明：连接， 为直径， ， ， ． （2） （3） 如图所示，为所求： 【解析】 【分析】（1）先根据直径所对的角是直角，证明，再根据等腰三角形三线合证得； （2）先证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知线段，得到关于的方程求解，再利用线段差求得； （3）只需作出平分线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：圆内接四边形， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 【小问3详解】 解：连结，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是中位线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又是半径， ∴是切线． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质，等腰三角形三线合一，切线的判定，尺规作图，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 19. 【教材再现】 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出________________，进而得到． 【类比迁移】 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图，当四边形是边长为9的菱形时，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请求出的长． 【答案】（1）， （2），理由如下： 如图所示，在上取，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵交矩形的外角平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴设，则，， ∴，， ∴， ∴； （3）的长为6或9 【解析】 【分析】（1）如图所示，取的中点，连接，则，根据正方形的性质可证，由此即可求解； （2）如图所示，在上取，连接，可证，得到，根据，点是中点，设，则，则，，由此即可求解； （3）如图所示，当点在线段上时，过点作，交于点，可证，得，设，则，，则，由此即可求解；当点在线段的延长线上时，同理求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，取的中点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴通过截取线段，构造出，进而得到． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，当点在线段上时，过点作，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， 整理，， 解得，，（舍去）， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时， 如图， 同上可得，，，，， ，， ， ， ，即， 解得（舍去）或， ， ， 综上所述，的长为6或9． 20. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． （1）函数 “减半函数”（填“是”或“不是”）； （2）求函数图象上的“减半点”； （3）若抛物线图象上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②如图，抛物线的顶点为，点是其对称轴上点下方一点，过点作轴的平行线交此抛物线于，两点（在的左侧），求的值； ③将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线，点（横坐标为）在抛物线上，其纵坐标的最大值为，最小值为，若对于任意，，求的值． 【答案】（1）不是 （2）或 （3）①；②4；③的值为或 【解析】 【分析】（1）假设是“减半函数”，则其上至少存在一点，然后将代入函数得到方程，再根据方程根的情况判断即可； （2）设函数图像上的“减半点”的坐标为，然后将代入函数得到方程并求解得到的值，进而确定“减半点”的坐标； （3）①联立方程后，根据抛物线图象上存在唯一的“减半点”，得出，求得的值，再代入函数解析式即可解答； ②根据二次函数解析式得出对称轴为直线，顶点，设点坐标为，则点坐标为，从而得出，，即可求出； ③先求出抛物线的解析式为，分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在“减半点”， ∴函数不是“减半函数”． 【小问2详解】 解：由题意设“减半点”坐标为， ， ， ， ， 函数图象上的“减半点”为或． 【小问3详解】 解：①∵抛物线：图象上存在“减半点”，设“减半点”坐标为， ， ， ∵存在唯一“减半点”， ， ∴． ∴抛物线的解析式为； ②， ∴对称轴为直线，顶点， 设点坐标为， 则点坐标为， ∴， ， ∴； ③∵将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当，即时，，解得：； 当，即时，， 解得：（不符舍去）； 或，解得：（不符舍去）； 当，即时，， 解得：； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $