第8章整式乘法与因式分解 期末复习综合练习题 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 以整式乘法与因式分解互逆关系为核心，融合整体思想与数形结合，构建“概念-运算-应用”递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3题|科学记数法规则、提公因式法步骤|从具体数到代数式，建立幂的运算与因式分解概念关联| |运算应用|解答15-17题|幂的运算公式、乘法公式应用|整式乘除与因式分解互逆，强化运算能力与符号意识| |思想方法|解答19-20题|整体代换、等积法推导|通过图形与代数转化，发展几何直观与模型意识|

2025-2026学年沪科版七年级数学下册《第8章整式乘法与因式分解》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．青海塔拉滩光伏园区被誉为“蓝色海洋”，光伏板制造中高纯度硅晶体至关重要．经测算，一个硅原子的直径约为米．数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．若，，，，则（     ） A． B． C． D． 3．下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，是正整数，且满足，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值是（   ） A．6 B．24 C．36 D．72 6．若的展开式中不含项，则常数的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 7．著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图1可得等式．图2是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将其中2块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图3所示，用两种不同的方法表示空白部分的面积可得到的等式为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．分解因式：______． 9．已知，，则______． 10．有下列代数式：①；②；③；④．其中，含有因式的是________ （填序号）． 11．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为____． 12．定义，若，则的值为________． 13．观察下列等式：，，，，……，依此规律归纳可知，第个等式是：_______． 14．某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___块． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)（利用乘法公式计算）． 16．因式分解： (1)； (2) (3)； (4) 17．先化简，再求值：，其中，． 18．如图是一个长为，宽为的长方形城市广场．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域修建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积；（用含a，b的式子表示） (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平方米铺设地砖的费用为100元，求市民活动区域铺设地砖的总费用．（用含a，b的式子表示） 19．因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 20．我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积，就可得到一个数学公式：． (1)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为的正方形，你能发现什么？请用等式表示出来：______； (2)解决问题：已知，求的值； (3)迁移应用：若满足，，求的值． 参考答案 1．B 【分析】本题考查小于1的正数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数（含整数位的零）． 【详解】解：． 2．B 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算及有理数的大小比较；解题的关键是熟练掌握相关运算法则，准确计算出各数的值后再进行大小比较． 【详解】解：先分别计算a，b，c，d的值： ；；；． 比较大小：，即． 3．C 【分析】对每个选项提取公因式后，和选项给出的结果对比，即可得到正确答案． 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，分解结果正确，本选项运算正确，符合题意； D. ，本选项运算错误，不符合题意． 4．D 【分析】先化简等式左右两边，再根据同底数幂相等则指数相等推导和的关系式. 【详解】解：∵ 左边 ， 又∵ 右边 ， ∵ ， ∴ . 5．B 【分析】利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求代数式变形为含已知条件的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 6．A 【分析】展开式中不含某一项，即合并同类项后该项的系数为0，先展开原式合并同类项，再令项的系数为0即可求解． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴项的系数为， 即， 解得． 7．B 【分析】根据正方形和长方形的面积公式来求解． 【详解】解：空白正方形的边长为， 方法一：空白部分的面积为：； 方法二：空白部分的面积为：， 可得到的等式为：． 8． 【分析】完全平方公式：． 【详解】解：． 9．/0.128 【分析】利用幂的乘方的逆用和同底数幂除法的逆用，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂除法的逆用法则，可得：， 再根据幂的乘方的逆用法则，可得：， 将，代入，得： 原式 ． 10．①②③ 【分析】对每个代数式进行因式分解，判断分解结果中是否含有因式即可得到答案． 【详解】解：① ，结果含有因式，符合要求； ② ，结果含有因式，符合要求； ③ ，结果含有因式，符合要求； ④ ， 无法分解因式，结果不含有因式，不符合要求． ∴①②③符合题意． 11． 【分析】利用加减消元法得到和关于的表达式，再利用平方差公式分解得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】， ，得 ， 等式两边同除以，得 ， ，得 ， ， ， 整理得 ， 即， 解得． 12． 【分析】根据新定义得到，根据列方程计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：． 13．（为正整数） 【分析】先将已知等式按序号对应，分别观察等式左边各部分，等式右边常数与序号的关系，归纳得出猜想后，利用整式乘法公式验证猜想，得到第个等式． 【详解】解：将已知等式按序号对应整理得： 当时， 当时， 当时， 归纳猜想可得，第个等式左边为，右边为， 利用平方差公式验证： 左边， ∴左边等于右边，猜想成立． 故（为正整数）． 14． 【分析】分别计算出A、B、C板材的面积，再计算出长方形墙壁的面积，根据多项式的乘积判断需要的板材数量，求和即可． 【详解】解：由图可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为， ∵， ∴需要块A板材，块B板材， 块C板材，一共块． 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 16．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17． ； 【分析】先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 18．(1) (2)元 【分析】（1）根据题意列出算式，利用多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）先求出市民活动区域的面积，然后根据每平方米铺设地砖的费用为100元，求出结果即可． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为： ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：由题可得市民活动区域的面积为： ， ． 答：市民活动区域铺设地砖的总费用为元． 19．(1) (2) (3) 证明：， 令， 则原式， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴式子的值一定是某个整数的平方. 【详解】（1）解： 令， 则原式变为， ∴； （2）解：令， 则， 故. （3）略 20．(1) (2)84 (3)4 【分析】（1）利用等积法即可得出等式； （2）利用（1）中的等式进行求解即可； （3）设，利用（1）中等式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由图可得：； （2）解：，，而， ， ； （3）解：设， 则，， ， ， ， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $