第03讲三角形的中线、角平分线、高（3大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第03讲三角形的中线、角平分线、高（3大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据三角形中线求长度 典型例题二 根据三角形中线求面积 典型例题三 三角形角平分线的定义及重心的概念 典型例题四 画三角形的高 典型例题五 与三角形的高有关的计算问题 知识点一：三角形的中线 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的中线，，，，则 ． 知识点二：三角形的角平分线 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 知识点三：三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【典型例题一 根据三角形中线求长度】 1．（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 1．（2025·云南昭通·一模）如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 4．（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，是边上的中线，，，的周长是15．请写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个进行证明． 【典型例题二 根据三角形中线求面积】 1．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 1．（2025·云南·模拟预测）某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知，请用尺规作图，在边上求作一点，使得 【典型例题三 三角形角平分线的定义及重心的概念】 1．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 1．（24-25七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列叙述中错误的是（     ） A．三角形的中线、角平分线、高都是线段. B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形. D．三角形的三条角平分线都在三角形内部. 3．（2023·四川成都·二模）如图，点为的重心，连接，并延长分别交，于点，．连接，若，，，则的长 ． 4．（24-25八年级上·广西百色·期中）若AE是边BC上的高，AD是的平分线且交BC于点D．若，，分别求和的度数． 【典型例题四 画三角形的高】 1．（24-25七年级下·广东梅州·期中）作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级·全国·课堂例题）请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，于．图中线段可作为的高的有(   )条． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【典型例题五 与三角形的高有关的计算问题】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中A(−2，3) ，B(−1，−2)，O为原点，求△ABO的面积． 1．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在直角三角形中，，，，，点P是线段上的一动点，则线段的最小值（   ） A． B．5 C．4 D．无法确定 3．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中描出点，并完成下列问题． (1)连接，则的面积为________； (2)点C在x轴上，若的面积等于的面积，点C的坐标为________． 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，若是的中线，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 3．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（    ） A．中线 B．角平分线 C．高 D．线段的垂直平分线 5．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 7．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，线段是中边的高的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．三角形的三条高交于一点 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 9．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，点，分别在，上，，垂足为点，，若，，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B． C． D．2 11．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）若Rt△ABC两直角边上的中线分别是AE和BD，则AE2+BD2与AB2的比值是 ． 12．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）小时和小颖要分一块均匀的三角形饼干，怎样才能把它分成大小相等的两块？ ． 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是 ．（把正确的序号填在横线上） 14．（24-25八年级下·全国·课前预习）连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 ． 15．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，已知，则 ．（比较两个三角形面积的大小，填“>”、“<”或“=”） 16．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 19．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已知如图所示，    (1)画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形； (2)判断与之间的关系，并说明理由． 20．（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在中，，分别是，边上的中线．已知，，且的周长为15，边上的高为3.96，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲三角形的中线、角平分线、高（3大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 根据三角形中线求长度 典型例题二 根据三角形中线求面积 典型例题三 三角形角平分线的定义及重心的概念 典型例题四 画三角形的高 典型例题五 与三角形的高有关的计算问题 知识点一：三角形的中线 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2. 交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的中线，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的定义，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键．根据三角形中线的定义即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ． 故答案为：． 知识点二：三角形的角平分线 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【即时训练】 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，分别是的中线和角平分线，则： ； ． 【答案】 【分析】根据，分别是的中线和角平分线，得到为线段的中点，平分，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴是线段的中点， ∴， ∵是的角平分线， ∴平分， ∴； 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查三角形的中线和角平分线的定义．熟练掌握三角形的中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段，三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，是解题的关键． 知识点三：三角形的高 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高，根据高的定义，从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高． 【详解】解：由图可知，所对顶点为或， 在中，并没有由点向引垂线，所以排除点， 在中，由于为钝角三角形，所以边上的高在三角形外部，也就是过点向的延长线上引垂线，即线段． 故答案选：D． 2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知于点，于点，与交于点，的边上的高为 . 【答案】/ 【分析】由三角形高的含义可得答案．本题考查的是三角形高的含义，熟记三角形的高的定义并能识别图形中三角形的高是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴的边上的高为 故答案为：． 【典型例题一 根据三角形中线求长度】 1．（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线定义得出，结合三角形的周长公式求出，即可求解． 【详解】解：因为是边上的中线， 所以； 因为的周长比的周长多， 所以， 即， 因为， 所以． 1．（2025·云南昭通·一模）如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线性质是解题关键． 根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， ， ，， ． 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵的周长，的周长， ∴与的周长之差为， 故选：A． 3．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 4．（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，是边上的中线，，，的周长是15．请写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个进行证明． 【答案】、，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，中线的定义，由的周长是15，可得，再由是边上的中线，可得，进而可得结论． 【详解】解：等腰三角形有：、； 证明过程如下： 如图， ∵的周长，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴、是等腰三角形． 【典型例题二 根据三角形中线求面积】 1．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，．若中线，且，则的面积为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线将三角形面积分成相等的两部分，根据已知求出，由是中线可得． 【详解】解：∵，． ， ∴， ∵是中线， ∴， ∴ 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，是的中线，是的中线．若，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解题的关键． 本题利用中线的性质，即中线将三角形分为两个面积相等的部分，来求解的面积． 【详解】解：是的中线，， ， 是的中线， ． 1．（2025·云南·模拟预测）某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，即可解题． 【详解】解：将三角形空地分成面积相等的两部分， 是的中线； 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．利用中线的性质即可求解． 【详解】解：为的中线， ， 的面积为， 的面积为， 故选：B． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算，掌握中线的性质是关键． 根据点是中点，得到，根据点是的中点，得到，由即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为： ． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知，请用尺规作图，在边上求作一点，使得 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了作垂线（尺规作图），根据三角形中线求面积等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧是解题的关键． 根据可判断，然后作出的中点即可． 【详解】解：如图，点即为所求作： 【典型例题三 三角形角平分线的定义及重心的概念】 1．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知． (1)画出的中线和角平分线； (2)画出的高，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画三角形的高线、中线和角平分线， （1）先找出的中点，连接即可得出的中线；画出的平分线即可； （2）过点作，垂足为点，延长，过点作，垂足为点，即可得出高线． 【详解】（1）解：即为所求作的中线，为所求作的角平分线，如图所示： （2）解：、为所求作的高线，如图所示： 1．（24-25七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列叙述中错误的是（     ） A．三角形的中线、角平分线、高都是线段. B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和， C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形. D．三角形的三条角平分线都在三角形内部. 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关键．根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断． 【详解】解：A：三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确； B：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确； C：只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误； D：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确 故选：C 3．（2023·四川成都·二模）如图，点为的重心，连接，并延长分别交，于点，．连接，若，，，则的长 ． 【答案】2 【分析】根据重心为三角形中线的交点即得出点E为的中点，点F为的中点，再根据三角形中位线定理即得出． 【详解】解：∵点为的重心， ∴点E为的中点，点F为的中点， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形重心的概念，三角形中位线定理．掌握重心为三角形中线的交点和三角形中位线等于该三角形第三边的一半是解题关键． 4．（24-25八年级上·广西百色·期中）若AE是边BC上的高，AD是的平分线且交BC于点D．若，，分别求和的度数． 【答案】； 【分析】根据△AEC的内角和定理可得：，根据角平分线的性质可得，根据△ABC的内角和定理可得∠BAC，又因为，，即可得解． 【详解】解：∵AE是边BC上的高 ∴ ∴在中，有 又∵ ∴ ∵AD是的平分线 ∴ ∵在中，有 已知， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，熟悉这些知识点，灵活应用等量代换是解决本题的关键． 【典型例题四 画三角形的高】 1．（24-25七年级下·广东梅州·期中）作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键 根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段， 据此，符合题意的是； 故选：D． 2．（24-25八年级·全国·课堂例题）请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，连接并延长交于，根据三角形的三条高相交于一点即可作出判断．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图，连接并延长交于， ∵在中，边，上的高，交于点， ∴线段为边上的高， 即线段即为所作．      1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，中，，于．图中线段可作为的高的有(   )条． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向它对边所作垂线段即是三角形的高，三角形共有三条高，它们交于一点．根据三角形高的概念求解即可．过的一个顶点且垂直于对边的线段是三角形的高． 【详解】解：根据三角形高的定义，上的高是，上的高是，上的高是．共3条， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期末）小涵求的面积时，作了边上的高，下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，作边上的高即过点向边引垂线，垂足为即可． 【详解】解：由题意，作图正确的是： 故选D． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段 的长度． 【答案】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 【典型例题五 与三角形的高有关的计算问题】 1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ∵是的角平分线，、 ∴，B选项正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴，C选项错误，符合题意； ∵是的高， ∴，D选项正确，不符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中A(−2，3) ，B(−1，−2)，O为原点，求△ABO的面积． 【答案】△ABO的面积为4.5． 【分析】将图中的三角形补成矩形，即可利用面积法求解． 【详解】解：将图形补为矩形，如图所示： S△AOB=2×5-×1×5-×1×2-×2×3=4.5． ∴△ABO的面积为4.5． 【点睛】本题考查三角形面积求法，无法直接求面积，可转化为其它方式求面积，属于基础题． 1．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 2．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图，在直角三角形中，，，，，点P是线段上的一动点，则线段的最小值（   ） A． B．5 C．4 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在直角三角形中，由面积公式得：， 解得， 故选：A． 3．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积公式，掌握垂线段最短是解题的关键． 根据垂线段最短可得当时，线段最短，再由面积法求解即可． 【详解】解：如图，当时，线段最短， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中描出点，并完成下列问题． (1)连接，则的面积为________； (2)点C在x轴上，若的面积等于的面积，点C的坐标为________． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题考查了三角形的面积和点的坐标，熟练掌握坐标和图形的性质是本题的关键． （1）在坐标系中画出，作出高，即可求解； （2）根据面积公式求出即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点H，则的面积为， 故答案为：2； （2）解：由题意得，，而 ∴， ∴点C的坐标为或， 故答案为：或． 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差 ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，若是的中线，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质可知BD=CD． 【详解】解：∵AD是的中线 ∴BD=CD ∵BD=4 ∴CD=4． 故选：C． 【点睛】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知中，点，分别是边，的中点．若的面积等于，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：点是边的中点，的面积等于， ， 是的中点， ， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 4．（24-25八年级上·广东江门·期中）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（    ） A．中线 B．角平分线 C．高 D．线段的垂直平分线 【答案】A 【分析】根据三角形的中线的性质解答即可． 【详解】解：三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形面积问题，关键是根据三角形的中线能将三角形的面积分成相等两部分解答． 5．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，高、中线、角平分线的定义，熟练掌握连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．利用垂线段最短即可解决． 【详解】解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 可得最短， 故选：A． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 7．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，线段是中边的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点B作，垂足为E，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：线段是中边的高的图是 故选：A． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．三角形的三条高交于一点 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，三角形的高，平行公理以及点的直线的距离，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 分别根据对顶角的定义，三角形的高，平行公理以及点的直线的距离的定义去判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、三角形的高是线段，而钝角三角形的三条高线不相交，故本选项错误，不符合题意； C、过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离，正确，符合题意， 故选：D． 9．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：，，， 的面积， 故选：D． 10．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，点，分别在，上，，垂足为点，，若，，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 首先证明，再证明，最后运用面积法可求出点F到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴, ∴， 设点F到直线的距离为h，且，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C 11．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）若Rt△ABC两直角边上的中线分别是AE和BD，则AE2+BD2与AB2的比值是 ． 【答案】5：4 【分析】由勾股定理可得AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2，再将等式变形为：AE2+BD2=AB2+CD2+CE2，结合三角形中线的性质可得CD2+CE2=AB2，进而可求解． 【详解】解：如图，∠C=90°， 由勾股定理可得：AE2=AC2+CE2①，BD2=BC2+CD2②，AC2+BC2=AB2， ①+②得AE2+BD2=AC2+CE2+BC2+CD2=AB2+CD2+CE2， ∵AE，BD是△ABC的中线， ∴CD=AC，CE=BC， ∴CD2+CE2=（AC）2+（BC）2=AB2， ∴AE2+BD2=AB2+AB2=AB2， 即AE2+BD2与AB2的比值是5：4． 故答案为：5：4． 【点睛】本题主要考查勾股定理，三角形的中线，灵活运用勾股定理解题是求解的关键． 12．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）小时和小颖要分一块均匀的三角形饼干，怎样才能把它分成大小相等的两块？ ． 【答案】沿三角形的一条中线分成大小相等的两块． 【分析】本题考查三角形的中线性质，掌握课本的定理是解题关键．根据三角形的中线性质解答即可． 【详解】解：三角形的一条中线把原三角形分成面积相等的两部分，所以沿三角形的一条中线分成大小相等的两块． 故答案为：沿三角形的一条中线分成大小相等的两块． 13．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列叙述： ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； 其中正确的是 ．（把正确的序号填在横线上） 【答案】② 【分析】分别根据三角形中线、角平分线和高线的定义判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，说法正确； ③三角形的三条高所在直线交于一点，原说法错误； 故答案为：②． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线、中线和高，熟记定义即可作出正确的判断，属于基础题． 14．（24-25八年级下·全国·课前预习）连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 ．三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做 ． 【答案】 中线， 三角形的重心 【解析】略 15．（24-25七年级下·湖南湘潭·期末）如图，已知，则 ．（比较两个三角形面积的大小，填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线间的距离等知识点，掌握平行线间的距离相等成为解题的关键． 根据图形可知，再说明和同底等高，所以和面积相等从而得到和的关系． 【详解】解：由图易有：， ∵， ∴和同底等高， ∴， ∴． 故答案为：=． 16．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为的中线， 为的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为40，，则点 E 到边的距离为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查画三角形的高线，三角形的中线： （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，为边上的高． （2）∵为的中线， 为的中线， ， ∵的面积为 40，， 解得，即点 E 到边的距离为4． 18．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)24 【分析】本题考查了利用网格的特点作图． （1）根据轴对称的特点，作出图形即可； （2）利用长方形的特点找到边，的中点，两条中线的交点即可为重心； （3）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：的重心O如图所示； （3）解：四边形的面积为． 故答案为：24． 19．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已知如图所示，    (1)画出中边上的高线，在内部作射线使得，交边于点，请你依题意补全图形； (2)判断与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先作交于点，根据等角对等边可得，即点到点和点的距离相等，故可推出点的距离相等，故可推出点在的垂直平分线上，画图即可； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合题意即可推得． 【详解】（1）解：如图：    先作交于点，作的垂直平分线与交于点，即为所求． （2）解：，理由如下： ∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了画图——三角形的高，等角对等边，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 20．（24-25八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在中，，分别是，边上的中线．已知，，且的周长为15，边上的高为3.96，求的面积． 【答案】9.9 【分析】根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得BC，再用三角形面积公式即可的解． 【详解】解：∵，分别是，边上的中线，，， ∴， ． ∵的周长为15， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$