第03讲 三角形的中线、角平分线、高 讲义2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第03讲 三角形的中线、角平分线、高 【人教版2024】 【知识点1 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【典题练习】 【例1】如图，在中，，，，垂足分别为，，，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【练1】在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【知识点2 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【典题练习】 【例2】如图，在中，，AD为BC边上的中线． （1）____________（填“>”“<”或“=”）； （2）若的周长比的周长多4，且，求AB，AC的长； （3）的周长为27，，BC边上的中线，的周长为19，求AC的长． 【练2.1】如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【练2.2】如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 【知识点3 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【典题练习】 【例3】如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【练3】如图，于，于，．求证：平分． 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，若，，则下列结论中错误的是（    ）      A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 2.下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条高所在的直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3.如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 4.如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 5.如图所示，BD是△ABC的中线，AD=2, AB+BC = 5，求△ABC的周长. 【提升关】 6.如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 7.如图所示，在中，，，于点D，且，若点P在边上移动，的最小值（    ） A．4．6 B．4．8 C．5 D．5．2 8.如图所示，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.已知为的高，若，则 ． 10.如图，在三角形中，点F，H分别在边上，连接，延长至点E，连接并延长交于点G，平分，已知，． (1)与相等吗？判断并说明理由； (2)若，求的度数． 11.在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 12.如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，利用网格点和三角板画图或计算：    （1）在给定方格纸中画出平移后的． （2）画出边的中线． （3）画出边的高线． （4）的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角形的中线、角平分线、高 【人教版2024】 【知识点1 三角形的高】 1.定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 2.交点：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点. 【典题练习】 【例1】如图，在中，，，，垂足分别为，，，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义分别进行判断． 【详解】解∶ 中，，则是边上的高，所以A正确，不符合题意； 中，，则是边上的高，所以B正确，不符合题意； 中，不是的高，所以C错误，符合题意； 中，，则是边上的高，所以D正确，不符合题意． 故答案为∶C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【练1】在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为D， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 【知识点2 三角形的中线】 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线. 2.交点：三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 【典题练习】 【例2】如图，在中，，AD为BC边上的中线． （1）____________（填“>”“<”或“=”）； （2）若的周长比的周长多4，且，求AB，AC的长； （3）的周长为27，，BC边上的中线，的周长为19，求AC的长． 【答案】（1）；（2）；（3）8． 【分析】（1）根据三角形中线的定义、三角形的面积公式即可得； （2）先根据三角形的周长公式可得出，再结合求解即可得； （3）先根据的周长为27可得，从而可得，再根据的周长为19建立等式求解即可得． 【详解】（1）为BC边上的中线， ， 与等底同高， ， 故答案为：； （2）∵AD是BC边上的中线， ， 的周长比的周长多4，即， ， 又， ； （3）的周长为27，， ，即， 解得， ， 又的周长为19，， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了三角形中线、三角形的面积与周长公式等知识点，掌握理解三角形中线的定义是解题关键． 【练2.1】如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了与中点有关的三角形的面积的计算，由是的中点得出，再由是的中点，即可得出，熟练掌握三角形的中线将三角形的面积平分是解此题的关键． 【详解】解：是的中点， ， ， 是的中点， ， ， 故答案为：． 【练2.2】如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线定义得出，结合三角形的周长公式求出，即可求解． 【详解】解：因为是边上的中线， 所以； 因为的周长比的周长多， 所以， 即， 因为， 所以． 【知识点3 三角形的角平分线】 1.定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点. 【典题练习】 【例3】如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均分为两份． 【练3】如图，于，于，．求证：平分． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．利用平行线的判定和性质，垂线的性质，角平分线的定义即可解决问题． 【详解】证明：，， ，．（垂直定义） ． ．（ 同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，同位角相等） ．（两直线平行，内错角相等） 又， ．（等量代换） 平分．（角平分线的定义） 故答案为：垂直定义；，；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．等量代换，角平分线的定义． 【能力闯关】 【基础关】 1.如图，若，，则下列结论中错误的是（    ）      A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义即可得出答案. 【详解】∵∠1=∠2 ∴AD是△ABC的角平分线，故A正确； ∵∠3=∠4 ∴CE是△ACD的角平分线，∠3=∠ACB，故B和C正确； 故答案选择B. 【点睛】本题考查的是角平分线，属于基础题型，需要熟练掌握角平分线的判定与性质. 2.下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条高所在的直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线、角平分线、高的定义，根据三角形的中线、角平分线、高的定义逐个分析判断，即可求解． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故原说法正确； ②三角形的三条高所在的直线交于一点，故原说法正确； ③三角形的三条中线必交于一点，故原说法正确； 说法正确的有个． 故选：A． 3.如图，在中，是中线，是角平分线，是高，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中线即为三角形的顶点与其对边中点的线段、角平分线即为三角形的一个内角的平分线与对边相交的线段、三角形的高即为过三角形的一个顶点作对边的垂线段，据此进行解答即可． 【详解】解：∵是中线， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵是高， ∴，故选项C正确，不符合题意； 根据题意不一定得出， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线等定义，熟记相关定义是解本题的关键． 4.如图，在中，于点，点是边的中点，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、中线，根据三角形面积公式列关于的方程并求解，再由中点的定义计算的长即可．掌握三角形面积计算公式和中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴ 故答案为：6． 5.如图所示，BD是△ABC的中线，AD=2, AB+BC = 5，求△ABC的周长. 【答案】9 【分析】由BD是△ABC的中线，可得到AC=2BD=4，进而得到△ABC的周长. 【详解】∵BD是△ABC的中线 ∴AC=2AD=4 ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+4=9. 【点睛】本题考查三角形中线的性质，解题关键在于能够得到AC=2AD. 【提升关】 6.如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，根据三角形高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：边的高垂直于，且过点B 由图形可得，选项不是，选项是， 故选：． 7.如图所示，在中，，，于点D，且，若点P在边上移动，的最小值（    ） A．4．6 B．4．8 C．5 D．5．2 【答案】B 【分析】根据最短路径问题得：当时，的值最小，利用面积关系得到，代入数值求出答案． 【详解】解：由题意得：当时，的值最小， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】此题考查最短路径问题，三角形的面积计算公式，利用最短路径问题的思路得到当时，的值最小是解题的关键． 8.如图所示，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由点D，E，F分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积． 【详解】解：∵已知点D，E，F分别为边的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∵是的中线， ∴ ， ∵点E是的中点， ∴1 ， ， ∴ ， ∵点F是的中点， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的中线和三角形面积之间的关系“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”，这也是本题的突破点． 9.已知为的高，若，则 ． 【答案】6或14 【分析】分点在线段上和在延长线上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①当点在线段上时，    ∵， ∴； ②当点在延长线上时，    则：； 综上：6或14； 故答案为：6或14． 【点睛】本题考查线段的和差计算．根据题意，正确的画出图形，是解题的关键．注意，分类讨论． 10.如图，在三角形中，点F，H分别在边上，连接，延长至点E，连接并延长交于点G，平分，已知，． (1)与相等吗？判断并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由（1）可知，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：， ， ， 平分， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 11.在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先画图，根据三角形的面积公式即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图： ∵，是边上的高，，，． ∴； ∴ ∴； （2）解：∵的边上的中线是 ， ∴． 12.如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点，利用网格点和三角板画图或计算：    （1）在给定方格纸中画出平移后的． （2）画出边的中线． （3）画出边的高线． （4）的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）8；（5）7 【难度】0.65 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可； （2）画出AB边上的中线CD即可； （3）过点A向BC的延长线作垂线，垂足为点E即可； （4）利用三角形的面积公式求解即可； 【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； （2）如图，线段CD即为所求； （3）如图，线段AE即为所求； （4）S△A′B′C′=×4×4=8．故答案为：8；   【点睛】本题考查的是作图-平移变换和三角形的性质，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$